Symetrická matice - Symmetric matrix

Symetrie matice 5 × 5

v lineární algebra, a symetrická matice je čtvercová matice to se rovná jeho přemístit. Formálně,

Protože stejné matice mají stejné rozměry, mohou být symetrické pouze čtvercové matice.

Položky symetrické matice jsou symetrické vzhledem k hlavní úhlopříčka. Takže když ${ displaystyle a_ {ij}}$ označuje záznam v ${ displaystyle i}$-tá řada a ${ displaystyle j}$-tý sloupec

pro všechny indexy ${ displaystyle i}$ a ${ displaystyle j.}$

Každý čtverec diagonální matice je symetrický, protože všechny off-diagonální prvky jsou nulové. Podobně v charakteristický odlišný od 2, každý diagonální prvek a šikmo symetrická matice musí být nula, protože každý má svůj vlastní zápor.

V lineární algebře, a nemovitý symetrická matice představuje a operátor s vlastním nastavením^[1] přes nemovitý vnitřní produktový prostor. Odpovídající objekt pro a komplex vnitřní produktový prostor je a Hermitova matice se záznamy se složitou hodnotou, která se rovná jeho konjugovat transponovat. Proto se v lineární algebře nad komplexními čísly často předpokládá, že symetrická matice odkazuje na matici, která má položky se skutečnou hodnotou. Symetrické matice se přirozeně objevují v různých aplikacích a typický software pro numerickou lineární algebru jim poskytuje speciální úpravy.

Příklad

Následující ${ displaystyle 3 krát 3}$ matice je symetrická:

${ displaystyle A = { begin {bmatrix} 1 & 7 & 3 7 & 4 & -5 3 & -5 & 6 end {bmatrix}}}$

Vlastnosti

Základní vlastnosti

• Součet a rozdíl dvou symetrických matic je opět symetrický

• To není vždy pravda pro produkt: dané symetrické matice ${ displaystyle A}$ a ${ displaystyle B}$, pak ${ displaystyle AB}$ je symetrický právě tehdy ${ displaystyle A}$ a ${ displaystyle B}$ dojíždět, tj. pokud ${ displaystyle AB = BA}$.

• Pro celé číslo ${ displaystyle n}$, ${ displaystyle A ^ {n}}$ je symetrický, pokud ${ displaystyle A}$ je symetrický.

• Li ${ displaystyle A ^ {- 1}}$ existuje, je symetrický právě tehdy ${ displaystyle A}$ je symetrický.

Rozklad na symetrický a zešikmený

Libovolná čtvercová matice může být jednoznačně zapsána jako součet symetrické a zkosené symetrické matice. Tento rozklad je znám jako Toeplitzův rozklad ${ displaystyle { mbox {Mat}} _ {n}}$ označit prostor ${ displaystyle n krát n}$ matice. Li ${ displaystyle { mbox {Sym}} _ {n}}$ označuje prostor ${ displaystyle n krát n}$ symetrické matice a ${ displaystyle { mbox {Skew}} _ {n}}$ prostor ${ displaystyle n krát n}$ šikmo symetrické matice pak ${ displaystyle { mbox {Mat}} _ {n} = { mbox {Sym}} _ {n} + { mbox {Skew}} _ {n}}$ a ${ displaystyle { mbox {Sym}} _ {n} cap { mbox {Skew}} _ {n} = {0 }}$, tj.

${ displaystyle { mbox {Mat}} _ {n} = { mbox {Sym}} _ {n} oplus { mbox {Skew}} _ {n},}$

kde ${ displaystyle oplus}$ označuje přímý součet. Nechat ${ displaystyle X v { mbox {Mat}} _ {n}}$ pak

${ displaystyle X = { frac {1} {2}} vlevo (X + X ^ { textyf {T}} vpravo) + { frac {1} {2}} vlevo (XX ^ { textyf {T}} vpravo)}$.

Všimněte si toho ${ displaystyle { frac {1} {2}} vlevo (X + X ^ { textyf {T}} vpravo) v { mbox {Sym}} _ {n}}$ a ${ displaystyle { frac {1} {2}} vlevo (X-X ^ { textyf {T}} vpravo) v { mbox {Skew}} _ {n}}$. To platí pro všechny čtvercová matice ${ displaystyle X}$ se záznamy z libovolného pole jehož charakteristický se liší od 2.

