Waldův test - Wald test

v statistika, Waldův test (pojmenoval podle Abraham Wald ) hodnotí omezení na statistické parametry na základě vážené vzdálenosti mezi neomezený odhad a jeho předpokládaná hodnota pod nulová hypotéza, kde váha je přesnost odhadu.^[1][2] Čím větší je tato vážená vzdálenost, tím méně je pravděpodobné, že omezení platí. Zatímco distribuce konečných vzorků Waldovy testy jsou obecně neznámé,^[3] má asymptotické χ²-rozdělení podle nulové hypotézy skutečnost, kterou lze použít k určení statistická významnost.^[4]

Spolu s Lagrangeův multiplikátor a test poměru pravděpodobnosti, Waldův test je jedním ze tří klasických přístupů k testování hypotéz. Výhodou Waldova testu oproti ostatním dvěma je, že vyžaduje pouze odhad neomezeného modelu, který snižuje výpočetní zátěž ve srovnání s testem pravděpodobnosti. Hlavní nevýhodou však je, že (v konečných vzorcích) není invariantní ke změnám v reprezentaci nulové hypotézy; jinými slovy algebraicky ekvivalentní výrazy nelineárního omezení parametrů může vést k různým hodnotám statistiky testu.^[5][6] Je to proto, že Waldova statistika je odvozena z a Taylorova expanze,^[7] a různé způsoby psaní ekvivalentních nelineárních výrazů vedou k netriviálním rozdílům v odpovídajících Taylorových koeficientech.^[8] Další aberace, známá jako Hauck-Donnerův efekt, se může objevit v binomické modely když je odhadovaný (neomezený) parametr blízko k hranice z prostor parametrů - například přizpůsobená pravděpodobnost je extrémně blízká nule nebo jedné - což má za následek, že Waldův test již nebude monotónně roste ve vzdálenosti mezi neomezeným a omezujícím parametrem.^[9][10]

Matematické detaily

Podle Waldova testu odhad ${ displaystyle { hat { theta}}}$ který byl nalezen jako maximalizující argument neomezeného funkce pravděpodobnosti je porovnána s předpokládanou hodnotou ${ displaystyle theta _ {0}}$. Zejména hranatý rozdíl ${ displaystyle { hat { theta}} - theta _ {0}}$ je váženo zakřivením funkce logaritmické pravděpodobnosti.

Vyzkoušejte jeden parametr

Pokud hypotéza zahrnuje pouze omezení jednoho parametru, má Waldova statistika následující podobu:

${ displaystyle W = { frac {({ widehat { theta}} - theta _ {0}) ^ {2}} { operatorname {var} ({ hat { theta}})}}}$

který podle nulové hypotézy následuje po asymptotickém χ²-distribuce s jedním stupněm svobody. Druhou odmocninu Waldovy statistiky s jedním omezením lze chápat jako (pseudo) t-poměr to však ve skutečnosti není t-distribuováno s výjimkou zvláštního případu lineární regrese s normálně distribuováno chyby.^[11] Obecně jde o asymptotiku z rozdělení.^[12]

${ displaystyle { sqrt {W}} = { frac {{ widehat { theta}} - theta _ {0}} { operatorname {se} ({ hat { theta}})}}}$

kde ${ displaystyle operatorname {se} ({ widehat { theta}})}$ je standardní chyba odhadu maximální věrohodnosti (MLE), druhá odmocnina rozptylu. Existuje několik způsobů, jak důsledně odhadovat the varianční matice což v konečných vzorcích vede k alternativním odhadům standardních chyb a souvisejícím statistikám testů a str-hodnoty.^[13]

Test (y) na více parametrech

Waldův test lze použít k testování jedné hypotézy o více parametrech, stejně jako k testování společného více hypotéz u jednoho / více parametrů. Nechat ${ displaystyle { hat { theta}} _ {n}}$ být naším odhadcem vzorků P parametrů (tj. ${ displaystyle { hat { theta}} _ {n}}$ je P. ${ displaystyle times}$ 1 vektor), který má asymptoticky sledovat normální rozdělení s kovarianční matice PROTI, ${ displaystyle { sqrt {n}} ({ hat { theta}} _ {n} - theta) { xrightarrow { mathcal {D}}} N (0, V)}$Test Q hypotéz na P parametrech je vyjádřen Q ${ displaystyle times}$ P matice R:

${ displaystyle H_ {0}: R theta = r}$

${ displaystyle H_ {1}: R theta neq r}$

Statistika testu je:

