Centrální tendence - Central tendency

v statistika, a centrální tendence (nebo míra centrální tendence) je ústřední nebo typická hodnota pro a rozdělení pravděpodobnosti.^[1] Může se také nazývat a centrum nebo umístění distribuce. Hovorově se často nazývají opatření centrální tendence průměry. Termín centrální tendence pochází z konce 20. let 20. století.^[2]

Nejběžnějšími opatřeními centrální tendence jsou aritmetický průměr, medián a režimu. Střední tendenci lze vypočítat buď pro konečnou množinu hodnot, nebo pro teoretické rozdělení, například normální distribuce. Autoři občas používají centrální tendenci k označení „tendence kvantitativní data shlukovat kolem nějaké centrální hodnoty. “^[2]^[3]

Centrální tendence distribuce je obvykle v kontrastu s její disperze nebo variabilita; disperze a centrální tendence jsou často charakterizované vlastnosti distribucí. Analýza může posoudit, zda mají data silnou nebo slabou centrální tendenci na základě jejich rozptylu.

Opatření

Na jednorozměrná data lze použít následující. V závislosti na okolnostech může být vhodné data před výpočtem centrální tendence transformovat. Jako příklady lze uvést druhou mocninu hodnot nebo logaritmy. Zda je transformace vhodná a co by měla být, závisí do značné míry na analyzovaných datech.

Aritmetický průměr nebo jednoduše znamenat: součet všech měření dělený počtem pozorování v datové sadě.
Medián: střední hodnota, která odděluje horní polovinu od spodní poloviny souboru dat. Medián a režim jsou jedinými měřítky centrální tendence, které lze použít pořadová data, ve kterých jsou hodnoty vzájemně seřazeny, ale nejsou měřeny absolutně.
Režim: nejčastější hodnota v souboru dat. Toto je jediné měřítko centrální tendence, které lze použít nominální údaje, které mají čistě kvalitativní přiřazení kategorií.
Geometrický průměr: the nth kořen produktu datových hodnot, pokud existují n z nich. Toto opatření je platné pouze pro data, která jsou měřena absolutně v přísně pozitivním měřítku.
Harmonický průměr: the reciproční aritmetického průměru převrácených hodnot dat. Toto opatření je platné pouze pro data, která jsou měřena absolutně v přísně pozitivním měřítku.
Vážený aritmetický průměr: aritmetický průměr, který zahrnuje vážení určitých datových prvků.
Zkrácený průměr nebo oříznutý průměr: aritmetický průměr datových hodnot po určitém počtu nebo podílu nejvyšších a nejnižších hodnot dat byl zahozen.
Mezikvartilní průměr: zkrácený průměr na základě údajů v rámci Rozsah interkvartilní.
Střední pásmo: aritmetický průměr z maximální a minimální hodnoty souboru dat.
Midhinge: aritmetický průměr prvního a třetího kvartily.
Trimean: vážený aritmetický průměr mediánu a dvou kvartilů.
Winsorized průměr: aritmetický průměr, ve kterém extrémní hodnoty jsou nahrazeny hodnotami bližšími k mediánu.

Na každou dimenzi vícerozměrných dat lze použít kteroukoli z výše uvedených možností, ale výsledky nemusí být invariantní vůči rotacím vícerozměrného prostoru. Kromě toho existují

Geometrický medián: což minimalizuje součet vzdáleností k datovým bodům. To je stejné jako medián při použití na jednorozměrná data, ale není to totéž, jako když si vezmeme medián každé dimenze samostatně. Není invariantní k různým změnám měřítka různých dimenzí.
Kvadratický průměr (často známý jako střední kvadratická ): užitečné ve strojírenství, ale ve statistikách se často nepoužívá. Je to proto, že to není dobrý indikátor středu distribuce, když distribuce zahrnuje záporné hodnoty.
Jednoduchá hloubka: pravděpodobnost, že náhodně vybrán simplexní s vrcholy z dané distribuce bude obsahovat daný střed
Tukey medián: bod s vlastností, že každý poloviční prostor, který ho obsahuje, obsahuje také mnoho ukázkových bodů

Řešení variačních problémů

Několik opatření centrální tendence lze charakterizovat jako řešení variačního problému ve smyslu variační počet, a to minimalizace odchylek od středu. To znamená, vzhledem k míře statistická disperze, jeden žádá o míru centrální tendence, která minimalizuje variaci: taková, že variace od středu je minimální u všech možností centra. V vtipu, „disperze předchází umístění“. Tyto míry jsou zpočátku definovány v jedné dimenzi, ale lze je zobecnit na více dimenzí. Toto centrum může, ale nemusí být jedinečné. Ve smyslu $L p$ mezery, korespondence je:

$L p$	disperze	centrální tendence
$L 0$	variační poměr	režimu^[A]
$L 1$	průměrná absolutní odchylka	medián (geometrický medián )^[b]
$L 2$	standardní odchylka	znamenat (těžiště )^[C]
$L \infty$	maximální odchylka	střední pásmo^[d]

Přidružené funkce se nazývají $p$ -normy: 0– „norma“, 1-norma, 2-norma a ∞-norma. Funkce odpovídající L⁰ prostor není normou, a proto se na něj často odkazuje v uvozovkách: 0- „norma“.

