Archimédův pevný - Archimedean solid

Zkrácený čtyřstěn, cuboctahedron a zkrácený icosidodecahedron. První a poslední lze popsat jako nejmenší a největší Archimédovo těleso.

Rhombicuboctahedron a pseudo-rhombicuboctahedron

v geometrie, an Archimédův pevný je jedním ze 13 pevných látek, které byly nejprve vyjmenovány Archimedes. Jsou to konvexní jednotná mnohostěna složen z pravidelné mnohoúhelníky setkání shodné vrcholy, kromě pěti Platonické pevné látky (které se skládají pouze z jednoho typu mnohoúhelníku) a kromě hranoly a antiprismy. Liší se od Johnson pevné látky, jehož pravidelné polygonální plochy se nesetkávají ve stejných vrcholech.

„Stejné vrcholy“ znamenají, že každé dva vrcholy jsou navzájem symetrické: Globální izometrie celého tělesa vezme jeden vrchol na druhý, přičemž těleso položí přímo na jeho počáteční polohu. Branko Grünbaum  (2009 ) zaznamenal, že 14. mnohostěn, podlouhlá čtvercová gyrobicupola (nebo pseudo-rhombicuboctahedron), splňuje slabší definici Archimédova tělesa, ve kterém „identické vrcholy“ znamená pouze to, že plochy obklopující každý vrchol jsou stejného typu (tj. každý vrchol vypadá zblízka zblízka), takže je vyžadována místní izometrie. Grünbaum poukázal na častou chybu, při které autoři definují archimédské pevné látky pomocí této lokální definice, ale vynechávají 14. mnohostěn. Pokud má být uvedeno pouze 13 mnohostěnů, musí definice používat spíše globální symetrie mnohostěnů než místní sousedství.

Hranoly a antiprismy, jehož skupiny symetrie jsou dihedrální skupiny, se obecně nepovažují za archimédské pevné látky, přestože jejich tváře jsou pravidelné polygony a jejich skupiny symetrie působí přechodně na jejich vrcholy. Vyjma těchto dvou nekonečných rodin existuje 13 archimédských těles. Všechny archimédské pevné látky (ale ne protáhlá čtvercová gyrobicupola) lze vyrobit pomocí Wythoffovy konstrukce z platonických pevných látek s čtyřboká, osmistěn a ikosahedrální symetrie.

Původ jména

Archimédové pevné látky odvozují své jméno od Archimedes, který o nich diskutoval v nyní ztraceném díle. Pappus odkazuje na to s tím, že Archimedes uvedl 13 mnohostěnů.^[1] Během renesance, umělci a matematici oceňují čisté formy s vysokou symetrií a kolem roku 1620 Johannes Kepler dokončil znovuobjevení 13 mnohostěnů,^[2] stejně jako definování hranoly, antiprismy a nekonvexní pevné látky známé jako Kepler-Poinsotův mnohostěn. (Vidět Schreiber, Fischer & Sternath 2008 Další informace o znovuobjevení archimédských pevných látek během renesance.)

Kepler možná také našel podlouhlá čtvercová gyrobicupola (pseudorhombicuboctahedron): přinejmenším jednou uvedl, že tam bylo 14 archimédských pevných látek. Jeho publikovaný výčet však zahrnuje pouze 13 jednotných mnohostěnů a první jasné prohlášení o existenci pseudorhombicuboctahedronu bylo učiněno v roce 1905 Duncan Sommerville.^[1]

Klasifikace

Existuje 13 archimédských pevných látek (nepočítaje se podlouhlá čtvercová gyrobicupola; 15 pokud zrcadlové obrazy ze dvou enantiomorfy, urážková kostka a urážka dodecahedron, se počítají samostatně).

Tady konfigurace vrcholů odkazuje na typ pravidelných polygonů, které se setkávají v daném vrcholu. Například a konfigurace vrcholů z (4,6,8) znamená, že a náměstí, šestiúhelník, a osmiúhelník setkat se na vrcholu (s řádem ve směru hodinových ručiček kolem vrcholu).

