Spearmansův koeficient korelace - Spearmans rank correlation coefficient - Wikipedia

Spearmanova korelace 1 výsledků, když jsou dvě porovnávané proměnné monotónně příbuzné, i když jejich vztah není lineární. To znamená, že všechny datové body mají větší X hodnoty než hodnoty daného datového bodu budou mít vyšší y hodnoty také. Naproti tomu to nedává dokonalou Pearsonovu korelaci.

Pokud jsou data zhruba elipticky distribuována a neexistují žádné výrazné odlehlé hodnoty, dávají Spearmanova korelace a Pearsonova korelace podobné hodnoty.

Spearmanova korelace je méně citlivá než Pearsonova korelace se silnými odlehlými hodnotami, které jsou v ocasu obou vzorků. Je to proto, že Spearman ρ omezuje odlehlou hodnotu na hodnotu své pozice.

v statistika, Spearmanovův korelační koeficient nebo Spearmanova ρ, pojmenoval podle Charles Spearman a často označován řeckým dopisem ${ displaystyle rho}$ (rho) nebo jako ${ displaystyle r_ {s}}$, je neparametrické míra hodnostní korelace (statistická závislost mezi žebříčku ze dvou proměnné ). Posuzuje, jak dobře lze popsat vztah mezi dvěma proměnnými pomocí a monotóní funkce.

Spearmanova korelace mezi dvěma proměnnými se rovná Pearsonova korelace mezi hodnotami pořadí těchto dvou proměnných; zatímco Pearsonova korelace hodnotí lineární vztahy, Spearmanova korelace hodnotí monotónní vztahy (ať už lineární nebo ne). Pokud neexistují žádné opakované hodnoty dat, dojde k dokonalé Spearmanově korelaci +1 nebo -1, když je každá z proměnných dokonalou monotónní funkcí druhé.

Intuitivně bude Spearmanova korelace mezi dvěma proměnnými vysoká, když budou mít pozorování podobnou (nebo identickou pro korelaci 1) hodnost (tj. relativní poziční štítek pozorování v rámci proměnné: 1., 2., 3. atd.) mezi těmito dvěma proměnnými a nízká, když mají pozorování odlišnou (nebo zcela odlišnou korelaci -1) mezi těmito dvěma proměnnými.

Spearmanov koeficient je vhodný pro oba kontinuální a diskrétní pořadové proměnné.^[1][2] Oba Spearmanovi ${ displaystyle rho}$ a Kendall ${ displaystyle tau}$ lze formulovat jako speciální případy více obecný korelační koeficient.

Definice a výpočet

Spearmanův korelační koeficient je definován jako Pearsonův korelační koeficient mezi řadit proměnné.^[3]

Pro vzorek velikosti n, n surové skóre ${ displaystyle X_ {i}, Y_ {i}}$ jsou převedeny do řad ${ displaystyle operatorname {rg} _ {X_ {i}}, operatorname {rg} _ {Y_ {i}}}$, a ${ displaystyle r_ {s}}$ se počítá jako

${ displaystyle r_ {s} = rho _ { operatorname {rg} _ {X}, operatorname {rg} _ {Y}} = { frac { operatorname {cov} ( operatorname {rg} _ { X}, operatorname {rg} _ {Y})} { sigma _ { operatorname {rg} _ {X}} sigma _ { operatorname {rg} _ {Y}}}},}$

kde

${ displaystyle rho}$ označuje obvyklé Pearsonův korelační koeficient, ale aplikováno na proměnné pořadí,

${ displaystyle operatorname {cov} ( operatorname {rg} _ {X}, operatorname {rg} _ {Y})}$ je kovariance z řadových proměnných,

${ displaystyle sigma _ { operatorname {rg} _ {X}}}$ a ${ displaystyle sigma _ { operatorname {rg} _ {Y}}}$ jsou standardní odchylky hodnostních proměnných.

Pouze pokud všichni n řady jsou odlišná celá čísla, lze jej vypočítat pomocí populárního vzorce

${ displaystyle r_ {s} = 1 - { frac {6 sum d_ {i} ^ {2}} {n (n ^ {2} -1)}},}$

kde

${ displaystyle d_ {i} = operatorname {rg} (X_ {i}) - operatorname {rg} (Y_ {i})}$ je rozdíl mezi dvěma řadami každého pozorování,

n je počet pozorování.

