Kopule (geometrie) - Cupola (geometry)

Sada kopule

Pětiúhelníková kupole (příklad)
Schläfliho symbol	{n} || t {n}
Tváře	n trojúhelníky, n čtverce, 1 n-gon, 1 2n-gon
Hrany	5n
Vrcholy	3n
Skupina symetrie	Cnproti, [1,n], (*nn), objednávka 2n
Rotační skupina	Cn, [1,n]+, (nn), objednávka č
Dvojí	?
Vlastnosti	konvexní

v geometrie, a kopule je těleso vytvořené spojením dvou mnohoúhelníky, jeden (základna) s dvakrát tolik hranami jako druhý, střídavým pásem rovnoramenných trojúhelníky a obdélníky. Pokud jsou trojúhelníky rovnostranný a obdélníky jsou čtverce, zatímco základna a její protilehlá tvář jsou pravidelné mnohoúhelníky, trojúhelníkový, náměstí, a pětiúhelníkový kopule se počítají mezi Johnson pevné látky, a mohou být vytvořeny převzetím částí cuboctahedron, kosočtverec, a rhombicosidodecahedron, resp.

Na kopuli lze pohlížet jako na hranol kde jeden z polygonů byl složen na polovinu sloučením alternativních vrcholů.

Kopuli lze rozšířit Schläfliho symbol {n} || t {n}, představující a pravidelný mnohoúhelník {n} spojeno paralelou jeho zkrácení, t {n} nebo {2n}.

Kopule jsou podtřídou prizmatoidy.

Jeho duální obsahuje tvar, který je jakýmsi svarem mezi polovinou n-stranný lichoběžník a a 2n-stranný pyramida.

Příklady

Rodina konvexních kopule

[

• proti
• t
• E

]

n	2	3	4	5	6
název	{2} || t {2}	{3} || t {3}	{4} || t {4}	{5} || t {5}	{6} || t {6}
Kopule	Digonal kopule	Trojúhelníková kopule	Čtvercová kopule	Pětiúhelníková kopule	Šestihranná kopule (Byt)
Příbuzný jednotný mnohostěn	Trojhranný hranol	Cubocta- hedron	Kosočtverec cubocta- hedron	Kosočtverec- icosidodeca- hedron	Kosočtverec trihexagonal obklady

Letadlo "šestihranný kopule "v rhombitrihexagonal obklady

Výše uvedené tři mnohostěny jsou jediné netriviální konvexní kopule s pravidelnými plochami: „šestihranný kopule "je letadlo a" trojúhelníkový hranol lze považovat za „kopuli“ stupně 2 (kupole úsečky a čtverce). Kopule polygonů vyššího stupně však mohou být konstruovány s nepravidelný trojúhelníkové a obdélníkové plochy.

Souřadnice vrcholů

40stranná kupole má 40 rovnoramenných trojúhelníků (modrý), 40 obdélníků (žlutý), vrchní pravidelnou 40-gon (červená) a spodní část pravidelná 80-gon (skrytý).

Definice kupole nevyžaduje, aby základna (nebo strana naproti základně, kterou lze nazvat nahoře) byla pravidelným mnohoúhelníkem, ale je vhodné vzít v úvahu případ, kdy kupole má maximální symetrii, C_nproti. V takovém případě je vrchol pravidelný n-gon, zatímco základna je buď běžná 2n-gon nebo 2n-gon, který má dvě různé délky stran střídající se a stejné úhly jako běžná 2n-gon. Je vhodné zafixovat souřadnicový systém tak, aby základna ležela v xy-rovina s vrcholem v rovině rovnoběžné s xy-letadlo. The z- osa je n- složená osa a roviny zrcadla procházejí skrz z-osa a rozřízněte strany základny. Také rozdělí strany nebo úhly horního mnohoúhelníku nebo obojí. (Li n je sudá, polovina rovin zrcadlení půlí strany horního mnohoúhelníku a polovina půlí úhly, zatímco pokud n je liché, každá rovina zrcadlení půlí jednu stranu a jeden úhel horního mnohoúhelníku.) Vrcholy základny lze označit V₁ přes V_2n, zatímco vrcholy horního polygonu lze označit jako V_2n+1 přes V_3n. S těmito konvencemi lze souřadnice vrcholů zapsat jako:

• PROTI_2j−1: (r_b cos [2π (j − 1) / n + α], r_b hřích [2π (j − 1) / n + α], 0)
• PROTI_2j: (r_b cos (2πj / n - α), r_b hřích (2πj / n - α), 0)
• PROTI_2n+j: (r_t cos (πj / n), r_t hřích (πj / n), h)

kde j = 1, 2, ..., n.

