Dihedrální úhel - Dihedral angle

Úhel mezi dvěma rovinami (α, β, zelená) ve třetí rovině (růžová), která protíná přímku v pravých úhlech

A vzepětí úhel je úhel mezi dvěma protínajícími se rovinami. v chemie, je to úhel mezi rovinami dvěma sadami tří atomů, které mají dva atomy společné. v objemová geometrie, je definován jako svaz a čára a dva poloroviny které mají tento řádek jako společný okraj. v vyšší rozměry, vzepětí úhel představuje úhel mezi dvěma hyperplanes.^[1]Roviny létajícího stroje se považují za kladné ve vzepětí, když jsou pravá i hlavní hlavní letadla nakloněna směrem vzhůru k boční ose. Když jsou skloněny dolů, říká se o nich, že jsou v negativním úhlu vzepětí.

Matematické pozadí

Když jsou dvě protínající se roviny popsány z hlediska Kartézské souřadnice dvěma rovnicemi

${ displaystyle a_ {1} x + b_ {1} y + c_ {1} z + d_ {1} = 0}$

${ displaystyle a_ {2} x + b_ {2} y + c_ {2} z + d_ {2} = 0}$

úhel vzepětí, ${ displaystyle varphi}$ mezi nimi je dáno:

${ displaystyle cos varphi = { frac { left vert a_ {1} a_ {2} + b_ {1} b_ {2} + c_ {1} c_ {2} right vert} {{ sqrt {a_ {1} ^ {2} + b_ {1} ^ {2} + c_ {1} ^ {2}}} { sqrt {a_ {2} ^ {2} + b_ {2} ^ {2 } + c_ {2} ^ {2}}}}}}$

a uspokojuje ${ displaystyle 0 leq varphi leq pi / 2.}$

Alternativně, pokud n_A a n_B jsou normální vektor k letadlům, jeden má

${ displaystyle cos varphi = { frac { levý vert mathbf {n} _ { mathrm {A}} cdot mathbf {n} _ { mathrm {B}} pravý vert} { | mathbf {n} _ { mathrm {A}} || mathbf {n} _ { mathrm {B}} |}}}$

kde n_A · n_B je Tečkovaný produkt vektorů a |n_A| |n_B| je součinem jejich délek.^[2]

Ve výše uvedených vzorcích je vyžadována absolutní hodnota, protože roviny se nezmění při změně všech znamének koeficientu v jedné rovnici nebo při nahrazení jednoho normálního vektoru jeho opakem.

Absolutní hodnoty však lze a je třeba se jim vyhnout, když vezmeme v úvahu úhel vzepětí dvou půl letadla jehož hranice jsou stejná čára. V tomto případě lze poloroviny popsat bodem P jejich průsečíku a tři vektory b₀, b₁ a b₂ takhle P + b₀, P + b₁ a P + b₂ patří k průsečíku, první polovině roviny a druhé polovině roviny. The vzepětí těchto dvou polorovin je definováno

${ displaystyle cos varphi = { frac {( mathbf {b} _ {0} times mathbf {b} _ {1}) cdot ( mathbf {b} _ {0} times mathbf {b} _ {2})} {| mathbf {b} _ {0} times mathbf {b} _ {1} || mathbf {b} _ {0} times mathbf {b} _ {2} |}}}$,

a uspokojuje ${ displaystyle 0 leq varphi < pi.}$

Ve fyzice polymerů

V některých vědeckých oblastech, jako je polymerní fyzika lze uvažovat o řetězci bodů a vazbách mezi po sobě následujícími body. Pokud jsou body postupně očíslovány a umístěny na pozicích r₁, r₂, r₃atd. vazebné vektory jsou definovány u₁=r₂-r₁, u₂=r₃-r₂, a u_i=r_{i + 1}-r_i, obecněji.^[3] To je případ pro kinematické řetězce nebo aminokyseliny v proteinová struktura. V těchto případech se často zajímají roviny definované třemi po sobě následujícími body a úhel vzepětí mezi dvěma po sobě následujícími rovinami. Pokud byla zvolena orientace pro celý řetězec, každá dvojice po sobě jdoucích bodů definuje vektor a součet všech těchto vektorů u_i je vektor směřující od začátku do konce řetězce. Li u₁, u₂ a u₃ jsou tři po sobě následující vektory, jeden má situaci podobnou předchozímu případu, kromě toho, že průsečík rovin je orientován. To umožňuje definovat vzepětí úhel, který patří do intervalu (–π, π]. Tento úhel vzepětí je definován vztahem^[4]

