Normální podskupina - Normal subgroup

v abstraktní algebra, a normální podskupina (také známý jako invariantní podskupina nebo samo-konjugovaná podskupina)^[1] je podskupina to je neměnné pod časování členy skupina jehož je součástí. Jinými slovy, podskupina $N$ skupiny $G$ je normální v $G$ kdyby a jen kdyby $gng -1 \in N$ pro všechny $G \in G$ a $n \in N$ . Obvyklá notace pro tento vztah je ${displaystyle N riangleleft G}$ .

Normální podskupiny jsou důležité, protože je lze (a pouze oni) použít ke konstrukci kvocientové skupiny dané skupiny. Normální podskupiny dále $G$ jsou přesně jádra z skupinové homomorfismy s doménou $G$ , což znamená, že je lze použít k interní klasifikaci těchto homomorfismů.

Évariste Galois byl první, kdo si uvědomil důležitost existence normálních podskupin.^[2]

Definice

A podskupina $N$ skupiny $G$ se nazývá a normální podskupina z $G$ pokud je neměnný pod časování; tj. konjugace prvku $N$ prvkem $G$ je vždy v $N$ .^[3] Obvyklá notace pro tento vztah je ${displaystyle N riangleleft G}$ .

Rovnocenné podmínky

Pro jakoukoli podskupinu $N$ z $G$ , jsou následující podmínky ekvivalent na $N$ být normální podskupinou $G$ . Proto lze za definici považovat kteroukoli z nich:

Obraz konjugace $N$ jakýmkoli prvkem z $G$ je podmnožinou $N$ .^[4]'
Obraz konjugace $N$ jakýmkoli prvkem z $G$ je rovný $N$ .^[4]
Pro všechny $G$ v $G$ , levý a pravý koset $gN$ a $Ng$ jsou rovny.^[4]
Sady vlevo a vpravo kosety z $N$ v $G$ shodovat se.^[4]
Produkt prvku levého cosetu z $N$ s ohledem na $G$ a prvek levého cosetu z $N$ s ohledem na $h$ je prvek levého cosetu z $N$ s ohledem na $gh$ : $\forall X, y, G, h \in G$ , pokud $X \in gN$ a $y \in hN$ pak $xy \in (gh) N$ .
$N$ je svaz z třídy konjugace z $G$ .^[2]
$N$ je zachována vnitřní automorfismy z $G$ .^[5]
Některé jsou skupinový homomorfismus $G \to H$ jehož jádro je $N$ .^[2]
Pro všechny ${displaystyle nin N}$ a ${displaystyle gin G}$ , komutátor ${displaystyle [n, g] = n ^ {- 1} g ^ {- 1} ng}$ je v $N$ .^{[Citace je zapotřebí ]}
Jakékoli dva prvky dojíždějí, pokud jde o normální vztah členství v podskupině: $\forall G, h \in G, gh \in N \Leftrightarrow hg \in N$ .^{[Citace je zapotřebí ]}

Příklady

Triviální podskupina ${E}$ skládající se pouze z prvku identity $G$ a $G$ samy o sobě jsou vždy normální podskupiny $G$ . Pokud jsou to jediné normální podskupiny, pak $G$ se říká, že je jednoduchý.^[6]
Každá podskupina $N$ z abelianská skupina $G$ je normální, protože ${displaystyle gN = {gn} _ {nin N} = {ng} _ {nin N} = Ng.}$ Skupina, která není abelianská, ale pro kterou je každá podskupina normální, se nazývá a Hamiltonovská skupina.^[7]
The střed skupiny je normální podskupina.^[8]
Obecněji libovolné charakteristická podskupina je normální, protože konjugace je vždy automorfismus.^[9]
The podskupina komutátoru ${displaystyle [G, G]}$ je normální podskupina ${displaystyle G}$ .^[10]
The překladatelská skupina je normální podskupina Euklidovská skupina v jakékoli dimenzi.^[11] To znamená: použití rigidní transformace, následované překladem a následnou inverzní rigidní transformací, má stejný účinek jako jediný překlad (i když obvykle jiný než ten, který jsme použili dříve). Naproti tomu podskupina všech rotace o původu je ne normální podskupina euklidovské skupiny, pokud je dimenze alespoň 2: nejprve překlad, pak rotace kolem počátku a pak překlad zpět obvykle neopraví původ, a proto nebude mít stejný účinek jako jediná rotace kolem původ.
V Rubikova kostka, podskupiny sestávající z operací, které ovlivňují pouze orientaci rohových dílů nebo okrajů, jsou normální.^[12]

