Pappus Alexandrijský - Pappus of Alexandria

Tento článek je o řeckém matematikovi. Pro strukturu květů viz Pappus (botanika).

Titulní stránka Pappusu Mathematicae Collectiones, přeloženo do latiny uživatelem Federico Commandino (1589).

Pappus Alexandrijský (/ˈp…pəs/; řecký: Πάππος ὁ Ἀλεξανδρεύς; C.  290 - c.  350 AD) byl jedním z posledních skvělých Řeckí matematici starověku, známý pro jeho Synagoga (Συναγωγή) nebo Sbírka (C.  340), a pro Pappusova šestihranná věta v projektivní geometrie. O jeho životě není nic známo, kromě toho, co lze najít v jeho vlastních spisech: že měl syna jménem Hermodorus a byl učitel v Alexandrie.[1]

Sbírka, jeho nejznámější dílo, je kompendium matematiky v osmi svazcích, z nichž většina přežívá. Pokrývá širokou škálu témat, včetně geometrie, rekreační matematika, zdvojnásobení krychle, mnohoúhelníky a mnohostěn.

Kontext

Pappus působil ve 4. století našeho letopočtu. V období obecné stagnace matematických studií vyniká jako pozoruhodná výjimka.[2] „Jak daleko byl nad svými současníky, jak málo si jich vážili nebo jim rozuměli, ukazuje absence odkazů na něj u jiných řeckých autorů a skutečnost, že jeho práce neměla žádný účinek na zastavení úpadku matematické vědy,“ Thomas Little Heath píše. „V tomto ohledu se osud Pappusu nápadně podobá osudu Diophantus."[2]

Chodit s někým

Ve svých dochovaných spisech Pappus neuvádí datum autorů, jejichž díla využívá, ani čas (ale viz níže), kdy sám psal. Kdyby nebyly k dispozici žádné další informace o datu, bylo by možné vědět jen to, že byl později než Ptolemaios (zemřel asi 168 n. l.), kterého cituje, a dříve než Proclus (narozený C.  411), který ho cituje.[2]

10. století Suda uvádí, že Pappus byl stejného věku jako Theon Alexandrijský, který byl aktivní za vlády císaře Theodosius I. (372–395).[3] Odlišné datum je dáno okrajovou poznámkou k rukopisu z konce 10. století[2] (kopie chronologické tabulky od stejného Theona), která uvádí, vedle záznamu o císaři Dioklecián (vládl 284–305), že „tehdy psal Pappus“.[Citace je zapotřebí ]

Skutečné datum však pochází z datování zatmění slunce zmíněného samotným Pappusem, když ve svém komentáři k Almagest vypočítá „místo a čas konjunkce, které vedly k zatmění dovnitř Tybi v roce 1068 po Nabonassar Toto funguje 18. října 320, takže Pappus musel psát kolem 320.[1]

Funguje

Mathematicae collectiones, 1660

Skvělá práce Pappuse v osmi knihách s názvem Synagoga nebo Sbírka, nepřežilo v úplné podobě: první kniha je ztracena a zbytek značně utrpěl. The Suda vyjmenovává další díla Pappuse: Χωρογραφία οἰκουμενική (Chorografie oikoumenike nebo Popis obydleného světa), komentář ke čtyřem knihám z Ptolemaios je Almagest, Ποταμοὺς τοὺς ἐν Λιβύῃ (Řeky v Libyi), a Ὀνειροκριτικά (Interpretace snů).[3] Sám Pappus zmiňuje další svůj vlastní komentář k Ἀνάλημμα (Analema ) z Diodorus Alexandrijský. Pappus také psal komentáře k Euklid je Elementy (z toho jsou fragmenty zachovány v Proclus a Scholia, zatímco desátá kniha byla nalezena v arabském rukopisu) a na Ptolemaiově Ἁρμονικά (Harmonika).[2]

Federico Commandino přeložil Sbírka Pappus do latiny v roce 1588. Německý klasicistní a matematický historik Friedrich Hultsch (1833–1908) publikoval definitivní třídílnou prezentaci Commandinova překladu v řecké i latinské verzi (Berlín, 1875–1878). Pomocí Hultschovy práce belgický matematický historik Paul ver Eecke byl první, kdo zveřejnil překlad Sbírka do moderního evropského jazyka; jeho dvoudílný francouzský překlad má název Pappus d'Alexandrie. La Collection Mathématique (Paris and Bruges, 1933).[4]

