Přímý produkt skupin - Direct product of groups

v matematika, konkrétně v teorie skupin, přímý produkt je operace, která trvá dva skupiny $G$ a $H$ a vytvoří novou skupinu, obvykle označenou $G \times H$ . Tato operace je skupinově teoretickým analogem kartézský součin z sady a je jedním z několika důležitých pojmů přímý produkt v matematice.

V kontextu abelianské skupiny, je přímý produkt někdy označován jako přímý součet a je označen ${displaystyle Goplus H}$ . Přímé částky hrají důležitou roli při klasifikaci abelianských skupin: podle základní věta o konečných abelianských skupinách, každou konečnou abelianskou skupinu lze vyjádřit jako přímý součet cyklické skupiny.

Definice

Dané skupiny $G$ (s provozem $*$ ) a $H$ (s provozem $∆$ ), přímý produkt $G \times H$ je definována takto:

Základní sada je kartézský součin, $G \times H$ . Toto je objednané páry $(G, h)$ , kde $G \in G$ a $h \in H$ .
The binární operace na $G \times H$ je definován po komponentách:
$(G 1, h 1) \cdot (G 2, h 2) = (G 1 * G 2, h 1 ∆ h 2)$

Výsledný algebraický objekt splňuje axiomy pro skupinu. Konkrétně:

Asociativita: Binární operace je zapnutá $G \times H$ je vskutku asociativní.
Identita: Přímý produkt má prvek identity, jmenovitě $(1 G, 1 H)$ , kde $1 G$ je prvek identity $G$ a $1 H$ je prvek identity $H$ .
Inverses: The inverzní prvku $(G, h)$ z $G \times H$ je pár $(G -1, h -1)$ , kde $G -1$ je inverzní k $G$ v $G$ , a $h -1$ je inverzní k $h$ v $H$ .

Příklady

Nechat $R$ být skupinou reálná čísla pod přidání. Pak přímý produkt $R \times R$ je skupina všech dvousložkových vektory $(X, y)$ v rámci provozu vektorové přidání:

(X 1, y 1) + (X 2, y 2) = (X 1 + X 2, y 1 + y 2)

.

Nechat $R +$ být skupinou kladná reálná čísla pod násobením. Pak přímý produkt $R + \times R +$ je skupina všech vektorů v prvním kvadrantu při operaci komponentního násobení

(X 1, y 1) \times (X 2, y 2) = (X 1 \times X 2, y 1 \times y 2)

.

Nechat $G$ a $H$ být cyklické skupiny se dvěma prvky každý:

${displaystyle G}$
* E A
E E A
A A E
${displaystyle H}$
* E b
E E b
b b E

Pak přímý produkt $G \times H$ je izomorfní do Kleinova čtyřčlenná skupina:

${displaystyle G imes H}$
*	(e, e)	(a, e)	(e, b)	(a, b)
(e, e)	(e, e)	(a, e)	(e, b)	(a, b)
(a, 1)	(a, 1)	(e, e)	(a, b)	(1, b)
(1, b)	(1, b)	(a, b)	(e, e)	(a, 1)
(a, b)	(a, b)	(e, b)	(a, 1)	(e, e)

Základní vlastnosti

Přímý produkt je komutativní a asociativní až do izomorfismu. To znamená $G \times H ≅ H \times G$ a $(G \times H) \times K. ≅ G \times (H \times K.)$ pro všechny skupiny $G$ , $H$ , a $K.$ .
The objednat přímého produktu $G \times H$ je produktem objednávek $G$ a $H$ :
$| G \times H | = | G | | H |$ .
To vyplývá ze vzorce pro mohutnost kartézského součinu množin.
Pořadí každého prvku $(G, h)$ je nejmenší společný násobek objednávek $G$ a $h$ :^[1]
$| (G, h) | = lcm (| G |, | h |)$ .
Zejména pokud $| G |$ a $| h |$ jsou relativně prime, pak pořadí $(G, h)$ je produktem objednávek $G$ a $h$ .
V důsledku toho, pokud $G$ a $H$ jsou cyklické skupiny jejichž objednávky jsou tedy relativně prvotřídní $G \times H$ je také cyklický. To je, pokud $m$ a $n$ jsou tedy relativně nejlepší
$(Z / m Z) \times (Z / n Z) ≅ Z / mn Z$ .
Tato skutečnost úzce souvisí s Čínská věta o zbytku.

