Poměr pravděpodobnosti monotónní - Monotone likelihood ratio

Monotónní poměr pravděpodobnosti v distribucích ${displaystyle f (x)}$ a ${displaystyle g (x)}$

Poměr hustotní funkce výše se zvyšuje v parametru ${displaystyle x}$, tak ${displaystyle f (x) / g (x)}$ uspokojuje monotónní poměr pravděpodobnosti vlastnictví.

v statistika, vlastnost poměru monotónních pravděpodobností je vlastnost poměru dvou funkce hustoty pravděpodobnosti (Soubory PDF). Formálně distribuce ƒ(X) a G(X) nést majetek, pokud

${displaystyle {ext {for every}} x_ {1}> x_ {0}, quad {frac {f (x_ {1})} {g (x_ {1})}} geq {frac {f (x_ {0 })} {g (x_ {0})}}}$

tj. pokud poměr v argumentu neklesá ${displaystyle x}$.

Pokud jsou funkce nejprve rozlišitelné, může být někdy uvedena vlastnost

${displaystyle {frac {částečné} {částečné x}} vlevo ({frac {f (x)} {g (x)}} vpravo) geq 0}$

U dvou distribucí, které splňují definici s ohledem na nějaký argument x, říkáme, že „mají MLRP X"Pro rodinu distribucí, které všechny splňují definici s ohledem na nějakou statistiku." T(X), říkáme, že „mají MLR T(X)."

Intuice

MLRP se používá k reprezentaci procesu generování dat, který má přímý vztah mezi velikostí nějaké pozorované proměnné a distribucí, ze které čerpá. Li ${displaystyle f (x)}$ splňuje MLRP s ohledem na ${displaystyle g (x)}$, tím vyšší je pozorovaná hodnota ${displaystyle x}$, tím pravděpodobnější to bylo čerpáno z distribuce ${displaystyle f}$ spíše než ${displaystyle g}$. Jak je u monotónních vztahů obvyklé, monotónnost poměru pravděpodobnosti se ve statistikách hodí, zejména při použití maximální pravděpodobnost odhad. Také distribuční rodiny s MLR mají řadu dobře vychovaných stochastických vlastností, například stochastická dominance prvního řádu a zvyšuje se poměry nebezpečí. Bohužel, jak je také obvyklé, síla tohoto předpokladu přichází za cenu realismu. Mnoho procesů na světě nevykazuje monotónní korespondenci mezi vstupem a výstupem.

Příklad: Tvrdě pracujte nebo se uvolněte

Předpokládejme, že pracujete na projektu a můžete buď tvrdě pracovat, nebo se uvolnit. Zavolejte svému výběru úsilí ${displaystyle e}$ a kvalita výsledného projektu ${displaystyle q}$. Pokud MLRP platí pro distribuci q podmíněn vaším úsilím ${displaystyle e}$čím vyšší kvalita, tím pravděpodobněji tvrdě pracujete. Naopak, čím nižší je kvalita, tím je pravděpodobnější, že jste se uvolnili.

1. Vyberte si úsilí ${displaystyle ein {H, L}}$ kde H znamená vysoký, L znamená nízký
2. Pozorovat ${displaystyle q}$ vybrané z ${displaystyle f (qmid e)}$. Podle Bayesův zákon s uniformou před

   ${displaystyle Pr [e = Hmid q] = {frac {f (qmid H)} {f (qmid H) + f (qmid L)}}}$

3. Předpokládat ${displaystyle f (qmid e)}$ splňuje MLRP. Při přeskupení je pravděpodobnost, že pracovník tvrdě pracoval

${displaystyle {frac {1} {1 + f (qmid L) / f (qmid H)}}}$

který se díky MLRP monotónně zvyšuje ${displaystyle q}$ (protože ${displaystyle f (qmid L) / f (qmid H)}$ klesá v ${displaystyle q}$). Pokud tedy některý zaměstnavatel provádí „kontrolu výkonu“, může odvodit chování svého zaměstnance ze zásluh jeho práce.

Rodiny distribucí splňující MLR

Statistické modely často předpokládají, že data jsou generována distribucí z některé distribuční rodiny a snaží se tuto distribuci určit. Tato úloha je zjednodušena, pokud má rodina vlastnost monotónní pravděpodobnosti poměru (MLRP).

