Převzorkování kapesního nože - Jackknife resampling - Wikipedia

v statistika, kudla je převzorkování technika zvláště užitečná pro rozptyl a zaujatost odhad. Kapesní nůž předchází další běžné metody převzorkování, jako je bootstrap. Kapesní nůž odhadce parametru se zjistí systematickým vynecháním každého pozorování z datové sady a výpočtem odhadu a následným nalezením průměru těchto výpočtů. Vzhledem k velikosti vzorku ${ displaystyle n}$, je odhad na jackknife zjištěn agregací odhadů každého z nich ${ displaystyle (n-1)}$-veliký dílčí vzorek.

Technika kudla byla vyvinuta Maurice Quenouille (1924–1973) z roku 1949 a rafinovaný v roce 1956. John Tukey rozšířil tuto techniku ​​v roce 1958 a navrhl název „jackknife“, protože jako fyzická kudla (kompaktní zavírací nůž), je to a drsný a připravený nástroj, který může improvizovat řešení různých problémů, i když konkrétní problémy lze efektivněji vyřešit pomocí účelového nástroje.^[1]

Nůž je lineární aproximací bootstrapu.^[1]

Odhad

Odhad parametru na klínový nůž lze zjistit odhadem parametru pro každý podvzorek s vynecháním i-té pozorování.^[2] Například pokud je odhadovaným parametrem průměr populace X, vypočítáme průměr ${ displaystyle { bar {x}} _ {i}}$ pro každý dílčí vzorek sestávající ze všech kromě i-tý datový bod:

${ displaystyle { bar {x}} _ {i} = { frac {1} {n-1}} součet _ {j = 1, j neq i} ^ {n} x_ {j}, quad quad i = 1, dots, n.}$

Tyto n odhady tvoří odhad distribuce statistiky vzorku, pokud byla vypočítána pro velký počet vzorků. Zejména je průměrem této distribuce vzorků jejich průměr n odhady:

${ displaystyle { bar {x}} = { frac {1} {n}} sum _ {i = 1} ^ {n} { bar {x}} _ {i}.}$

Jednoznačně lze ukázat, že toto ${ displaystyle { bar {x}}}$ se rovná obvyklému odhadu ${ displaystyle { frac {1} {n}} součet _ {i = 1} ^ {n} x_ {i}}$, takže skutečný bod se objeví pro vyšší momenty, než je průměr. Odhad rozptylu odhadce pomocí kapesního nože lze vypočítat z rozptylu tohoto rozdělení ${ displaystyle { bar {x}} _ {i}}$:^[3][4]

${ displaystyle operatorname {Var} ({ bar {x}}) = { frac {n-1} {n}} sum _ {i = 1} ^ {n} ({ bar {x}} _ {i} - { bar {x}}) ^ {2} = { frac {1} {n (n-1)}} sum _ {i = 1} ^ {n} (x_ {i} - { bar {x}}) ^ {2}.}$

Odhad a korekce zkreslení

Techniku ​​jackknife lze použít k odhadu zkreslení odhadce vypočítaného pro celý vzorek. Říci ${ displaystyle { hat { theta}}}$ je vypočítaný odhad parametru zájmu na základě všech ${ displaystyle {n}}$ pozorování. Nechat

${ displaystyle { hat { theta}} _ { mathrm {(.)}} = { frac {1} {n}} sum _ {i = 1} ^ {n} { hat { theta }} _ {(i)}}$

kde ${ displaystyle { hat { theta}} _ {(i)}}$ je odhad úroku na základě vzorku s i-té pozorování odstraněno a ${ displaystyle { hat { theta}} _ { mathrm {(.)}}}$ je průměr těchto odhadů „ponechat-ven-ven“. Odhad vychýlení kapesního nože ${ displaystyle { hat { theta}}}$ darováno:

${ displaystyle { widehat { text {bias}}} _ { mathrm {( theta)}} = (n-1) ({ hat { theta}} _ { mathrm {(.)}} - { hat { theta}})}$

a z toho vyplývající odhad zkresleného kordu zkreslení ${ displaystyle theta}$ darováno:

${ displaystyle { hat { theta}} _ { text {jack}} = { hat { theta}} - { widehat { text {bias}}} _ { mathrm {( theta)} } = n { hat { theta}} - (n-1) { hat { theta}} _ { mathrm {(.)}}}$

Tím se odstraní předpětí ve zvláštním případě, že předpětí je ${ displaystyle O (n ^ {- 1})}$ a odstraní jej ${ displaystyle O (n ^ {- 2})}$ v ostatních případech.^[1]

Viz také

• Chyba vynechání

Poznámky

Reference

• Cameron, Adrian; Trivedi, Pravin K. (2005). Mikroekonometrie: metody a aplikace. Cambridge New York: Cambridge University Press. ISBN  9780521848053.
• Efron, Bradley; Stein, Charles (Květen 1981). „Jackknife Estimate of Variance“. Annals of Statistics. 9 (3): 586–596. doi:10.1214 / aos / 1176345462. JSTOR  2240822.
• Efron, Bradley (1982). Jackknife, bootstrap a další plány převzorkování. Philadelphia, PA: Společnost pro průmyslovou a aplikovanou matematiku. ISBN  9781611970319.
• Quenouille, Maurice H. (září 1949). „Problémy při vzorkování letadel“. Annals of Mathematical Statistics. 20 (3): 355–375. doi:10.1214 / aoms / 1177729989. JSTOR  2236533.
• Quenouille, Maurice H. (1956). "Poznámky o zkreslení v odhadu". Biometrika. 43 (3–4): 353–360. doi:10.1093 / biomet / 43,3-4,353. JSTOR  2332914.
• Tukey, John W. (1958). „Předpojatost a důvěra v ne tak velké vzorky (abstrakt)“. Annals of Mathematical Statistics. 29 (2): 614. doi:10.1214 / aoms / 1177706647.