Algebraická struktura

Nechat $G$ a $H$ být skupinami, ať $P = G \times H$ a zvažte následující dvě podmnožiny z $P$ :

G' = { (G, 1) : G \in G}

a

H' = { (1, h) : h \in H}

.

Oba jsou ve skutečnosti podskupiny z $P$ , přičemž první je izomorfní s $G$ a druhá je izomorfní s $H$ . Pokud je ztotožníme s $G$ a $H$ pak můžeme uvažovat o přímém produktu $P$ jako obsahující původní skupiny $G$ a $H$ jako podskupiny.

Tyto podskupiny $P$ mít následující tři důležité vlastnosti: (Znovu říci, že identifikujeme $G'$ a $H'$ s $G$ a $H$ )

The průsečík $G \cap H$ je triviální.
Každý prvek $P$ lze jednoznačně vyjádřit jako produkt prvku $G$ a prvek $H$ .
Každý prvek $G$ dojíždí s každým prvkem $H$ .

Společně tyto tři vlastnosti zcela určují algebraickou strukturu přímého produktu $P$ . To je, pokud $P$ je žádný skupina mající podskupiny $G$ a $H$ které tedy splňují výše uvedené vlastnosti $P$ je nutně izomorfní s přímým produktem $G$ a $H$ . V této situaci, $P$ se někdy označuje jako interní přímý produkt jejích podskupin $G$ a $H$ .

V některých kontextech je třetí výše uvedená vlastnost nahrazena tímto:

3 '. Oba

G

a

H

jsou normální v

P

.

Tato vlastnost je ekvivalentní vlastnosti 3, protože prvky dvou normálních podskupin s triviální křižovatkou nutně dojíždějí, což lze odvodit zvážením komutátor $[G, h]$ ze všech $G$ v $G$ , $h$ v $H$ .

Příklady

Nechat $PROTI$ být Kleinova čtyřčlenná skupina:
$PROTI$
∙ $1$ $A$ $b$ $C$
$1$ $1$ $A$ $b$ $C$
$A$ $A$ $1$ $C$ $b$
$b$ $b$ $C$ $1$ $A$
$C$ $C$ $b$ $A$ $1$
Pak $PROTI$ je interní přímý produkt dvouprvkových podskupin {1, A} a {1, b}.
Nechat ${displaystyle langle aangle}$ být cyklická skupina řádu mn, kde m a n jsou relativně nejlepší. Pak ${displaystyle langle a ^ {n} úhel}$ a ${displaystyle langle a ^ {m} úhel}$ jsou cyklické podskupiny objednávek m a n, respektive, a ${displaystyle langle aangle}$ je přímým interním produktem těchto podskupin.
Nechat $C \times$ být nenulovou skupinou komplexní čísla pod násobení. Pak $C \times$ je interním přímým produktem kruhová skupina $T$ komplexních čísel jednotek a skupiny $R +$ z kladná reálná čísla pod násobením.
Li n je zvláštní, pak obecná lineární skupina $GL (n, R)$ je interním přímým produktem speciální lineární skupina $SL (n, R)$ a podskupina skládající se ze všech skalární matice.
Podobně, když n je zvláštní ortogonální skupina $Ó(n, R)$ je interní přímý produkt speciální ortogonální skupiny $TAK(n, R)$ a podskupina dvou prvků ${- Já, Já},$ kde $Já$ označuje matice identity.
The skupina symetrie a krychle je interní přímý produkt podskupiny rotací a skupiny dvou prvků ${- Já, Já},$ kde $Já$ je prvek identity a $- Já$ je bodový odraz středem krychle. Podobný fakt platí pro skupinu symetrie an dvacetistěnu.
Nechat n buďte lichí a nechte D_4n být dihedrální skupina objednávky 4n:
${displaystyle D_ {4n} = jazyk, smid r ^ {2n} = s ^ {2} = 1, sr = r ^ {- 1} sangle.}$
Pak D_4n je interní přímý produkt podskupiny ${displaystyle langle r ^ {2}, sangle}$ (který je izomorfní s D._2n) a dvouprvková podskupina {1, rⁿ}.

