Rozsah (statistika) - Range (statistics)

v statistika, rozsah množiny dat je rozdíl mezi největší a nejmenší hodnotou. Může vám poskytnout přibližnou představu o tom, jaký bude výsledek souboru dat, než se na něj skutečně podíváte ^[1]Rozdíl je zde konkrétní, rozsah množiny dat je výsledkem odečtení nejmenší hodnota z největší hodnota.

Nicméně, v deskriptivní statistika, tento koncept rozsahu má složitější význam. Rozsah je velikost nejmenšího interval (statistika) který obsahuje všechna data a poskytuje údaj o statistická disperze. Měří se ve stejných jednotkách jako data. Protože to záleží jen na dvou pozorováních, je to nejužitečnější při reprezentaci rozptylu malých datových souborů.^[2] Rozsah se stane nejnižším a nejvyšším číslem odečteným

Pro spojité IID náhodné proměnné

Pro n nezávislé a identicky distribuované spojité náhodné proměnné X₁, X₂, ..., X_n s kumulativní distribuční funkce G(X) a funkce hustoty pravděpodobnosti G(X). Nechť T označuje rozsah vzorku velikosti n z populace s distribuční funkcí G(X).

Rozdělení

Rozsah má kumulativní distribuční funkci^[3][4]

${displaystyle F (t) = nint _ {- infty} ^ {infty} g (x) [G (x + t) -G (x)] ^ {n-1}, {ext {d}} x.}$

Gumbel konstatuje, že „krása tohoto vzorce je zcela poznamenána skutečnostmi, které obecně nemůžeme vyjádřit G(X + t) od G(X) a že numerická integrace je zdlouhavá a únavná. “^[3]:385

Pokud je rozdělení každého X_i je omezeno vpravo (nebo vlevo), pak se asymptotické rozdělení rozsahu rovná asymptotickému rozdělení největší (nejmenší) hodnoty. U obecnějších distribucí lze asymptotickou distribuci vyjádřit jako a Besselova funkce.^[3]

Okamžiky

Střední rozsah je dán vztahem^[5]

${displaystyle nint _ {0} ^ {1} x (G) [G ^ {n-1} - (1-G) ^ {n-1}], {ext {d}} G}$

kde X(G) je inverzní funkce. V případě, že každý z X_i má standardní normální rozdělení, střední rozsah je dán vztahem^[6]

${displaystyle int _ {- infty} ^ {infty} (1- (1-Phi (x)) ^ {n} -Phi (x) ^ {n}), {ext {d}} x.}$

Pro spojité jiné než IID náhodné proměnné

Pro n neidenticky distribuované nezávislé spojité náhodné proměnné X₁, X₂, ..., X_n s kumulativními distribučními funkcemi G₁(X), G₂(X), ..., G_n(X) a funkce hustoty pravděpodobnosti G₁(X), G₂(X), ..., G_n(X), rozsah má kumulativní distribuční funkci ^[4]

${displaystyle F (t) = součet _ {i = 1} ^ {n} int _ {- infty} ^ {infty} g_ {i} (x) prod _ {j = 1, jeq i} ^ {n} [ G_ {j} (x + t) -G_ {j} (x)], {ext {d}} x.}$

Pro diskrétní IID náhodné proměnné

Pro n nezávislé a identicky distribuované diskrétní náhodné proměnné X₁, X₂, ..., X_n s kumulativní distribuční funkce G(X) a funkce pravděpodobnostní hmotnosti G(X) rozsah X_i je rozsah vzorku velikosti n z populace s distribuční funkcí G(X). Můžeme předpokládat bez ztráty obecnosti že Podpěra, podpora každého X_i je {1,2,3, ...,N} kde N je kladné celé číslo nebo nekonečno.^[7][8]

Rozdělení

Rozsah má funkci pravděpodobnostní hmotnosti^[7][9][10]

${displaystyle f (t) = {egin {cases} suma _ {x = 1} ^ {N} [g (x)] ^ {n} & t = 0 [6pt] součet _ {x = 1} ^ {Nt } vlevo ({egin {alignedat} {2} & [G (x + t) -G (x-1)] ^ {n} {} - {} & [G (x + t) -G (x) ] ^ {n} {} - {} & [G (x + t-1) -G (x-1)] ^ {n} {} + {} & [G (x + t-1) - G (x)] ^ {n} end {alignedat}} ight) & t = 1,2,3ldots, N-1.end {cases}}}$

Příklad

Pokud to předpokládáme G(X) = 1/N, diskrétní rovnoměrné rozdělení pro všechny X, pak najdeme^[9][11]

${displaystyle f (t) = {egin {cases} {frac {1} {N ^ {n-1}}} & t = 0 [4pt] součet _ {x = 1} ^ {Nt} vlevo (vlevo [{ frac {t + 1} {N}} vpravo] ^ {n} -2 vlevo [{frac {t} {N}} vpravo] ^ {n} + vlevo [{frac {t-1} {N}} vpravo] ^ {n} ight) & t = 1,2,3ldots, N-1.end {cases}}}$

Derivace

Pravděpodobnost, že budete mít konkrétní hodnotu rozsahu, t, lze určit sečtením pravděpodobností, že se dva vzorky budou lišit o ta každý další vzorek s hodnotou mezi dvěma extrémy. Pravděpodobnost, že jeden vzorek bude mít hodnotu X je ${displaystyle ng (x)}$. Pravděpodobnost, že jiný bude mít hodnotu t větší než X je:

${displaystyle (n-1) g (x + t).}$

Pravděpodobnost všech ostatních hodnot ležících mezi těmito dvěma extrémy je:

${displaystyle left (int _ {x} ^ {x + t} g (x), {ext {d}} xight) ^ {n-2} = left (G (x + t) -G (x) ight) ^ {n-2}.}$

Kombinace těchto tří výnosů:

${displaystyle f (t) = n (n-1) int _ {- infty} ^ {infty} g (x) g (x + t) [G (x + t) -G (x)] ^ {n- 2}, {ext {d}} x}$

Související množství

Rozsah je jednoduchá funkce vzorek maximální a minimální a to jsou konkrétní příklady statistika objednávek. Rozsah je zejména lineární funkcí statistiky objednávek, což ji vnáší do rozsahu L-odhad.

Viz také

• Rozsah interkvartilní
• Studentizovaný rozsah

Reference