Autokorelace - Autocorrelation

Část série na Statistika
Korelace a kovariance
Korelace a kovariance náhodných vektorů Autokorelační matice Matice vzájemné korelace Auto-kovarianční matice Křížová kovarianční matice
Korelace a kovariance stochastických procesů Funkce autokorelace Funkce vzájemné korelace Funkce autovariance Křížová kovarianční funkce
Korelace a kovariance deterministických signálů Funkce autokorelace Funkce vzájemné korelace Funkce autovariance Křížová kovarianční funkce

Nahoře: Děj série 100 náhodných čísel zakrývající a sinus funkce. Dole: Funkce sine odhalená v a korelogram vyrobeno autokorelací.

Vizuální srovnání konvoluce, vzájemná korelace, a autokorelace. Pro operace zahrnující funkci Fa za předpokladu výšky F je 1,0, hodnota výsledku v 5 různých bodech je označena stínovanou oblastí pod každým bodem. Také symetrie F je důvod ${displaystyle g * f}$ a ${displaystyle fstar g}$ jsou v tomto příkladu identické.

Autokorelace, také známý jako sériová korelace, je korelace a signál se zpožděnou kopií sebe sama jako funkce zpoždění. Neformálně jde o podobnost mezi pozorováními v závislosti na časové prodlevě mezi nimi. Analýza autokorelace je matematický nástroj pro hledání opakujících se vzorů, jako je přítomnost a periodický signál zakrytý hluk, nebo identifikaci chybí základní frekvence v signálu implikovaném jeho harmonický frekvence. Často se používá v zpracování signálu pro analýzu funkcí nebo řady hodnot, jako např časová doména signály.

Různé studijní obory definují autokorelaci odlišně a ne všechny tyto definice jsou ekvivalentní. V některých oblastech je tento termín používán zaměnitelně s autovariance.

Kořen jednotky procesy, trendové stacionární procesy, autoregresní procesy, a procesy s klouzavým průměrem jsou specifické formy procesů s autokorelací.

Autokorelace stochastických procesů

v statistika, autokorelace reálného nebo komplexního náhodný proces je Pearsonova korelace mezi hodnotami procesu v různých časech, jako funkce dvojnásobku nebo časového zpoždění. Nechat ${displaystyle left {X_ {t} ight}}$ být náhodným procesem a ${displaystyle t}$ být kdykoli v čase (${displaystyle t}$ může být celé číslo pro diskrétní čas proces nebo a reálné číslo pro nepřetržitý čas proces). Pak ${displaystyle X_ {t}}$ je hodnota (nebo realizace ) produkovaný daným běh procesu v čase ${displaystyle t}$. Předpokládejme, že tento proces má znamenat ${displaystyle mu _ {t}}$ a rozptyl ${displaystyle sigma _ {t} ^ {2}}$ v čase ${displaystyle t}$, pro každého ${displaystyle t}$. Pak definice funkce automatické korelace mezi časy ${displaystyle t_ {1}}$ a ${displaystyle t_ {2}}$ je^{[1]:str. 388[2]:str.165}

${displaystyle operatorname {R} _ {XX} (t_ {1}, t_ {2}) = operatorname {E} left [X_ {t_ {1}} {overline {X}} _ {t_ {2}} ight] }$

(Rovnice 1)

kde ${displaystyle operatorname {E}}$ je očekávaná hodnota operátor a sloupec představuje komplexní konjugaci. Všimněte si, že očekávání nemusí být dobře definováno.

Odečtením průměru před násobením se získá auto-kovarianční funkce mezi časy ${displaystyle t_ {1}}$ a ${displaystyle t_ {2}}$:^{[1]:392[2]:str.168}

${displaystyle operatorname {K} _ {XX} (t_ {1}, t_ {2}) = operatorname {E} left [(X_ {t_ {1}} - mu _ {t_ {1}}) {overline {( X_ {t_ {2}} - mu _ {t_ {2}})}} ight] = operatorname {E} vlevo [X_ {t_ {1}} {overline {X}} _ {t_ {2}} ight] -mu _ {t_ {1}} {overline {mu}} _ {t_ {2}}}$

(Rovnice 2)

Všimněte si, že tento výraz není dobře definován pro všechny časové řady nebo procesy, protože průměr nemusí existovat nebo může být odchylka nulová (pro konstantní proces) nebo nekonečná (pro procesy s distribucí postrádající dobře vychované momenty, například jako určité druhy mocenského zákona).

