Graf Q – Q - Q–Q plot - Wikipedia

Normální graf Q – Q náhodně generovaného nezávislého standardu exponenciální data, (X ~ Exp (1)). Tento graf Q – Q porovnává a vzorek z data na svislé ose do a statistická populace na vodorovné ose. Body sledují silně nelineární vzorec, což naznačuje, že data nejsou distribuována jako standardní normální (X ~ N (0,1)). Posun mezi přímkou ​​a body naznačuje, že střední hodnota dat není 0. Medián bodů lze určit tak, aby byl blízký 0,7

Normální graf Q – Q porovnávající náhodně generovaná nezávislá standardní normální data na svislé ose se standardní normální populací na vodorovné ose. Linearita bodů naznačuje, že data jsou normálně distribuována.

Graf Q – Q vzorku dat versus a Weibullova distribuce. Decily distribucí jsou zobrazeny červeně. Na nejvyšším konci rozsahu jsou patrné tři odlehlé hodnoty. Jinak se data dobře hodí k modelu Weibull (1,2).

Graf Q – Q porovnávající distribuce standardizováno denní maximální teploty na 25 stanicích v americkém státě Ohio v březnu a v červenci. Zakřivený vzor naznačuje, že centrální kvantily jsou v červenci více rozmístěny než v březnu a že červencová distribuce je zkosený doleva ve srovnání s březnovou distribucí. Údaje pokrývají období 1893–2001.

Ve statistikách a Graf Q – Q (kvantil-kvantil) je pravděpodobnostní spiknutí, což je a grafická metoda pro porovnání dvou rozdělení pravděpodobnosti vykreslením jejich kvantily proti sobě.^[1] Nejprve je vybrána sada intervalů pro kvantily. Bod (X, y) na grafu odpovídá jednomu z kvantilů druhého rozdělení (y-coordinate) vyneseno proti stejnému kvantilu první distribuce (X-koordinovat). Čára je tedy parametrická křivka s parametrem, kterým je číslo intervalu pro kvantil.

Pokud jsou dvě srovnávaná rozdělení podobná, budou body v grafu Q – Q přibližně ležet na přímce y = X. Pokud jsou distribuce lineárně příbuzné, budou body v grafu Q – Q přibližně ležet na přímce, ale ne nutně na přímce y = X. Grafy Q – Q lze také použít jako grafický prostředek pro odhad parametrů v a rodina v měřítku polohy distribucí.

K porovnání tvarů distribucí se používá graf Q – Q, který poskytuje grafický pohled na to, jak jsou vlastnosti jako umístění, měřítko, a šikmost jsou podobné nebo odlišné ve dvou distribucích. Grafy Q – Q lze použít k porovnání sbírek dat, nebo teoretická rozdělení. Použití grafů Q – Q k porovnání dvou vzorků dat lze považovat za a neparametrické přístup k porovnání jejich podkladových distribucí. Děj Q – Q je obecně výkonnější přístup k tomu, než běžná technika porovnávání histogramy ze dvou vzorků, ale vyžaduje více dovedností k interpretaci. Grafy Q – Q se běžně používají k porovnání datové sady s teoretickým modelem.^[2][3] To může poskytnout hodnocení „dobré shody“, které je grafické, spíše než redukcí na číselné shrnutí. Grafy Q – Q se také používají k porovnání dvou teoretických distribucí navzájem.^[4] Protože grafy Q – Q porovnávají distribuce, není třeba, aby byly hodnoty sledovány jako páry, jako v a bodový diagram, nebo dokonce pro stejný počet hodnot ve dvou srovnávaných skupinách.

Termín „graf pravděpodobnosti“ někdy odkazuje konkrétně na graf Q – Q, někdy na obecnější třídu grafů a někdy na méně běžně používaný P – P děj. The pravděpodobnostní graf korelační koeficient graf (PPCC plot) je veličina odvozená z myšlenky grafů Q – Q, která měří shodu přizpůsobené distribuce s pozorovanými daty a která se někdy používá jako prostředek přizpůsobení distribuce datům.

Definice a konstrukce

Graf Q – Q pro první otevření / konečné datum uzavření Washington State Route 20, oproti normálnímu rozdělení.^[5] Odlehlé hodnoty jsou viditelné v pravém horním rohu.

A Graf Q – Q je graf kvantilů dvou distribucí proti sobě nebo graf založený na odhadech kvantilů. Vzor bodů v grafu se používá k porovnání obou distribucí.

