Trendový test Jonckheeres - Jonckheeres trend test - Wikipedia

v statistika, Trendový test Jonckheere^[1] (někdy nazývaný Jonckheere – Terpstra^[2] test) je test pro objednané alternativní hypotéza v rámci designu nezávislých vzorků (mezi účastníky). Je to podobné jako u Kruskal – Wallisův test v tom nulová hypotéza je, že několik nezávislých vzorků pochází ze stejné populace. S testem Kruskal – Wallis však neexistuje apriorní uspořádání populací, ze kterých jsou vzorky odebrány. Když tam je a priori objednávání, Jonckheere test má více statistická síla než test Kruskal – Wallis. Test byl vyvinut společností Cílený Robert Jonckheere, který byl psychologem a statistikem v University College v Londýně.

Nulové a alternativní hypotézy lze pohodlně vyjádřit pomocí mediánu populace pro k populace (kde k > 2). Pronájem θ_i být populací medián pro iu této populace je nulová hypotéza:

${ displaystyle H_ {0}: theta _ {1} = theta _ {2} = cdots = theta _ {k}}$

Alternativní hypotéza je, že medián populace má a priori uspořádání např .:

${ displaystyle H_ {A}: theta _ {1}}$ ≤ ${ displaystyle theta _ {2}}$ ≤ ${ displaystyle cdots}$ ≤ ${ displaystyle theta _ {k}}$

s alespoň jednou přísnou nerovností.

Postup

Na test lze pohlížet jako na zvláštní případ Maurice Kendall Obecnější metoda hodnostní korelace^[3] a využívá Kendall S statistický. To lze vypočítat jedním ze dvou způsobů:

Metoda „přímého počítání“

1. Uspořádejte vzorky v předpokládaném pořadí
2. Pro každé skóre zase spočítejte, kolik skóre ve vzorcích vpravo je větší než dané skóre. Tohle je P.
3. Pro každé skóre zase spočítejte, kolik skóre ve vzorcích vpravo je menší než dané skóre. Tohle je Q.
4. S = P – Q

„Námořní“ metoda

1. Vložit data do objednaného pohotovostní tabulka, s úrovněmi nezávislé proměnné zvyšující se zleva doprava a hodnoty závislá proměnná roste shora dolů.
2. U každé položky v tabulce spočítejte všechny ostatní položky, které leží na „jihovýchodě“ konkrétní položky. Tohle je P.
3. U každé položky v tabulce spočítejte všechny ostatní položky, které leží na „Jihozápad“ konkrétní položky. Tohle je Q.
4. S = P – Q

Všimněte si, že v nezávislé proměnné vždy budou vazby (jednotlivci jsou „vázáni“ v tom smyslu, že jsou ve stejné skupině), ale v závislé proměnné mohou nebo nemusí být vazby. Pokud neexistují žádné vazby - nebo se vazby vyskytují v konkrétním vzorku (což nemá vliv na hodnotu statistiky testu) - přesné tabulky S jsou dostupné; například Jonckheere^[1] poskytl vybrané tabulky pro hodnoty k od 3 do 6 a stejné velikosti vzorků (m) od 2 do 5. Leach představoval kritické hodnoty S pro k = 3 s velikostí vzorku v rozmezí od 2,2,1 do 5,5,5.^[4]

Normální aproximace na S

The standardní normální rozdělení lze použít k přiblížení distribuce S pod nulovou hypotézou pro případy, kdy nejsou k dispozici přesné tabulky. The znamenat distribuce S bude vždy nula a za předpokladu, že mezi hodnotami ve dvou (nebo více) různých vzorcích nejsou žádné vazby rozptyl darováno

${ displaystyle operatorname {VAR} (S) = { frac {2 (n ^ {3} - součet t_ {i} ^ {3}) + 3 (n ^ {2} - součet t_ {i} ^ {2})} {18}}}$

Kde n je celkový počet skóre a t_i je počet skóre v i-tom vzorku. Aproximaci standardního normálního rozdělení lze zlepšit použitím korekce spojitosti: S_C = |S| - 1. Tedy 1 se odečte od pozitivu S hodnota a 1 se přidá k zápornému S hodnota. Ekvivalent z-skóre je pak dán vztahem

${ displaystyle z = { frac {S_ {c}} { sqrt { operatorname {VAR} (S)}}}}$

Kravaty

Pokud jsou skóre svázána mezi hodnotami ve dvou (nebo více) různých vzorcích, neexistuje přesná tabulka pro rozdělení S a je třeba použít přiblížení k normálnímu rozdělení. V tomto případě se na hodnotu S a rozptyl je dán vztahem

${ displaystyle { begin {aligned} operatorname {VAR} (S) = & { frac {2 left (n ^ {3} - sum t_ {i} ^ {3} - sum u_ {i} ^ {3} right) +3 left (n ^ {2} - sum t_ {i} ^ {2} - sum u_ {i} ^ {2} right) + 5n} {18}} & {} + { frac { left ( sum t_ {i} ^ {3} -3 sum t_ {i} ^ {2} + 2n right) left ( sum u_ {i} ^ { 3} -3 sum u_ {i} ^ {2} + 2n right)} {9n (n-1) (n-2)}} & {} + { frac { left ( sum t_ {i} ^ {2} -n right) left ( sum u_ {i} ^ {2} -n right)} {2n (n-1)}} end {zarovnáno}}}$

kde t_i je řádek mezní součet a u_i mezní součet sloupců v kontingenční tabulce. The z-skóre ekvivalent je pak dán

