Jednoduchá skupina - Simple group - Wikipedia

Algebraická struktura → Skupinová teorie Skupinová teorie
Základní pojmy Podskupina Normální podskupina Kvocientová skupina (Částečně)přímý produkt Skupinové homomorfismy jádro obraz přímý součet věnec produkt jednoduchý konečný nekonečný kontinuální multiplikativní přísada cyklický abelian vzepětí nilpotentní řešitelný Glosář teorie skupin Seznam témat teorie skupin
Konečné skupiny Klasifikace konečných jednoduchých skupin cyklický střídavý Typ lži sporadický Cauchyova věta Lagrangeova věta Sylowovy věty Hallova věta p-skupina Základní abelianská skupina Skupina Frobenius Multiplikátor Schur Symetrická skupina Sn Kleinova čtyřčlenná skupina PROTI Vzepětí skupina Dn Čtveřice skupina Q Dicyklická skupina Dicn
Diskrétní skupiny Mříže Celá čísla (Z) Zdarma skupina Modulární skupiny PSL (2,Z) SL (2,Z) Aritmetická skupina Mříž Hyperbolická skupina
Topologické a Lež skupiny Solenoid Kruh Obecné lineární GL (n) Speciální lineární SL (n) Ortogonální Ó(n) Euklidovský E(n) Speciální ortogonální TAK(n) Unitary U (n) Speciální unitární SU (n) Symplektický Sp (n) G2 F4 E6 E7 E8 Lorentz Poincaré Konformní Difomorfismus Smyčka Nekonečná dimenzionální Lieova skupina O (∞) SU (∞) Sp (∞)
Algebraické skupiny Lineární algebraická skupina Redukční skupina Abelianská odrůda Eliptická křivka

v matematika, a jednoduchá skupina je netriviální skupina jehož jediný normální podskupiny jsou triviální skupina a samotná skupina. Skupinu, která není jednoduchá, lze rozdělit na dvě menší skupiny, a to netriviální normální podskupinu a odpovídající kvocientová skupina. Tento proces lze opakovat a pro konečné skupiny jeden nakonec dorazí k jedinečně určeným jednoduchým skupinám, tím Jordan – Hölderova věta.

Kompletní klasifikace konečných jednoduchých skupin, dokončený v roce 2004, je významným mezníkem v historii matematiky.

Příklady

Konečné jednoduché skupiny

The cyklická skupina G = Z/3Z z třídy shody modulo 3 (viz modulární aritmetika ) je jednoduchý. Li H je podskupinou této skupiny objednat (počet prvků) musí být a dělitel řádu G což je 3. Protože 3 je prvočíslo, jeho jedinými děliteli jsou 1 a 3, takže buď H je Gnebo H je triviální skupina. Na druhou stranu skupina G = Z/12Z není jednoduché. Sada H tříd kongruence 0, 4 a 8 modulo 12 je podskupina řádu 3 a je to normální podskupina, protože jakákoli podskupina abelianská skupina je normální. Podobně skupina aditiv Z z celá čísla není jednoduché; množina sudých celých čísel je netriviální vlastní normální podskupina.^[1]

Jeden může použít stejný druh uvažování pro jakoukoli abelianskou skupinu, aby odvodil, že jediné jednoduché abelianské skupiny jsou cyklické skupiny primární objednat. Klasifikace neabelských jednoduchých skupin je mnohem méně triviální. Nejmenší neabelská jednoduchá skupina je střídavá skupina A₅ objednávky 60 a každá jednoduchá skupina objednávky 60 je izomorfní na A₅.^[2] Druhou nejmenší neabelskou jednoduchou skupinou je projektivní speciální lineární skupina PSL (2,7) řádu 168 a je možné dokázat, že každá jednoduchá skupina řádu 168 je izomorfní PSL (2,7).^[3][4]

Nekonečné jednoduché skupiny

Nekonečná střídavá skupina, tj. Skupina dokonce konečně podporovaných permutací celých čísel, ${ displaystyle A _ { infty}}$ je jednoduchý. Tuto skupinu lze zapsat jako rostoucí spojení konečných jednoduchých skupin ${ displaystyle A_ {n}}$ s ohledem na standardní vložení ${ displaystyle A_ {n} až A_ {n + 1}.}$ Další rodina příkladů nekonečných jednoduchých skupin je dána ${ displaystyle mathrm {PSL} _ {n} (F),}$ kde ${ displaystyle F}$ je nekonečné pole a ${ displaystyle n geq 2.}$

Je mnohem obtížnější postavit definitivně generováno nekonečné jednoduché skupiny. První výsledek existence není explicitní; je to kvůli Graham Higman a skládá se z jednoduchých kvocientů Higmanova skupina.^[5] Explicitní příklady, které se nakonec ukážou, zahrnují nekonečno Thompsonovy skupiny T a PROTI. Konečně představeno bez kroucení Burger-Mozes zkonstruoval nekonečné jednoduché skupiny.^[6]

Klasifikace

Dosud není známa klasifikace pro obecné (nekonečné) jednoduché skupiny a taková klasifikace se neočekává.

