Normalizační konstanta - Normalizing constant

Tento článek je hlavní část není adekvátně shrnout klíčové body jeho obsahu. Zvažte prosím rozšíření potenciálního zákazníka na poskytnout přístupný přehled všech důležitých aspektů článku. (Březen 2014)

Koncept a normalizační konstanta vzniká v teorie pravděpodobnosti a řadu dalších oblastí matematika. Normalizační konstanta se používá ke snížení jakékoli funkce pravděpodobnosti na funkci hustoty pravděpodobnosti s celkovou pravděpodobností jedné.

Definice

v teorie pravděpodobnosti, a normalizační konstanta je konstanta, kterou musí být všude nezáporná funkce vynásobena, takže plocha pod jejím grafem je 1, např. aby byla funkce hustoty pravděpodobnosti nebo a funkce pravděpodobnostní hmotnosti.^[1][2]

Příklady

Pokud začneme od jednoduchého Gaussova funkce

${ displaystyle p (x) = e ^ {- x ^ {2} / 2}, x in (- infty, infty)}$

máme odpovídající Gaussův integrál

${ displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} p (x) , dx = int _ {- infty} ^ { infty} e ^ {- x ^ {2} / 2} , dx = { sqrt {2 pi ,}},}$

Pokud použijeme to druhé vzájemná hodnota jako normalizační konstanta pro první, definující funkci ${ displaystyle varphi (x)}$ tak jako

${ displaystyle varphi (x) = { frac {1} { sqrt {2 pi ,}}} p (x) = { frac {1} { sqrt {2 pi ,}}} e ^ {- x ^ {2} / 2}}$

takže to je integrální je jednotka

${ displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} varphi (x) , dx = int _ {- infty} ^ { infty} { frac {1} { sqrt {2 pi ,}}} e ^ {- x ^ {2} / 2} , dx = 1}$

pak funkce ${ displaystyle varphi (x)}$ je funkce hustoty pravděpodobnosti.^[3] Toto je hustota standardu normální distribuce. (Standard, v tomto případě znamená očekávaná hodnota je 0 a rozptyl je 1.)

A konstantní ${ displaystyle { frac {1} { sqrt {2 pi ,}}}}$ je normalizační konstanta funkce ${ displaystyle p (x)}$.

Podobně,

${ displaystyle sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac { lambda ^ {n}} {n!}} = e ^ { lambda},}$

a následně

${ displaystyle f (n) = { frac { lambda ^ {n} e ^ {- lambda}} {n!}}}$

je funkce pravděpodobnostní hmotnosti na množině všech nezáporných celých čísel.^[4] Toto je funkce pravděpodobnostní hmotnosti Poissonovo rozdělení s očekávanou hodnotou λ.

Všimněte si, že pokud je funkce hustoty pravděpodobnosti funkcí různých parametrů, bude také její normalizační konstanta. Parametrizovaná normalizační konstanta pro Boltzmannova distribuce hraje ústřední roli v statistická mechanika. V této souvislosti se normalizační konstanta nazývá funkce oddílu.

Bayesova věta

Bayesova věta říká, že míra zadní pravděpodobnosti je úměrná součinu předchozího míra pravděpodobnosti a funkce pravděpodobnosti. Úměrný znamená, že k přiřazení míry 1 k celému prostoru, tj. k získání míry pravděpodobnosti, se musí množit nebo dělit normalizační konstantou. V jednoduchém samostatném případě to máme

${ displaystyle P (H_ {0} | D) = { frac {P (D | H_ {0}) P (H_ {0})} {P (D)}}}$

kde P (H₀) je předchozí pravděpodobnost, že hypotéza je pravdivá; P (D | H₀) je podmíněná pravděpodobnost vzhledem k tomu, že hypotéza je pravdivá, ale vzhledem k tomu, že údaje jsou známy, je to pravděpodobnost hypotézy (nebo jejích parametrů) dané údaje; P (H₀| D) je zadní pravděpodobnost, že hypotéza je vzhledem k údajům pravdivá. P (D) by měla být pravděpodobnost produkce dat, ale sama o sobě je obtížné ji vypočítat, takže alternativní způsob, jak popsat tento vztah, je poměrný:

${ displaystyle P (H_ {0} | D) propto P (D | H_ {0}) P (H_ {0}).}$

Jelikož P (H | D) je pravděpodobnost, součet všech možných (vzájemně se vylučujících) hypotéz by měl být 1, což vede k závěru, že

${ displaystyle P (H_ {0} | D) = { frac {P (D | H_ {0}) P (H_ {0})} { displaystyle sum _ {i} P (D | H_ {i }) P (H_ {i})}}.}$

V tomto případě reciproční hodnoty

${ displaystyle P (D) = součet _ {i} P (D | H_ {i}) P (H_ {i}) ;}$

je normalizační konstanta.^[5] Lze ji rozšířit z nespočetně mnoha hypotéz na nespočetně mnoho nahrazením součtu integrálem.

Nepravděpodobnostní použití

The Legendární polynomy jsou charakterizovány ortogonalita s ohledem na jednotnou míru na intervalu [- 1, 1] a na skutečnost, že jsou normalizováno takže jejich hodnota na 1 je 1. Konstanta, kterou jeden vynásobí polynom, takže jeho hodnota na 1 je 1, je normalizační konstanta.

Ortonormální funkce jsou normalizovány tak, že

${ displaystyle langle f_ {i}, , f_ {j} rangle = , delta _ {i, j}}$

s ohledem na nějaký vnitřní produkt <F, G>.

Konstanta 1 /√2 se používá ke stanovení hyperbolické funkce cosh a sinh z délek sousedních a protilehlých stran a hyperbolický trojúhelník.

Viz také

• Normalizace (statistika)

Poznámky

Reference

• Kontinuální distribuce na katedře matematických věd: University of Alabama v Huntsville
• Feller, William (1968). Úvod do teorie pravděpodobnosti a jejích aplikací (svazek I). John Wiley & Sons. ISBN  0-471-25708-7.