Identické hodnoty jsou obvykle^[4] každý přidělen zlomkové pozice rovná průměru jejich pozic ve vzestupném pořadí hodnot, což je ekvivalentní průměrování všech možných permutací.

Pokud jsou v datové sadě vazby, výše uvedený zjednodušený vzorec přináší nesprávné výsledky: Pouze pokud jsou v obou proměnných všechny řady odlišné, pak ${ displaystyle sigma _ { operatorname {rg} _ {X}} sigma _ { operatorname {rg} _ {Y}} = operatorname {Var} { operatorname {rg} _ {X}} = operatorname {Var} { operatorname {rg} _ {Y}} = (n ^ {2} -1) / 12}$ (vypočteno podle odchýlené odchylky). První rovnici - normalizující se směrodatnou odchylkou - lze použít, i když jsou řady normalizovány na [0, 1] („relativní řady“), protože je necitlivá jak na translaci, tak na lineární změnu měřítka.

Zjednodušená metoda by se rovněž neměla používat v případech, kdy je soubor dat zkrácen; to znamená, když je požadován Spearmanovův korelační koeficient pro vrchol X záznamy (ať už podle pořadí před změnou nebo podle pořadí po změně, nebo obojí), měl by uživatel použít výše uvedený vzorec korelačního koeficientu Pearson.^[5]

Standardní chyba koeficientu (σ) byla určena Pearsonem v roce 1907^{[Citace je zapotřebí ]} a Gosset v roce 1920.^{[Citace je zapotřebí ]} to je

${ displaystyle sigma _ {r_ {s}} = { frac {0,6325} { sqrt {n-1}}}.}$

Související množství

Existuje několik dalších numerických měr, které kvantifikují rozsah statistická závislost mezi dvojicemi pozorování. Nejběžnější z nich je Pearsonův korelační koeficient produkt-moment, což je podobná korelační metoda jako Spearmanova pozice, která měří spíše „lineární“ vztahy mezi hrubými čísly než mezi jejich řadami.

Alternativní název pro Spearmana hodnostní korelace je „korelace známek“;^[6] v tomto případě je „hodnost“ pozorování nahrazena „známkou“. V kontinuálních distribucích je stupeň pozorování podle konvence vždy o polovinu nižší než hodnost, a proto jsou korelace hodnocení a hodnosti v tomto případě stejné. Obecněji je „stupeň“ pozorování úměrný odhadu zlomku populace menší než daná hodnota, s úpravou polovičního pozorování u pozorovaných hodnot. To tedy odpovídá jednomu možnému zacházení se svázanými hodnostmi. I když je to neobvyklé, termín „korelace známek“ se stále používá.^[7]

Výklad

Pozitivní a negativní Spearmanovy korelační korelace

Kladný Spearmanův korelační koeficient odpovídá rostoucímu monotónnímu trendu mezi X a Y.

Negativní Spearmanovův korelační koeficient odpovídá klesajícímu monotónnímu trendu mezi X a Y.

Znamení Spearmanovy korelace označuje směr asociace mezi X (nezávislá proměnná) a Y (závislá proměnná). Li Y má tendenci se zvyšovat, když X zvyšuje, Spearmanův korelační koeficient je pozitivní. Li Y má tendenci klesat, když X zvyšuje, Spearmanův korelační koeficient je záporný. Spearmanova korelace nuly naznačuje, že neexistuje žádná tendence k Y buď zvýšit nebo snížit, když X zvyšuje. Spearmanova korelace se zvyšuje o velikost as X a Y přiblížit se k tomu, že jsou navzájem dokonale monotónní funkce. Když X a Y jsou dokonale monotónně příbuzné, Spearmanův korelační koeficient se stává 1. Z dokonale monotónně rostoucího vztahu vyplývá, že pro libovolné dva páry datových hodnot X_i, Y_i a X_j, Y_j, že X_i − X_j a Y_i − Y_j mít vždy stejné znamení. Z dokonale monotónního klesajícího vztahu vyplývá, že tyto rozdíly mají vždy opačné znaky.

Spearmanův korelační koeficient je často popisován jako „neparametrický“. To může mít dva významy. Nejprve bude výsledkem dokonalá Spearmanova korelace X a Y jsou ve vztahu kdokoli monotónní funkce. Porovnejte to s Pearsonovou korelací, která dává perfektní hodnotu, pouze když X a Y jsou ve vztahu a lineární funkce. Druhý smysl, ve kterém je Spearmanova korelace neparametrická v tom, že její přesné rozdělení vzorkování lze získat, aniž by bylo nutné znát (tj. Znát parametry) společné rozdělení pravděpodobnosti z X a Y.