Protože mnohoúhelníky PROTI₁PROTI₂PROTI_2n+2PROTI_2n+1atd. jsou obdélníky, což omezuje hodnoty r_b, r_ta α. Vzdálenost PROTI₁PROTI₂ je rovný

r_b{[cos (2π / n - α) - cos α]² + [hřích (2π / n - α) - sin α]²}^1/2

= r_b{[cos²(2π / n - α) - 2cos (2π / n - α) cos α + cos² α] + [hřích²(2π / n - α) - 2 sin (2π / n - α) sin α + sin² α]}^1/2

= r_b{2 [1 - cos (2π / n - α) cos α - sin (2π / n - α) sin α]}^1/2

= r_b{2 [1 - cos (2π / n - 2α)]}^1/2

zatímco vzdálenost PROTI_2n+1PROTI_2n+2 je rovný

r_t{[cos (π / n) − 1]² + hřích²(π / n)}^1/2

= r_t{[cos²(π / n) - 2 kosy (π / n) + 1] + hřích²(π / n)}^1/2

= r_t{2 [1 - cos (π / n)]}^1/2.

Ty mají být stejné, a pokud je tato společná hrana označena s,

r_b = s / {2 [1 - cos (2π / n - 2α)]}}^1/2

r_t = s / {2 [1 - cos (π / n)]}^1/2

Tyto hodnoty mají být vloženy do výrazů pro souřadnice vrcholů uvedených dříve.

Hvězdná kopule

Rodina hvězdné kopule

n / d	4	5	7	8
3	{4/3}	{5/3}	{7/3}	{8/3}
5	—	—	{7/5}	{8/5}

Rodina hvězdných cuploidů

​n⁄d	3	5	7
2	Překřížený trojúhelníkový kuploid	Pentagrammický kuploid	Heptagrammický kuploid
4	—	Překřížené pětiúhelníkové cuploid	Překřížený heptagrammický kuploid

Hvězdné kopule existují pro všechny základny {n/d} kde ⁶/₅ < ⁿ/_d <6 a d je zvláštní. Na mezích se kopule zhroutí do rovinných obrazců: za hranicemi již trojúhelníky a čtverce nemohou překlenout vzdálenost mezi dvěma polygony. Když d je sudá, spodní základna {2n/d} se zdegeneruje: můžeme vytvořit a cuploid nebo semicupola stažením této zdegenerované tváře a místo toho zde nechat vzájemně spojit trojúhelníky a čtverce. Zejména tetrahemihexahedron může být viděn jako {3/2} -cuploid. Kopule jsou všechny orientovatelný zatímco kuploidy jsou všechny neorientovatelné. Když n/d > 2 v kuploidu, trojúhelníky a čtverce nepokrývají celou základnu a v základně je ponechána malá membrána, která jednoduše zakrývá prázdné místo. Z tohoto důvodu kuploidy {5/2} a {7/2} zobrazené nahoře mají membrány (nevyplněné), zatímco kuploidy {5/4} a {7/4} na obrázku výše nikoliv.

Výška h z {n/d} -cupola nebo cuploid je dána vzorcem${ displaystyle h = { sqrt {1 - { frac {1} {4 sin ^ {2} ({ frac { pi d} {n}})}}}}}$. Zejména, h = 0 na hranici n/d = 6 a n/d = 6/5, a h je maximalizována na n/d = 2 (trojúhelníkový hranol, kde jsou trojúhelníky svisle).^[1][2]

Na výše uvedených obrázcích dostaly hvězdné kopule konzistentní barevné schéma, které usnadnilo identifikaci jejich tváří: základnu n/d-gon je červený, základna 2n/d-gon je žlutá, čtverce jsou modré a trojúhelníky jsou zelené. Kuploidy mají základnu n/d-gon červená, čtverce žluté a trojúhelníky modré, protože druhá základna byla stažena.