Hlavním krokem při konstrukci grafu Q – Q je výpočet nebo odhad kvantilů, které mají být vyneseny. Pokud je jedna nebo obě osy v grafu Q – Q založeny na teoretickém rozdělení s kontinuem kumulativní distribuční funkce (CDF), všechny kvantily jsou jednoznačně definovány a lze je získat převrácením CDF. Pokud je teoretické rozdělení pravděpodobnosti s diskontinuální CDF jednou ze dvou porovnávaných distribucí, některé kvantily nemusí být definovány, takže může být vynesen interpolovaný kvantil. Pokud je Q – Q graf založen na datech, používá se několik kvantilových odhadů. Pravidla pro vytváření grafů Q – Q, kdy musí být kvantily odhadnuty nebo interpolovány, jsou volána vykreslování pozic.

Jednoduchým případem je situace, kdy jeden má dvě datové sady stejné velikosti. V takovém případě k vytvoření grafu Q – Q pořadí každé sady v rostoucím pořadí, poté se páruje a vykreslí odpovídající hodnoty. Složitější konstrukcí je případ, kdy se porovnávají dva soubory dat různých velikostí. Pro konstrukci grafu Q – Q je v tomto případě nutné použít znak interpolované kvantilový odhad tak, aby bylo možné sestrojit kvantily odpovídající stejné základní pravděpodobnosti.

Abstraktněji^[4] dané dvě kumulativní funkce rozdělení pravděpodobnosti F a G, s přidruženými kvantilové funkce F⁻¹ a G⁻¹ (inverzní funkce CDF je kvantilová funkce), graf Q – Q nakreslí q-th kvantil F proti q-th kvantil G pro rozsah hodnot q. Graf Q – Q je tedy a parametrická křivka indexováno nad [0,1] s hodnotami ve skutečné rovině R².

Výklad

Body vykreslené v grafu Q – Q se při pohledu zleva doprava vždy neklesají. Pokud jsou dvě srovnávaná rozdělení stejná, sleduje Q – Q čára 45 ° y = X. Pokud se obě distribuce shodnou po lineární transformaci hodnot v jedné z distribucí, pak graf Q – Q sleduje nějakou linii, ale ne nutně linii y = X. Pokud je obecný trend grafu Q – Q plošší než čára y = X, rozdělení vynesené na vodorovné ose je více rozptýlené než distribuce vynesená na svislé ose. Naopak, pokud je obecný trend grafu Q – Q strmější než přímka y = X, distribuce vynesená na svislé ose je více rozptýlené než distribuce vynesená na vodorovné ose. Grafy Q – Q jsou často obloukovité nebo ve tvaru písmene „S“, což naznačuje, že jedna z distribucí je více zkosená než druhá, nebo že jedna z distribucí má těžší ocasy než druhá.

Přestože je Q – Q graf založen na kvantilech, ve standardním Q – Q grafu není možné určit, který bod v grafu Q – Q určuje daný kvantil. Například není možné určit medián ani jedné ze dvou distribucí, které se porovnávají, inspekcí grafu Q – Q. Některé grafy Q – Q označují decil, aby bylo možné provádět takovéto stanovení.

Intercept a sklon lineární regrese mezi kvantily poskytuje měřítko relativního umístění a relativního měřítka vzorků. Pokud je medián distribuce vynesený na vodorovné ose 0, je průsečík regresní přímky měřítkem polohy a sklon je měřítkem měřítka. Vzdálenost mezi mediány je dalším měřítkem relativního umístění, které se odráží v grafu Q – Q. „korelační koeficient pravděpodobnosti "(PPCC plot) je korelační koeficient mezi spárovanými kvantily vzorku. Čím blíže je korelační koeficient k jedné, tím blíže jsou distribuce k tomu, aby se navzájem posunuly v zmenšené verzi. U distribucí s jediným parametrem tvaru poskytuje graf pravděpodobnostního korelačního koeficientu grafu metodu pro odhad parametru tvaru - jeden jednoduše vypočítá korelační koeficient pro různé hodnoty parametru tvaru a použije ten, který nejlépe vyhovuje, jako by jeden porovnávali distribuce různých typů.

Dalším běžným používáním grafů Q – Q je porovnání distribuce vzorku s teoretickým rozdělením, jako je standard normální distribuce N(0,1), jako v a normální pravděpodobnostní graf. Stejně jako v případě porovnávání dvou vzorků dat si jeden objedná data (formálně vypočítá statistiku objednávky) a poté je zakreslí proti určitým kvantilům teoretického rozdělení.^[3]

Pozice vykreslování

Výběr kvantilů z teoretického rozdělení může záviset na kontextu a účelu. Jedna volba, daný vzorek velikosti n, je k / n pro k = 1, …, n, jelikož se jedná o kvantily, které si distribuce vzorkování uvědomuje. Poslední z nich, n / n, odpovídá 100. percentilu - maximální hodnotě teoretického rozdělení, která je někdy nekonečná. Další možností je použití (k − 0.5) / n, nebo místo toho rovnoměrně rozmístit body v jednotném rozdělení pomocí k / (n + 1).^[6]

Bylo navrženo mnoho dalších možností, formálních i heuristických, založených na teorii nebo simulacích relevantních v kontextu. Následující podkapitoly pojednávají o některých z nich. Užší otázkou je volba maxima (odhad populačního maxima), známého jako Problém německého tanku, pro které existují podobná řešení „maxima vzorku plus mezera“, nejjednodušší m + m/n - 1. Formálnější uplatnění této uniformizace mezer se vyskytuje v roce odhad maximální vzdálenosti parametrů.