Příklad

V tomto příkladu se surová data v tabulce níže používají k výpočtu korelace mezi IQ osoby s počtem hodin strávených před televize za týden.^{[Citace je zapotřebí ]}

IQ, ${ displaystyle X_ {i}}$	Hodiny televize za týden, ${ displaystyle Y_ {i}}$
106	7
100	27
86	2
101	50
99	28
103	29
97	20
113	12
112	6
110	17

Nejprve vyhodnotit ${ displaystyle d_ {i} ^ {2}}$. K tomu použijte následující kroky uvedené v následující tabulce.

1. Seřadit data podle prvního sloupce (${ displaystyle X_ {i}}$). Vytvořte nový sloupec ${ displaystyle x_ {i}}$ a přiřadit mu seřazené hodnoty 1, 2, 3, ..., n.
2. Dále seřaďte data podle druhého sloupce (${ displaystyle Y_ {i}}$). Vytvořte čtvrtý sloupec ${ displaystyle y_ {i}}$ a podobně mu přiřadit hodnocené hodnoty 1, 2, 3, ..., n.
3. Vytvořte pátý sloupec ${ displaystyle d_ {i}}$ držet rozdíly mezi dvěma sloupci hodnocení (${ displaystyle x_ {i}}$ a ${ displaystyle y_ {i}}$).
4. Vytvořte jeden poslední sloupec ${ displaystyle d_ {i} ^ {2}}$ držet hodnotu sloupce ${ displaystyle d_ {i}}$ na druhou.

IQ, ${ displaystyle X_ {i}}$	Hodiny televize za týden, ${ displaystyle Y_ {i}}$	hodnost ${ displaystyle x_ {i}}$	hodnost ${ displaystyle y_ {i}}$	${ displaystyle d_ {i}}$	${ displaystyle d_ {i} ^ {2}}$
86	2	1	1	0	0
97	20	2	6	−4	16
99	28	3	8	−5	25
100	27	4	7	−3	9
101	50	5	10	−5	25
103	29	6	9	−3	9
106	7	7	3	4	16
110	17	8	5	3	9
112	6	9	2	7	49
113	12	10	4	6	36

S ${ displaystyle d_ {i} ^ {2}}$ nalezeno, přidejte je k hledání ${ displaystyle sum d_ {i} ^ {2} = 194}$. Hodnota n je 10. Tyto hodnoty lze nyní dosadit zpět do rovnice

${ displaystyle rho = 1 - { frac {6 součet d_ {i} ^ {2}} {n (n ^ {2} -1)}}}$

dát

${ displaystyle rho = 1 - { frac {6 krát 194} {10 (10 ^ {2} -1)}},}$

který se hodnotí na ρ = −29/165 = −0.175757575... s p-hodnota = 0,627188 (pomocí t-rozdělení ).

Graf předložených údajů. Je vidět, že může existovat negativní korelace, ale vztah se nezdá definitivní.

To, že se hodnota blíží nule, ukazuje, že korelace mezi IQ a hodinami strávenými sledováním televize je velmi nízká, i když negativní hodnota naznačuje, že čím delší je čas strávený sledováním televize, tím nižší je IQ. V případě vazeb v původních hodnotách by se tento vzorec neměl používat; místo toho by měl být Pearsonův korelační koeficient vypočítán z řad (kde jsou uvedeny vazby, jak je popsáno výše)^{[kde? ]}).

Určení významnosti

Jeden přístup k testování, zda pozorovaná hodnota ρ se výrazně liší od nuly (r bude vždy udržovat −1 ≤ r ≤ 1) je vypočítat pravděpodobnost, že by byla větší nebo rovna pozorované hodnotě r, vzhledem k nulová hypotéza, pomocí a permutační test. Výhodou tohoto přístupu je, že automaticky bere v úvahu počet vázaných datových hodnot ve vzorku a způsob, jakým se s nimi zachází při výpočtu korelace pořadí.

