Vektorizace (matematika) - Vectorization (mathematics) - Wikipedia

v matematika, speciálně v lineární algebra a teorie matic, vektorizace a matice je lineární transformace který převádí matici na a vektor sloupce. Konkrétně vektorizace a m × n matice A, označeno vec (A), je mn × 1 vektor sloupců získaný skládáním sloupců matice A nad sebou:

${ displaystyle mathrm {vec} (A) = [a_ {1,1}, ldots, a_ {m, 1}, a_ {1,2}, ldots, a_ {m, 2}, ldots, a_ {1, n}, ldots, a_ {m, n}] ^ { mathrm {T}}}$

Tady, ${ displaystyle a_ {i, j}}$ představuje ${ displaystyle A (i, j)}$ a horní index ${ displaystyle {} ^ { mathrm {T}}}$ označuje přemístit. Vektorizace vyjadřuje prostřednictvím souřadnic izomorfismus ${ displaystyle mathbf {R} ^ {m krát n}: = mathbf {R} ^ {m} otimes mathbf {R} ^ {n} cong mathbf {R} ^ {mn}}$ mezi nimi (tj. matic a vektorů) jako vektorové prostory.

Například pro matici 2 × 2 ${ displaystyle A}$ = ${ displaystyle { begin {bmatrix} a & b c & d end {bmatrix}}}$, vektorizace je ${ displaystyle mathrm {vec} (A) = { begin {bmatrix} a c b d end {bmatrix}}}$.

Kompatibilita s produkty Kronecker

Vektorizace se často používá společně s Produkt Kronecker vyjádřit násobení matic jako lineární transformace na maticích. Zejména,

${ displaystyle { text {vec}} (ABC) = (C ^ { mathrm {T}} otimes A) { text {vec}} (B)}$

pro matice A, B, a C rozměrů k×l, l×m, a m×n.^[1] Například pokud ${ displaystyle { text {ad}} _ {A} (X) = AX-XA}$ (dále jen adjungovaný endomorfismus z Lež algebra gl (n, C) ze všech n×n matice s komplex poté) ${ displaystyle { text {vec}} ({ text {ad}} _ {A} (X)) = (I_ {n} otimes AA ^ { mathrm {T}} otimes I_ {n}) { text {vec}} (X)}$, kde ${ displaystyle I_ {n}}$ je n×n matice identity.

Existují dvě další užitečné formulace:

${ displaystyle { text {vec}} (ABC) = (I_ {n} otimes AB) { text {vec}} (C) = (C ^ { mathrm {T}} B ^ { mathrm { T}} otimes I_ {k}) { text {vec}} (A)}$

${ displaystyle { text {vec}} (AB) = (I_ {m} otimes A) { text {vec}} (B) = (B ^ { mathrm {T}} otimes I_ {k} ) { text {vec}} (A)}$

Obecněji se ukázalo, že vektorizace je a samoadaptace v monoidní uzavřené struktuře jakékoli kategorie matic.^[1]

Kompatibilita s produkty Hadamard

Vektorizace je homomorfismus algebry z prostoru n × n matice s Hadamard (vstupní) produkt do Cⁿ² s produktem Hadamard:

${ displaystyle mathrm {vec} (A circ B) = mathrm {vec} (A) circ mathrm {vec} (B).}$

Kompatibilita s vnitřními výrobky

Vektorizace je a unitární transformace z prostoru n×n matice s Frobenius (nebo Hilbert – Schmidt ) vnitřní produkt na Cⁿ²:

${ displaystyle mathrm {tr} (A ^ { top} B) = mathrm {vec} (A) ^ { top} mathrm {vec} (B) = mathrm {vec} (B ^ { nahoru}) ^ { top} mathrm {vec} (A).}$

kde horní index ^T označuje konjugovat transponovat.

