Rozsah interkvartilní - Interquartile range

Boxplot (s mezikvartilovým rozsahem) a a funkce hustoty pravděpodobnosti (pdf) normálu N (0, σ2) Populace

v deskriptivní statistika, Rozsah interkvartilní (IQR), také nazývaný střední, střední 50%nebo H-šíření, je měřítkem statistická disperze, což se rovná rozdílu mezi 75. a 25 percentily, nebo mezi horní a dolní kvartily,[1][2] IQR = Q3 −  Q1. Jinými slovy, IQR je první kvartil odečtený od třetího kvartilu; tyto kvartily lze jasně vidět na a krabicový graf na datech. Je to upravený odhad, definováno jako 25% oříznuto rozsah a je běžně používaný robustní měřítko.

IQR je míra variability založená na rozdělení datové sady na kvartily. Kvartily rozdělují seřazenou datovou sadu na čtyři stejné části. Hodnoty, které oddělují části, se nazývají první, druhý a třetí kvartil; a jsou označeny Q1, Q2 a Q3.

Použití

Na rozdíl od celkového rozsah, mezikvartilní rozsah má a bod poruchy 25%,[3] a je proto často upřednostňován před celkovým rozsahem.

IQR se používá k sestavení krabicové grafy, jednoduchá grafická znázornění a rozdělení pravděpodobnosti.

IQR se používá v podnicích jako značka pro jejich příjem sazby.

Pro symetrické rozdělení (kde medián se rovná midhinge, průměr prvního a třetího kvartilu), polovina IQR se rovná střední absolutní odchylka (ŠÍLENÝ).

The medián je odpovídající míra centrální tendence.

IQR lze použít k identifikaci odlehlé hodnoty (vidět níže ).

Kvartilní odchylka nebo semikvartikulární rozsah je definován jako polovina IQR.[4][5]

Algoritmus

IQR sady hodnot se vypočítá jako rozdíl mezi horním a dolním kvartilem Q3 a Q1. Každý kvartil je medián[6] vypočteno následovně.

Vzhledem k sudému 2n nebo zvláštní 2n + 1 počet hodnot

první kvartil Q1 = medián z n nejmenší hodnoty
třetí kvartil Q3 = medián z n největší hodnoty[6]

The druhý kvartil Q2 je stejný jako běžný medián.[6]

Příklady

Soubor dat v tabulce

Následující tabulka má 13 řádků a řídí se pravidly pro lichý počet záznamů.

ix [i]MediánKvartil
17Q2=87
(medián celé tabulky)		Q1=31
(medián horní poloviny, od 1. do 6. řady)
27
331
431
547
675
787
8115
Q3=119
(medián dolní poloviny, od řady 8 do 13)
9116
10119
11119
12155
13177

Pro data v této tabulce je mezikvartilní rozsah IQR = Q3 - Otázka1 = 119 - 31 = 88.

Soubor dat v grafu pole prostého textu

                                                 + −−−−− + - + * | −−−−−−−−−−− | | | −−−−−−−−−−− | + −−−−− + - + + −−− + −−− + −−− + −−− + + −−− + −−− + číselná řada 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Pro soubor dat v tomto krabicový graf:

  • dolní (první) kvartil Q1 = 7
  • medián (druhý kvartil) Q2 = 8.5
  • horní (třetí) kvartil Q3 = 9
  • mezikvartilní rozsah, IQR = Q3 - Q1 = 2
  • nižší 1,5 * IQR whisker = Q1 - 1,5 * IQR = 7 - 3 = 4. (Pokud na 4 není žádný datový bod, pak je nejnižší bod větší než 4.)
  • horní 1,5 * IQR whisker = Q3 + 1,5 * IQR = 9 + 3 = 12. (Pokud ve 12 není žádný datový bod, pak je nejvyšší bod menší než 12.)

To znamená, že 1,5 * IQR vousy mohou mít nerovnoměrnou délku.

Distribuce

Interkvartilový rozsah spojitého rozdělení lze vypočítat integrací funkce hustoty pravděpodobnosti (což dává kumulativní distribuční funkce —Fungují také jakékoli jiné prostředky pro výpočet CDF). Dolní kvartil, Q1, je takové číslo, které je integrálem PDF od -∞ do Q1 se rovná 0,25, zatímco horní kvartil, Q3, je takové číslo, že integrál od -∞ do Q3 se rovná 0,75; z hlediska CDF lze kvartily definovat takto:

kde CDF−1 je kvantilová funkce.

Níže je uveden mezikvartilový rozsah a medián některých běžných distribucí

RozděleníMediánIQR
Normálníμ2 Φ−1(0,75) σ ≈ 1,349σ ≈ (27/20) σ
Laplaceμ2b ln (2) ≈ 1,386b
Cauchyμ2γ

Test mezikvartilového rozsahu pro normálnost distribuce

IQR, znamenat, a standardní odchylka populace P lze použít v jednoduchém testu, zda P je normálně distribuováno nebo Gaussian. Li P je normálně distribuován, pak standardní skóre prvního kvartilu, z1, je −0,67 a standardní skóre třetího kvartilu, z3, je +0,67. Dáno znamenat = X a standardní odchylka = σ pro P, pokud P je normálně distribuován, první kvartil

a třetí kvartil

Pokud se skutečné hodnoty prvního nebo třetího kvartilu podstatně liší[je zapotřebí objasnění ] z vypočítaných hodnot, P není normálně distribuován. Normální distribuce však může být triviálně narušena, aby si udržela standardní Q1 a Q2. skóre na 0,67 a -0,67 a nelze je normálně distribuovat (takže výše uvedený test by vytvořil falešně pozitivní výsledek). Lepší test normality, jako je Děj Q-Q by zde bylo uvedeno.

Odlehlé hodnoty

Krabice a vousy se čtyřmi mírnými odlehlými hodnotami a jedním extrémním odlehlým hodnotám. V tomto grafu jsou odlehlé hodnoty definovány jako mírné nad Q3 + 1,5 IQR a extrémní nad Q3 + 3 IQR.

Interkvartilní rozsah se často používá k nalezení odlehlé hodnoty v datech. Odlehlé hodnoty zde jsou definovány jako pozorování, která klesnou pod Q1 - 1,5 IQR nebo nad Q3 + 1,5 IQR. V boxplotu je nejvyšší a nejnižší hodnota v tomto limitu označena vousky krabice (často s další lištou na konci vousku) a případné odlehlé hodnoty jako jednotlivé body.

Viz také

Reference

  1. ^ Upton, Graham; Cook, Ian (1996). Porozumění statistikám. Oxford University Press. p. 55. ISBN  0-19-914391-9.
  2. ^ Zwillinger, D., Kokoska, S. (2000) Standardní tabulky pravděpodobnosti a statistiky a vzorce a vzorce CRC, CRC Stiskněte. ISBN  1-58488-059-7 strana 18.
  3. ^ Rousseeuw, Peter J .; Croux, Christophe (1992). Y. Dodge (ed.). „Explicitní stupnice odhadů s vysokým bodem poruchy“ (PDF). Statistická analýza L1 a související metody. Amsterdam: Severní Holandsko. str. 77–92.
  4. ^ Yule, G. Udny (1911). Úvod do teorie statistiky. Charles Griffin a společnost. str.147 –148.
  5. ^ Weisstein, Eric W. "Kvartilní odchylka". MathWorld.
  6. ^ A b C Bertil., Westergren (1988). Příručka k matematice Beta: koncepty, věty, metody, algoritmy, vzorce, grafy, tabulky. Studentská hořkost. p. 348. ISBN  9144250517. OCLC  18454776.

externí odkazy