Konečné jednoduché skupiny

The konečné jednoduché skupiny jsou důležité, protože v určitém smyslu jsou „základními stavebními kameny“ všech konečných skupin, které jsou do jisté míry podobné prvočísla jsou základní stavební kameny celá čísla. To je vyjádřeno Jordan – Hölderova věta který uvádí, že jakékoli dva kompoziční série dané skupiny mají stejnou délku a stejné faktory, až do permutace a izomorfismus. Ve velkém úsilí o spolupráci klasifikace konečných jednoduchých skupin byl prohlášen za splněného v roce 1983 Daniel Gorenstein, i když se objevily některé problémy (konkrétně při klasifikaci kvazithinové skupiny, které byly zapojeny v roce 2004).

Stručně řečeno, konečné jednoduché skupiny jsou klasifikovány jako ležící v jedné z 18 rodin nebo jako jedna z 26 výjimek:

• Z_p – cyklická skupina hlavního řádu
• A_n – střídavá skupina pro ${ displaystyle n geq 5}$

  Střídavé skupiny lze považovat za skupiny Lieova typu pole s jedním prvkem, který spojuje tuto rodinu s další, a tedy všechny rodiny neabelovských konečných jednoduchých skupin lze považovat za Lieův typ.

• Jedna ze 16 rodin skupiny typu Lie

  The Skupina prsa je obecně považován za tuto formu, ačkoli přísně vzato to není Lieova typu, ale spíše index 2 ve skupině Lieova typu.

• Jednou z 26 výjimek je sporadické skupiny, z nichž 20 jsou podskupiny nebo dílčí podíly z skupina příšer a jsou označovány jako „Šťastná rodina“, zatímco zbývajících 6 je označováno jako vyvrhele.

Struktura konečných jednoduchých skupin

Známý teorém z Feit a Thompson uvádí, že každá skupina lichého pořadí je řešitelný. Proto má každá konečná jednoduchá skupina sudý řád, pokud není cyklický hlavního řádu.

The Schreierova domněnka tvrdí, že skupina vnější automorfismy každé konečné jednoduché skupiny je řešitelná. To lze dokázat pomocí věty o klasifikaci.

Historie konečných jednoduchých skupin

V historii konečných jednoduchých skupin existují dvě vlákna - objev a konstrukce konkrétních jednoduchých skupin a rodin, které se odehrály od práce Galoise ve 20. letech 20. století po konstrukci Monstera v roce 1981; a důkaz, že tento seznam byl úplný, který začal v 19. století, nejvýznamněji proběhl v letech 1955 až 1983 (kdy bylo původně vyhlášeno vítězství), ale byl dokončen pouze obecně, v roce 2004. Od roku 2010^{[Aktualizace]}pokračují práce na zlepšování důkazů a porozumění; viz (Silvestr 1979 ) pro historii jednoduchých skupin v 19. století.

Konstrukce

Jednoduché skupiny byly studovány přinejmenším od počátku Galoisova teorie, kde Évariste Galois si uvědomil, že skutečnost, že střídavé skupiny v pěti a více bodech je jednoduché (a tudíž neřešitelné), což se ukázalo v roce 1831, bylo důvodem, proč člověk nemohl vyřešit kvintiku v radikálech. Galois také zkonstruoval projektivní speciální lineární skupina roviny nad primárním konečným polem, PSL (2,p), a poznamenal, že jsou jednoduché p ne 2 nebo 3. Toto je obsaženo v jeho posledním dopise Chevalierovi,^[7] a jsou dalším příkladem konečných jednoduchých skupin.^[8]

Další objevy byly Camille Jordan v roce 1870.^[9] Jordan našel 4 rodiny jednoduchých maticových skupin konečná pole hlavního řádu, které jsou nyní známé jako klasické skupiny.

Přibližně ve stejnou dobu se ukázalo, že rodina pěti skupin, která se jmenuje Mathieu skupiny a poprvé popsal Émile Léonard Mathieu v letech 1861 a 1873 byly také jednoduché. Protože těchto pět skupin bylo vytvořeno metodami, které nepřinesly nekonečně mnoho možností, byly nazývány „sporadický "od William Burnside ve své učebnici z roku 1897.