Jiný přístup se vyrovná použití Fisherova transformace v případě Pearsonova korelačního koeficientu produkt-moment. To znamená intervaly spolehlivosti a testy hypotéz týkající se hodnoty populace ρ lze provést pomocí Fisherovy transformace:

${ displaystyle F (r) = { frac {1} {2}} ln { frac {1 + r} {1-r}} = operatorname {arctanh} r.}$

Li F(r) je Fisherova transformace r, vzorový korelační koeficient Spearmanova hodnocení a n je tedy velikost vzorku

${ displaystyle z = { sqrt { frac {n-3} {1.06}}} F (r)}$

je z-skóre pro r, který přibližně odpovídá standardu normální distribuce pod nulová hypotéza z statistická nezávislost (ρ = 0).^[8][9]

Lze také otestovat významnost pomocí

${ displaystyle t = r { sqrt { frac {n-2} {1-r ^ {2}}}},}$

který je distribuován přibližně jako Studentské t-rozdělení s n − 2 stupně volnosti pod nulová hypotéza.^[10] Odůvodnění tohoto výsledku závisí na permutačním argumentu.^[11]

Zevšeobecnění Spearmanova koeficientu je užitečné v situaci, kdy existují tři nebo více podmínek, v každém z nich je pozorován určitý počet subjektů a předpokládá se, že pozorování budou mít konkrétní pořadí. Například řadě subjektů může každý dostat tři pokusy se stejným úkolem a předpokládá se, že výkon se bude zlepšovat od pokusu k pokusu. Test významnosti trendu mezi podmínkami v této situaci vypracovala E. B. Page^[12] a obvykle se označuje jako Trendový test stránky pro objednané alternativy.

Korespondenční analýza založená na Spearmanově ρ

Klasický korespondenční analýza je statistická metoda, která dává skóre každé hodnotě dvou nominálních proměnných. Tímto způsobem Pearson korelační koeficient mezi nimi je maximalizována.

Existuje ekvivalent této metody s názvem klasifikační korespondenční analýza, což maximalizuje Spearmanovu ρ nebo Kendallův τ.^[13]

Softwarové implementace

• R Statistický základní balíček implementuje test cor.test (x, y, method = "spearman") ve svém balíčku "statistik" (také cor (x, y, method = "spearman") bude pracovat.
• MATLAB implementace: [r, p] = corr (x, y, 'Type', 'Spearman') kde r je Spearmanovův koeficient korelace, p je hodnota p a X a y jsou vektory. ^[14]
• Krajta. Lze vypočítat pomocí spearmanr funkce modulu scipy.stats.

Viz také

• Kendall tau rank korelační koeficient
• Čebyševova nerovnost součtu, přeskupení nerovnost (Tyto dva články mohou osvětlit matematické vlastnosti Spearmanaρ.)
• Korelace vzdálenosti
• Polychorická korelace

Reference

Další čtení

• Corder, G. W. & Foreman, D. I. (2014). Neparametrická statistika: přístup krok za krokem, Wiley. ISBN  978-1118840313.
• Daniel, Wayne W. (1990). "Spearmanův koeficient korelace". Aplikovaná neparametrická statistika (2. vyd.). Boston: PWS-Kent. str. 358–365. ISBN  978-0-534-91976-4.
• Spearman C. (1904). "Důkaz a měření asociace mezi dvěma věcmi". American Journal of Psychology. 15 (1): 72–101. doi:10.2307/1412159. JSTOR  1412159.
• Bonett D. G., Wright, T. A. (2000). "Požadavky na velikost vzorku pro korelace Pearson, Kendall a Spearman". Psychometrika. 65: 23–28. doi:10.1007 / bf02294183.CS1 maint: více jmen: seznam autorů (odkaz)
• Kendall M. G. (1970). Rank korelační metody (4. vydání). Londýn: Griffin. ISBN  978-0-852-6419-96. OCLC  136868.
• Hollander M., Wolfe D. A. (1973). Neparametrické statistické metody. New York: Wiley. ISBN  978-0-471-40635-8. OCLC  520735.
• Caruso J. C., Cliff N. (1997). "Empirická velikost, pokrytí a intervaly spolehlivosti pro Spearman's Rho". Vzdělávací a psychologické měření. 57 (4): 637–654. doi:10.1177/0013164497057004009.

externí odkazy

• Tabulka kritických hodnot ρ pro význam s malými vzorky
• Spearmanův koeficient korelace - průvodce Excel: ukázková data a vzorce pro Excel, vyvinuté Královská geografická společnost.