Vektorizace jako lineární součet

Operaci vektorizace matice lze zapsat jako lineární součet. Nechat X být m × n matice, kterou chceme vektorizovat, a nechat E_i být i-tý kanonický základní vektor pro n-dimenzionální prostor, to je ${ textstyle mathbf {e} _ {i} = doleva [0, ..., 0,1,0, ..., 0 doprava] ^ {T}}$. Nechat B_i být (mn) × m bloková matice definována takto:

${ displaystyle mathbf {B} _ {i} = { begin {bmatrix} mathbf {0} vdots mathbf {0} mathbf {I} _ {m} mathbf {0} vdots mathbf {0} end {bmatrix}} = mathbf {e} _ {i} otimes mathbf {I} _ {m}}$

B_i skládá se z n blokové matice velikosti m × m, skládané po sloupcích a všechny tyto matice jsou nulové, s výjimkou i- ten, který je a m × m matice identity Já_m.

Pak vektorizovaná verze X lze vyjádřit takto:

${ displaystyle { text {vec}} ( mathbf {X}) = součet _ {i = 1} ^ {n} mathbf {B} _ {i} mathbf {X} mathbf {e} _ {i}}$

Násobení X podle E_i extrahuje i-tý sloupec a vynásobí B_i umístí jej do požadované polohy v koncovém vektoru.

Alternativně lze lineární součet vyjádřit pomocí Produkt Kronecker:

${ displaystyle { text {vec}} ( mathbf {X}) = sum _ {i = 1} ^ {n} mathbf {e} _ {i} otimes mathbf {X} mathbf {e } _ {i}}$

Poloviční vektorizace

Pro symetrická matice A, vektorová věc (A) obsahuje více informací, než je nezbytně nutné, protože matice je zcela určena symetrií spolu s spodní trojúhelníkový část, tj n(n + 1)/2 záznamy na a pod hlavní úhlopříčka. Pro takové matice platí poloviční vektorizace je někdy užitečnější než vektorizace. Poloviční vektorizace, vech (A), symetrické n × n matice A je n(n + 1)/2 × 1 vektor sloupce získaný vektorizací pouze spodní trojúhelníkové části A:

vech (A) = [ A_1,1, ..., A_n,1, A_2,2, ..., A_n,2, ..., A_n−1,n−1,A_n,n−1, A_n,n ]^T.

Například pro matici 2 × 2 A = ${ displaystyle { begin {bmatrix} a & b b & d end {bmatrix}}}$, poloviční vektorizace je vech (A) = ${ displaystyle { begin {bmatrix} a b d end {bmatrix}}}$.

Existují jedinečné matice transformující poloviční vektorizaci matice na její vektorizaci a naopak nazývanou duplikační matice a eliminační matice.

Programovací jazyk

Programovací jazyky, které implementují matice, mohou mít snadné prostředky pro vektorizaci Matlab /GNU oktáva matice A lze vektorizovat pomocí A(:).GNU oktáva také umožňuje vektorizaci a poloviční vektorizaci pomocí vec (A) a vech (A) resp. Julie má vec (A) funkce také. v Krajta NumPy pole implementují metodu 'flatten'^[1], zatímco v R požadovaného efektu lze dosáhnout pomocí C() nebo as.vector () funkce. v R, funkce vec () balíčku 'ks' umožňuje vektorizaci a funkci vech () implementováno v obou balíčcích „ks“ a „sn“ umožňuje poloviční vektorizaci.^[2][3][4]

Poznámky

1.^{^ ^} Identita pro vektorizaci hlavních řádků je ${ displaystyle { text {vec}} (ABC) = (A otimes C ^ { mathrm {T}}) { text {vec}} (B)}$.

Viz také

• Voigtova notace
• Zabalená matice úložiště
• Sloupová hlavní objednávka
• Imatrikulace

Reference

• Jan R. Magnus a Heinz Neudecker (1999), Maticový diferenciální počet s aplikacemi ve statistice a ekonometrii, 2. vyd., Wiley. ISBN  0-471-98633-X.