Rodina funkcí hustoty ${displaystyle {f_ {heta} (x)} _ {heta v Theta}}$ indexováno parametrem ${displaystyle heta}$ odebírání hodnot v uspořádané sadě ${displaystyle Theta}$ říká se, že má poměr pravděpodobnosti monotónní (MLR) v statistický ${displaystyle T (X)}$ pokud pro nějaké ${displaystyle heta _ {1}$,

${displaystyle {frac {f_ {heta _ {2}} (X = x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}, dots)} {f_ {heta _ {1}} (X = x_ {1} , x_ {2}, x_ {3}, tečky)}}}$ je neklesající funkce ${displaystyle T (X)}$.

Pak říkáme, že rodina distribucí „má MLR ${displaystyle T (X)}$".

Seznam rodin

Rodina	${displaystyle T (X)}$ ve kterém ${displaystyle f_ {heta} (X)}$ má MLR
Exponenciální${displaystyle [lambda]}$	${displaystyle sum x_ {i}}$ pozorování
Binomický${displaystyle [n, p]}$	${displaystyle sum x_ {i}}$ pozorování
jed${displaystyle [lambda]}$	${displaystyle sum x_ {i}}$ pozorování
Normální${displaystyle [mu, sigma]}$	-li ${displaystyle sigma}$ známý, ${displaystyle sum x_ {i}}$ pozorování

Testování hypotéz

Pokud má rodina náhodných proměnných MLRP ${displaystyle T (X)}$, a jednotně nejsilnější test lze snadno určit pro hypotézu ${displaystyle H_ {0}: heta leq heta _ {0}}$ proti ${displaystyle H_ {1}: heta> heta _ {0}}$.

Příklad: Úsilí a výstup

Příklad: Let ${displaystyle e}$ být vstupem do stochastické technologie - například úsilí pracovníka - a ${displaystyle y}$ jeho výstup, jehož pravděpodobnost je popsána funkcí hustoty pravděpodobnosti ${displaystyle f (y; e).}$ Potom vlastnost monotónní pravděpodobnosti poměru (MLRP) rodiny ${displaystyle f}$ je vyjádřen následovně: pro všechny ${displaystyle e_ {1}, e_ {2}}$, Skutečnost, že ${displaystyle e_ {2}> e_ {1}}$ znamená, že poměr ${displaystyle f (y; e_ {2}) / f (y; e_ {1})}$ se zvyšuje v ${displaystyle y}$.

Vztah k dalším statistickým vlastnostem

Monotónní pravděpodobnosti se používají v několika oblastech statistické teorie, včetně bodový odhad a testování hypotéz, stejně jako v pravděpodobnostní modely.

Exponenciální rodiny

Jeden parametr exponenciální rodiny mají monotónní funkce pravděpodobnosti. Zejména jednorozměrná exponenciální rodina funkce hustoty pravděpodobnosti nebo pravděpodobnostní hromadné funkce s

${displaystyle f_ {heta} (x) = c (heta) h (x) exp (pi (heta) T (x))}$

má monotónní neklesající poměr pravděpodobnosti v dostatečná statistika T(X), za předpokladu, že ${displaystyle pi (heta)}$ neklesá.

Nejvýkonnější testy: Karlin – Rubinova věta

Monotónní funkce pravděpodobnosti se používají ke konstrukci jednotně nejvýkonnější testy, podle Karlin – Rubinova věta.^[1] Zvažte skalární měření, které má funkci hustoty pravděpodobnosti parametrizovanou skalárním parametrem θa definujte poměr pravděpodobnosti ${displaystyle ell (x) = f_ {heta _ {1}} (x) / f_ {heta _ {0}} (x)}$.Li ${displaystyle ell (x)}$ je monotónní neklesající, v ${displaystyle x}$, pro jakýkoli pár ${displaystyle heta _ {1} geq heta _ {0}}$ (což znamená, že čím větší ${displaystyle x}$ je tím pravděpodobnější ${displaystyle H_ {1}}$ je), pak test prahu:

${displaystyle varphi (x) = {egin {cases} 1 & {ext {if}} x> x_ {0} 0 & {ext {if}} x$

kde ${displaystyle x_ {0}}$ je vybrán tak, aby ${displaystyle operatorname {E} _ {heta _ {0}} varphi (X) = alpha}$

je UMP test velikosti α pro testování ${displaystyle H_ {0}: heta leq heta _ {0} {ext {vs.}} H_ {1}: heta> heta _ {0}.}$

Všimněte si, že přesně stejný test je také UMP pro testování ${displaystyle H_ {0}: heta = heta _ {0} {ext {vs.}} H_ {1}: heta> heta _ {0}.}$