Vlastnosti

Li $H$ je normální podskupina $G$ , a $K.$ je podskupina $G$ obsahující $H$ , pak $H$ je normální podskupina $K.$ .^[13]
Normální podskupina normální podskupiny skupiny nemusí být ve skupině normální. To znamená, že normalita není tranzitivní vztah. Nejmenší skupinou vykazující tento jev je dihedrální skupina objednávky 8.^[14] Nicméně, a charakteristická podskupina normální podskupiny je normální.^[15] Skupina, ve které je normálnost přechodná, se nazývá a T-skupina.^[16]
Tyto dvě skupiny $G$ a $H$ jsou jejich normální podskupiny přímý produkt $G \times H$ .
Pokud skupina $G$ je polopřímý produkt ${displaystyle G = Ntimes H,}$ , pak $N$ je normální v $G$ , ačkoli $H$ nemusí být normální v $G$ .
Normálnost je zachována za surjektivních homomorfismů,^[17] tj. pokud $G \to H$ je surjektivní skupinový homomorfismus a $N$ je normální v $G$ , pak obrázek $F (N)$ je normální v $H$ .
Normálnost je zachována tím, že inverzní obrázky,^[17] tj. pokud $G \to H$ je skupinový homomorfismus a $N$ je normální v $H$ , pak inverzní obraz $F -1 (N)$ je normální v $G$ .
Normálnost je při převzetí zachována přímé produkty,^[18] tj. pokud ${displaystyle N_ {1} riangleleft G_ {1}}$ a ${displaystyle N_ {2} riangleleft G_ {2}}$ , pak ${displaystyle N_ {1} je N_ {2}; riangleleft; G_ {1} je G_ {2}}$ .
Každá podskupina index 2 je normální. Obecněji, podskupina, $H$ konečného indexu, $n$ , v $G$ obsahuje podskupinu, $K.$ , normální v $G$ a dělení indexů $n!$ volal normální jádro. Zejména pokud $p$ je nejmenší prvočíslo dělící řád $G$ , pak každá podskupina indexu $p$ je normální.^[19]
Skutečnost, že normální podskupiny $G$ jsou přesně jádra skupinových homomorfismů definovaných na G zodpovídá za důležitost normálních podskupin; jsou způsob, jak interně klasifikovat všechny homomorfismy definované ve skupině. Například konečná skupina bez identity je jednoduchý právě tehdy, pokud je isomorfní se všemi svými nehomorfními homomorfními obrazy,^[20] konečná skupina je perfektní právě když nemá normální podskupiny prvočísel index a skupina je nedokonalý jen a jen pokud odvozená podskupina není doplněn žádnou řádnou normální podskupinou.

Mříž normálních podskupin

Vzhledem ke dvěma normálním podskupinám $N$ a $M$ , z $G$ , jejich křižovatka ${displaystyle Ncap M}$ a jejich produkt ${displaystyle NM = {nmmid nin N; {ext {and}}; min M}}$ jsou také normální podskupiny $G$ .

Normální podskupiny $G$ formulář a mříž pod zahrnutí podmnožiny s nejmenší prvek, ${E}$ , a největší prvek, $G$ . The setkat dvou normálních podskupin, $N$ a $M$ , v této mřížce je jejich průnik a připojit se je jejich produkt.