Symetrický ${ displaystyle n krát n}$ matice je určena ${ displaystyle { tfrac {1} {2}} n (n + 1)}$ skaláry (počet záznamů na nebo nad hlavní úhlopříčka ). Podobně, a šikmo symetrická matice je určeno ${ displaystyle { tfrac {1} {2}} n (n-1)}$ skaláry (počet položek nad hlavní úhlopříčkou).

Matice shodná se symetrickou maticí

Libovolná matice shodný k symetrické matici je opět symetrická: pokud ${ displaystyle X}$ je symetrická matice, pak také je ${ displaystyle AXA ^ { mathrm {T}}}$ pro jakoukoli matici ${ displaystyle A}$.

Symetrie znamená normálnost

Symetrická matice (se skutečnou hodnotou) je nutně a normální matice.

Skutečné symetrické matice

Označit podle ${ displaystyle langle cdot, cdot rangle}$ standardní vnitřní produkt na ${ displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$. Skutečný ${ displaystyle n krát n}$ matice ${ displaystyle A}$ je symetrický právě tehdy

${ displaystyle langle Ax, y rangle = langle x, Ay rangle quad forall x, y in mathbb {R} ^ {n}.}$

Protože tato definice je nezávislá na výběru základ, symetrie je vlastnost, která závisí pouze na lineární operátor A a výběr z vnitřní produkt. Tato charakterizace symetrie je užitečná například v diferenciální geometrie, pro každého tečný prostor do a potrubí může být obdařen vnitřním produktem, který vede k tomu, co se nazývá a Riemannovo potrubí. Další oblast, kde se tato formulace používá, je v Hilbertovy prostory.

Konečně-dimenzionální spektrální věta říká, že každá symetrická matice, jejíž položky jsou nemovitý může být diagonalizováno podle ortogonální matice. Více explicitně: Pro každou symetrickou skutečnou matici ${ displaystyle A}$ existuje skutečná ortogonální matice ${ displaystyle Q}$ takhle ${ displaystyle D = Q ^ { mathrm {T}} AQ}$ je diagonální matice. Každá symetrická matice je tedy až do výběr ortonormální základ, diagonální matice.

Li ${ displaystyle A}$ a ${ displaystyle B}$ jsou ${ displaystyle n krát n}$ skutečné symetrické matice, které dojíždějí, pak mohou být současně diagonalizovány: existuje základ ${ displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ tak, že každý prvek základny je vlastní vektor pro oba ${ displaystyle A}$ a ${ displaystyle B}$.

Každá skutečná symetrická matice je Hermitian, a proto všechny jeho vlastní čísla jsou skutečné. (Ve skutečnosti jsou vlastní čísla položky v diagonální matici ${ displaystyle D}$ (výše), a proto ${ displaystyle D}$ je jednoznačně určeno ${ displaystyle A}$ Vlastnost být symetrický pro skutečné matice v zásadě odpovídá vlastnosti bytí Hermitian pro složité matice.