Definice stacionárního stochastického procesu se širokým smyslem

Li ${displaystyle left {X_ {t} ight}}$ je stacionární proces se širokým smyslem pak průměr ${displaystyle mu}$ a rozptyl ${displaystyle sigma ^ {2}}$ jsou časově nezávislé a dále funkce autokovariance závisí pouze na prodlevě mezi nimi ${displaystyle t_ {1}}$ a ${displaystyle t_ {2}}$: autovariance závisí pouze na časové vzdálenosti mezi dvojicí hodnot, ale ne na jejich časové poloze. To dále znamená, že autovarianci a autokorelaci lze vyjádřit jako funkci časového zpoždění a že by se jednalo o sudá funkce zpoždění ${displaystyle au = t_ {2} -t_ {1}}$. To dává známější formy pro funkce automatické korelace^{[1]:str. 395}

${displaystyle operatorname {R} _ {XX} (au) = operatorname {E} left [X_ {t} {overline {X}} _ {t + au} ight]}$

(Rovnice 3)

a auto-kovarianční funkce:

${displaystyle operatorname {K} _ {XX} (au) = operatorname {E} left [(X_ {t} -mu) {overline {(X_ {t + au} -mu)}} ight] = operatorname {E} left [X_ {t} {overline {X}} _ {t + au} ight] -mu {overline {mu}}}$

(Rovnice 4)

Normalizace

V některých oborech (např. Statistika a statistika) je běžnou praxí analýza časových řad ) k normalizaci funkce autocovariance tak, aby byla závislá na čase Pearsonův korelační koeficient. V jiných oborech (např. Strojírenství) je však normalizace obvykle upuštěna a termíny „autokorelace“ a „autovariance“ jsou používány zaměnitelně.

Definice autokorelačního koeficientu stochastického procesu je^[2]:str.169

${displaystyle ho _ {XX} (t_ {1}, t_ {2}) = {frac {operatorname {K} _ {XX} (t_ {1}, t_ {2})} {sigma _ {t_ {1} } sigma _ {t_ {2}}}} = {frac {operatorname {E} left [(X_ {t_ {1}} - mu _ {t_ {1}}) {overline {(X_ {t_ {2}} -mu _ {t_ {2}})}} ight]} {sigma _ {t_ {1}} sigma _ {t_ {2}}}}.}$

Pokud je funkce ${displaystyle ho _ {XX}}$ je dobře definovaný, jeho hodnota musí ležet v rozsahu ${displaystyle [-1,1]}$, přičemž 1 označuje dokonalou korelaci a −1 označuje dokonalou antikorelace.

Pro slabý smysl stacionárnost, stacionárnost v širokém smyslu (WSS), definice je

${displaystyle ho _ {XX} (au) = {frac {operatorname {K} _ {XX} (au)} {sigma ^ {2}}} = {frac {operatorname {E} vlevo [(X_ {t} - mu) {overline {(X_ {t + au} -mu)}} ight]} {sigma ^ {2}}}}$

kde

${displaystyle operatorname {K} _ {XX} (0) = sigma ^ {2}.}$

Normalizace je důležitá jednak proto, že interpretace autokorelace jako korelace poskytuje měřítko bez měřítka síly statistická závislost, a protože normalizace má vliv na statistické vlastnosti odhadovaných autokorelací.

Vlastnosti

Vlastnost symetrie

Skutečnost, že funkce automatické korelace ${displaystyle operatorname {R} _ {XX}}$ je sudá funkce lze uvést jako^{[2]:str. 171}

${displaystyle operatorname {R} _ {XX} (t_ {1}, t_ {2}) = {overline {operatorname {R} _ {XX} (t_ {2}, t_ {1})}}}$

Respektive pro proces WSS:^{[2]:str. 173}

${displaystyle operatorname {R} _ {XX} (au) = {overline {operatorname {R} _ {XX} (- au)}}.}$

Maximum na nule

Pro proces WSS:^[2]:str.174

${displaystyle left | operatorname {R} _ {XX} (au) ight | leq operatorname {R} _ {XX} (0)}$

Všimněte si toho ${displaystyle operatorname {R} _ {XX} (0)}$ je vždy skutečné.

Cauchy – Schwarzova nerovnost

The Cauchy – Schwarzova nerovnost, nerovnost pro stochastické procesy:^[1]:392

${displaystyle left | operatorname {R} _ {XX} (t_ {1}, t_ {2}) ight | ^ {2} leq operatorname {E} left [| X_ {t_ {1}} | ^ {2} ight ] operatorname {E} vlevo [| X_ {t_ {2}} | ^ {2} ight]}$

Autokorelace bílého šumu

Autokorelace spojitého času bílý šum signál bude mít silný vrchol (představovaný a Diracova delta funkce ) na ${displaystyle au = 0}$ a bude přesně 0 pro všechny ostatní ${displaystyle au}$.