Střední nestranný odhad

Monotónní funkce pravděpodobnosti se používají ke konstrukci mediánově nezaujaté odhady pomocí metod specifikovaných Johannem Pfanzaglem a dalšími.^[2][3] Jeden takový postup je obdobou Rao – Blackwell postup pro průměrné nezaujaté odhady: Postup platí pro menší třídu distribucí pravděpodobnosti než postup Rao – Blackwell pro průměrně nestranný odhad, ale pro větší třídu ztrátové funkce.^[3](p713)

Celoživotní analýza: Analýza přežití a spolehlivost

Pokud je to rodina distribucí ${displaystyle f_ {heta} (x)}$ má vlastnost poměru monotónních pravděpodobností v ${displaystyle T (X)}$,

1. rodina má monotónní pokles míry nebezpečnosti v ${displaystyle heta}$ (ale ne nutně v ${displaystyle T (X)}$)
2. rodina vystavuje první řád (a tedy druhý řád) stochastická dominance v ${displaystyle x}$a nejlepší Bayesianská aktualizace ${displaystyle heta}$ se zvyšuje v ${displaystyle T (X)}$.

Ale ne naopak: ani monotónní míra rizika, ani stochastická dominance neznamenají MLRP.

Důkazy

Nechte distribuční rodinu ${displaystyle f_ {heta}}$ uspokojit MLR v X, takže pro ${displaystyle heta _ {1}> heta _ {0}}$ a ${displaystyle x_ {1}> x_ {0}}$:

${displaystyle {frac {f_ {heta _ {1}} (x_ {1})} {f_ {heta _ {0}} (x_ {1})}} geq {frac {f_ {heta _ {1}} ( x_ {0})} {f_ {heta _ {0}} (x_ {0})}},}$

nebo ekvivalentně:

${displaystyle f_ {heta _ {1}} (x_ {1}) f_ {heta _ {0}} (x_ {0}) geq f_ {heta _ {1}} (x_ {0}) f_ {heta _ { 0}} (x_ {1}).,}$

Integrací tohoto výrazu dvakrát získáme:

1. To ${displaystyle x_ {1}}$ s ohledem na ${displaystyle x_ {0}}$ ${displaystyle {egin {aligned} & int _ {min _ {x} in X} ^ {x_ {1}} f_ {heta _ {1}} (x_ {1}) f_ {heta _ {0}} (x_ { 0}), dx_ {0} [6pt] geq {} & int _ {min _ {x} v X} ^ {x_ {1}} f_ {heta _ {1}} (x_ {0}) f_ {heta _ {0}} (x_ {1}), dx_ {0} konec {zarovnáno}}}$ integrovat a přeskupit získat ${displaystyle {frac {f_ {heta _ {1}}} {f_ {heta _ {0}}}} (x) geq {frac {F_ {heta _ {1}}} {F_ {heta _ {0}} }}(X)}$		2. Od ${displaystyle x_ {0}}$ s ohledem na ${displaystyle x_ {1}}$ ${displaystyle {egin {aligned} & int _ {x_ {0}} ^ {max _ {x} in X} f_ {heta _ {1}} (x_ {1}) f_ {heta _ {0}} (x_ { 0}), dx_ {1} [6pt] geq {} & int _ {x_ {0}} ^ {max _ {x} v X} f_ {heta _ {1}} (x_ {0}) f_ {heta _ {0}} (x_ {1}), dx_ {1} konec {zarovnáno}}}$ integrovat a přeskupit získat ${displaystyle {frac {1-F_ {heta _ {1}} (x)} {1-F_ {heta _ {0}} (x)}} geq {frac {f_ {heta _ {1}}} {f_ {heta _ {0}}}} (x)}$

Stochastická dominance prvního řádu

Zkombinujte výše uvedené dvě nerovnosti a získáte dominanci prvního řádu:

${displaystyle F_ {heta _ {1}} (x) leq F_ {heta _ {0}} (x) pro všechny x}$

Míra monotónního rizika

Použijte pouze druhou nerovnost výše k získání míry monotónního rizika:

${displaystyle {frac {f_ {heta _ {1}} (x)} {1-F_ {heta _ {1}} (x)}} leq {frac {f_ {heta _ {0}} (x)} { 1-F_ {heta _ {0}} (x)}} celkem x}$

Použití

Ekonomika

MLR je důležitou podmínkou pro rozdělení typů agentů v konstrukce mechanismu.^{[Citace je zapotřebí ]} Většina řešení pro návrhové modely mechanismů předpokládá distribuci typů, která uspokojí MLR, aby využila výhody běžné metody řešení.^{[Citace je zapotřebí ]}

Reference