Mřížka je kompletní a modulární.^[18]

Normální podskupiny, kvocientové skupiny a homomorfismy

Li $N$ je normální podskupina, můžeme definovat násobení na kosetech takto:

{displaystyle (a_ {1} N) (a_ {2} N): = (a_ {1} a_ {2}) N.}

Tento vztah definuje mapování

{displaystyle G / N imes G / N o G / N}

. Abychom ukázali, že toto mapování je dobře definované, je třeba prokázat, že výběr reprezentativních prvků

{displaystyle a_ {1}, a_ {2}}

nemá vliv na výsledek. Za tímto účelem zvažte některé další reprezentativní prvky

{displaystyle a_ {1} 'v a_ {1} N, a_ {2}' v a_ {2} N}

. Pak existují

{displaystyle n_ {1}, n_ {2} v N}

takhle

{displaystyle a_ {1} '= a_ {1} n_ {1}, a_ {2}' = a_ {2} n_ {2}}

. Z toho vyplývá, že

{displaystyle a_ {1} 'a_ {2}' N = a_ {1} n_ {1} a_ {2} n_ {2} N = a_ {1} a_ {2} n_ {1} 'n_ {2} N = a_ {1} a_ {2} N,}

kde jsme také využili toho, že

{displaystyle N}

je normální podskupina, a proto existuje

{displaystyle n_ {1} 'v N}

takhle

{displaystyle n_ {1} a_ {2} = a_ {2} n_ {1} '}

. To dokazuje, že tento produkt je dobře definované mapování mezi kosety.

S touto operací je sada kosetů sama o sobě skupinou zvanou kvocientová skupina a označeno $G / N$ . Existuje přírodní homomorfismus, $F : G \to G / N$ , dána $F (A) = aN$ . Tento homomorfismus mapuje ${displaystyle N}$ do prvku identity $G / N$ , což je coset $eN = N$ ,^[21] to je ${displaystyle ker (f) = N}$ .

Obecně platí, že skupinový homomorfismus, $F : G \to H$ posílá podskupiny z $G$ do podskupin $H$ . Rovněž předobraz jakékoli podskupiny $H$ je podskupina $G$ . Říkáme preimage triviální skupiny ${E}$ v $H$ the jádro homomorfismu a označme jej $ker (F)$ . Jak se ukázalo, jádro je vždy normální a obraz $G$ , $F (G)$ , je vždy izomorfní na $G / ker (F)$ (dále jen první věta o izomorfismu ).^[22] Ve skutečnosti je tato korespondence bijekcí mezi množinou všech kvocientových skupin $G$ , $G / N$ a soubor všech homomorfních obrazů $G$ (až do izomorfismus).^[23] Je také snadno vidět, že jádro kvocientové mapy, $F : G \to G / N$ , je $N$ sama o sobě, takže normální podskupiny jsou přesně jádra homomorfismů s doména $G$ .^[24]

Viz také

Operace s podskupinami do podskupin

Vlastnosti podskupiny doplňkové (nebo opačné) k normálnosti

Vlastnosti podskupiny silnější než normálnost

Vlastnosti podskupiny slabší než normálnost

Související pojmy v algebře

Ideální (prstenová teorie)

Poznámky

^ Bradley 2010, str. 12.
^ ^A ^b ^C Cantrell 2000, str. 160.
^ Dummit & Foote 2004.
^ ^A ^b ^C ^d Hungerford 2003, str. 41.
^ Fraleigh 2003, str. 141.
^ Robinson 1996, str. 16.
^ Hall 1999, str. 190.
^ Hungerford 2003, str. 45.
^ Hall 1999, str. 32.
^ Hall 1999, str. 138.
^ Thurston 1997, str. 218.
^ Bergvall a kol. 2010, str. 96.
^ Hungerford 2003, str. 42.
^ Robinson 1996, str. 17.
^ Robinson 1996, str. 28.
^ Robinson 1996, str. 402.
^ ^A ^b Hall 1999, str. 29.
^ ^A ^b Hungerford 2003, str. 46.
^ Robinson 1996, str. 36.
^ Dõmõsi & Nehaniv 2004, str. 7.
^ Hungerford 2003, str. 42–43.
^ Hungerford 2003, str. 44.
^ Robinson 1996, str. 20.
^ Hall 1999, str. 27.