Věta Wiener – Khinchin

The Věta Wiener – Khinchin souvisí s funkcí autokorelace ${displaystyle operatorname {R} _ {XX}}$ do výkonová spektrální hustota ${displaystyle S_ {XX}}$ přes Fourierova transformace:

${displaystyle operatorname {R} _ {XX} (au) = int _ {- infty} ^ {infty} S_ {XX} (f) e ^ {i2pi f au}, {m {d}} f}$

${displaystyle S_ {XX} (f) = int _ {- infty} ^ {infty} operatorname {R} _ {XX} (au) e ^ {- i2pi f au}, {m {d}} au.}$

U funkcí se skutečnou hodnotou má symetrická autokorelační funkce skutečnou symetrickou transformaci, takže Věta Wiener – Khinchin lze znovu vyjádřit pouze pomocí skutečných kosinů:

${displaystyle operatorname {R} _ {XX} (au) = int _ {- infty} ^ {infty} S_ {XX} (f) cos (2pi f au), {m {d}} f}$

${displaystyle S_ {XX} (f) = int _ {- infty} ^ {infty} operatorname {R} _ {XX} (au) cos (2pi f au), {m {d}} au.}$

Automatická korelace náhodných vektorů

The autokorelační matice (nazývaný také druhý okamžik) a náhodný vektor ${displaystyle mathbf {X} = (X_ {1}, ldots, X_ {n}) ^ {m {T}}}$ je ${displaystyle n imes n}$ matice obsahující jako prvky autokorelace všech párů prvků náhodného vektoru ${displaystyle mathbf {X}}$. Autokorelační matice se používá v různých algoritmech zpracování digitálního signálu.

Pro náhodný vektor ${displaystyle mathbf {X} = (X_ {1}, ldots, X_ {n}) ^ {m {T}}}$ obsahující náhodné prvky jehož očekávaná hodnota a rozptyl existují autokorelační matice je definováno^{[3]:str. 190[1]:333}

${displaystyle operatorname {R} _ {mathbf {X} mathbf {X}} riangleq operatorname {E} left [mathbf {X} mathbf {X} ^ {m {T}} ight]}$

(Rovnice 1)

kde ${displaystyle {} ^ {m {T}}}$ označuje provedení a má rozměry ${displaystyle n imes n}$.

Napsáno po komponentech:

${displaystyle operatorname {R} _ {mathbf {X} mathbf {X}} = {egin {bmatrix} operatorname {E} [X_ {1} X_ {1}] & operatorname {E} [X_ {1} X_ {2} ] & cdots & operatorname {E} [X_ {1} X_ {n}] operatorname {E} [X_ {2} X_ {1}] & operatorname {E} [X_ {2} X_ {2}] & cdots & operatorname {E } [X_ {2} X_ {n}] vdots & vdots & ddots & vdots operatorname {E} [X_ {n} X_ {1}] & operatorname {E} [X_ {n} X_ {2}] & cdots & operatorname { E} [X_ {n} X_ {n}] end {bmatrix}}}$

Li ${displaystyle mathbf {Z}}$ je složitý náhodný vektor, autokorelační matice je místo toho definována

${displaystyle operatorname {R} _ {mathbf {Z} mathbf {Z}} riangleq operatorname {E} [mathbf {Z} mathbf {Z} ^ {m {H}}].}$

Tady ${displaystyle {} ^ {m {H}}}$ označuje Hermitova transpozice.

Například pokud ${displaystyle mathbf {X} = left (X_ {1}, X_ {2}, X_ {3} ight) ^ {m {T}}}$ je tedy náhodný vektor ${displaystyle operatorname {R} _ {mathbf {X} mathbf {X}}}$ je ${displaystyle 3 imes 3}$ matice jehož ${displaystyle (i, j)}$-tý záznam je ${displaystyle operatorname {E} [X_ {i} X_ {j}]}$.