Prezentace

Algebraická struktura $G \times H$ lze použít k zadání a prezentace pro přímý produkt, pokud jde o prezentace $G$ a $H$ . Konkrétně předpokládejme, že

{displaystyle G = langle S_ {G} střední R_ {G} úhel}

a

{displaystyle H = langle S_ {H} prostřední R_ {H} úhel,}

kde ${displaystyle S_ {G}}$ a ${displaystyle S_ {H}}$ jsou (disjunktní) generující sady a ${displaystyle R_ {G}}$ a ${displaystyle R_ {H}}$ definují vztahy. Pak

{displaystyle G imes H = langle S_ {G} cup S_ {H} mid R_ {G} cup R_ {H} cup R_ {P} angle}

kde ${displaystyle R_ {P}}$ je sada vztahů specifikujících, že každý prvek ${displaystyle S_ {G}}$ dojíždí s každým prvkem ${displaystyle S_ {H}}$ .

Například pokud

{displaystyle G = langle amid a ^ {3} = 1angle}

a

{displaystyle H = langle bmid b ^ {5} = 1angle}

pak

{displaystyle G imes H = langle a, bmid a ^ {3} = 1, b ^ {5} = 1, ab = baangle.}

Normální struktura

Jak bylo uvedeno výše, podskupiny $G$ a $H$ jsou normální v $G \times H$ . Konkrétně definujte funkce $π G : G \times H \to G$ a $π H : G \times H \to H$ podle

π G (G, h) = G

a

π H (G, h) = h

.

Pak $π G$ a $π H$ jsou homomorfismy, známý jako projekce homomorfismy, jehož jádra jsou $H$ a $G$ , resp.

Z toho vyplývá, že $G \times H$ je rozšíření z $G$ podle $H$ (nebo naopak). V případě, že $G \times H$ je konečná skupina, z toho vyplývá, že faktory složení z $G \times H$ jsou přesně svaz složení faktorů $G$ a složení faktory $H$ .

Další vlastnosti

Univerzální vlastnictví

Přímý produkt $G \times H$ lze charakterizovat následujícím způsobem univerzální vlastnictví. Nechat $π G : G \times H \to G$ a $π H : G \times H \to H$ být projekcí homomorfismů. Pak pro jakoukoli skupinu $P$ a všechny homomorfismy $ƒ G : P \to G$ a $ƒ H : P \to H$ existuje jedinečný homomorfismus $ƒ: P \to G \times H$ vytvoření následujícího diagramu dojíždět:

Konkrétně homomorfismus $ƒ$ je dáno vzorcem

ƒ (p) = (ƒ G (p), ƒ H (p))

.

Toto je speciální případ univerzálního vlastnictví pro produkty v teorie kategorií.

Podskupiny

Li $A$ je podskupina $G$ a $B$ je podskupina $H$ , pak přímý produkt $A \times B$ je podskupina $G \times H$ . Například izomorfní kopie $G$ v $G \times H$ je produkt $G \times {1}$ , kde ${1}$ je triviální podskupina $H$ .

Li $A$ a $B$ jsou tedy normální $A \times B$ je normální podskupina $G \times H$ . Navíc kvocient přímých produktů je izomorfní s přímým produktem kvocientů:

(G \times H) / (A \times B) ≅ (G / A) \times (H / B)

.

Všimněte si, že obecně neplatí, že každá podskupina $G \times H$ je produktem podskupiny $G$ s podskupinou $H$ . Například pokud $G$ je jakákoli netriviální skupina, pak produkt $G \times G$ má úhlopříčná podskupina

Δ = {(G, G) : G \in G}

který není přímým produktem dvou podskupin $G$ .

Podskupiny přímých produktů jsou popsány v Goursatovo lemma. Mezi další podskupiny patří výrobky z vláken z $G$ a $H$ .

Konjugace a centralizátory

Dva prvky $(G 1, h 1)$ a $(G 2, h 2)$ jsou sdružené v $G \times H$ kdyby a jen kdyby $G 1$ a $G 2$ jsou konjugovány v $G$ a $h 1$ a $h 2$ jsou konjugovány v $H$ . Z toho vyplývá, že každá třída konjugace v $G \times H$ je prostě kartézský součin třídy konjugace v $G$ a třída konjugace v $H$ .

Stejným způsobem, pokud $(G, h) \in G \times H$ , centralizátor z $(G, h)$ je prostě produkt centralizátorů z $G$ a $h$ :

C G \times H (G, h)

=

C G (G) \times C H (h)

.

Podobně centrum z $G \times H$ je produktem center $G$ a $H$ :

Z (G \times H)

=

Z (G) \times Z (H)

.

