Rovnoúhlé čáry - Equiangular lines

v geometrie, sada řádky je nazýván rovnoramenný protínají-li se všechny úsečky v jednom bodě a každá dvojice úseček svírá stejný úhel.

Rovnoběžníkové čáry v euklidovském prostoru

Výpočet maximálního počtu rovnoramenných čar v n-dimenzionální Euklidovský prostor je obtížný problém a obecně nevyřešený, i když hranice jsou známy. Maximální počet rovnoramenných čar ve 2-dimenzionálním euklidovském prostoru je 3: linky můžeme vzít protilehlými vrcholy pravidelného šestiúhelníku, každá pod úhlem 120 stupňů od ostatních dvou. Maximum ve 3 rozměrech je 6: můžeme brát čáry protilehlými vrcholy an dvacetistěnu. Je známo, že maximální počet v jakékoli dimenzi ${ displaystyle n}$ je menší nebo rovno ${ textstyle { binom {n + 1} {2}}}$.^[1] Tato horní mez je pevně spojena s konstantním faktorem konstrukce de Caen.^[2] Maximum v rozměrech 1 až 16 je uvedeno v On-line encyklopedie celočíselných sekvencí jak následuje:

1, 3, 6, 6, 10, 16, 28, 28, 28, 28, 28, 28, 28, 28, 36, 40, ... (pořadí A002853 v OEIS )

Zejména maximální počet rovnoramenných čar v 7 rozměrech je 28. Tyto řádky můžeme získat následovně. Vezměte vektor (−3, −3,1,1,1,1,1,1) dovnitř ${ displaystyle mathbb {R} ^ {8}}$a tvoří všech 28 vektorů získaných permutací jeho složek. Tečkový produkt dvou z těchto vektorů je 8, pokud oba mají komponentu 3 na stejném místě nebo -8 jinak. Čáry procházející počátkem obsahující tyto vektory jsou tedy ekviangulární. Všech 28 vektorů je navíc kolmo na vektor (1,1,1,1,1,1,1,1) v ${ displaystyle mathbb {R} ^ {8}}$, takže leží v 7-dimenzionálním prostoru. Ve skutečnosti je těchto 28 vektorů a jejich negativů až do rotace a dilatace 56 vrcholů 3₂₁ polytop. Jinými slovy, jsou váhovými vektory 56-dimenzionální reprezentace Lieovy skupiny E₇.

Rovnoběžné čáry jsou ekvivalentní k dva grafy. Vzhledem k sadě rovnoramenných čar, pojďme C být kosinus společného úhlu. Předpokládáme, že úhel není 90 °, protože tento případ je triviální (tj. Není zajímavý, protože čáry jsou pouze souřadnicovými osami); tím pádem, C je nenulová. Můžeme přesunout čáry tak, aby všechny prošly původ souřadnic. V každém řádku vyberte jeden jednotkový vektor. Vytvořte matice M z vnitřní výrobky. Tato matice má 1 na úhlopříčce a ± c všude jinde a je symetrická. Odečtení matice identity Já a dělení C, máme symetrická matice s nulovou úhlopříčkou a ± 1 mimo úhlopříčku. To je Seidelská matice sousedství dvou grafů. Naopak, každý dva grafy lze reprezentovat jako sadu rovnoramenných čar.^[3]

Problém stanovení maximálního počtu rovnoramenných čar s pevným úhlem v dostatečně vysokých rozměrech vyřešili Jiang, Tidor, Yao, Zhang a Zhao.^[4] Odpověď je vyjádřena v teoretických termínech spektrálního grafu. Nechat ${ displaystyle N _ { alpha} (d)}$ označuje maximální počet řádků přes počátek v ${ displaystyle d}$ rozměry se společným párovým úhlem ${ displaystyle arccos alfa}$. Nechat ${ displaystyle k}$ označte minimální počet (pokud existuje) vrcholů v grafu, jehož matice sousedství má přesně spektrální poloměr ${ displaystyle (1- alpha) / (2 alpha)}$. Li ${ displaystyle k}$ je tedy konečný ${ displaystyle N _ { alpha} (d) = lfloor k (d-1) / (k-1) rfloor}$ pro všechny dostatečně velké rozměry ${ displaystyle d}$ (zde může „dostatečně velký“ záviset na ${ displaystyle alpha}$). Jestli ne ${ displaystyle k}$ tedy existuje ${ displaystyle N _ { alpha} (d) = d + o (d)}$.