Sbírka

Vlastnosti Pappusu Sbírka spočívá v tom, že obsahuje systematicky uspořádaný přehled nejdůležitějších výsledků dosažených jeho předchůdci a za druhé poznámky vysvětlující nebo rozšiřující předchozí objevy. Tyto objevy ve skutečnosti tvoří text, na kterém se Pappus diskurzivně zvětšuje. Heath považoval systematické úvody k různým knihám za cenné, protože jasně uváděly obsah a obecný rozsah předmětů, které mají být zpracovány. Z těchto úvodů lze usoudit na styl Pappusova psaní, který je vynikající a dokonce elegantní v okamžiku, kdy je osvobozen od pout matematických vzorců a výrazů. Heath také zjistil, že jeho charakteristická přesnost způsobila jeho Sbírka „nejobdivovanější náhražka textů mnoha cenných pojednání dřívějších matematiků, kterých nás čas připravil“.[2]

Přežívající části Sbírka lze shrnout následovně.[5]

Můžeme jen předpokládat, že ztracené Kniha I.Stejně jako Kniha II se zabývala aritmetikou, kniha III byla jasně představena jako počátek nového předmětu.[2]

Celý Kniha II (jehož dřívější část je ztracena, stávající fragment začíná v polovině 14. návrhu)[2] popisuje metodu násobení z nepojmenované knihy od Apollonius z Pergy. Konečné návrhy se zabývají vynásobením číselných hodnot řeckých písmen ve dvou řádcích poezie, čímž vzniknou dvě velmi velká čísla přibližně rovná 2×1054 a 2×1038.[6]

Kniha III obsahuje geometrické úlohy, rovinné a objemové. Lze jej rozdělit do pěti částí:[2]

  1. Na slavném problému hledání dvou středních úměrných mezi dvěma danými řádky, který vznikl z duplikování krychle, sníženého o Hippokrates z Chiosu k prvnímu. Pappus poskytuje několik řešení tohoto problému, včetně metody vytváření postupných aproximací řešení, jejichž význam zjevně nedokázal ocenit; přidává vlastní řešení obecnějšího problému geometrického nalezení strany krychle, jejíž obsah je v daném poměru k danému obsahu.[2]
  2. Na aritmetické, geometrické a harmonické znamená mezi dvěma přímkami, a problém reprezentovat všechny tři v jednom a stejném geometrickém útvaru. To slouží jako úvod do obecné teorie prostředků, z nichž Pappus rozlišuje deset druhů, a poskytuje tabulku představující příklady každého z nich v celých číslech.[2]
  3. Na kuriózní problém navrhovaný Euklidem I. 21.[2]
  4. Na vepsání každé z pěti pravidelných mnohostěnů do koule.[2] Zde Pappus zaznamenal, že a pravidelný dvanáctistěn a a pravidelný dvacetistěn mohly být zapsány do stejné koule tak, že jejich vrcholy všechny ležely na stejných 4 kruzích zeměpisné šířky, přičemž 3 z dvanácti vrcholů dvanáctistěn na každém kruhu a 5 z 20 vrcholů dvanáctistěn na každém kruhu. Toto pozorování bylo zobecněno na dimenzionální duální polytopy.[7]
  5. Přídavek pozdějšího spisovatele k dalšímu řešení prvního problému knihy.[2]

Z Kniha IV název a předmluva byly ztraceny, takže program musí být získán ze samotné knihy. Na začátku je známá generalizace Euklida I.47 (Věta o Pappusově oblasti ), poté následujte různé věty o kružnici, které vedou k problému konstrukce kružnice, která má vymezit tři dané kružnice a dotýkat se navzájem dvou a dvou. Toto a několik dalších tvrzení o kontaktu, např. případy, kdy se kružnice dotýkají jeden druhého a jsou zapsány do obrázku ze tří půlkruhů známého jako arbelos („obuvnický nůž“) tvoří první oddíl knihy; Pappus se pak obrátí k úvaze o určitých vlastnostech Archimédova spirála, konchoid Nicomedes (již zmíněno v knize I jako dodávající metodu zdvojnásobení krychle) a křivka objevená s největší pravděpodobností Hippias z Elis asi 420 př. n.l. a je znám pod jménem τετραγωνισμός nebo quadratrix. Tvrzení 30 popisuje konstrukci křivky dvojitého zakřivení, kterou nazývá Pappus spirála na kouli; je to popsáno bodem pohybujícím se rovnoměrně podél oblouku velké kružnice, který se sám otáčí rovnoměrně kolem svého průměru, bod popisující kvadrant a velkou kružnici úplnou revoluci ve stejnou dobu. Je nalezena plocha povrchu zahrnutá mezi touto křivkou a její základnou - první známá instance kvadratury zakřiveného povrchu. Zbytek knihy pojednává o trisekce úhlu a řešení obecnějších problémů stejného druhu pomocí kvadratrixu a spirály. V jednom řešení dřívějšího problému je první zaznamenané použití vlastnosti kuželosečky (hyperboly) s odkazem na fokus a directrix.[8]