Vlastnosti autokorelační matice

• Autokorelační matice je a Hermitova matice pro komplexní náhodné vektory a symetrická matice pro skutečné náhodné vektory.^{[3]:str. 190}
• Autokorelační matice je pozitivní semidefinitní matice,^{[3]:str. 190} tj. ${displaystyle mathbf {a} ^ {mathrm {T}} operatorname {R} _ {mathbf {X} mathbf {X}} mathbf {a} geq 0quad {ext {pro všechny}} mathbf {a} v mathbb {R} ^ {n}}$ pro skutečný náhodný vektor ${displaystyle mathbf {a} ^ {mathrm {H}} operatorname {R} _ {mathbf {Z} mathbf {Z}} mathbf {a} geq 0quad {ext {pro všechny}} mathbf {a} v mathbb {C} ^ {n}}$ v případě komplexního náhodného vektoru.
• Všechna vlastní čísla autokorelační matice jsou skutečná a nezáporná.
• The auto-kovarianční matice souvisí s autokorelační maticí takto:

${displaystyle operatorname {K} _ {mathbf {X} mathbf {X}} = operatorname {E} [(mathbf {X} -operatorname {E} [mathbf {X}]) (mathbf {X} -operatorname {E} [mathbf {X}]) ^ {m {T}}] = operatorname {R} _ {mathbf {X} mathbf {X}} -operatorname {E} [mathbf {X}] operatorname {E} [mathbf {X }] ^ {m {T}}}$

Respektive pro složité náhodné vektory:

${displaystyle operatorname {K} _ {mathbf {Z} mathbf {Z}} = operatorname {E} [(mathbf {Z} -operatorname {E} [mathbf {Z}]) (mathbf {Z} -operatorname {E} [mathbf {Z}]) ^ {m {H}}] = operatorname {R} _ {mathbf {Z} mathbf {Z}} -operatorname {E} [mathbf {Z}] operatorname {E} [mathbf {Z }] ^ {m {H}}}$

Autokorelace deterministických signálů

v zpracování signálu, výše uvedená definice se často používá bez normalizace, to znamená bez odečtení střední hodnoty a dělení rozptylem. Když je funkce autokorelace normalizována průměrem a rozptylem, někdy se jí říká autokorelační koeficient^[4] nebo autovarianční funkce.

Automatická korelace signálu spojitého času

Vzhledem k tomu, signál ${displaystyle f (t)}$, kontinuální autokorelace ${displaystyle R_ {ff} (au)}$ je nejčastěji definován jako spojitý vzájemný korelační integrál ${displaystyle f (t)}$ se sebou, se zpožděním ${displaystyle au}$.^{[1]:s. 411}

${displaystyle R_ {ff} (au) = int _ {- infty} ^ {infty} f (t + au) {overline {f (t)}}, {m {d}} t = int _ {- infty} ^ {infty} f (t) {overline {f (t- au)}}, {m {d}} t}$

(Rovnice 6)

kde ${displaystyle {overline {f (t)}}}$ představuje komplexní konjugát z ${displaystyle f (t)}$. Všimněte si, že parametr ${displaystyle t}$ v integrálu je fiktivní proměnná a je nutná pouze pro výpočet integrálu. Nemá to žádný konkrétní význam.

Autokorelace diskrétního signálu

Diskrétní autokorelace ${displaystyle R}$ se zpožděním ${displaystyle ell}$ pro signál diskrétního času ${displaystyle y (n)}$ je

${displaystyle R_ {yy} (ell) = součet _ {nin Z} y (n), {overline {y (n-ell)}}}$

(Rovnice 7)

Výše uvedené definice fungují pro signály, které jsou čtvercově integrovatelné nebo čtvercové součet, tj. Konečné energie. Se signály, které „trvají navždy“, se místo toho zachází jako s náhodnými procesy, v takovém případě jsou nutné různé definice na základě očekávaných hodnot. Pro stacionární náhodné procesy širokého smyslu, autokorelace jsou definovány jako

${displaystyle R_ {ff} (au) = operatorname {E} vlevo [f (t) {overline {f (t- au)}} vpravo)}$

${displaystyle R_ {yy} (ell) = operatorname {E} left [y (n), {overline {y (n-ell)}} right].}$

Pro procesy, které nejsou stacionární, budou to také funkce ${displaystyle t}$nebo ${displaystyle n}$.

Pro procesy, které také jsou ergodický, lze očekávání nahradit limitem časového průměru. Autokorelace ergodického procesu je někdy definována jako nebo přirovnávána k^[4]

${displaystyle R_ {ff} (au) = lim _ {Tightarrow infty} {frac {1} {T}} int _ {0} ^ {T} f (t + au) {overline {f (t)}}, { m {d}} t}$

${displaystyle R_ {yy} (ell) = lim _ {Nightarrow infty} {frac {1} {N}} součet _ {n = 0} ^ {N-1} y (n), {overline {y (n- ell)}}.}$

Výhodou těchto definic je, že poskytují smysluplné a přesně definované výsledky s jedním parametrem pro periodické funkce, i když tyto funkce nejsou výstupem stacionárních ergodických procesů.