V rovnicích pro danou (konečnou) datovou sadu $X$ , myšlenka jako vektor $X = (X 1,\dots, X n)$ , disperze kolem bodu $C$ je „vzdálenost“ od $X$ na konstantní vektor $C = (C,\dots, C)$ v p-norm (normalizováno počtem bodů n):

{displaystyle f_ {p} (c) = left | mathbf {x} -mathbf {c} ight | _ {p}: = {igg (} {frac {1} {n}} součet _ {i = 1} ^ {n} vlevo | x_ {i} -cight | ^ {p} {igg)} ^ {1 / p}}

Pro $p = 0$ a $p = \infty$ tyto funkce jsou definovány převzetím limitů, resp $p \to 0$ a $p \to \infty$ . Pro $p = 0$ mezní hodnoty jsou $00 = 0$ a $A 0 = 0$ nebo $A \neq 0$ , takže rozdíl se stane jednoduše rovností, takže 0-norma počítá počet nerovné bodů. Pro $p = \infty$ dominuje největší počet, a tedy ∞-norma je maximální rozdíl.

Jedinečnost

Průměr (L² střed) a střední pásmo (L^∞ centrum) jsou jedinečné (pokud existují), zatímco medián (L¹ střed) a režim (L⁰ centrum) nejsou obecně jedinečné. To lze chápat ve smyslu konvexnost souvisejících funkcí (donucovací funkce ).

2-norma a ∞-norma jsou přísně konvexní, a tedy (konvexní optimalizací) je minimalizátor jedinečný (pokud existuje) a existuje pro omezené distribuce. Směrodatná odchylka od průměru je tedy nižší než směrodatná odchylka od kteréhokoli jiného bodu a maximální odchylka od středního pásma je nižší než maximální odchylka od kteréhokoli jiného bodu.

1-norma není přísně konvexní, zatímco k zajištění jedinečnosti minimalizátoru je nutná přísná konvexnost. Odpovídajícím způsobem není medián (v tomto smyslu minimalizace) obecně jedinečný a ve skutečnosti jakýkoli bod mezi dvěma centrálními body diskrétního rozdělení minimalizuje průměrnou absolutní odchylku.

0- „norma“ není konvexní (tedy není normou). Odpovídajícím způsobem není režim jedinečný - například v jednotném rozdělení žádný bod je režim.

Shlukování

Místo jediného centrálního bodu lze požádat o více bodů, aby se minimalizovala odchylka od těchto bodů. Tohle vede k shluková analýza, kde je každý bod v datové sadě seskupen s nejbližším „středem“. Nejčastěji použití 2-normy zobecňuje průměr na k- znamená shlukování, při použití 1-normy zobecňuje (geometrický) medián na k-mediánové shlukování. Použití 0-normy jednoduše zobecní režim (nejběžnější hodnotu) na použití k nejběžnější hodnoty jako centra.

Na rozdíl od statistik s jedním centrem nelze toto multicentrické shlukování obecně vypočítat v a uzavřený výraz, a místo toho musí být vypočítány nebo aproximovány znakem iterační metoda; jeden obecný přístup je algoritmy očekávání – maximalizace.

Informační geometrie

Pojem „střed“ jako minimalizace variací lze zobecnit informační geometrie jako distribuce, která minimalizuje divergence (zobecněná vzdálenost) z datové sady. Nejběžnějším případem je odhad maximální věrohodnosti, kde odhad maximální pravděpodobnosti (MLE) maximalizuje pravděpodobnost (minimalizuje očekávané hodnoty) překvapení ), které lze interpretovat geometricky pomocí entropie měřit variace: MLE minimalizuje křížová entropie (ekvivalentně, relativní entropie, Kullback – Leiblerova divergence).