Rovnoběžníkové čáry ve složitém vektorovém prostoru

Ve složitém vektorovém prostoru vybaveném vnitřní produkt, můžeme definovat úhel mezi jednotkovými vektory ${ displaystyle { hat {a}}}$ a ${ displaystyle { hat {b}}}$ vztahem ${ displaystyle cos ( theta) = | ({ hat {a}}, { hat {b}}) |}$. Je známo, že horní mez pro počet složitých rovnoramenných čar v jakékoli dimenzi ${ displaystyle n}$ je ${ displaystyle n ^ {2}}$. Na rozdíl od výše popsaného skutečného případu je možné, že této hranice je dosaženo v každé dimenzi ${ displaystyle n}$. Domněnku, že to platí, navrhl Zauner^[5] a ověřeno analyticky nebo číselně až ${ displaystyle n = 67}$ Scott a Grassl.^[6] Maximální sada komplexních rovnoramenných čar je také známá jako SIC nebo SIC-POVM.

Poznámky

• J. J. Seidel „Diskrétní neeuklidovská geometrie“ In Buekenhout (ed.), Handbook of Incidence Geometry„Elsevier, Amsterdam, The Nederlands (1995) tvrdí, bez důkazu, že maximální počet rovnoběžných čar v dimenzi 14 je 28. To je ne známý.

Reference

• K. Hartnett (2017), "Nová cesta k rovnoramenným čarám ", Časopis Quanta.
• Balla, Igor; Dräxler, Felix; Keevash, Peter; Sudakov, Benny (2016). "Rovníkové čáry a sférické kódy v euklidovském prostoru". arXiv:1606.06620 [math.CO ].
• Sloane, N. J. A. (vyd.). "Pořadí A002853 (maximální velikost množiny rovnostranných čar v rozměrech n)". The On-line encyklopedie celočíselných sekvencí. Nadace OEIS.
• Brouwer, A.E., Cohen, A. M. a Neumaier, A. Vzdálené pravidelné grafy. Springer-Verlag, Berlín, 1989. Oddíl 3.8.
• Godsil, Chris; Royle, Gordone (2001), Algebraická teorie grafů, Postgraduální texty z matematiky, 207, New York: Springer-Verlag. (Viz kapitola 11.)
• Gosselin, S., Pravidelné dva grafy a rovnoramenné čáry, Diplomová práce, Katedra matematiky, University of Waterloo, 2004.
• van Lint, J. H .; Seidel, J. J. (1966), "Rovnostranné bodové sady v eliptické geometrii", Indagationes Mathematicae, Proc. Koninkl. Ned. Akad. Wetenschap. Ser. A 69, 28: 335–348
• Škvarky, Gary; Koolen, Jacobus H .; Munemasa, Akihiro; Szöllősi, Ferenc (2016). "Rovnoběžníkové čáry v euklidovských prostorech". Journal of Combinatorial Theory, Series A. 138: 208–235. arXiv:1403.2155. doi:10.1016 / j.jcta.2015.09.008. S2CID  11841813.
• Škvarky, Gary; Syatriadi, Jeven; Yatsyna, Pavlo (2020). "Rovnoúhlé čáry v nízkodimenzionálních euklidovských prostorech". arXiv:2002.08085 [math.CO ].
• Barg, Alexander; Yu, Wei-Hsuan (2013). "Nové hranice pro rovnoramenné čáry". arXiv:1311.3219 [math.MG ].
• Jiang, Zilin; Tidor, Jonathan; Yao, Yuan; Zhang, Shengtong; Zhao, Yufei (2019). "Rovnoúhlé čáry s pevným úhlem". arXiv:1907.12466 [math.CO ].