Složité symetrické matice

Složitou symetrickou matici lze „diagonalizovat“ pomocí a unitární matice: tedy pokud ${ displaystyle A}$ je komplexní symetrická matice, existuje unitární matice ${ displaystyle U}$ takhle ${ displaystyle UAU ^ { mathrm {T}}}$ je skutečná diagonální matice s nezápornými údaji. Tento výsledek se označuje jako Faktorizace Autonne – Takagi. To bylo původně prokázáno Léon Autonne (1915) a Teiji Takagi (1925) a znovuobjeveno různými důkazy několika dalšími matematiky.^[2][3] Ve skutečnosti matice ${ displaystyle B = A ^ { dagger} A}$ je Hermitian a pozitivní semi-definitivní, takže existuje jednotná matice ${ displaystyle V}$ takhle ${ displaystyle V ^ { dagger} BV}$ je úhlopříčka s nezápornými reálnými údaji. Tím pádem ${ displaystyle C = V ^ { mathrm {T}} AV}$ je komplexní symetrický s ${ displaystyle C ^ { dagger} C}$ nemovitý. Psaní ${ displaystyle C = X + iY}$ s ${ displaystyle X}$ a ${ displaystyle Y}$ skutečné symetrické matice, ${ displaystyle C ^ { dagger} C = X ^ {2} + Y ^ {2} + i (XY-YX)}$. Tím pádem ${ displaystyle XY = YX}$. Od té doby ${ displaystyle X}$ a ${ displaystyle Y}$ dojíždět, existuje skutečná ortogonální matice ${ displaystyle W}$ takové, že oba ${ displaystyle WXW ^ { mathrm {T}}}$ a ${ displaystyle WYW ^ { mathrm {T}}}$ jsou diagonální. Nastavení ${ displaystyle U = WV ^ { mathrm {T}}}$ (unitární matice), matice ${ displaystyle UAU ^ { mathrm {T}}}$ je složitá úhlopříčka. Přednásobení ${ displaystyle U}$ vhodnou diagonální jednotkovou maticí (která zachovává jednotnost ${ displaystyle U}$), diagonální položky ${ displaystyle UAU ^ { mathrm {T}}}$ mohou být podle potřeby skutečné a nezáporné. Pro konstrukci této matice vyjádříme diagonální matici jako ${ displaystyle UAU ^ { mathrm {T}} = { textrm {Diag}} (r_ {1} e ^ {i theta _ {1}}, r_ {2} e ^ {i theta _ {2 }}, dots, r_ {n} e ^ {i theta _ {n}})}$. Matice, kterou hledáme, je jednoduše dána ${ displaystyle D = { textrm {Diag}} (e ^ {- i theta _ {1} / 2}, e ^ {- i theta _ {2} / 2}, dots, e ^ {- i theta _ {n} / 2})}$. Jasně ${ displaystyle DUAU ^ { mathrm {T}} D = { textrm {Diag}} (r_ {1}, r_ {2}, dots, r_ {n})}$ podle potřeby, takže provedeme úpravu ${ displaystyle U '= DU}$. Protože jejich čtverce jsou vlastní čísla ${ displaystyle A ^ { dagger} A}$, se shodují s singulární hodnoty z ${ displaystyle A}$. (Poznámka: o vlastním rozkladu komplexní symetrické matice ${ displaystyle A}$Jordánská normální forma ${ displaystyle A}$ proto nemusí být diagonální ${ displaystyle A}$ nemusí být diagonalizován žádnou transformací podobnosti.)

Rozklad

Za použití Jordan normální forma, lze dokázat, že každá čtvercová reálná matice může být zapsána jako součin dvou skutečných symetrických matic a každá čtvercová komplexní matice může být zapsána jako součin dvou komplexních symetrických matic.^[4]

Každý skutečný ne-singulární matice lze jednoznačně započítat jako produkt produktu ortogonální matice a symetrický pozitivní určitá matice, který se nazývá a polární rozklad. Singulární matice lze také zohlednit, ale ne jednoznačně.

Choleský rozklad uvádí, že každá skutečná pozitivní-určitá symetrická matice ${ displaystyle A}$ je produktem matice s nižším trojúhelníkem ${ displaystyle L}$ a jeho transpozice,

${ displaystyle A = LL ^ { textyf {T}}}$.

Pokud je matice symetrická neurčitá, může být stále rozložena jako ${ displaystyle PAP ^ { textyf {T}} = LDL ^ { textyf {T}}}$ kde ${ displaystyle P}$ je permutační matice (vyplývající z potřeby pivot ), ${ displaystyle L}$ dolní jednotka trojúhelníková matice a ${ displaystyle D}$^{[relevantní? – diskutovat]} je přímý součet symetrických ${ displaystyle 1 krát 1}$ a ${ displaystyle 2 krát 2}$ bloky, kterému se říká Bunch – Kaufmanův rozklad ^[5]

Složitá symetrická matice nemusí být diagonalizovatelná podobností; každá skutečná symetrická matice je diagonalizovatelná skutečnou ortogonální podobností.