v Kniha V, po zajímavé předmluvě týkající se pravidelných polygonů a obsahující poznámky k hexagonální forma buněk voštin, Pappus se zaměřuje na srovnání oblastí různých rovinných figur, které mají stejný obvod (následující Zenodorus pojednání o tomto tématu) a objemech různých pevných postav, které mají stejnou povrchovou plochu, a konečně srovnání pěti pravidelných pevných těles Platón. Mimochodem Pappus popisuje třináct dalších mnohostěnů ohraničených rovnostrannými a rovnostrannými, ale ne podobnými polygony, objevenými Archimedes, a najde metodou připomínající Archimédův povrch a objem koule.[8]

Podle předmluvy Kniha VI je určen k řešení obtíží vyskytujících se v takzvaných „Menších astronomických dílech“ (Μικρὸς Ἀστρονοµούµενος), tj. v jiných než Almagest. V souladu s tím komentuje Sphaerica z Theodosius, Pohybující se koule z Autolycus, Theodosiova kniha o Den a nocpojednání o Aristarchos O velikosti a vzdálenosti Slunce a Měsíce a Euklidovy Optika a fenomény.[8]

Kniha VII

Od té doby Michel Chasles citoval tuto knihu Pappuse v jeho historii geometrických metod,[9] stalo se předmětem značné pozornosti.

Předmluva Kniha VII vysvětluje pojmy analýza a syntéza a rozdíl mezi teorémem a problémem. Pappus poté vyjmenuje díla Euklid, Apollonius, Aristaeus a Eratosthenes Celkem třicet tři knih, jejichž podstatu hodlá dát, s lemmy nezbytnými pro jejich objasnění. Se zmínkou o Porismy Euklida máme účet vztahu porismus k větě a problému. Ve stejné předmluvě je zahrnut (a) slavný problém známý pod jménem Pappus, který je často formulován takto: Po zadání řady přímek najděte geometrický lokus bodu tak, aby na něj byly kolmé délky, nebo (obecněji ) čáry z ní nakreslené šikmo při daném sklonu k, dané čáry splňují podmínku, že součin některých z nich může nést konstantní poměr k součinu těch zbývajících; (Pappus to nevyjadřuje v této podobě, ale pomocí složení poměrů s tím, že pokud je uveden poměr, který je složen z poměrů párů jedné z jedné sady a jedné z dalších takto nakreslených čar, a poměru lichého, pokud existuje, k dané přímce, bude bod ležet na křivce dané v poloze); b) věty, které byly znovuobjeveny a pojmenovány po nich Paul Guldin, ale zdá se, že byl objeven samotným Pappusem.[8]

Kniha VII také obsahuje

  1. pod hlavou De Sectione Determinata z Apollónia, lemmat, která jsou při bližším zkoumání považována za případy involuce šesti bodů;[8]
  2. důležitá lemata na internetu Porismy Euklida,[8] včetně toho, co se nazývá Pappusova šestihranná věta;[10]
  3. lemma na Povrchové loci Euklida, který uvádí, že místo bodu takové, že jeho vzdálenost od daného bodu nese konstantní poměr k jeho vzdálenosti od dané přímky, je kónický, a následují důkazy, že kuželosečka je a parabola, elipsa nebo hyperbola podle toho, jak je konstantní poměr roven, menší než nebo větší než 1 (první zaznamenané důkazy o vlastnostech, které se v Apolloniovi neobjevují).[8]