${ displaystyle z = { frac {S} { sqrt { operatorname {VAR} (S)}}}}$

Numerický příklad

Při částečné replikaci studie Loftuse a Palmera byli účastníci náhodně přiřazeni k jedné ze tří skupin a poté promítli film dvou aut, která do sebe narazila.^[5] Po zhlédnutí filmu dostali účastníci v jedné skupině následující otázku: „O tom, jak rychle jedou auta, když se navzájem kontaktují?“ Účastníci druhé skupiny byli požádáni: „O tom, jak rychle jedou auta, když do sebe narazily?“ Účastníci třetí skupiny byli požádáni: „O tom, jak rychle jedou auta, když do sebe narazily?“ Loftus a Palmer předpovídali, že použité akční sloveso (kontaktované, narazené, rozbité) ovlivní odhady rychlosti v mílích za hodinu (mph), takže akční slovesa naznačující větší energii povedou k vyšším odhadovaným rychlostem. Byly získány následující výsledky (simulovaná data):

Kontaktováno	Narazil	Rozbité
10	12	20
12	18	25
14	20	27
16	22	30
mdn = 13	mdn = 19	mdn = 26

Metoda „přímého počítání“

• Ukázky jsou již v předpokládaném pořadí
• Pro každé skóre zase spočítejte, kolik skóre ve vzorcích vpravo je větší než skóre, které chcete získat P:

P = 8 + 7 + 7 + 7 + 4 + 4 + 3 + 3 = 43

• Pro každé skóre zase spočítejte, kolik skóre ve vzorcích vpravo je menší než skóre, které chcete získat Q:

Q = 0 + 0 + 1 + 1 + 0 + 0 + 0 + 1 = 3

• S = P - Q = 43 - 3
• S = 40

„Námořní“ metoda

• Přeneste data do objednané pohotovostní tabulky

mph	Kontaktováno	Narazil	Rozbité	Součty (ti)
10	1	0	0	1
12	1	1	0	2
14	1	0	0	1
16	1	0	0	1
18	0	1	0	1
20	0	1	1	2
22	0	1	0	1
25	0	0	1	1
27	0	0	1	1
30	0	0	1	1
Součty (ui)	4	4	4	12

• U každé položky v tabulce spočítejte všechny ostatní položky, které leží na „jihovýchodě“ konkrétní položky. Tohle je P:

P = (1 × 8) + (1 × 7) + (1 × 7) + (1 × 7) + (1 × 4) + (1 × 4) + (1 × 3) + ( 1 × 3) = 43

• U každé položky v tabulce spočítejte všechny ostatní položky, které leží na „Jihozápad“ konkrétní položky. Tohle je Q:

Q = (1 × 2) + (1 × 1) = 3

• S = P − Q = 43 − 3
• S = 40

Pomocí přesných tabulek

Když je vazeb mezi vzorky málo (jako v tomto příkladu), Leach navrhl, že ignorování vazeb a použití přesných tabulek by poskytlo přiměřeně přesný výsledek.^[4] Jonckheere navrhl prolomit vazby proti alternativní hypotéze a poté použít přesné tabulky.^[1] V aktuálním příkladu, kde se vázané výsledky zobrazují pouze v sousedních skupinách, je hodnota S se nezmění, pokud dojde k porušení vazeb vůči alternativní hypotéze. To lze ověřit nahrazením 11 mph namísto 12 mph v narazeném vzorku a 19 mph namísto 20 mph v rozbitém a přepočtením statistiky testu. Ze stolů s k = 3 a m = 4, kritický S hodnota pro α = 0,05 je 36 a výsledek by tak byl deklarován statisticky významný na této úrovni.

Výpočet standardní normální aproximace

${ displaystyle { text {As}} n = 12 { text {,}} n ^ {2} = 144 { text {and}} n ^ {3} = 1728. { text {Také}}}$

${ Displaystyle součet (t_ {i} ^ {2}) = 16}$

${ displaystyle součet (t_ {i} ^ {3}) = 24}$

${ displaystyle součet (u_ {i} ^ {2}) = 48}$

${ Displaystyle součet (u_ {i} ^ {3}) = 192}$

Rozptyl S je tedy

${ displaystyle { begin {aligned} operatorname {VAR} (S) = & { frac {2 (1728-24-192) +3 (144-16-48) +60} {18}} & + { frac {(24-48 + 24) (192-144 + 24)} {9 krát 12 krát 11 krát 10}} & + { frac {(16-12) (48-12 )} {2 krát 12 krát 11}} & = 185,212 end {zarovnáno}}}$

A z darováno

${ displaystyle z = { frac {S} { sqrt { operatorname {VAR} (S)}}} = { frac {40} { sqrt {185.212}}} = 2,939}$

Pro α = 0,05 (jednostranný) kritický z hodnota je 1 645, takže výsledek by byl na této úrovni prohlášen za významný. Podobný test trendu v kontextu návrhů opakovaných opatření (v rámci účastníků) a na základě Spearmanova koeficientu korelace pořadí byl vyvinut Strana.^[6]

Reference

Další čtení

• Daniel, Wayne W. (1990). „Jonckheere – Terpstra tst pro objednané alternativy“. Aplikovaná neparametrická statistika (2. vyd.). Boston: PWS-Kent. 234–240. ISBN  0-534-91976-6.