Jednoduchý příklad je pro střed nominálních dat: místo použití režimu (jediné jednohodnotové „centrum“) se často používá empirická míra (dále jen rozdělení frekvence děleno velikost vzorku ) jako „střed“. Například zadáno binární data řekněme hlavy nebo ocasy, pokud se datová sada skládá ze 2 hlav a 1 ocasu, pak je režim „hlavy“, ale empirické měřítko je 2/3 hlavy, 1/3 ocasy, což minimalizuje křížovou entropii (celkové překvapení ) ze souboru dat. Tato perspektiva se také používá v regresní analýza, kde nejmenší čtverce najde řešení, které minimalizuje vzdálenosti od něj, a analogicky v logistická regrese, odhad maximální pravděpodobnosti minimalizuje překvapení (informační vzdálenost).

Vztahy mezi průměrem, mediánem a módem

Pro unimodální distribuce následující hranice jsou známé a jsou ostré:^[4]

{displaystyle {frac {| heta -mu |} {sigma}} leq {sqrt {3}},}

{displaystyle {frac {| u -mu |} {sigma}} leq {sqrt {0,6}},}

{displaystyle {frac {| heta -u |} {sigma}} leq {sqrt {3}},}

kde μ je průměr, ν je medián, θ je režim a σ je směrodatná odchylka.

Pro každou distribuci^[5]^[6]

{displaystyle {frac {| u -mu |} {sigma}} leq 1.}

Viz také

Poznámky

^ Na rozdíl od ostatních měr režim nevyžaduje žádnou geometrii na množině, a proto platí stejně v jedné dimenzi, více dimenzích nebo dokonce pro kategorické proměnné.
^ Medián je definován pouze v jedné dimenzi; geometrický medián je vícerozměrné zobecnění.
^ Průměr lze definovat shodně pro vektory ve více dimenzích jako pro skaláry v jedné dimenzi; vícerozměrná forma se často nazývá těžiště.
^ Ve více dimenzích lze střední pásmo definovat po souřadnicích (vezměte střed každé souřadnice), i když to není běžné.

Reference

^ Weisberg H.F (1992) Centrální tendence a variabilitaSage University Paper Series o kvantitativních aplikacích ve společenských vědách, ISBN 0-8039-4007-6 str.2
^ ^A ^b Upton, G .; Cook, I. (2008) Oxfordský statistický slovník, OUP ISBN 978-0-19-954145-4 (položka pro „centrální tendenci“)
^ Dodge, Y. (2003) Oxfordský slovník statistických pojmů, OUP pro Mezinárodní statistický institut. ISBN 0-19-920613-9 (položka pro „centrální tendenci“)
^ Johnson NL, Rogers CA (1951) „Momentální problém pro unimodální distribuce“. Annals of Mathematical Statistics, 22 (3) 433–439
^ Hotelling H, Solomons LM (1932) Meze míry šikmosti. Annals Math Stat 3, 141–114
^ Garver (1932) Co se týče hranic mezeare skewness. Statistiky Ann Math 3 (4) 141–142

[4] Na rozdíl od ostatních měr režim nevyžaduje žádnou geometrii na množině, a proto platí stejně v jedné dimenzi, více dimenzích nebo dokonce pro kategorické proměnné.

[5] Medián je definován pouze v jedné dimenzi; geometrický medián je vícerozměrné zobecnění.

[6] Průměr lze definovat shodně pro vektory ve více dimenzích jako pro skaláry v jedné dimenzi; vícerozměrná forma se často nazývá těžiště.

[7] Ve více dimenzích lze střední pásmo definovat po souřadnicích (vezměte střed každé souřadnice), i když to není běžné.

[Weisberg-1] Weisberg H.F (1992) Centrální tendence a variabilitaSage University Paper Series o kvantitativních aplikacích ve společenských vědách, ISBN 0-8039-4007-6 str.2

[Upton-2] A ^b Upton, G .; Cook, I. (2008) Oxfordský statistický slovník, OUP ISBN 978-0-19-954145-4 (položka pro „centrální tendenci“)

[Dodge-3] Dodge, Y. (2003) Oxfordský slovník statistických pojmů, OUP pro Mezinárodní statistický institut. ISBN 0-19-920613-9 (položka pro „centrální tendenci“)

[Johnson1951-8] Johnson NL, Rogers CA (1951) „Momentální problém pro unimodální distribuce“. Annals of Mathematical Statistics, 22 (3) 433–439

[Hotelling1932-9] Hotelling H, Solomons LM (1932) Meze míry šikmosti. Annals Math Stat 3, 141–114

[Garver1932-10] Garver (1932) Co se týče hranic mezeare skewness. Statistiky Ann Math 3 (4) 141–142

[1]

[2]

[3]

[A]

[b]

[C]

[d]

[4]

[5]

[6]