${ displaystyle { begin {aligned} cos varphi & = { frac {( mathbf {u} _ {1} times mathbf {u} _ {2}) cdot ( mathbf {u} _ {2} times mathbf {u} _ {3})} {| mathbf {u} _ {1} times mathbf {u} _ {2} | , | mathbf {u} _ {2 } times mathbf {u} _ {3} |}} sin varphi & = { frac { mathbf {u} _ {2} cdot (( mathbf {u} _ {1} times mathbf {u} _ {2}) times ( mathbf {u} _ {2} times mathbf {u} _ {3}))}} {| mathbf {u} _ {2} | , | mathbf {u} _ {1} times mathbf {u} _ {2} | , | mathbf {u} _ {2} times mathbf {u} _ {3} |}}, end {zarovnáno}}}$

nebo pomocí funkce atan2,

${ displaystyle varphi = operatorname {atan2} ( mathbf {u} _ {2} cdot (( mathbf {u} _ {1} times mathbf {u} _ {2}) times ( mathbf {u} _ {2} times mathbf {u} _ {3})), | mathbf {u} _ {2} | , ( mathbf {u} _ {1} times mathbf { u} _ {2}) cdot ( mathbf {u} _ {2} times mathbf {u} _ {3}))}}$

Tento vzepětí úhel nezávisí na orientaci řetězu (pořadí, ve kterém je bod považován). Ve skutečnosti změna tohoto uspořádání spočívá v nahrazení každého vektoru jeho opačným vektorem a ve výměně indexů 1 a 3. Obě operace nemění kosinus a mění znaménko sinu. Společně tedy nemění úhel.

Jednodušší vzorec pro stejný úhel vzepětí je následující (důkaz je uveden níže)

${ displaystyle { begin {aligned} cos varphi & = { frac {( mathbf {u} _ {1} times mathbf {u} _ {2}) cdot ( mathbf {u} _ {2} times mathbf {u} _ {3})} {| mathbf {u} _ {1} times mathbf {u} _ {2} | , | mathbf {u} _ {2 } times mathbf {u} _ {3} |}} sin varphi & = { frac {| mathbf {u} _ {2} | , mathbf {u} _ {1} cdot ( mathbf {u} _ {2} times mathbf {u} _ {3})} {| mathbf {u} _ {1} times mathbf {u} _ {2} | , | mathbf {u} _ {2} times mathbf {u} _ {3} |}}, end {zarovnáno}}}$

nebo ekvivalentně

${ displaystyle varphi = operatorname {atan2} (| mathbf {u} _ {2} | , mathbf {u} _ {1} cdot ( mathbf {u} _ {2} krát mathbf {u} _ {3}), ( mathbf {u} _ {1} times mathbf {u} _ {2}) cdot ( mathbf {u} _ {2} times mathbf {u} _ {3})).}$

To lze odvodit z předchozích vzorců pomocí vektorový čtyřnásobný produkt vzorec a skutečnost, že a skalární trojitý produkt je nula, pokud obsahuje dvakrát stejný vektor:

${ displaystyle ( mathbf {u} _ {1} times mathbf {u} _ {2}) times ( mathbf {u} _ {2} times mathbf {u} _ {3}) = [( mathbf {u} _ {2} times mathbf {u} _ {3}) cdot mathbf {u} _ {1}] mathbf {u} _ {2} - [( mathbf { u} _ {2} times mathbf {u} _ {3}) cdot mathbf {u} _ {2}] mathbf {u} _ {1} = [( mathbf {u} _ {2 } times mathbf {u} _ {3}) cdot mathbf {u} _ {1}] mathbf {u} _ {2}}$

Zvláštní případy jsou ${ displaystyle varphi = pi}$, ${ displaystyle varphi = + pi / 3}$ a ${ displaystyle varphi = - pi / 3}$, které se nazývají trans, gauche⁺, a gauche⁻ konformace.

Ve stereochemii

Názvy konfigurace podle úhlu vzepětí	syn n-Butan Newmanova projekce	syn n-Butan projekce pilového koně

Volný energetický diagram n-butan jako funkce vzepětí.

v stereochemie, a torzní úhel je definován jako konkrétní příklad vzepětí, popisující geometrický vztah dvou částí molekuly spojených a chemická vazba.^[5][6] Každá sada tří nelineárních atomů a molekula definuje rovinu. Když se protínají dvě takové roviny (tj. Sada čtyř za sebou navázaných atomů), úhel mezi nimi je úhel vzepětí. K určení se používají středové úhly molekulární konformace.^[7] Stereochemické jsou volána uspořádání odpovídající úhlům mezi 0 ° a ± 90 ° syn s) ty, které odpovídají úhlům mezi ± 90 ° a 180 ° proti (A). Podobně se nazývá uspořádání odpovídající úhlům mezi 30 ° a 150 ° nebo mezi -30 ° a -150 ° klinální c) a jsou volány hodnoty mezi 0 ° a ± 30 ° nebo ± 150 ° a 180 ° periplanární (p).

Tyto dva typy výrazů lze kombinovat tak, aby definovaly čtyři rozsahy úhlu; 0 ° až ± 30 ° synperiplanar (sp); 30 ° až 90 ° a -30 ° až -90 ° synklinál (sc); 90 ° až 150 ° a −90 ° až -150 ° antiklinál (střídavý proud); ± 150 ° až 180 ° antiperiplanární (ap). Synperiplanární konformace je také známá jako syn- nebo cis-konformace; antiperiplanar as proti nebo trans; a synclinal as gauche nebo překroutit.