Normalizátory chovat se komplexnějším způsobem, protože ne všechny podskupiny přímých produktů se samy rozkládají jako přímé produkty.

Automorfismy a endomorfismy

Li $α$ je automorfismus z $G$ a $β$ je automorfismem $H$ , poté funkce produktu $α \times β : G \times H \to G \times H$ definován

(α \times β)(G, h) = (α (G), β (h))

je automorfismem $G \times H$ . Z toho vyplývá, že $Aut (G \times H)$ má podskupinu isomorphicto přímý produkt $Aut (G) \times Aut (H)$ .

Není obecně pravda, že každý automorfismus $G \times H$ má výše uvedený formulář. (To znamená, $Aut (G) \times Aut (H)$ je často správnou podskupinou $Aut (G \times H)$ .) Například pokud $G$ je jakákoli skupina, pak existuje automorfismus $σ$ z $G \times G$ který přepíná dva faktory, tj.

σ (G 1, G 2) = (G 2, G 1)

.

Pro další příklad skupina automorfismu $Z \times Z$ je $GL (2, Z)$ , skupina všech $2 \times 2$ matice s celočíselnými položkami a určující, $\pm1$ . Tato skupina automorphism je nekonečná, ale pouze konečně mnoho automorphismů má formu uvedenou výše.

Obecně platí, že každý endomorfismus z $G \times H$ lze psát jako $2 \times 2$ matice

{displaystyle {egin {bmatrix} alfa & eta gamma & delta end {bmatrix}}}

kde $α$ je endomorfismus z $G$ , $δ$ je endomorfismus z $H$ , a $β : H \to G$ a $y : G \to H$ jsou homomorfismy. Taková matice musí mít vlastnost, že každý prvek v obraz z $α$ dojíždí s každým prvkem na obrázku $β$ a každý prvek na obrázku $y$ dojíždí s každým prvkem na obrázku $δ$ .

Když G a H jsou nerozložitelné skupiny bez středů, pak je skupina automorfismu relativně přímočará, je to Aut (G) × Aut (H) pokud G a H nejsou izomorfní a Aut (G) wr 2 pokud G ≅ H, wr označuje věnec produkt. Toto je součást Krull – Schmidtova věta a platí obecněji pro konečné přímé produkty.

Zobecnění

Konečné přímé výrobky

Je možné vzít přímý produkt více než dvou skupin najednou. Vzhledem k konečné posloupnosti $G 1, ..., G n$ skupin, přímý produkt

{displaystyle prod _ {i = 1} ^ {n} G_ {i}; =; G_ {1} imes G_ {2} imes cdots imes G_ {n}}

je definována takto:

Prvky $G 1 \times \dots \times G n$ jsou n-tice $(G 1, \dots, G n)$ , kde $G i \in G i$ pro každého $i$ .
Operace zapnuta $G 1 \times \dots \times G n$ je definován po komponentách:
$(G 1, \dots, G n)(G 1', \dots, G n')$ = $(G 1 G 1', \dots, G n G n')$ .

To má mnoho stejných vlastností jako přímý součin dvou skupin a lze ho charakterizovat algebraicky podobným způsobem.

Nekonečné přímé produkty

Je také možné vzít přímý produkt nekonečného počtu skupin. Pro nekonečnou sekvenci $G 1, G 2, \dots$ skupin, toto lze definovat stejně jako konečný přímý součin výše, přičemž prvky nekonečného přímého součinu jsou nekonečné n-tice.

Obecněji řečeno, vzhledem k indexovaná rodina { $G i$ } $i \in Já$ skupin, přímý produkt $\prod i \in Já G i$ je definována takto:

Prvky $\prod i \in Já G i$ jsou prvky nekonečný kartézský součin sad $G i$ ; tj. funkce $ƒ: Já \to ⋃ i \in Já G i$ s majetkem, který $ƒ (i) \in G i$ pro každého $i$ .
Produkt dvou prvků $ƒ, G$ je definována po částech:
$(ƒ • G)(i)$ = $ƒ (i) • G (i)$ .

Na rozdíl od konečného přímého produktu, nekonečného přímého produktu $\prod i \in Já G i$ není generován prvky izomorfních podskupin { $G i$ } $i \in Já$ . Místo toho tyto podskupiny generují podskupinu přímého produktu známého jako nekonečný přímý součet, který se skládá ze všech prvků, které mají pouze konečně mnoho neidentitních komponent.