Reference

Bergvall, Olof; Hynning, Elin; Hedberg, Mikael; Mickelin, Joel; Masawe, Patrick (16. května 2010). „Na Rubikově kostce“ (PDF). KTH. Citovat deník vyžaduje | deník = (Pomoc)CS1 maint: ref = harv (odkaz)
Cantrell, C.D. (2000). Moderní matematické metody pro fyziky a inženýry. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-59180-5.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
Dõmõsi, Pál; Nehaniv, Chrystopher L. (2004). Algebraická teorie sítí automatů. Monografie SIAM o diskrétní matematice a aplikacích. SIAM.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
Dummit, David S .; Foote, Richard M. (2004). Abstraktní algebra (3. vyd.). John Wiley & Sons. ISBN 0-471-43334-9.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
Fraleigh, John B. (2003). První kurz v abstraktní algebře (7. vydání). Addison-Wesley. ISBN 978-0-321-15608-2.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
Hall, Marshall (1999). Teorie grup. Providence: Vydávání Chelsea. ISBN 978-0-8218-1967-8.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
Hungerford, Thomas (2003). Algebra. Postgraduální texty z matematiky. Springer.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
Robinson, Derek J. S. (1996). Kurz teorie skupin. Postgraduální texty z matematiky. 80 (2. vyd.). Springer-Verlag. ISBN 978-1-4612-6443-9. Zbl 0836.20001.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
Thurston, William (1997). Levy, Silvio (ed.). Trojrozměrná geometrie a topologie, sv. 1. Matematická řada z Princetonu. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-08304-9.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
Bradley, C. J. (2010). Matematická teorie symetrie v pevných látkách: teorie reprezentace pro bodové a prostorové skupiny. Oxford New York: Clarendon Press. ISBN 978-0-19-958258-7. OCLC 859155300.

Další čtení

I.N. Herstein, Témata v algebře. Druhé vydání. Xerox College Publishing, Lexington, Massachusetts-Toronto, Ont., 1975. xi + 388 stran

externí odkazy

[FOOTNOTEBradley201012-1] Bradley 2010, str. 12.

[FOOTNOTECantrell2000160-2] A ^b ^C Cantrell 2000, str. 160.

[FOOTNOTEDummitFoote2004-3] Dummit & Foote 2004.

[FOOTNOTEHungerford200341-4] A ^b ^C ^d Hungerford 2003, str. 41.

[FOOTNOTEFraleigh2003141-5] Fraleigh 2003, str. 141.

[FOOTNOTERobinson199616-6] Robinson 1996, str. 16.

[FOOTNOTEHall1999190-7] Hall 1999, str. 190.

[FOOTNOTEHungerford200345-8] Hungerford 2003, str. 45.

[FOOTNOTEHall199932-9] Hall 1999, str. 32.

[FOOTNOTEHall1999138-10] Hall 1999, str. 138.

[FOOTNOTEThurston1997218-11] Thurston 1997, str. 218.

[FOOTNOTEBergvallHynningHedbergMickelin201096-12] Bergvall a kol. 2010, str. 96.

[FOOTNOTEHungerford200342-13] Hungerford 2003, str. 42.

[FOOTNOTERobinson199617-14] Robinson 1996, str. 17.

[FOOTNOTERobinson199628-15] Robinson 1996, str. 28.

[FOOTNOTERobinson1996402-16] Robinson 1996, str. 402.

[FOOTNOTEHall199929-17] A ^b Hall 1999, str. 29.

[FOOTNOTEHungerford200346-18] A ^b Hungerford 2003, str. 46.

[FOOTNOTERobinson199636-19] Robinson 1996, str. 36.

[FOOTNOTEDõmõsiNehaniv20047-20] Dõmõsi & Nehaniv 2004, str. 7.

[FOOTNOTEHungerford200342–43-21] Hungerford 2003, str. 42–43.

[FOOTNOTEHungerford200344-22] Hungerford 2003, str. 44.

[FOOTNOTERobinson199620-23] Robinson 1996, str. 20.

[FOOTNOTEHall199927-24] Hall 1999, str. 27.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]