Například s n-butan dvě roviny lze specifikovat z hlediska dvou centrálních atomů uhlíku a jednoho z methylových atomů uhlíku. The syn-konformace zobrazená výše, s úhelem vzepětí 60 ° je méně stabilní než proti-formace s úhelem vzepětí 180 °.

Pro makromolekulární použití jsou symboly T, C, G⁺, G.⁻, A⁺ a A.⁻ jsou doporučeny (ap, sp, + sc, −sc, + ac a −ac).

Proteiny

Vyobrazení a protein, zobrazující páteřní vzepětí

A Ramachandran spiknutí (také známý jako Ramachandranův diagram nebo [φ,ψ] spiknutí), původně vyvinutý v roce 1963 autorem G. N. Ramachandran C. Ramakrishnan a V. Sasisekharan,^[8] je způsob, jak vizualizovat energeticky povolené oblasti pro páteřní vzepětí ψ proti φ z aminokyselina zbytky v proteinová struktura. Obrázek vpravo ilustruje definici φ a ψ páteřní vzepětí^[9] (volala φ a φ ' Ramachandran).

V protein řetěz tři vzepětí úhly jsou definovány jako φ (phi), ψ (psi) a ω (omega), jak je znázorněno na obrázku. Rovinnost peptidová vazba obvykle omezuje ω být 180 ° (typický trans případ) nebo 0 ° (vzácné cis případ). Vzdálenost mezi C.^α atomy v trans a cis izomery je přibližně 3,8, respektive 2,9 Å. Drtivá většina peptidových vazeb v proteinech je trans, ačkoli peptidová vazba na dusík z prolin má zvýšenou prevalenci cis ve srovnání s jinými páry aminokyselin.^[10]

Úhly postranního řetězce postranního řetězce jsou označeny χ_n (chin).^[11] Mají tendenci se shlukovat poblíž 180 °, 60 ° a -60 °, které se nazývají trans, gauche⁺, a gauche⁻ konformace. Hodnoty ovlivňují stabilitu určitých postranních úhlů postranního řetězce φ a ψ.^[12] Například mezi C existují přímé sterické interakcey postranního řetězu v gauche⁺ rotamer a páteřní dusík dalšího zbytku, když ψ je blízko -60 °.^[13]

Převod z úhlu vzepětí na kartézské souřadnice v řetězcích

Je běžné představovat hlavní řetězce polymerů, zejména proteiny vnitřní souřadnice; to je seznam po sobě jdoucích vzepětí a délek vazeb. Některé typy však výpočetní chemie místo toho použijte Kartézské souřadnice. Při optimalizaci výpočetní struktury je nutné, aby některé programy během svých iterací převracely mezi těmito reprezentacemi. Tento úkol může dominovat době výpočtu. U procesů s mnoha iteracemi nebo s dlouhými řetězci může také zavést kumulativní číselnou nepřesnost. Zatímco všechny převodní algoritmy produkují matematicky shodné výsledky, liší se rychlostí a číselnou přesností.^{[14][není nutný primární zdroj ]}

Geometrie

Každý mnohostěn má na každé hraně vzepětí úhel popisující vztah dvou ploch, které sdílejí tuto hranu. Tento vzepřený úhel, nazývaný také úhel obličeje, se měří jako vnitřní úhel s ohledem na mnohostěn. Úhel 0 ° znamená, že normální vektory obličeje jsou antiparalelní a tváře se navzájem překrývají, což znamená, že je součástí a degenerovat mnohostěn. Úhel 180 ° znamená, že tváře jsou rovnoběžné, jako v a obklady. Na konkávních částech mnohostěnu existuje úhel větší než 180 °.

Každý úhel vzepětí v hrana tranzitivní mnohostěn má stejnou hodnotu. To zahrnuje 5 Platonické pevné látky, 13. Katalánština pevné látky, 4 Kepler – Poinsotův mnohostěn, dva kvazikruhové pevné látky a dva kvazikruhové duální pevné látky.

Vzhledem k tomu, 3 plochy mnohostěnu, které se setkávají na společném vrcholu P a mají hrany AP, BP a CP, je kosinus vzepětí mezi plochami obsahujícími APC a BPC:^[15]

${ displaystyle cos varphi = { frac { cos ( úhel mathrm {APB}) - cos ( úhel mathrm {APC}) cos ( úhel mathrm {BPC})} { sin ( úhel mathrm {APC}) sin ( úhel mathrm {BPC})}}}$

Viz také

• Atropisomer

Reference

externí odkazy

• The Dihedral Angle in Woodworking at Tips.FM
• Analýza 5 pravidelných mnohostěnů poskytuje postupné odvození těchto přesných hodnot.