Případně to signalizuje trvat věčně lze léčit analýzou funkce krátkodobé autokorelace pomocí integrálů v konečném čase. (Vidět krátkodobá Fourierova transformace pro související proces.)

Definice pro periodické signály

Li ${displaystyle f}$ je spojitá periodická funkce období ${displaystyle T}$, integrace z ${displaystyle -infty}$ na ${displaystyle infty}$ je nahrazen integrací v jakémkoli intervalu ${displaystyle [t_ {0}, t_ {0} + T]}$ délky ${displaystyle T}$:

${displaystyle R_ {ff} (au) riangleq int _ {t_ {0}} ^ {t_ {0} + T} f (t + au) {overline {f (t)}}, dt}$

což odpovídá

${displaystyle R_ {ff} (au) riangleq int _ {t_ {0}} ^ {t_ {0} + T} f (t) {overline {f (t- au)}}, dt}$

Vlastnosti

V následujícím textu popíšeme vlastnosti pouze jednorozměrných autokorelací, protože většina vlastností se snadno převede z jednorozměrného případu do vícerozměrných případů. Tyto vlastnosti platí pro stacionární procesy se širokým smyslem.^[5]

• Základní vlastností autokorelace je symetrie, ${displaystyle R_ {ff} (au) = R_ {ff} (- au)}$, což lze z definice snadno dokázat. V nepřetržitém případě

autokorelace je sudá funkce

${displaystyle R_ {ff} (- au) = R_ {ff} (au),}$ když ${displaystyle f}$ je skutečná funkce,

a autokorelace je a Hermitovská funkce

${displaystyle R_ {ff} (- au) = R_ {ff} ^ {*} (au),}$ když ${displaystyle f}$ je komplexní funkce.

• Funkce kontinuální autokorelace dosáhne svého vrcholu na počátku, kde nabere skutečnou hodnotu, tj. Při jakémkoli zpoždění ${displaystyle au}$, ${displaystyle | R_ {ff} (au) | leq R_ {ff} (0)}$.^[1]:410 To je důsledek přeskupení nerovnost. Stejný výsledek platí v diskrétním případě.
• Autokorelace a periodická funkce je sama o sobě periodická se stejným obdobím.
• Autokorelace součtu dvou zcela nekorelovaných funkcí (křížová korelace je pro všechny nulová ${displaystyle au}$) je součet autokorelace každé funkce zvlášť.
• Protože autokorelace je specifický typ vzájemná korelace, zachovává všechny vlastnosti vzájemné korelace.
• Pomocí symbolu ${displaystyle *}$ reprezentovat konvoluce a ${displaystyle g _ {- 1}}$ je funkce, která s funkcí manipuluje ${displaystyle f}$ a je definován jako ${displaystyle g _ {- 1} (f) (t) = f (-t)}$, definice pro ${displaystyle R_ {ff} (au)}$ lze napsat jako:

${displaystyle R_ {ff} (au) = (f * g _ {- 1} ({overline {f}})) (au)}$

Vícedimenzionální autokorelace

Více-dimenzionální autokorelace je definována podobně. Například v tři rozměry autokorelace čtvercového součtu diskrétní signál bylo by

${displaystyle R (j, k, ell) = součet _ {n, q, r} x_ {n, q, r}, x_ {n-j, q-k, r-ell}.}$

Když jsou střední hodnoty odečteny od signálů před výpočtem autokorelační funkce, výsledná funkce se obvykle nazývá autokovarianční funkce.

Efektivní výpočet

Pro údaje vyjádřené jako a oddělený sekvenci je často nutné vypočítat autokorelaci s vysokou výpočetní účinnost. Metoda hrubé síly založená na definici zpracování signálu ${displaystyle R_ {xx} (j) = součet _ {n} x_ {n}, {overline {x}} _ {n-j}}$ lze použít, když je velikost signálu malá. Například pro výpočet autokorelace skutečné sekvence signálu ${displaystyle x = (2,3, -1)}$ (tj. ${displaystyle x_ {0} = 2, x_ {1} = 3, x_ {2} = - 1}$, a ${displaystyle x_ {i} = 0}$ pro všechny ostatní hodnoty i) ručně nejprve rozpoznáme, že právě zadaná definice je stejná jako „obvyklé“ násobení, ale s pravými posuny, kde každé svislé přidávání dává autokorelaci pro konkrétní hodnoty zpoždění:

${displaystyle {egin {array} {rrrrrr} & 2 & 3 & -1 imes & 2 & 3 & -1 hline & -2 & -3 & 1 && 6 & 9 & -3 + &&& 4 & 6 & -2 hline & -2 & 3 & 14 & 3 & -2end {array}}}$

Požadovaná autokorelační sekvence je tedy ${displaystyle R_ {xx} = (- 2,3,14,3, -2)}$, kde ${displaystyle R_ {xx} (0) = 14,}$ ${displaystyle R_ {xx} (- 1) = R_ {xx} (1) = 3,}$ a ${displaystyle R_ {xx} (- 2) = R_ {xx} (2) = - 2,}$ autokorelace pro ostatní hodnoty zpoždění je nulová. V tomto výpočtu neprovádíme operaci přenosu během sčítání, jak je obvyklé v normálním násobení. Všimněte si, že můžeme snížit počet požadovaných operací na polovinu využitím přirozené symetrie autokorelace. Pokud je signál periodický, tj. ${displaystyle x = (ldots, 2,3, -1,2,3, -1, ldots),}$ pak dostaneme kruhovou autokorelaci (podobně jako kruhová konvoluce ) kde se levý a pravý ocas předchozí autokorelační sekvence budou překrývat a dávat ${displaystyle R_ {xx} = (ldots, 14,1,1,14,1,1, ldots)}$ který má stejnou periodu jako signální sekvence ${displaystyle x.}$ Postup lze považovat za aplikaci konvoluční vlastnosti z-transformace diskrétního signálu.

Zatímco algoritmus hrubé síly je objednat n²existuje několik efektivních algoritmů, které umí vypočítat autokorelaci v pořadí n log (n). Například Věta Wiener – Khinchin umožňuje výpočet autokorelace ze surových dat X(t) se dvěma rychlé Fourierovy transformace (FFT):^[6]

${displaystyle {egin {aligned} F_ {R} (f) & = operatorname {FFT} [X (t)] S (f) & = F_ {R} (f) F_ {R} ^ {*} (f ) R (au) & = operatorname {IFFT} [S (f)] konec {zarovnáno}}}$

kde IFFT označuje inverzní rychlá Fourierova transformace. Hvězdička označuje komplexní konjugát.

Alternativně více τ korelaci lze provést pomocí výpočtu hrubou silou pro nízkou hodnotu τ hodnoty a poté postupně binování X(t) data s a logaritmický hustota k výpočtu vyšších hodnot, což má za následek stejné n log (n) účinnost, ale s nižšími nároky na paměť.^[7][8]

Odhad

Pro oddělený proces se známým průměrem a rozptylem, pro který pozorujeme ${displaystyle n}$ pozorování ${displaystyle {X_ {1} ,, X_ {2} ,, ldots ,, X_ {n}}}$, odhad autokorelace lze získat jako

${displaystyle {hat {R}} (k) = {frac {1} {(nk) sigma ^ {2}}} součet _ {t = 1} ^ {nk} (X_ {t} -mu) (X_ { t + k} -mu)}$

pro jakékoli kladné celé číslo ${displaystyle k$. Když skutečný průměr ${displaystyle mu}$ a rozptyl ${displaystyle sigma ^ {2}}$ jsou známy, tento odhad je objektivní. Pokud skutečný průměr a rozptyl procesu není známo, existuje několik možností:

• Li ${displaystyle mu}$ a ${displaystyle sigma ^ {2}}$ jsou nahrazeny standardními vzorci pro průměr vzorku a rozptyl vzorku, pak je to a zkreslený odhad.
• A periodogram -na základě odhadu nahradí ${displaystyle n-k}$ ve výše uvedeném vzorci s ${displaystyle n}$. Tento odhad je vždy zkreslený; obvykle však má menší střední kvadratickou chybu.^[9][10]
• Další možnosti vyplývají ze zpracování dvou částí dat ${displaystyle {X_ {1} ,, X_ {2} ,, ldots ,, X_ {n-k}}}$ a ${displaystyle {X_ {k + 1} ,, X_ {k + 2} ,, ldots ,, X_ {n}}}$ samostatně a výpočet samostatných výběrových průměrů a / nebo výběrových odchylek pro použití při definování odhadu.^{[Citace je zapotřebí ]}

Výhodou odhadů posledního typu je, že sada odhadovaných autokorelací, jako funkce ${displaystyle k}$, poté vytvořte funkci, která je platnou autokorelací v tom smyslu, že je možné definovat teoretický proces, který má přesně tuto autokorelaci. Další odhady mohou trpět problémem, že pokud se použijí k výpočtu rozptylu lineární kombinace ${displaystyle X}$, vypočtená odchylka se může ukázat jako záporná.^[11]