Chaslesova citace Pappuse byla opakována Wilhelm Blaschke[11] a Dirk Struik.[12] V Cambridgi v Anglii poskytl John J. Milne čtenářům výhodu čtení knihy Pappus.[13] V roce 1985 Alexander Jones napsal svou práci na Brown University na téma. Následující rok vydal Springer-Verlag revidovanou podobu jeho překladu a komentáře. Jones úspěšně ukazuje, jak Pappus manipuloval kompletní čtyřúhelník, použil vztah projektivní harmonické konjugáty a zobrazil povědomí o křížové poměry bodů a čar. Dále pojem pól a polární je odhalen jako lemma v knize VII.[14]

Kniha VIII

Konečně Kniha VIII zpracovává hlavně mechaniku, vlastnosti těžiště a některé mechanické síly. Proložené jsou některé návrhy týkající se čisté geometrie. Návrh 14 ukazuje, jak nakreslit elipsu skrz pět daných bodů, a Prop.15 dává jednoduchou konstrukci pro osy elipsy, když dvojice průměry konjugátu jsou uvedeny.[8]

Věty

Ačkoli Pappusova věta obvykle se odkazuje na Pappusova šestihranná věta, může také odkazovat na Pappusova centroidní věta.

Rovněž dává své jméno Řetěz Pappus, a do Konfigurace Pappus a Pappusův graf vyplývající z jeho šestiúhelníkové věty.

Poznámky

  1. ^ A b Pierre Dedron, J. Itard (1959) Matematika a matematici, Sv. 1, s. 149 (trans. Judith V. Field ) (Transworld Student Library, 1974)
  2. ^ A b C d E F G h i j k l m n Heath 1911, str. 740.
  3. ^ A b Whitehead, David (ed.). "Suda On Line - Pappos". Suda On Line a Konsorcium Stoa. Citováno 11. července 2012. Alexandrijský filozof, narozen v době staršího císaře Theodosia, kdy vzkvétal i filozof Theon, který psal o Ptolemaiově kánonu. Jeho knihy jsou Popis obydleného světa; komentář ke čtyřem knihám Skvělá syntaxe Ptolemaia; Řeky v Libyi; a Interpretace snů.
  4. ^ Smith, David Eugene (Leden 1934). "Recenze Pappus d'Alexandrie. La Collection Mathématique Paul ver Eecke " (PDF). Býk. Dopoledne. Matematika. Soc. 40 (1): 11–12.
  5. ^ Weaver, James Henry (1916). „Pappus. Úvodní práce“. Býk. Amer. Matematika. Soc. 23: 127–135. doi:10.1090 / S0002-9904-1916-02895-3.
  6. ^ Pappus Alexandrijský, trans. do latiny Friedrich Hultsch. Kolekce Pappi Alexandrini je superšunt. Apud Weidmannos, 1877, s. 19–29.
  7. ^ H. S. M. Coxeter (23. května 2012). Pravidelné Polytopes. Courier Corporation. p. 88 238. ISBN  978-0-486-14158-9.
  8. ^ A b C d E F G h Heath 1911, str. 741.
  9. ^ Michel Chasles (1837) Aperçu historique sur l'origine et le développement des méthodes en géométrie, zejména strana 302; viz také strany 12, 78 a 518.
  10. ^ Heath 1911b, str. 102.
  11. ^ Wilhelm Blaschke (1948) Projektiva Geometrie, strana 140
  12. ^ Dirk Struik (1953) Přednášky z analytické a projektivní geometrie, strana 19, Addison-Wesley
  13. ^ Milne 1911.
  14. ^ Jones 1986.

Reference

Uvedení zdroje:

Další čtení

  • Jones, Alexander Raymond (19. ledna 2017). „Pappus Alexandrijský“. Encyklopedie Britannica.
  • „Pappus Alexandrijský (žil kolem roku 200–350 nl)“. Hutchinsonův slovník vědecké biografie. Nakladatelství Helicon. 2004. Řecký matematik, astronom a geograf, jehož hlavní důležitost spočívá v jeho komentářích k matematické práci jeho předchůdců
  • Eecke, Paul Ver (1933). Pappus d'Alexandrie: La Collection Mathématique s úvodem a poznámkami (2 svazky Fondation Universitaire de Belgique ed.). Paříž: Albert Blanchard.

externí odkazy