Hodges – Lehmann odhad - Hodges–Lehmann estimator - Wikipedia

v statistika, Hodges – Lehmann odhad je robustní a neparametrické odhadce populace parametr umístění. Pro populace, které jsou symetrické kolem jedné medián, jako je (Gaussovo) normální rozdělení nebo Student t-distribuce, odhadce Hodges – Lehmann je konzistentní a medián-nezaujatý odhad mediánu populace. U nesymetrických populací odhaduje Hodges – Lehmann odhad „pseudo-medián “, což úzce souvisí s mediánem populace.

Odhad Hodges-Lehmann byl původně navržen pro odhad parametru umístění jednorozměrných populací, ale byl použit pro mnoho dalších účelů. Používá se k odhadu rozdíly mezi členy dvou populací. Bylo generalizováno z jednorozměrných populací na mnohorozměrné populace, které produkují vzorky vektory.

Je založen na Wilcoxon podepsal statistiku. Ve statistické teorii to byl časný příklad a odhad na základě hodnocení, důležitá třída odhadů jak v neparametrických statistikách, tak v robustních statistikách. Odhad Hodges-Lehmann navrhl v roce 1963 nezávisle Pranab Kumar Sen a tím Joseph Hodges a Erich Lehmann, a proto se mu také říká „Hodges – Lehmann – Sen odhadce".[1]

Definice

V nejjednodušším případě statistika „Hodges – Lehmann“ odhaduje parametr umístění pro jednorozměrnou populaci.[2][3] Jeho výpočet lze rychle popsat. Pro datovou sadu s n měření, má soubor všech možných jedno- nebo dvouprvkových podmnožin n(n + 1) / 2 prvky. Pro každou takovou podmnožinu se vypočítá průměr; nakonec jejich medián n(n + 1) / 2 průměry jsou definovány jako Hodges – Lehmann odhad polohy.

Statistika Hodges – Lehmann také odhaduje rozdíl mezi dvěma populacemi. Pro dvě sady dat s m a n pozorování, sada dvouprvkových sad z nich je jejich kartézským součinem, který obsahuje m × n dvojice bodů (jeden z každé sady); každý takový pár definuje jeden rozdíl hodnot. Statistika Hodges-Lehmann je medián z m × n rozdíly.[4]

Odhad mediánu populace symetrické populace

U populace symetrické odhaduje statistika Hodges-Lehmann medián populace. Jedná se o robustní statistiku, která má a bod poruchy 0,29, což znamená, že statistika zůstává omezená, i když bylo kontaminováno téměř 30 procent dat. Tato robustnost je důležitou výhodou oproti průměru vzorku, který má nulový bod rozpadu, je úměrný jakémukoli jednotlivému pozorování a je tak náchylný k uvedení v omyl i jedním odlehlý. The medián vzorku je ještě robustnější a má bod zlomu 0,50.[5] Hodges – Lehmann odhad je také mnohem lepší než průměr vzorku při odhadu směsí normálních distribucí.[6]

U symetrických rozdělení má statistika Hodges – Lehmann větší účinnost než medián vzorku. Pro normální rozdělení je statistika Hodges-Lehmann téměř stejně účinná jako průměr vzorku. Pro Cauchyovo rozdělení (Studentovo t-rozdělení s jedním stupněm volnosti) je Hodges-Lehmann nekonečně účinnější než průměr vzorku, což není konzistentní odhad mediánu.[5]

U nesymetrických populací odhaduje Hodgesova-Lehmannova statistika populační „pseudomedián“,[7] A parametr umístění který úzce souvisí s medián. Rozdíl mezi mediánem a pseudo-mediánem je relativně malý, a proto je tento rozdíl v elementárních diskusích opomíjen. Jako prostorový medián,[8] pseudo-medián je dobře definován pro všechna rozdělení náhodných proměnných, které mají dimenzi dva nebo větší; pro jednorozměrné distribuce existuje nějaký pseudo-medián, který však nemusí být jedinečný. Stejně jako medián je pseudo-medián definován i pro distribuce s těžkým ocasem, které postrádají jakékoli (konečné) znamenat.[9]

Statistika Hodges – Lehmann s jedním vzorkem nemusí odhadovat žádný průměr populace, který pro mnoho distribucí neexistuje. Dvouhodinový Hodges – Lehmann odhadce nemusí odhadovat rozdíl dvou průměrů nebo rozdíl dvou (pseudo-) mediánů; spíše odhaduje rozdíly mezi populací spárovaných náhodných proměnných čerpaných z populací.[4]

V obecných statistikách

Hodges – Lehmann univariate statistiky mají několik zevšeobecnění v vícerozměrný statistika:[10]

  • Vícerozměrné hodnosti a znaky[11]
  • Testy prostorových znaků a prostorové mediány[8]
  • Prostorové testy se znaménkem[12]
  • Porovnání testů a odhadů[13]
  • Několik ukázkových problémů s umístěním[14]

Viz také

Poznámky

  1. ^ Lehmann (2006, s. 176 a 200–201)
  2. ^ Dodge, Y. (2003) Oxfordský slovník statistických pojmů, OUP. ISBN  0-19-850994-4 Záznam pro „Hodges-Lehmann odhadovač s jedním samaplem“
  3. ^ Hodges & Lehmann (1963)
  4. ^ A b Everitt (2002) Záznam pro „Hodges-Lehmann odhadce“
  5. ^ A b Myles Hollander. Douglas A. Wolfe. Neparametrické statistické metody. 2. vyd. John Wiley.
  6. ^ Jurečková Sen. Robustní statistické postupy.
  7. ^ Hettmansperger & McKean (1998, s. 2–4)
  8. ^ A b Oja (2010, str. 71)
  9. ^ Hettmansperger & McKean (1998, s. 2–4 a 355–356)
  10. ^ Oja (2010, s. 2–3)
  11. ^ Oja (2010, str. 34)
  12. ^ Oja (2010, s. 83–94)
  13. ^ Oja (2010, s. 98–102)
  14. ^ Oja (2010 160, 162 a 167–169)

Reference