Název/ (alternativní jméno)	Schläfli Coxeter	Průhledný	Pevný	Síť	Vrchol konf. /obr.	Tváře		Hrany	Vert.	Objem (hrany jednotek)	Směřovat skupina	Sférickost
zkrácený čtyřstěn	t {3,3}				3.6.6	8	4 trojúhelníky 4 šestiúhelníky	18	12	2.710576	Td	0.7754132
cuboctahedron (rhombitetratetrahedron)	r {4,3} nebo rr {3,3} nebo				3.4.3.4	14	8 trojúhelníky 6 čtverce	24	12	2.357023	Óh	0.9049973
zkrácená kostka	t {4,3}				3.8.8	14	8 trojúhelníků 6 osmiúhelníky	36	24	13.599663	Óh	0.8494937
zkrácený osmistěn (zkrácený tetratetrahedron)	t {3,4} nebo tr {3,3} nebo				4.6.6	14	6 čtverců 8 šestiúhelníků	36	24	11.313709	Óh	0.9099178
kosočtverec (malý kosočtverec)	rr {4,3}				3.4.4.4	26	8 trojúhelníků 18 čtverců	48	24	8.714045	Óh	0.9540796
zkrácený cuboctahedron (velký kosočtverec)	tr {4,3}				4.6.8	26	12 čtverců 8 šestiúhelníků 6 osmiúhelníků	72	48	41.798990	Óh	0.9431657
urážka kostka (urážet cuboctahedron)	sr {4,3}				3.3.3.3.4	38	32 trojúhelníků 6 čtverců	60	24	7.889295	Ó	0.9651814
icosidodecahedron	r {5,3}				3.5.3.5	32	20 trojúhelníků 12 pětiúhelníky	60	30	13.835526	Jáh	0.9510243
zkrácený dvanáctistěn	t {5,3}				3.10.10	32	20 trojúhelníků 12 desetiúhelníky	90	60	85.039665	Jáh	0.9260125
zkrácený dvacetistěn	t {3,5}				5.6.6	32	12 pětiúhelníků 20 šestiúhelníků	90	60	55.287731	Jáh	0.9666219
rhombicosidodecahedron (malý kosočtverec)	rr {5,3}				3.4.5.4	62	20 trojúhelníků 30 čtverců 12 pětiúhelníků	120	60	41.615324	Jáh	0.9792370
zkrácený icosidodecahedron (velký kosočtverec)	tr {5,3}				4.6.10	62	30 čtverců 20 šestiúhelníků 12 desítek	180	120	206.803399	Jáh	0.9703127
urážet dvanáctistěn (urážet icosidodecahedron)	sr {5,3}				3.3.3.3.5	92	80 trojúhelníků 12 pětiúhelníků	150	60	37.616650	Já	0.9820114

Některé definice semiregular polyhedron zahrnout ještě jednu postavu, podlouhlá čtvercová gyrobicupola nebo „pseudo-kosočtverec“.^[3]

Vlastnosti

Počet vrcholů je 720 ° děleno vrcholem defekt úhlu.

Cuboctahedron a icosidodecahedron jsou okrajová uniforma a jsou voláni kvazi pravidelný.

The duální Archimédových pevných látek se nazývá Katalánština pevné látky. Spolu s bipyramidy a lichoběžník, tohle jsou uniforma tváře tělesa s pravidelnými vrcholy.

Chirality

Útlumová kostka a útržek dodekahedron jsou známé jako chirální, protože přicházejí ve formě pro leváky (latinsky: levomorph nebo laevomorph) a pro praváky (latinsky: dextromorph). Když něco přichází ve více formách, které jsou navzájem trojrozměrné zrcadlový obraz, tyto formy lze nazvat enantiomorfy. (Tato nomenklatura se používá také pro formy určitých chemické sloučeniny.)

Konstrukce archimédských pevných látek

Archimédovy pevné látky mohou být konstruovány jako pozice generátoru v kaleidoskopu.

Různé archimédské a platonické pevné látky mohou být navzájem příbuzné pomocí několika obecných konstrukcí. Počínaje platonickým tělesem, zkrácení zahrnuje odřezávání rohů. Aby byla zachována symetrie, je řez v rovině kolmé na přímku spojující roh se středem mnohostěnu a je stejný pro všechny rohy. V závislosti na tom, kolik je zkráceno (viz tabulka níže), lze vytvořit různé platonické a archimédské (a další) pevné látky. Pokud je zkrácení dostatečně hluboké, takže každá dvojice ploch ze sousedních vrcholů sdílí přesně jeden bod, je to známé jako oprava. An expanze nebo cantellation, zahrnuje přesunutí každé tváře od středu (o stejnou vzdálenost, aby byla zachována symetrie platonického tělesa) a převzetí konvexního trupu. Expanze se zkroucením také zahrnuje otáčení ploch, čímž rozděluje každý obdélník odpovídající hraně na dva trojúhelníky o jednu z úhlopříček obdélníku. Poslední konstrukcí, kterou zde používáme, je zkrácení rohů a hran. Ignorování změny měřítka, expanze může být také viděna oprava opravy. Podobně lze na zkrácenou cestu pohlížet jako na zkrácení nápravy.

