Šikmý apeirohedron - Skew apeirohedron - Wikipedia

v geometrie, a zkosit apeirohedron je nekonečný zkosit mnohostěn skládající se z neplanárních ploch nebo neplanárních vrcholové postavy, umožňující figuře natahovat se na neurčito bez skládání do tvaru uzavřeného povrchu.

Byly také povolány šikmé apeirohedry mnohostěnné houby.

Mnoho z nich přímo souvisí s a konvexní jednotný plástev, přičemž polygonální povrch a plástev s některými z buňky odstraněn. Je příznačné, že nekonečný zkosený mnohostěn rozděluje trojrozměrný prostor na dvě poloviny. Pokud je jedna polovina považována za pevný postava se někdy nazývá a částečný plástev.

Pravidelný šikmý apeirohedra

Hlavní článek: Pravidelný zkosený apeirohedron

Podle Coxeter, v roce 1926 John Flinders Petrie zobecnil pojem pravidelné šikmé polygony (neplanární polygony) do pravidelný zkosený mnohostěn (apeirohedra).[1]

Coxeter a Petrie našli tři z nich, které vyplnily 3prostor:

Pravidelný šikmý apeirohedra
Mucube.png
{4,6|4}
mucube		Muoctahedron.png
{6,4|4}
muoctahedron		Mutetrahedron.png
{6,6|3}
mutetrahedron

Existují také chirální zkosit apeirohedra typů {4,6}, {6,4} a {6,6}. Tyto šikmé apeirohedry jsou vrchol-tranzitivní, hrana tranzitivní, a tvář-tranzitivní, ale ne zrcadlo symetrické (Schulte 2004 ).

Za euklidovským 3prostorem publikoval v roce 1967 C. W. L. Garner sadu 31 pravidelných zkosených mnohostěnů v hyperbolickém 3prostoru.[2]

Gottovy pravidelné pseudopolyedry

J. Richard Gott v roce 1967 publikoval větší sadu sedmi nekonečných šikmých mnohostěnů, které nazval pravidelné pseudopolyedry, včetně tří z Coxeteru jako {4,6}, {6,4} a {6,6} a čtyř nových: {5,5}, {4,5}, {3,8}, {3 , 10}.[3][4]

Gott uvolnil definici pravidelnosti, aby umožnil své nové postavy. Tam, kde Coxeter a Petrie požadovali, aby vrcholy byly symetrické, Gott požadoval pouze to, aby byly shodné. Gottovy nové příklady tedy nejsou podle definice Coxetera a Petrie pravidelné.

Gott zavolal celou sadu pravidelný mnohostěn, pravidelné obklady, a pravidelný pseudopolyhedra tak jako pravidelné zobecněné mnohostěny, reprezentovatelné {p, q} Schläfliho symbol, s p-úhlovými tvářemi, q kolem každého vrcholu. Avšak ani výraz „pseudopolyhedron“, ani Gottova definice pravidelnosti nedosáhly širokého využití.

Krystalograf A.F. Wells v šedesátých letech také zveřejnil seznam šikmých apeirohedrů. Melinda Green zveřejněno mnoho dalších v roce 1998.

{p, q}Buňky
kolem vrcholu		Vrchol
tváře		Větší
vzor		Vesmírná skupinaSouvisející H2
orbifold
notace
Krychlový
prostor
skupina		Coxeter
notace		Fibrifold
notace
{4,5}3 kostkyPseudo-platonický kubický mnohostěn vrchol.pngPseudo-platonický kubický mnohostěn.pngIm3m[[4,3,4]]8°:2*4222
{4,5}1 zkrácený osmistěn
2 šestihranné hranoly		Pseudo-platonický šestihranný hranol zkrácený oktaedrický mnohostěn vrchol.pngJá3[[4,3+,4]]8°:22*42
{3,7}1 osmistěn
1 dvacetistěnu		Pseudo-platonický oktaikografický vrchol.pngPseudo-platonický octa-icosahedral.pngFd3[[3[4]]]+2°−3222
{3,8}2 urážet kostkyPseudo-platonický útlum kubický mnohostěn vrchol.pngJednotná apeirohedronová tlumicí kostka 33333333.pngFm3m[4,(3,4)+]2−−32*
{3,9}1 čtyřstěn
3 oktaedra		Pseudo-platonický tetraoktaedrický mnohostěn vrchol.pngPseudo-platonický tetra-oktaedrický mnohostěn2.pngFd3m[[3[4]]]2+:22*32
{3,9}1 dvacetistěnu
2 oktaedra		Pseudo-platonický pyritohedrální mnohostěn vrchol.pngJá3[[4,3+,4]]8°:222*2
{3,12}5 oktaedrůPseudo-platonický oktaedrický mnohostěn vrchol.pngSk12x3.gifIm3m[[4,3,4]]8°:22*32

Hranolové tvary

Pětistranný šikmý mnohostěn.png
Prizmatická forma: {4,5}

Existují dva hranolové formuláře:

  1. {4,5}: 5 čtverců na vrcholu (dvě rovnoběžky čtvercové obklady připojeno uživatelem krychlový díry.)
  2. {3,8}: 8 trojúhelníků na vrcholu (dva paralelní trojúhelníkové obklady připojeno uživatelem osmistěn díry.)

Jiné formy

{3,10} je také vytvořen z paralelních rovin trojúhelníkové obklady, se střídavými oktaedrickými otvory probíhajícími oběma směry.

{5,5} se skládá ze 3 koplanárních pětiúhelníky kolem vrcholu a dvou kolmých pětiúhelníků vyplňujících mezeru.

