Parametr umístění - Location parameter

v statistika, a parametr umístění a rozdělení pravděpodobnosti je skalární nebo vektorová hodnota parametr ${displaystyle x_ {0}}$ , která určuje „umístění“ nebo posun distribuce. V literatuře odhadu lokačních parametrů se zjistí, že rozdělení pravděpodobnosti s tímto parametrem je formálně definováno jedním z následujících ekvivalentních způsobů:

buď jako funkce hustoty pravděpodobnosti nebo funkce pravděpodobnostní hmotnosti ${displaystyle f (x-x_ {0})}$ ^[1]; nebo
mít a kumulativní distribuční funkce ${displaystyle F (x-x_ {0})}$ ^[2]; nebo
je definován jako výsledek transformace náhodné proměnné ${displaystyle x_ {0} + X}$ , kde ${displaystyle X}$ je náhodná proměnná s určitým, možná neznámým, rozdělením^[3] (Viz také #Additive_noise ).

Přímým příkladem parametru umístění je parametr ${displaystyle mu}$ z normální distribuce. Chcete-li to vidět, nezapomeňte, že soubor p.d.f. (funkce hustoty pravděpodobnosti) ${displaystyle f (x | mu, sigma)}$ normálního rozdělení ${displaystyle {mathcal {N}} (mu, sigma ^ {2})}$ může mít parametr ${displaystyle mu}$ zapracováno a zapsáno jako:

{displaystyle g (y-mu | sigma) = {frac {1} {sigma {sqrt {2pi}}}} e ^ {- {frac {1} {2}} vlevo ({frac {y} {sigma}} ight) ^ {2}}}

a tím splňuje první z výše uvedených definic.

Výše uvedená definice naznačuje v jednorozměrném případě, že pokud ${displaystyle x_ {0}}$ se zvýší, hustota pravděpodobnosti nebo hromadná funkce se posunou pevně doprava a zachová si přesný tvar.

Parametr umístění lze také najít v rodinách, které mají více než jeden parametr, například rodiny v lokálním měřítku. V tomto případě bude funkce hustoty pravděpodobnosti nebo funkce hmotnosti pravděpodobnosti zvláštním případem obecnější formy

{displaystyle f_ {x_ {0}, heta} (x) = f_ {heta} (x-x_ {0})}

kde ${displaystyle x_ {0}}$ je parametr umístění, θ představuje další parametry a ${displaystyle f_ {heta}}$ je funkce parametrizovaná na dalších parametrech.

Aditivní hluk

Alternativním způsobem uvažování o lokalizačních rodinách je koncept aditivní hluk. Li ${displaystyle x_ {0}}$ je konstanta a Ž je náhodný hluk s hustotou pravděpodobnosti ${displaystyle f_ {W} (w),}$ pak ${displaystyle X = x_ {0} + W}$ má hustotu pravděpodobnosti ${displaystyle f_ {x_ {0}} (x) = f_ {W} (x-x_ {0})}$ a jeho distribuce je proto součástí rodiny umístění.

Důkazy

V případě spojitého jednorozměrného případu zvažte funkci hustoty pravděpodobnosti ${displaystyle f (x | heta), xin [a, b] podmnožina mathbb {R}}$ , kde ${displaystyle heta}$ je vektor parametrů. Parametr umístění ${displaystyle x_ {0}}$ lze přidat definováním:

{displaystyle g (x | heta, x_ {0}) = f (x-x_ {0} | heta) ,; xin [a-x_ {0}, b-x_ {0}]}

to lze dokázat ${displaystyle g}$ je p.d.f. ověřením, zda dodržuje obě podmínky^[4] ${displaystyle g (x | heta, x_ {0}) geq 0}$ a ${displaystyle int _ {- infty} ^ {infty} g (x | heta, x_ {0}) dx = 1}$ . ${displaystyle g}$ integruje se do 1, protože:

{displaystyle int _ {- infty} ^ {infty} g (x | heta, x_ {0}) dx = int _ {a-x_ {0}} ^ {b-x_ {0}} g (x | heta, x_ {0}) dx = int _ {a-x_ {0}} ^ {b-x_ {0}} f (x-x_ {0} | heta) dx}

nyní se mění proměnná ${displaystyle u = x-x_ {0}}$ a odpovídajícím způsobem aktualizuje integrační interval:

{displaystyle int _ {a} ^ {b} f (u | heta) du = 1}

protože ${displaystyle f (x | heta)}$ je p.d.f. hypotézou. ${displaystyle g (x | heta, x_ {0}) geq 0}$ vyplývá z ${displaystyle g}$ sdílení stejného obrázku uživatele ${displaystyle f}$ , což je p.d.f. takže jeho obraz je obsažen v ${displaystyle [0,1]}$ .

Viz také

Reference

^ Takeuchi, Kei (1971). "Rovnoměrně asymptoticky efektivní odhad lokačního parametru". Journal of the American Statistical Association. 66 (334): 292–301.
^ Huber, Peter J. (1992). Msgstr "Robustní odhad parametru umístění". Průlomy ve statistikách. Springer: 492–518.
^ Kámen, Charles J. (1975). "Adaptivní odhady maximální věrohodnosti parametru polohy". Annals of Statistics. 3 (2): 267–284.
^ Ross, Sheldon (2010). Úvod do pravděpodobnostních modelů. Amsterdam Boston: Academic Press. ISBN 978-0-12-375686-2. OCLC 444116127.

[1] Takeuchi, Kei (1971). "Rovnoměrně asymptoticky efektivní odhad lokačního parametru". Journal of the American Statistical Association. 66 (334): 292–301.

[2] Huber, Peter J. (1992). Msgstr "Robustní odhad parametru umístění". Průlomy ve statistikách. Springer: 492–518.

[3] Kámen, Charles J. (1975). "Adaptivní odhady maximální věrohodnosti parametru polohy". Annals of Statistics. 3 (2): 267–284.

[Ross_2010_p.-4] Ross, Sheldon (2010). Úvod do pravděpodobnostních modelů. Amsterdam Boston: Academic Press. ISBN 978-0-12-375686-2. OCLC 444116127.

[1]

[2]

[3]

[4]