Regresní analýza

v regresní analýza použitím data časových řad, autokorelace v sledované proměnné se obvykle modeluje buď pomocí autoregresní model (AR), a model s klouzavým průměrem (MA), jejich kombinace jako autoregresní klouzavý průměrný model (ARMA), nebo jeho rozšíření nazvané autoregresní integrovaný model klouzavého průměru (ARIMA). S více vzájemně propojenými datovými řadami vektorové autoregrese (VAR) nebo jeho rozšíření.

v obyčejné nejmenší čtverce (OLS) lze přiměřenost specifikace modelu částečně zkontrolovat stanovením, zda existuje autokorelace regresní rezidua. Problematickou autokorelaci chyb, které samy o sobě nejsou pozorovány, lze obecně detekovat, protože vytváří autokorelaci v pozorovatelných zbytcích. (Chyby jsou v systému Windows označovány také jako „chybové výrazy“ ekonometrie.) Autokorelace chyb porušuje běžný předpoklad nejmenších čtverců, že chybové výrazy jsou nekorelované, což znamená, že Gauss Markovova věta neplatí a že odhady OLS již nejsou nejlepšími lineárními nestrannými odhady (MODRÝ ). I když to není zkreslení odhadů koeficientu OLS, standardní chyby bývají podceňovány (a t-skóre nadhodnocené), když jsou autokorelace chyb při nízkých zpožděních kladné.

Tradiční test na přítomnost autokorelace prvního řádu je Statistika Durbin – Watson nebo, pokud vysvětlující proměnné zahrnují zpožděnou závislou proměnnou, Durbinova h statistika. Durbin-Watson lze lineárně namapovat na Pearsonovu korelaci mezi hodnotami a jejich zpožděními.^[12] Pružnější test, zahrnující autokorelaci vyšších objednávek a použitelný bez ohledu na to, zda regresory zahrnují zpoždění závislé proměnné, je Breusch – Godfreyův test. To zahrnuje pomocnou regresi, při které jsou zbytky získané z odhadu modelu zájmu regresovány na (a) původních regresorech a (b) k zpoždění zbytků, kde „k“ je pořadí testu. Nejjednodušší verzí testovací statistiky z této pomocné regrese je TR², kde T je velikost vzorku a R² je koeficient stanovení. Při nulové hypotéze o žádné autokorelaci je tato statistika isasymptoticky distribuována jako ${displaystyle chi ^ {2}}$ s k stupně svobody.

Mezi odpovědi na nenulovou autokorelaci patří zobecněné nejmenší čtverce a Newey – West odhad HAC (Heteroskedasticita a autokorelace konzistentní).^[13]

V odhadu a model s klouzavým průměrem (MA) se funkce autokorelace používá k určení příslušného počtu zpožděných chybových výrazů, které mají být zahrnuty. To je založeno na skutečnosti, že pro MA proces objednávky q, my máme ${displaystyle R (au) eq 0}$, pro ${displaystyle au = 0,1, ldots, q}$, a ${displaystyle R (au) = 0}$, pro ${displaystyle au> q}$.

Aplikace

• Autokorelační analýza se v hojné míře používá fluorescenční korelační spektroskopie^[14] poskytnout kvantitativní pohled na difúzi na molekulární úrovni a chemické reakce.^[15]
• Další aplikací autokorelace je měření optická spektra a měření velmi krátkého trvání světlo pulzy produkovaný lasery, oba používají optické autokorelátory.
• K analýze se používá autokorelace dynamický rozptyl světla - údaje, které zejména umožňují stanovení distribuce velikosti částic částic o velikosti nanometru nebo micely suspendován v tekutině. Laser zářící do směsi vytváří a skvrnitý vzor který je výsledkem pohybu částic. Autokorelaci signálu lze analyzovat z hlediska difúze částic. Z toho, s vědomím viskozity kapaliny, lze vypočítat velikosti částic.
• Používá se v GPS systém opravit pro šíření zpoždění nebo časový posun mezi časovým bodem při přenosu nosný signál u satelitů a časový bod u přijímače na zemi. To se provádí přijímačem generujícím replikovaný signál 1023 bitového C / A (kurzu / akvizičního) kódu a generováním řádků kódových čipů [-1,1] v paketech po deseti najednou nebo 10 230 čipů (1023 x 10), mírně se posouvající, aby se přizpůsobila Dopplerův posun v příchozím satelitním signálu, dokud se replikační signál přijímače a kódy satelitního signálu neshodují.^[16]
• The malý úhel rentgenového rozptylu Intenzita nanostrukturovaného systému je Fourierova transformace funkce prostorové autokorelace hustoty elektronů.
• v věda o povrchu a mikroskopie skenovací sondy, autokorelace se používá k navázání spojení mezi morfologií povrchu a funkčními vlastnostmi.^[17]
• V optice dávají normalizované autokorelace a vzájemné korelace stupeň soudržnosti elektromagnetického pole.
• v zpracování signálu, autokorelace může poskytnout informace o opakujících se událostech jako hudební bije (například určit tempo ) nebo pulsar frekvence, i když nedokáže určit polohu v čase rytmu. Může být také zvyklý odhadnout výšku hudebního tónu.
• v hudební nahrávka, autokorelace se používá jako a algoritmus detekce výšky tónu před hlasovým zpracováním, jako efekt zkreslení nebo k odstranění nežádoucích chyb a nepřesností.^[18]

