Úplnost (statistika) - Completeness (statistics)

tento článek potřebuje další citace pro ověření. Prosím pomozte vylepšit tento článek podle přidávání citací ke spolehlivým zdrojům. Zdroj bez zdroje může být napaden a odstraněn. Najít zdroje: Statistiky „úplnosti“  – zprávy  · noviny  · knihy  · učenec  · JSTOR (Srpna 2009) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

v statistika, úplnost je vlastnost a statistický ve vztahu k modelu pro soubor pozorovaných dat. V podstatě zajišťuje, že distribuce odpovídající různým hodnotám parametrů jsou odlišná.

Úzce to souvisí s myšlenkou identifikovatelnost, ale v statistická teorie často se vyskytuje jako podmínka uložená a dostatečná statistika od kterého jsou odvozeny určité výsledky optimality.

Definice

Zvažte a náhodná proměnná X jehož rozdělení pravděpodobnosti náleží a parametrický model P_θ parametrizováno pomocíθ.

Říci T je statistický; tj. složení a měřitelná funkce s náhodným vzorkem X₁,...,X_n.

Statistika T se říká, že je kompletní pro distribuci X pokud pro každou měřitelnou funkci G,:^[1]

${ displaystyle { text {if}} operatorname {E} _ { theta} (g (T)) = 0 { text {pro všechny}} theta { text {then}} mathbf {P} _ { theta} (g (T) = 0) = 1 { text {pro všechny}} theta.}$

Statistika T se říká, že je bezpochyby kompletní pro distribuci X pokud tato implikace platí pro každou měřitelnou funkci G to je také omezené.

Příklad 1: Bernoulliho model

Model Bernoulli připouští úplnou statistiku.^[2] Nechat X být náhodný vzorek velikosti n takové, že každý X_i má to samé Bernoulliho distribuce s parametrem str. Nechat T je počet 1 s pozorovaných ve vzorku. T je statistika X který má binomická distribuce s parametry (n,str). Pokud je prostor parametrů pro str je tedy (0,1) T je úplná statistika. Toto si všimněte

${ displaystyle operatorname {E} _ {p} (g (T)) = součet _ {t = 0} ^ {n} {g (t) {n zvolit t} p ^ {t} (1- p) ^ {nt}} = (1-p) ^ {n} sum _ {t = 0} ^ {n} {g (t) {n zvolit t} doleva ({ frac {p} { 1-p}} vpravo) ^ {t}}.}$

Všimněte si také, že ani jeden str ani 1 -str může být 0. Proto ${ displaystyle E_ {p} (g (T)) = 0}$ právě když:

${ displaystyle sum _ {t = 0} ^ {n} g (t) {n zvolit t} left ({ frac {p} {1-p}} right) ^ {t} = 0. }$

Při označení str/(1 − str) od r, jeden dostane:

${ displaystyle sum _ {t = 0} ^ {n} g (t) {n zvolit t} r ^ {t} = 0.}$

Nejprve si všimněte, že rozsah r je pozitivní reality. Také E (G(T)) je polynomiální v r a proto může být identický pouze s 0, pokud jsou všechny koeficienty 0, tj. G(t) = 0 pro všechnyt.

Je důležité si všimnout, že výsledek, že všechny koeficienty musí být 0, byl získán kvůli rozsahu r. Byl-li prostor parametrů konečný a s počtem prvků menším nebo rovným n, je možné vyřešit lineární rovnice v G(t) získané nahrazením hodnot r a získejte řešení odlišná od 0. Například pokud n = 1 a prostor parametrů je {0,5}, jediné pozorování a jedna hodnota parametru, T není kompletní. Všimněte si, že s definicí:

${ displaystyle g (t) = 2 (t-0,5), ,}$

pak E (G(T)) = 0 ačkoli G(t) není 0 pro t = 0 ani pro t = 1.

Vztah k dostatečným statistikám

U některých parametrických rodin kompletní dostatečná statistika neexistuje (například viz Galili a Meilijson 2016 ^[3]). Také, a minimální dostatečné statistika nemusí existovat. (Případ, kdy neexistuje dostatečná minimální statistika, ukázal Bahadur v roce 1957.^{[Citace je zapotřebí ]}) Za mírných podmínek vždy existuje minimální dostatečná statistika. Zejména tyto podmínky platí vždy, pokud náhodné proměnné (spojené s P_θ ) jsou všechny diskrétní nebo jsou spojité.^{[Citace je zapotřebí ]}

Důležitost úplnosti

Pojem úplnosti má mnoho statistických aplikací, zejména v následujících dvou větách matematické statistiky.

Lehmann – Schefféova věta

Úplnost se vyskytuje v Lehmann – Schefféova věta,^[4]který říká, že pokud je nestranná statistika, kompletní a dostatečný pro nějaký parametr θ, pak je to nejlepší průměrný objektivní odhadθ. Jinými slovy, tato statistika má menší očekávanou ztrátu pro všechny konvexní funkce ztráty; v mnoha praktických aplikacích s funkcí kvadratické ztráty má menší průměrnou kvadratickou chybu u všech odhadů se stejnou očekávaná hodnota.

Existují příklady, že když je minimální dostatečná statistika není kompletní pak existuje několik alternativních statistik pro objektivní odhad θ, zatímco některé z nich mají nižší rozptyl než jiné.^[5]

Viz také objektivní odhad minimální odchylky.

Basuova věta

Ohraničená úplnost se vyskytuje v Basuova věta,^[6] což uvádí, že statistika je obojí bezpochyby kompletní a dostatečný je nezávislý ze všech doplňková statistika.

Bahadurova věta

Ohraničená úplnost také se vyskytuje v Bahadurova věta. V případě, že existuje alespoň jeden minimální dostatečné statistika, statistika, která je dostatečný a bezpochyby kompletní, je nutně minimální.

Poznámky

Tento článek obsahuje seznam obecných Reference, ale zůstává z velké části neověřený, protože postrádá dostatečné odpovídající vložené citace. Prosím pomozte zlepšit tento článek představuji přesnější citace. (Únor 2012) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

Reference

• Basu, D. (1988). J. K. Ghosh (ed.). Statistické informace a pravděpodobnost: Sbírka kritických esejů Dr. D. Basu. Poznámky k přednášce ve statistice. 45. Springer. ISBN  978-0-387-96751-6. PAN  0953081.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Bickel, Peter J.; Doksum, Kjell A. (2001). Matematická statistika, svazek 1: Základní a vybraná témata (Druhý (aktualizovaný tisk 2007) vydání Holden-Day 1976). Pearson Prentice – Hall. ISBN  978-0-13-850363-5. PAN  0443141.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• E. L., Lehmann; Romano, Joseph P. (2005). Testování statistických hypotéz. Springer Texty ve statistice (třetí vydání). New York: Springer. str. xiv + 784. ISBN  978-0-387-98864-1. PAN  2135927. Archivovány od originál dne 02.02.2013.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Lehmann, E.L .; Scheffé, H. (1950). „Úplnost, podobné oblasti a nestranný odhad. I.“ Sankhyā: Indian Journal of Statistics. 10 (4): 305–340. doi:10.1007/978-1-4614-1412-4_23. JSTOR  25048038. PAN  0039201.
• Lehmann, E.L .; Scheffé, H. (1955). „Úplnost, podobné oblasti a nestranný odhad. II.“. Sankhyā: Indický žurnál statistik. 15 (3): 219–236. doi:10.1007/978-1-4614-1412-4_24. JSTOR  25048243. PAN  0072410.