(a, b, 0) třída distribucí - (a,b,0) class of distributions

v teorie pravděpodobnosti, distribuce a diskrétní náhodná proměnná N jehož hodnoty jsou nezáporná celá čísla, se říká, že je členem (A, b, 0) třída distribucí Pokud je to funkce pravděpodobnostní hmotnosti poslouchá

${ displaystyle { frac {p_ {k}} {p_ {k-1}}} = a + { frac {b} {k}}, qquad k = 1,2,3, dots}$

kde ${ displaystyle p_ {k} = P (N = k)}$ (pokud ${ displaystyle a}$ a ${ displaystyle b}$ existují a jsou skutečné).

Existují pouze tři diskrétní distribuce, které uspokojují plnou formu tohoto vztahu: jed, binomický a negativní binomický distribuce. Toto jsou také tři diskrétní distribuce mezi šesti členy přirozená exponenciální rodina s kvadratickými rozptylovými funkcemi (NEF – QVF).

Obecnější distribuce lze definovat opravením některých počátečních hodnot str_j a použití rekurze k definování následných hodnot. To může být užitečné při přizpůsobování distribucí empirickým datům. Jsou však k dispozici některé další dobře známé distribuce, pokud výše uvedená rekurze vyžaduje pouze omezený rozsah hodnot k:^[1] například logaritmická distribuce a diskrétní rovnoměrné rozdělení.

(A, b, 0) třída distribucí má v aplikaci důležité aplikace pojistněmatematická věda v souvislosti se ztrátovými modely.^[2]

Vlastnosti

Sundt^[3] dokázal, že pouze binomická distribuce, Poissonovo rozdělení a negativní binomické rozdělení patří do této třídy distribucí, přičemž každá distribuce je reprezentována jiným znaménkemA. Dále to ukázal Fackler^[4] že pro všechny tři distribuce existuje univerzální vzorec, který se nazývá (sjednocená) distribuce Panjer.

Obvyklejší parametry těchto distribucí jsou určeny oběma A ab. Vlastnosti těchto distribucí ve vztahu k současné třídě distribucí jsou shrnuty v následující tabulce. Všimněte si, že ${ displaystyle W_ {N} (x) ,}$ označuje funkce generující pravděpodobnost.

Rozdělení	${ displaystyle P [N = k] ,}$	${ displaystyle a ,}$	${ displaystyle b ,}$	${ displaystyle p_ {0} ,}$	${ displaystyle W_ {N} (x) ,}$	${ displaystyle E [N] ,}$	${ displaystyle Var (N) ,}$
Binomický	${ displaystyle { binom {n} {k}} p ^ {k} (1-p) ^ {n-k}}$	${ displaystyle { frac {-p} {1-p}}}$	${ displaystyle { frac {p (n + 1)} {1-p}}}$	${ displaystyle (1-p) ^ {n} ,}$	${ displaystyle (px + (1-p)) ^ {n} ,}$	${ displaystyle np ,}$	${ displaystyle np (1-p) ,}$
jed	${ displaystyle e ^ {- lambda} { frac { lambda ^ {k}} {k!}} ,}$	${ displaystyle 0 ,}$	${ displaystyle lambda ,}$	${ displaystyle e ^ {- lambda} ,}$	${ displaystyle e ^ { lambda (x-1)} ,}$	${ displaystyle lambda ,}$	${ displaystyle lambda ,}$
Negativní binomický	${ displaystyle { frac { Gamma (r + k)} {k! , Gamma (r)}} , p ^ {r} , (1-p) ^ {k} ,}$	${ displaystyle 1-p ,}$	${ displaystyle (1-p) (r-1) ,}$	${ displaystyle p ^ {r} ,}$	${ displaystyle left ({ frac {p} {1-x (1-p)}} right) ^ {r} ,}$	${ displaystyle { frac {r (1-p)} {p}} ,}$	${ displaystyle { frac {r (1-p)} {p ^ {2}}} ,}$
Distribuce Panjer	${ displaystyle left (1 + { frac { lambda} { alpha}} right) ^ {- alpha} { frac { lambda ^ {k}} {k!}} prod _ {i = 0} ^ {k-1} { frac { alpha + i} { alpha + lambda}} ,}$	${ displaystyle { frac { lambda} { alpha + lambda}} ,}$	${ displaystyle { frac {( alfa -1) lambda} { alfa + lambda}} ,}$	${ displaystyle left (1 + { frac { lambda} { alpha}} right) ^ {- alpha} ,}$	${ displaystyle left (1 - { frac { lambda} { alpha}} (x-1) right) ^ {- alpha} ,}$	${ displaystyle lambda ,}$	${ displaystyle lambda vlevo (1 + { frac { lambda} { alfa}} vpravo) ,}$

Všimněte si, že Panjerovo rozdělení se v limitním případě redukuje na Poissonovo rozdělení ${ displaystyle alpha rightarrow pm infty}$; shoduje se se záporným binomickým rozdělením pro kladná, konečná reálná čísla ${ displaystyle alpha in mathbb {R} _ {> 0}}$a rovná se binomickému rozdělení pro záporná celá čísla ${ displaystyle - alpha in mathbb {Z}}$.

Vykreslování

Snadný způsob, jak rychle zjistit, zda byl daný vzorek odebrán z distribuce z (A,b, 0) třída je grafem poměru dvou po sobě jdoucích pozorovaných dat (vynásobených konstantou) vůči X-osa.

Vynásobením obou stran rekurzivního vzorce číslem ${ displaystyle k}$, dostaneš

${ displaystyle k , { frac {p_ {k}} {p_ {k-1}}} = ak + b,}$

což ukazuje, že levá strana je zjevně lineární funkcí ${ displaystyle k}$. Při použití vzorku ${ displaystyle n}$ údaje, aproximace ${ displaystyle p_ {k}}$je třeba udělat. Li ${ displaystyle n_ {k}}$ představuje počet pozorování, která mají hodnotu ${ displaystyle k}$, pak ${ displaystyle { hat {p}} _ {k} = { frac {n_ {k}} {n}}}$ je objektivní odhadce pravdy ${ displaystyle p_ {k}}$.

Pokud je tedy vidět lineární trend, lze předpokládat, že data jsou převzata z (A,b, 0) distribuce. Navíc sklon funkce by byl parametr ${ displaystyle a}$, zatímco souřadnice na počátku by byla ${ displaystyle b}$.

Viz také

• Panjerova rekurze

Reference