Každá složitá symetrická matice ${ displaystyle A}$ lze diagonalizovat pomocí jednotné kongruence

${ displaystyle A = Q Lambda Q ^ { textyf {T}}}$

kde ${ displaystyle Q}$ je unitární matice. Pokud je A skutečné, pak matice ${ displaystyle Q}$ je skutečný ortogonální matice, (jejichž sloupce jsou vlastní vektory z ${ displaystyle A}$), a ${ displaystyle Lambda}$ je reálné a úhlopříčné (s vlastní čísla z ${ displaystyle A}$ na úhlopříčce). Chcete-li vidět ortogonalitu, předpokládejme ${ displaystyle x}$ a ${ displaystyle y}$ jsou vlastní vektory odpovídající různým vlastním číslům ${ displaystyle lambda _ {1}}$, ${ displaystyle lambda _ {2}}$. Pak

${ displaystyle lambda _ {1} langle x, y rangle = langle Ax, y rangle = langle x, Ay rangle = lambda _ {2} langle x, y rangle.}$

Od té doby ${ displaystyle lambda _ {1}}$ a ${ displaystyle lambda _ {2}}$ jsou odlišné, máme ${ displaystyle langle x, y rangle = 0}$.

Hesián

Symetrický ${ displaystyle n krát n}$ matice skutečných funkcí se jeví jako Hessians dvakrát spojitě diferencovatelné funkce ${ displaystyle n}$ reálné proměnné.

Každý kvadratická forma ${ displaystyle q}$ na ${ displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ lze jednoznačně napsat ve formě ${ displaystyle q ( mathbf {x}) = mathbf {x} ^ { textyf {T}} A mathbf {x}}$ se symetrickým ${ displaystyle n krát n}$ matice ${ displaystyle A}$. Kvůli výše uvedené spektrální větě lze potom říci, že každá kvadratická forma, až do výběru ortonormálního základu ${ displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$, "vypadá jako"

${ displaystyle q left (x_ {1}, ldots, x_ {n} right) = sum _ {i = 1} ^ {n} lambda _ {i} x_ {i} ^ {2}}$

se skutečnými čísly ${ displaystyle lambda _ {i}}$. To značně zjednodušuje studium kvadratických forem i studium množin úrovní ${ displaystyle left { mathbf {x}: q ( mathbf {x}) = 1 doprava }}$ což jsou zobecnění kuželovité úseky.

To je důležité částečně proto, že chování druhého řádu každé plynulé funkce s více proměnnými je popsáno kvadratickou formou patřící do hesenské funkce; je to důsledek Taylorova věta.

Symetrizovatelná matice

An ${ displaystyle n krát n}$ matice ${ displaystyle A}$ se říká, že je symetrizovatelný pokud existuje invertible diagonální matice ${ displaystyle D}$ a symetrická matice ${ displaystyle S}$ takhle ${ displaystyle A = DS.}$

Transpozice symetrizovatelné matice je od té doby symetrizovatelná ${ displaystyle A ^ { mathrm {T}} = (DS) ^ { mathrm {T}} = SD = D ^ {- 1} (DSD)}$ a ${ displaystyle DSD}$ je symetrický. Matice ${ displaystyle A = (a_ {ij})}$ je symetrizovatelný, právě když jsou splněny následující podmínky:

1. ${ displaystyle a_ {ij} = 0}$ naznačuje ${ displaystyle a_ {ji} = 0}$ pro všechny ${ Displaystyle 1 leq i leq j leq n.}$
2. ${ displaystyle a_ {i_ {1} i_ {2}} a_ {i_ {2} i_ {3}} tečky a_ {i_ {k} i_ {1}} = a_ {i_ {2} i_ {1}} a_ {i_ {3} i_ {2}} tečky a_ {i_ {1} i_ {k}}}$ pro jakoukoli konečnou posloupnost ${ displaystyle left (i_ {1}, i_ {2}, dots, i_ {k} right).}$

Viz také

Jiné typy symetrie nebo vzor ve čtvercových maticích mají zvláštní názvy; viz například:

Viz také symetrie v matematice.

Poznámky

Reference

• Horn, Roger A .; Johnson, Charles R. (2013), Maticová analýza (2. vyd.), Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-54823-6

externí odkazy

• "Symetrická matice", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]
• Stručný úvod a důkaz vlastností vlastních čísel skutečné symetrické matice
• Jak implementovat symetrickou matici v C ++