${ displaystyle (R { hat { theta}} _ {n} -r) ^ {'} [R ({ hat {V}} _ {n} / n) R ^ {'}] ^ {- 1} (R { hat { theta}} _ {n} -r) quad { xrightarrow { mathcal {D}}} quad chi _ {Q} ^ {2}}$

kde ${ displaystyle { hat {V}} _ {n}}$ je odhad kovarianční matice.^[14]

Nelineární hypotéza

Ve standardní formě se Waldův test používá k testování lineárních hypotéz, které mohou být reprezentovány jedinou maticí R. Pokud si přejete otestovat nelineární hypotézu formy:

${ displaystyle H_ {0}: c ( theta) = 0}$

${ displaystyle H_ {1}: c ( theta) neq 0}$

Statistika testu se stává:

${ displaystyle c left ({ hat { theta}} _ {n} right) ' left [c' left ({ hat { theta}} _ {n} right) left ({ hat {V}} _ {n} / n right) c ' left ({ hat { theta}} _ {n} right)' right] ^ {- 1} c left ({ klobouk { theta}} _ {n} doprava) quad { xrightarrow { mathcal {D}}} quad chi _ {Q} ^ {2}}$

kde ${ displaystyle c '({ hat { theta}} _ {n})}$ je derivát c hodnoceno odhadcem vzorku. Tento výsledek se získá pomocí delta metoda, který používá aproximaci rozptylu prvního řádu.

Ne invariance k opětovným parametrizacím

Skutečnost, že se používá aproximace rozptylu, má tu nevýhodu, že Waldova statistika není invariantní k nelineární transformaci / reparametrizaci hypotézy: může poskytnout různé odpovědi na stejnou otázku v závislosti na tom, jak je otázka formulována .^[15][5] Například dotaz, zda R = 1 je to samé jako ptát se, zda logR = 0; ale Waldova statistika pro R = 1 není totéž jako Waldova statistika pro logR = 0 (protože obecně neexistuje čistý vztah mezi standardními chybami R a přihlaste seR, takže je třeba jej aproximovat).^[16]

Alternativy k Waldovu testu

K Waldovu testu existuje několik alternativ, jmenovitě test poměru pravděpodobnosti a Lagrangeův multiplikátorový test (také známý jako bodový test). Robert F. Engle ukázaly, že tyto tři testy, Waldův test, test poměru pravděpodobnosti a Lagrangeův multiplikátorový test jsou asymptoticky ekvivalentní.^[17] I když jsou asymptoticky ekvivalentní, v konečných vzorcích by mohli nesouhlasit natolik, aby vedly k odlišným závěrům.

Existuje několik důvodů, proč upřednostnit test poměru pravděpodobnosti nebo Lagrangeův multiplikátor před Waldovým testem:^[18][19][20]

• Neinvariance: Jak již bylo uvedeno výše, Waldův test není neměnný vůči reparametrizaci, zatímco testy poměru pravděpodobnosti dají přesně stejnou odpověď, ať už pracujeme s R, logR nebo jakýkoli jiný monotóní transformaceR.^[5]
• Druhým důvodem je, že Waldův test používá dvě aproximace (že známe standardní chybu a že distribuce je χ² ), zatímco test poměru pravděpodobnosti používá jednu aproximaci (že rozdělení je χ.)²).^{[Citace je zapotřebí ]}
• Waldův test vyžaduje odhad podle alternativní hypotézy odpovídající „úplnému“ modelu. V některých případech je model při nulové hypotéze jednodušší, takže je možné použít přednostně bodový test (nazývaný také Lagrangeův multiplikační test), který má tu výhodu, že jej lze formulovat v situacích, kdy je obtížné odhadnout variabilitu; např. the Cochran – Mantel – Haenzelův test je bodový test.^[21]

Viz také

• Chowův test
• Test posloupnosti pravděpodobnosti
• Sup-Waldův test
• Studentské t-test
• Welch t-test

Reference

Další čtení

• Greene, William H. (2012). Ekonometrická analýza (Sedmé mezinárodní vydání). Boston: Pearson. str.155 –161. ISBN  978-0-273-75356-8.
• Kmenta, Jan (1986). Prvky ekonometrie (Druhé vydání.). New York: Macmillan. str.492–493. ISBN  0-02-365070-2.
• Thomas, R. L. (1993). Úvodní ekonometrie: Teorie a aplikace (Druhé vydání.). London: Longman. str. 73–77. ISBN  0-582-07378-2.

externí odkazy

• Waldův test na Nejdříve známá použití některých slov matematiky