Gott také uznal, že existují i ​​další periodické formy pravidelných rovinných mozaikování. Oba čtvercové obklady {4,4} a trojúhelníkové obklady {3,6} lze zakřivit do přibližných nekonečných válců ve 3 prostoru.

Věty

Napsal několik vět:

  1. Pro každý regulární mnohostěn {p, q}: (p-2) * (q-2) <4. Pro každou pravidelnou mozaikování: (p-2) * (q-2) = 4. Pro každý běžný pseudopolyhedron: (p-2) * (q-2)> 4.
  2. Počet ploch obklopujících danou plochu je p * (q-2) v jakémkoli běžném zobecněném mnohostěnu.
  3. Každý pravidelný pseudopolyhedron se blíží negativně zakřivenému povrchu.
  4. Sedm pravidelných pseudopolyhedronů se opakuje.

Rovnoměrný šikmý apeirohedra

Existuje mnoho dalších jednotný (vrchol-tranzitivní ) zkosit apeirohedra. Wachmann, Burt a Kleinmann (1974) objevili mnoho příkladů, ale není známo, zda je jejich seznam úplný.

Zde je uvedeno několik příkladů. Mohou být pojmenováni podle jejich konfigurace vrcholů, i když se nejedná o jedinečné označení pro zkosené tvary.

Rovnoměrný šikmý apeirohedra související s jednotnými voštinami
4.4.6.66.6.8.8
Cantitruncated kubický plástev apeirohedron 4466.pngOmnitruncated kubický plástev apeirohedron 4466.pngRuncicantic kubický plástev apeirohedron 6688.png
Souvisí s kubický voštinový plátek, CDel uzel 1.pngCDel 4.pngCDel uzel 1.pngCDel 3.pngCDel uzel 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngSouvisí s runcicantic kubický plástev, CDel uzel h1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel uzel 1.pngCDel 4.pngCDel uzel 1.png
4.4.4.64.8.4.83.3.3.3.3.3.3
Omnitruncated kubický plástev apeirohedron 4446.pngŠikmý mnohostěn 4848.pngIcosahedron octahedron infinite skew pseudoregular polyhedron.png
Souvisí s omnitruncated kubický plástev: CDel uzel 1.pngCDel 4.pngCDel uzel 1.pngCDel 3.pngCDel uzel 1.pngCDel 4.pngCDel uzel 1.png
4.4.4.64.4.4.83.4.4.4.4
Apeirohedron zkrátil osmistěn a šestihranný hranol 4446.pngOsmiboký hranol apeirohedron 4448.pngŠikmý mnohostěn 34444.png
Souvisí s runcitruncated kubický plástev.
CDel uzel 1.pngCDel 4.pngCDel uzel 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel uzel 1.png
Prizmatická uniformní zkosení apeirohedra
4.4.4.4.44.4.4.6
Pseudoregulární apeirohedron hranolový 44444.png
Souvisí s CDel uzel 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel uzel 1.pngCDel 2.pngCDel uzel 1.png		Šikmý mnohostěn 4446a.png
Souvisí s CDel uzel 1.pngCDel 6.pngCDel uzel 1.pngCDel 3.pngCDel uzel 1.pngCDel 2.pngCDel uzel 1.png

Jiné mohou být konstruovány jako rozšířené řetězce mnohostěnů:

Coxeter helix 3 barvy.png
Coxeter helix 3 barvy cw.png		Cube stack úhlopříčná spirála apeirogon.png
Jednotný
Šroubovice Boerdijk – Coxeter		Stohy kostek

Viz také

Reference

  1. ^ Coxeter, H. S. M. Pravidelná šikmá mnohostěna ve třech a čtyřech rozměrech. Proc. London Math. Soc. 43, 33-62, 1937.
  2. ^ Garner, C. W. L. Pravidelná šikmá mnohostěna v hyperbolickém trojprostoru. Umět. J. Math. 19, 1179-1186, 1967. [1]
  3. ^ J. R. Gott, Pseudopolyhedrons, American Mathematical Monthly, sv. 74, s. 497-504, 1967.
  4. ^ Symetrie věcí, Pseudo-platonický mnohostěn, str. 340-344
  • Coxeter, Pravidelné Polytopes, Třetí vydání, (1973), Doverské vydání, ISBN  0-486-61480-8
  • Kaleidoskopy: Vybrané spisy H.S.M. Coxeter, editoval F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN  978-0-471-01003-6 [2]
    • (Papír 2) H.S.M. Coxeter, „Pravidelné houby nebo Šikmý mnohostěn“, Scripta Mathematica 6 (1939) 240-244.
  • John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, (2008) Symetrie věcí, ISBN  978-1-56881-220-5 (Kapitola 23, Objekty s primární symetrií, pseudo-platonický mnohostěn, p340-344)
  • Schulte, Egon (2004), „Chirální mnohostěn v běžném prostoru. Já“, Diskrétní a výpočetní geometrie, 32 (1): 55–99, doi:10.1007 / s00454-004-0843-x, PAN  2060817. [3]
  • A. F. Wells, Trojrozměrné sítě a mnohostěny, Wiley, 1977. [4]
  • A. Wachmann, M. Burt a M. Kleinmann, Nekonečný mnohostěn, Technion, 1974. 2. vyd. 2005.
  • E. Schulte, J.M. Wills Na Coxeterově pravidelném zkoseném mnohostěnu, Discrete Mathematics, svazek 60, červen – červenec 1986, strany 253–262

externí odkazy