Později Jordanovy výsledky o klasických skupinách zobecnily na libovolná konečná pole Leonard Dickson, v návaznosti na klasifikaci složité jednoduché Lieovy algebry podle Wilhelm Killing. Dickson také vytvořil skupiny výjimek typu G.₂ a E₆ stejně, ale ne typů F₄, E.₇, Ruda₈ (Wilson 2009, str. 2). V padesátých letech pokračovaly práce na skupinách Lieova typu s Claude Chevalley v dokumentu z roku 1955 je uvedena jednotná konstrukce klasických skupin a skupin výjimečného typu. Tím byly vynechány určité známé skupiny (projektivní unitární skupiny), které byly získány „zkroucením“ konstrukce Chevalley. Zbývající skupiny typu Lie produkovali Steinberg, Tits a Herzig (kteří produkovali ³D₄(q) a ²E₆(q)) a Suzuki a Ree (dále jen Skupiny Suzuki – Ree ).

Tyto skupiny (skupiny Lieova typu, společně s cyklickými skupinami, střídajícími se skupinami a pěti výjimečnými Mathieuovými skupinami) byly považovány za úplný seznam, ale po téměř stoletém přestávce od práce Mathieua v roce 1964 za prvé Janko skupina bylo objeveno a zbývajících 20 sporadických skupin bylo objeveno nebo domnělo se v letech 1965–1975, které vyvrcholily v roce 1981, kdy Robert Griess oznámil, že postavil Bernd Fischer „“Skupina příšer ". Společnost Monster je největší sporadická jednoduchá skupina s objednávkou 808 017 424 794 512 875 886 459 904 961 710 757 005 754 368 000 000 000. Společnost Monster má věrné 196 883 rozměrné zastoupení v 196 884 rozměrném. Griessova algebra, což znamená, že každý prvek příšery lze vyjádřit jako matici 196 883 pomocí 196 883.

Klasifikace

Úplná klasifikace je obecně přijímána počínaje Feit-Thompsonova věta 1962/63, převážně trvající do roku 1983, ale dokončeno až v roce 2004.

Brzy po konstrukci společnosti Monster v roce 1981 byl dodán důkaz v celkovém rozsahu více než 10 000 stran, který teoretici skupiny úspěšně dokončili jsou uvedeny všechny konečné jednoduché skupiny, jehož vítězství vyhlásil v roce 1983 Daniel Gorenstein. To bylo předčasné - některé mezery byly později objeveny, zejména při klasifikaci kvazithinové skupiny, které byly nakonec v roce 2004 nahrazeny 1300 stránkovou klasifikací kvazithinových skupin, která je nyní obecně přijímána jako úplná.

Testy na jednoduchost

Sylowův test: Nechte n být kladné celé číslo, které není prvočíslo, a nechat p být hlavním dělitelem n. Pokud je 1 jediným dělitelem n to se rovná 1 modulo p, pak neexistuje jednoduchá skupina řádu n.

Důkaz: Pokud n je hlavní síla, pak skupina řádu n má netriviální centrum^[10] a proto není jednoduchý. Li n není hlavní síla, pak je každá podskupina Sylow správná, a tím Sylowova třetí věta, víme, že počet Sylow p-podskupin skupiny řádu n se rovná 1 modulo p a rozděluje n. Protože 1 je jediné takové číslo, je podskupina Sylow jedinečná, a proto je normální. Jelikož se jedná o správnou podskupinu bez identity, není tato skupina jednoduchá.

Burnside: Neabelianská konečná jednoduchá skupina má řád dělitelný nejméně třemi odlišnými prvočísly. To vyplývá z Burnsideova p-q věta.

Viz také

• Téměř jednoduchá skupina
• Charakteristicky jednoduchá skupina
• Jednoduchá skupina
• Polojediná skupina
• Seznam konečných jednoduchých skupin

Reference

Poznámky

Učebnice

• Knapp, Anthony W. (2006), Základní algebraSpringer, ISBN  978-0-8176-3248-9
• Rotman, Joseph J. (1995), Úvod do teorie grup„Postgraduální texty z matematiky, 148Springer, ISBN  978-0-387-94285-8
• Smith, Geoff; Tabachnikova, Olga (2000), Témata teorie skupinSpringerova vysokoškolská matematická řada (2. vyd.), Springer, ISBN  978-1-85233-235-8

Doklady

externí odkazy

• „Střídavá skupina A_n je jednoduchá“. PlanetMath.