Asymptotická teorie (statistika) - Asymptotic theory (statistics)

v statistika: asymptotická teorienebo teorie velkých vzorků, je rámec pro hodnocení vlastností odhady a statistické testy. V tomto rámci se často předpokládá, že: velikost vzorku $n$ může růst neomezeně; vlastnosti odhadů a testů jsou poté hodnoceny pod mezí $n \to \infty$ . V praxi se hodnocení limitu považuje za přibližně platné i pro velké konečné velikosti vzorků.^[1]

Přehled

Většina statistických problémů začíná datovou sadou velikost $n$ . Asymptotická teorie postupuje tak, že předpokládá, že je možné (v zásadě) stále shromažďovat další data, takže velikost vzorku roste nekonečně, tj. $n \to \infty$ . Za předpokladu lze získat mnoho výsledků, které nejsou k dispozici pro vzorky konečné velikosti. Příkladem je slabý zákon velkého počtu. Zákon stanoví, že pro posloupnost nezávislé a identicky distribuované (IID) náhodné proměnné $X 1, X 2, \dots$ , pokud je z každé náhodné proměnné čerpána jedna hodnota a průměr první $n$ hodnoty se počítají jako $X n$ , pak $X n$ konvergovat v pravděpodobnosti na populační průměr $E[X i]$ tak jako $n \to \infty$ .^[2]

V asymptotické teorii je standardní přístup $n \to \infty$ . Pro některé statistické modely lze použít mírně odlišné přístupy asymptotik. Například s data panelu, běžně se předpokládá, že jedna dimenze v datech zůstává pevná, zatímco druhá dimenze roste: $T = konstantní$ a $N \to \infty$ , nebo naopak.^[2]

Kromě standardního přístupu k asymptotice existují i jiné alternativní přístupy:

V rámci místní asymptotická normalita rámec, předpokládá se, že hodnota „skutečného parametru“ v modelu se mírně mění s $n$ , tak, že $n$ -tý model odpovídá $θ n = θ + h / \sqrt n$ . Tento přístup nám umožňuje studovat pravidelnost odhadů.
Když statistické testy jsou studovány pro jejich schopnost rozlišovat proti alternativám, které jsou blízké nulové hypotéze, děje se to v rámci tzv. „lokálních alternativ“: nulová hypotéza je $H 0 : θ = θ 0$ a alternativa je $H 1 : θ = θ 0 + h / \sqrt n$ . Tento přístup je obzvláště populární pro jednotkové kořenové testy.
Existují modely, kde je rozměr prostoru parametrů $Θ n$ pomalu expanduje s $n$ , což odráží skutečnost, že čím více pozorování existuje, tím více strukturálních účinků lze do modelu reálně začlenit.
v odhad hustoty jádra a regrese jádra, předpokládá se další parametr - šířka pásma $h$ . U těchto modelů se to obvykle bere $h \to 0$ tak jako $n \to \infty$ . Míra konvergence musí být obvykle volena pečlivě $h \propto n -1/5$ .

V mnoha případech lze vysoce přesné výsledky pro konečné vzorky získat pomocí numerických metod (tj. Počítačů); i v takových případech však může být užitečná asymptotická analýza. Tento bod učinil Malý (2010, §1.4), následovně.

Primárním cílem asymptotické analýzy je získat hlouběji kvalitativní porozumění kvantitativní nástroje. Závěry asymptotické analýzy často doplňují závěry, které lze získat numerickými metodami.

Režimy konvergence náhodných proměnných

Asymptotické vlastnosti

Odhady

Konzistence

Řada odhadů se říká, že je konzistentní, Pokud si to konverguje v pravděpodobnosti ke skutečné hodnotě odhadovaného parametru:

{ displaystyle { hat { theta}} _ {n} { xrightarrow { overset {} {p}}} theta _ {0}.}

To znamená zhruba řečeno s nekonečným množstvím dat odhadce (vzorec pro generování odhadů) by téměř jistě poskytl správný výsledek pro odhadovaný parametr.^[2]

Asymptotická distribuce

Pokud je možné najít sekvence nenáhodných konstant ${A n}$ , ${b n}$ (případně v závislosti na hodnotě $θ 0$ ) a nedegenerovaná distribuce $G$ takhle

{ displaystyle b_ {n} ({ hat { theta}} _ {n} -a_ {n}) { xrightarrow {d}} G,}

pak posloupnost odhadů ${ displaystyle textstyle { hat { theta}} _ {n}}$ se říká, že má asymptotická distribuce G.

Nejčastěji se v praxi setkáváme s odhady asymptoticky normální, což znamená, že jejich asymptotická distribuce je normální distribuce, s $A n = θ 0$ , $b n = \sqrt n$ , a $G = N (0, PROTI)$ :

{ displaystyle { sqrt {n}} ({ hat { theta}} _ {n} - theta _ {0}) { xrightarrow {d}} { mathcal {N}} (0, PROTI).}

Asymptotické regiony důvěry

Asymptotické věty

Viz také

Reference

^ Höpfner, R. (2014), Asymptotic Statistics, Walter de Gruyter. 286 stran. ISBN 3110250241, ISBN 978-3110250244
^ ^A ^b ^C A.DasGupta. Asymptotická teorie statistiky a pravděpodobnosti (2008) 756 str. ISBN 0387759700, ISBN 978-0387759708

Bibliografie

Balakrishnan, N .; Ibragimov, I. A. V. B .; Nevzorov, V. B., eds. (2001), Asymptotické metody v pravděpodobnosti a statistice s aplikacemi, Birkhäuser, ISBN 9781461202097
Borovkov, A. A.; Borovkov, K. A. (2010), Asymptotická analýza náhodných procházek, Cambridge University Press
Buldygin, V. V .; Solntsev, S. (1997), Asymptotické chování lineárně transformovaných součtů náhodných proměnných Springer, ISBN 9789401155687
Le Cam, Lucien; Yang, Grace Lo (2000), Asymptotika ve statistice (2. vyd.), Springer
Dawson, D .; Kulik, R .; Ould Haye, M .; Szyszkowicz, B .; Zhao, Y., eds. (2015), Asymptotické zákony a metody ve stochastice, Springer-Verlag
Höpfner, R. (2014), Asymptotické statistiky, Walter de Gruyter
Lin'kov, Yu. N. (2001), Asymptotické statistické metody pro stochastické procesy, Americká matematická společnost
Oliveira, P. E. (2012), Asymptotika pro přidružené náhodné proměnnéSpringer
Petrov, V. V. (1995), Limitní věty teorie pravděpodobnosti, Oxford University Press
Sen, P. K .; Singer, J. M .; Pedroso de Lima, A. C. (2009), Od konečných vzorků po asymptotické metody ve statistice, Cambridge University Press
Shiryaev, A. N .; Spokoiny, V. G. (2000), Statistické experimenty a rozhodnutí: Asymptotická teorie, World Scientific
Malý, C. G. (2010), Expanze a asymptotika pro statistiku, Chapman & Hall
van der Vaart, A. W. (1998), Asymptotické statistiky, Cambridge University Press

[1] Höpfner, R. (2014), Asymptotic Statistics, Walter de Gruyter. 286 stran. ISBN 3110250241, ISBN 978-3110250244

[ONE-2] A ^b ^C A.DasGupta. Asymptotická teorie statistiky a pravděpodobnosti (2008) 756 str. ISBN 0387759700, ISBN 978-0387759708

[1]

[2]