• Autokorelace v prostoru spíše než v čase prostřednictvím Pattersonova funkce, je používán rentgenovými difraktology, aby pomohl obnovit „informace o Fourierově fázi“ na pozicích atomů, které nejsou dostupné pouze prostřednictvím difrakce.
• Ve statistikách pomáhá jednomu odhadu také prostorová autokorelace mezi umístěními vzorků nejistota střední hodnoty při vzorkování heterogenní populace.
• The SEQUEST algoritmus pro analýzu hmotnostní spektra využívá autokorelaci ve spojení s vzájemná korelace vyhodnotit podobnost pozorovaného spektra s idealizovaným spektrem představujícím a peptid.
• v astrofyzika, autokorelace se používá ke studiu a charakterizaci prostorového rozložení galaxie ve vesmíru a při pozorování nízké hmotnosti několika vlnami X-ray binární soubory.
• v data panelu, prostorová autokorelace odkazuje na korelaci proměnné se sebou v prostoru.
• V analýze Markovský řetězec Monte Carlo data, pro správné určení chyby je třeba vzít v úvahu autokorelaci.
• V geovědách (konkrétně v geofyzice) jej lze použít k výpočtu autokorelačního seismického atributu z 3D seismického průzkumu podzemí.
• v lékařský ultrazvuk pro vizualizaci průtoku krve se používá autokorelace.
• v volba intertemporálního portfolia, přítomnost nebo nepřítomnost autokorelace v aktivu návratnost může ovlivnit optimální část portfolia k držení v tomto aktivu.

Sériová závislost

Sériová závislost je úzce spjato s pojmem autokorelace, ale představuje odlišný koncept (viz Korelace a závislost ). Zejména je možné mít sériovou závislost, ale žádnou (lineární) korelaci. V některých oblastech se však oba termíny používají jako synonyma.

A časové řady a náhodná proměnná má sériovou závislost, pokud je hodnota v určitou dobu ${displaystyle t}$ v seriálu je statisticky závislé na hodnotu v jiném čase ${displaystyle s}$. Série je sériově nezávislá, pokud mezi dvěma páry neexistuje závislost.

Pokud je časová řada ${displaystyle left {X_ {t} ight}}$ je stacionární, pak statistická závislost mezi dvojicí ${displaystyle (X_ {t}, X_ {s})}$ by znamenalo, že existuje statistická závislost mezi všemi páry hodnot při stejném zpoždění ${displaystyle au = s-t}$.

Viz také

Reference

Další čtení

• Kmenta, Jan (1986). Prvky ekonometrie (Druhé vydání.). New York: Macmillan. str.298–334. ISBN  978-0-02-365070-3.
• Marno Verbeek (10. srpna 2017). Průvodce po moderní ekonometrii. Wiley. ISBN  978-1-119-40110-0.
• Mojtaba Soltanalian a Petre Stoica. "Výpočetní návrh sekvencí s dobrými korelačními vlastnostmi „IEEE Transactions on Signal Processing, 60.5 (2012): 2180–2193.
• Solomon W. Golomb a Guang Gong. Návrh signálu pro dobrou korelaci: pro bezdrátovou komunikaci, kryptografii a radar. Cambridge University Press, 2005.
• Klapetek, Petr (2018). Kvantitativní zpracování dat v mikroskopii skenovací sondy: SPM aplikace pro nanometrologii (Druhé vydání.). Elsevier. 108–112 ISBN  9780128133477.
• Weisstein, Eric W. „Autokorelace“. MathWorld.