Očekávaná hodnota statistiky objednávky pro rovnoměrné rozdělení

The k / (n + 1) přístup se rovná vykreslování bodů podle pravděpodobnosti, že poslední z (n + 1) náhodně nakreslené hodnoty nepřesáhnou k- nejmenší z prvních n náhodně nakreslené hodnoty.^[7][8]

Očekávaná hodnota statistiky objednávky pro standardní normální rozdělení

Při použití a normální pravděpodobnostní graf, kvantily, které jeden používá, jsou hodnosti, kvantil očekávané hodnoty řádové statistiky standardního normálního rozdělení.

Obecněji, Shapiro – Wilkův test používá očekávané hodnoty statistik objednávek dané distribuce; výsledný graf a čára poskytuje zobecněné nejmenší čtverce odhad umístění a rozsahu (z zachytit a sklon namontované linky).^[9]I když to není pro normální rozdělení příliš důležité (umístění a měřítko se odhaduje průměrem a směrodatnou odchylkou), může to být užitečné pro mnoho dalších rozdělení.

To však vyžaduje výpočet očekávaných hodnot statistiky objednávky, což může být obtížné, pokud rozdělení není normální.

Medián statistik objednávky

Alternativně lze použít odhady medián statistik objednávek, které lze vypočítat na základě odhadů mediánu statistik objednávek rovnoměrného rozdělení a kvantilové funkce rozdělení; toto navrhl (Filliben 1975 ).^[9]

To lze snadno vygenerovat pro jakoukoli distribuci, pro kterou lze vypočítat kvantilovou funkci, ale naopak výsledné odhady polohy a měřítka již nejsou přesně odhady nejmenších čtverců, i když se tyto významně liší pouze pro n malý.

Heuristika

Bylo použito nebo navrženo několik různých vzorců jako afinní symetrický vykreslování pozic. Takové vzorce mají formu (k − A) / (n + 1 − 2A) pro určitou hodnotu A v rozsahu od 0 do 1, což dává rozmezí mezi k / (n + 1) a (k − 1) / (n - 1).

Výrazy zahrnují:

• k / (n + 1)
• (k − 0.3) / (n + 0.4).^[10]
• (k − 0.3175) / (n + 0.365).^{[11][poznámka 1]}
• (k − 0.326) / (n + 0.348).^[12]
• (k − ⅓) / (n + ⅓).^{[poznámka 2]}
• (k − 0.375) / (n + 0.25).^{[Poznámka 3]}
• (k − 0.4) / (n + 0.2).^[13]
• (k − 0.44) / (n + 0.12).^{[poznámka 4]}
• (k − 0.5) / (n).^[14]
• (k − 0.567) / (n − 0.134).^[15]
• (k − 1) / (n − 1).^{[poznámka 5]}

Pro velkou velikost vzorku n, je mezi těmito různými výrazy malý rozdíl.

Fillibenův odhad

Statistické mediány řádu jsou mediány indexu statistika objednávek distribuce. Ty lze vyjádřit pomocí kvantilové funkce a objednat statistické mediány pro kontinuální rovnoměrné rozdělení podle:

${ displaystyle N (i) = G (U (i))}$

kde U(i) jsou mediánové statistiky statistik jednotného řádu a G je kvantilová funkce pro požadované rozdělení. Kvantilní funkce je inverzní k kumulativní distribuční funkce (pravděpodobnost, že X je menší nebo rovno nějaké hodnotě). To znamená, že vzhledem k pravděpodobnosti chceme odpovídající kvantil kumulativní distribuční funkce.

James J. Filliben (Filliben 1975 ) používá následující odhady pro statistické mediány jednotného řádu:

${ displaystyle m (i) = { začátek {případů} 1-0,5 ^ {1 / n} & i = 1 { dfrac {i-0,3175} {n + 0,365}} & i = 2,3, ldots, n-1 0,5 ^ {1 / n} & i = n. end {cases}}}$

Důvodem pro tento odhad je, že statistické mediány řádu nemají jednoduchou formu.

Viz také

• Probit analýzu vyvinul Chester Ittner Bliss v roce 1934.

Poznámky

Reference

Citace

Zdroje

externí odkazy

• Pravděpodobnostní spiknutí
• Alternativní popis QQ-Plot: http://www.stats.gla.ac.uk/steps/glossary/probability_distribution.html#qqplot