Anticupola

Sada anticupol

Pětiúhelníkový příklad
Schläfliho symbol	s {n} || t {n}
Tváře	3n trojúhelníky 1 n-gon, 1 2n-gon
Hrany	6n
Vrcholy	3n
Skupina symetrie	Cnproti, [1,n], (*nn), objednávka 2n
Rotační skupina	Cn, [1,n]+, (nn), objednat n
Dvojí	?
Vlastnosti	konvexní

An n-gonal anticupola je sestaven z běžné 2n-gonal base, 3n trojúhelníky jako dva typy a pravidelné n-gonal top. Pro n = 2, horní plocha digonu je zmenšena na jednu hranu. Vrcholy horního mnohoúhelníku jsou zarovnány s vrcholy ve spodním mnohoúhelníku. Symetrie je C._nproti, objednávka 2n.

Antikupola nemůže být postavena se všemi běžnými plochami,^{[Citace je zapotřebí ]} i když některé lze označit za pravidelné. Pokud nahoře n-gon a trojúhelníky jsou pravidelné, základna 2n-gon nemůže být rovinný a pravidelný. V takovém případě, n= 6 generuje pravidelný šestiúhelník a obklopující rovnostranné trojúhelníky a tlumit šestihranné obklady, který může být uzavřen do polygonu s nulovým objemem se základnou symetrického 12-gonu ve tvaru většího šestiúhelníku, který má sousední páry kolineární hrany.

Dvě anticupola mohou být rozšířena společně na jejich základně jako a bianticupola.

Rodina konvexních anticupol

n	2	3	4	5	6...
název	s {2} || t {2}	s {3} || t {3}	s {4} || t {4}	s {5} || t {5}	s {6} || t {6}
obraz	Digonal	Trojúhelníkový	Náměstí	Pětiúhelníkový	Šestihranný
Průhledný
Síť

Hypercupolae

The hypercupolae nebo polyedrické kopule jsou rodina konvexní nejednotné polychory (zde čtyřrozměrné postavy), analogická s kopulemi. Základny každého jsou Platonická pevná látka a jeho expanze.^[3]

název	Čtyřboká kupole		Kubická kopule		Oktaedrická kopule		Dodecahedral kopule		Šestihranná obkladová kupole
Schläfliho symbol	{3,3} || rr {3,3}		{4,3} || rr {4,3}		{3,4} || rr {3,4}		{5,3} || rr {5,3}		{6,3} || rr {6,3}
Segmentochora index[3]	K4.23		K4,71		K4.107		K4.152
circumradius	1		sqrt ((3 + sqrt (2)) / 2) = 1.485634		sqrt (2 + sqrt (2)) = 1.847759		3 + sqrt (5) = 5.236068
obraz
Uzavřete buňky
Vrcholy	16		32		30		80		∞
Hrany	42		84		84		210		∞
Tváře	42	24 {3} + 18 {4}	80	32 {3} + 48 {4}	82	40 {3} + 42 {4}	194	80 {3} + 90 {4} + 24 {5}	∞
Buňky	16	1 čtyřstěn 4 trojúhelníkové hranoly 6 trojúhelníkové hranoly 4 trojúhelníkové pyramidy 1 cuboctahedron	28	1 krychle  6 hranaté hranoly 12 trojúhelníkové hranoly  8 trojúhelníkové pyramidy  1 kosočtverec	28	1 osmistěn  8 trojúhelníkové hranoly 12 trojúhelníkové hranoly  6 čtvercové pyramidy 1 kosočtverec	64	1 dvanáctistěn 12 pětiúhelníkové hranoly 30 trojúhelníkové hranoly 20 trojúhelníkové pyramidy  1 rhombicosidodecahedron	∞	1 šestihranný obklad ∞ šestihranné hranoly ∞ trojúhelníkové hranoly ∞ trojúhelníkové pyramidy 1 rhombitrihexagonální obklad
Příbuzný jednotný polychora	runcinated 5-cell		runcinovaný tesseract		runcinated 24-cell		runcinated 120-cell		runcinated hexagonal tiling honeycomb

Viz také

• Orthobicupola
• Gyrobicupola
• Rotunda

Reference

• Johnson, N.W. Konvexní mnohostěn s pravidelnými tvářemi. Umět. J. Math. 18, 169–200, 1966.

externí odkazy

• Weisstein, Eric W. "Kopule". MathWorld.
• Segmentotopy