Ostatní produkty

Produkty Semidirect

Připomeňme, že skupina $P$ s podskupinami $G$ a $H$ je izomorfní s přímým produktem $G$ a $H$ pokud splňuje následující tři podmínky:

The průsečík $G \cap H$ je triviální.
Každý prvek $P$ lze jednoznačně vyjádřit jako produkt prvku $G$ a prvek $H$ .
Oba $G$ a $H$ jsou normální v $P$ .

A polopřímý produkt z $G$ a $H$ se získá uvolněním třetí podmínky, takže pouze jedna ze dvou podskupin $G, H$ musí být normální. Výsledný produkt se stále skládá z uspořádaných párů $(G, h)$ , ale s trochu komplikovanějším pravidlem pro násobení.

Je také možné úplně uvolnit třetí podmínku, což vyžaduje, aby ani jedna ze dvou podskupin nebyla normální. V tomto případě skupina $P$ se označuje jako a Produkt Zappa – Szép z $G$ a $H$ .

Produkty zdarma

The produkt zdarma z $G$ a $H$ , obvykle označeno $G * H$ , je podobný přímému produktu, kromě podskupin $G$ a $H$ z $G * H$ nejsou povinni dojíždět. To je, pokud

G

=

〈 S G

|

R G 〉

a

H

=

〈 S H

|

R H 〉

,

jsou prezentace pro $G$ a $H$ , pak

G * H

=

〈 S G \cup S H

|

R G \cup R H 〉

.

Na rozdíl od přímého produktu nemohou být prvky volného produktu reprezentovány seřazenými páry. Ve skutečnosti je bezplatný produkt libovolných dvou netriviálních skupin nekonečný. Produkt zdarma je ve skutečnosti koprodukt v kategorie skupin.

Podřízené produkty

Li $G$ a $H$ jsou skupiny, a podřízený produkt z $G$ a $H$ je jakákoli podskupina $G \times H$ které mapy překvapivě na $G$ a $H$ pod projekcí homomorfismy. Podle Goursatovo lemma, každý podřízený produkt je vláknový produkt.

Výrobky z vláken

Nechat $G$ , $H$ , a $Q$ být skupinami a nechat $φ : G \to Q$ a $χ : H \to Q$ být homomorfismy. The vláknitý výrobek z $G$ a $H$ přes $Q$ , také známý jako a zarazit, je následující podskupina $G \times H$ :

G \times Q H

= {

(G, h) \in G \times H : φ (g) = χ (h)

}.

Li $φ : G \to Q$ a $χ : H \to Q$ jsou epimorfismus, pak se jedná o podřízený produkt.

Reference

^ Gallian, Joseph A. (2010). Současná abstraktní algebra (7 ed.). Cengage Learning. str. 157. ISBN 9780547165097.

Artin, Michael (1991), Algebra, Prentice Hall, ISBN 978-0-89871-510-1
Herstein, Izrael Nathan (1996), Abstraktní algebra (3. vyd.), Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall Inc., ISBN 978-0-13-374562-7, PAN 1375019.
Herstein, Israel Nathan (1975), Témata v algebře (2. vyd.), Lexington, Massachusetts: Xerox College Publishing, PAN 0356988.
Lang, Serge (2002), Algebra, Postgraduální texty z matematiky, 211 (Přepracované třetí vydání), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, PAN 1878556
Lang, Serge (2005), Vysokoškolská algebra (3. vyd.), Berlín, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-22025-3.
Robinson, Derek John Scott (1996), Kurz teorie skupin, Berlín, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94461-6.

[1] Gallian, Joseph A. (2010). Současná abstraktní algebra (7 ed.). Cengage Learning. str. 157. ISBN 9780547165097.

[1]

∙	$1$	$A$	$b$	$C$
$1$	$1$	$A$	$b$	$C$
$A$	$A$	$1$	$C$	$b$
$b$	$b$	$C$	$1$	$A$
$C$	$C$	$b$	$A$	$1$

∙	$1$	$A$	$b$	$C$
$1$	$1$	$A$	$b$	$C$
$A$	$A$	$1$	$C$	$b$
$b$	$b$	$C$	$1$	$A$
$C$	$C$	$b$	$A$	$1$

∙	$1$	$A$	$b$	$C$
$1$	$1$	$A$	$b$	$C$
$A$	$A$	$1$	$C$	$b$
$b$	$b$	$C$	$1$	$A$
$C$	$C$	$b$	$A$	$1$