Jarque – Bera test - Jarque–Bera test

v statistika, Jarque – Bera test je dobrota test, zda vzorová data mají šikmost a špičatost odpovídající a normální distribuce. Název testu je Carlos Jarque a Anil K. Bera Statistika testu je vždy nezáporná. Pokud je daleko od nuly, signalizuje to, že data nemají normální rozdělení.

The statistika testu JB je definován jako

${ displaystyle { mathit {JB}} = { frac {n} {6}} vlevo (S ^ {2} + { frac {1} {4}} (K-3) ^ {2} že jo)}$

kde n je počet pozorování (nebo obecně stupně volnosti); S je vzorek šikmost, K je vzorek špičatost  :

${ displaystyle S = { frac {{ hat { mu}} _ {3}} {{ hat { sigma}} ^ {3}}} = { frac {{ frac {1} {n }} sum _ {i = 1} ^ {n} (x_ {i} - { bar {x}}) ^ {3}} { left ({ frac {1} {n}} sum _ {i = 1} ^ {n} (x_ {i} - { bar {x}}) ^ {2} right) ^ {3/2}}},}$

${ displaystyle K = { frac {{ hat { mu}} _ {4}} {{ hat { sigma}} ^ {4}}} = { frac {{ frac {1} {n }} sum _ {i = 1} ^ {n} (x_ {i} - { bar {x}}) ^ {4}} { left ({ frac {1} {n}} sum _ {i = 1} ^ {n} (x_ {i} - { bar {x}}) ^ {2} vpravo) ^ {2}}},}$

kde ${ displaystyle { hat { mu}} _ {3}}$ a ${ displaystyle { hat { mu}} _ {4}}$ jsou odhady třetí a čtvrté ústřední momenty, respektive ${ displaystyle { bar {x}}}$ je vzorek znamenat, a${ displaystyle { hat { sigma}} ^ {2}}$ je odhad druhého centrálního momentu, rozptyl.

Pokud data pocházejí z normální distribuce, JB statistický asymptoticky má distribuce chí-kvadrát se dvěma stupně svobody, takže statistiku lze použít test hypotéza, že data jsou z a normální distribuce. The nulová hypotéza je společná hypotéza nulové šikmosti a nadměrná špičatost být nula. Vzorky z normálního rozdělení mají očekávanou šikmost 0 a očekávanou nadměrnou špičatost 0 (což je stejné jako špičatost 3). Jako definice JB ukazuje, jakákoli odchylka od toho zvyšuje statistiku JB.

U malých vzorků je chí-kvadrátová aproximace příliš citlivá a často odmítá nulovou hypotézu, pokud je pravdivá. Dále distribuce str-hodnoty odjíždí z a rovnoměrné rozdělení a stává se šikmo doprava unimodální distribuce, zejména pro malé str-hodnoty. To vede k velkému Chyba typu I. hodnotit. Tabulka níže ukazuje některé str-hodnoty aproximované distribucí chí-kvadrát, které se liší od jejich skutečných hladin alfa u malých vzorků.

Vypočítáno str-hodnoty ekvivalentů skutečné úrovně alfa při daných velikostech vzorku

Skutečná úroveň α	20	30	50	70	100
0.1	0.307	0.252	0.201	0.183	0.1560
0.05	0.1461	0.109	0.079	0.067	0.062
0.025	0.051	0.0303	0.020	0.016	0.0168
0.01	0.0064	0.0033	0.0015	0.0012	0.002

(Tyto hodnoty byly aproximovány pomocí Simulace Monte Carlo v Matlab )

v MATLAB Implementace chí-kvadrát pro distribuci statistiky JB se používá pouze pro velké velikosti vzorků (> 2000). U menších vzorků používá tabulku odvozenou z Simulace Monte Carlo za účelem interpolace str-hodnoty.^[1]

Dějiny

Statistiku odvodili Carlos M. Jarque a Anil K. Bera při práci na svém Ph.D. Diplomová práce na Australian National University.

Jarque – Bera test v regresní analýze

Podle Roberta Halla, Davida Liliena a kol. (1995) při použití tohoto testu spolu s vícenásobnou regresní analýzou je správný odhad:

${ displaystyle { mathit {JB}} = { frac {nk} {6}} vlevo (S ^ {2} + { frac {1} {4}} (K-3) ^ {2} že jo)}$

kde n je počet pozorování a k je počet regresorů při zkoumání zbytků rovnice.

Implementace

• ALGLIB zahrnuje implementaci testu Jarque – Bera v C ++, C #, Delphi, Visual Basic atd.
• gretl zahrnuje implementaci testu Jarque – Bera
• Julie zahrnuje implementaci testu Jarque-Bera JarqueBeraTest v Testy hypotéz balík.^[2]
• MATLAB zahrnuje implementaci testu Jarque – Bera, funkci „jbtest“.
• Krajta statsmodels zahrnuje implementaci testu Jarque – Bera „statsmodels.stats.stattools.py“.
• R zahrnuje implementace testu Jarque – Bera: jarque.bera.test v balíčku řady,^[3] například a jarque.test v balíčku momenty.^[4]
• Wolfram zahrnuje vestavěnou funkci nazvanou JarqueBeraALMTest^[5] a neomezuje se pouze na testování proti Gaussově distribuci.

Reference

Další čtení

• Jarque, Carlos M.; Bera, Anil K. (1980). "Efektivní testy normality, homoscedasticity a sériové nezávislosti regresních reziduí". Ekonomické dopisy. 6 (3): 255–259. doi:10.1016/0165-1765(80)90024-5.
• Jarque, Carlos M.; Bera, Anil K. (1981). „Efektivní testy normality, homoscedasticity a sériové nezávislosti regresních reziduí: důkazy Monte Carlo“. Ekonomické dopisy. 7 (4): 313–318. doi:10.1016/0165-1765(81)90035-5.
• Jarque, Carlos M.; Bera, Anil K. (1987). "Test normality pozorování a regresních reziduí". Mezinárodní statistický přehled. 55 (2): 163–172. JSTOR  1403192.
• Soudce; et al. (1988). Úvod a teorie a praxe ekonometrie (3. vyd.). 890–892.
• Hall, Robert E .; Lilien, David M .; et al. (1995). Uživatelská příručka EViews. p. 141.