Konstrukce archimédských těles

Symetrie		Čtyřboká	Osmistěn		Icosahedral
Počínaje solidní Úkon	Symbol {p, q}	Čtyřstěn {3,3}	Krychle {4,3}	Octahedron {3,4}	Dodecahedron {5,3}	Dvacetistěnu {3,5}
Zkrácení (t)	t {p, q}	zkrácený čtyřstěn	zkrácená kostka	zkrácený osmistěn	zkrácený dvanáctistěn	zkrácený dvacetistěn
Oprava (r) Ambo (a)	r {p, q}	tetratetrahedron (osmistěn)	cuboctahedron		icosidodecahedron
Bitruncation (2 t) Duální kis (dk)	2t {p, q}	zkrácený čtyřstěn	zkrácený osmistěn	zkrácená kostka	zkrácený dvacetistěn	zkrácený dvanáctistěn
Směrování (2r) Dvojí d)	2r {p, q}	čtyřstěn	osmistěn	krychle	dvacetistěnu	dvanáctistěn
cantellation (rr) Expanze (E)	rr {p, q}	rhombitetratetrahedron (cuboctahedron)	kosočtverec		rhombicosidodecahedron
Opravený útlum (sr) Snub (s)	sr {p, q}	potlačit tetratetrahedron (dvacetistěn)	potlačit cuboctahedron		potlačit icosidodecahedron
Cantitruncation (tr) Zkosení (b)	tr {p, q}	zkrácený tetratetrahedron (zkrácený osmistěn)	zkrácený cuboctahedron		zkrácený icosidodecahedron

Všimněte si duality mezi krychlí a osmistěnem a mezi dvanáctistěnem a dvacetistěnem. Částečně také proto, že čtyřstěn je sebe-duální, pouze jedna archimédská pevná látka, která má nanejvýš čtyřstěnnou symetrii. (Všechny platonické pevné látky mají alespoň čtyřbokou symetrii, protože čtyřboká symetrie je operací symetrie (tj. Je součástí) osmistěnné a isohedrální symetrie, což se projevuje skutečností, že na osmistěn lze nahlížet jako na opravený čtyřstěn a na dvacetistěn použít jako tupý čtyřstěn.)

Viz také

• Aperiodické obklady
• Archimédův graf
• Ikosahedrální dvojčata
• Seznam jednotných mnohostěnů
• Kostka prince Ruperta # Zobecnění
• Kvazikrystal
• Pravidelný mnohostěn
• Semiregular polyhedron
• Toroidní mnohostěn
• Jednotný mnohostěn

Citace

Obecné odkazy

• Grünbaum, Branko (2009), „Trvalá chyba“, Elemente der Mathematik, 64 (3): 89–101, doi:10,4171 / EM / 120, PAN  2520469. Přetištěno Pitici, Mircea, ed. (2011), Nejlepší psaní o matematice 2010„Princeton University Press, s. 18–31.
• Jayatilake, Udaya (březen 2005). Msgstr "Výpočty na pravidelné a mnohostěnné ploše mnohostěnů". Matematický věstník. 89 (514): 76–81..
• Malkevitch, Joseph (1988), "Milníky v historii mnohostěnů", v Senechal, M.; Fleck, G. (eds.), Tvarování prostoru: polyedrický přístup, Boston: Birkhäuser, str. 80–92.
• Pugh, Anthony (1976). Mnohostěn: Vizuální přístup. Kalifornie: University of California Press Berkeley. ISBN  0-520-03056-7. Kapitola 2
• Williams, Robert (1979). Geometrický základ přirozené struktury: Zdrojová kniha designu. Dover Publications, Inc. ISBN  0-486-23729-X. (Část 3-9)
• Schreiber, Peter; Fischer, Gisela; Sternath, Maria Luise (2008). "Nové světlo na znovuobjevení archimédských pevných látek během renesance". Archiv pro historii přesných věd. 62 (4): 457–467. doi:10.1007 / s00407-008-0024-z. ISSN  0003-9519..

externí odkazy

• Weisstein, Eric W. "Archimedean solid". MathWorld.
• Archimedean Solids podle Eric W. Weisstein, Demonstrační projekt Wolfram.
• Papírové modely archimédských těles a katalánských těles
• Zdarma papírové modely (sítě) archimédovských pevných látek
• Jednotná mnohostěna Dr. R. Mäder
• Archimedean Solids ve Visual Polyhedra od Davida I. McCooeye
• Mnohostěn virtuální reality, Encyklopedie mnohostěnů George W. Hart
• Předposlední modulární Origami James S. Plank
• Interaktivní 3D mnohostěn v Javě
• Prohlížeč pevných těles je interaktivní 3D prohlížeč mnohostěnů, který umožňuje uložit model ve formátu svg, stl nebo obj.
• Stella: Polyhedron Navigator: Software používaný k vytváření mnoha obrázků na této stránce.
• Papírové modely archimédovských (a dalších) mnohostěnů