Projekce (lineární algebra) - Projection (linear algebra)

Transformace P je ortogonální projekce na přímku m.

v lineární algebra a funkční analýza, a projekce je lineární transformace ${ displaystyle P}$ od a vektorový prostor sama sobě taková ${ displaystyle P ^ {2} = P}$. Tedy kdykoli ${ displaystyle P}$ je aplikován dvakrát na jakoukoli hodnotu, dává stejný výsledek, jako kdyby byl aplikován jednou (idempotentní ). Zanechává svůj obraz beze změny.^[1] Ačkoli abstraktní, tato definice „projekce“ formalizuje a zobecňuje myšlenku grafická projekce. Lze také zvážit vliv projekce na a geometrický objekt zkoumáním vlivu projekce na bodů v objektu.

Definice

A projekce na vektorovém prostoru ${ displaystyle V}$ je lineární operátor ${ displaystyle P: V až V}$ takhle ${ displaystyle P ^ {2} = P}$.

Když ${ displaystyle V}$ má vnitřní produkt a je kompletní (tj. kdy ${ displaystyle V}$ je Hilbertův prostor ) pojem ortogonalita může být použito. Projekce ${ displaystyle P}$ v Hilbertově prostoru ${ displaystyle V}$ se nazývá ortogonální projekce pokud to vyhovuje ${ displaystyle langle Px, y rangle = langle x, Py rangle}$ pro všechny ${ displaystyle x, y ve V}$.Projekce na Hilbertův prostor, který není ortogonální, se nazývá šikmá projekce.

Projekční matice

• V případě konečných rozměrů čtvercová matice ${ displaystyle P}$ se nazývá a projekční matice pokud se rovná jeho čtverci, tj. pokud ${ displaystyle P ^ {2} = P}$.^{[2]:p. 38}
• Čtvercová matice ${ displaystyle P}$ se nazývá ortogonální projekční matice -li ${ displaystyle P ^ {2} = P = P ^ { mathrm {T}}}$ pro skutečnou matici, resp ${ displaystyle P ^ {2} = P = P ^ { mathrm {H}}}$ pro komplexní matici, kde ${ displaystyle P ^ { mathrm {T}}}$ označuje transpozici ${ displaystyle P}$ a ${ displaystyle P ^ { mathrm {H}}}$ označuje Hermitian transponovat z ${ displaystyle P}$.^{[2]:p. 223}
• Projekční matice, která není ortogonální projekční maticí, se nazývá šikmá projekční matice.

Vlastní čísla projekční matice musí být 0 nebo 1.

Příklady

Ortogonální projekce

Například funkce, která mapuje bod ${ displaystyle (x, y, z)}$ v trojrozměrném prostoru ${ displaystyle mathbb {R} ^ {3}}$ do té míry ${ displaystyle (x, y, 0)}$ je ortogonální projekce na X–y letadlo. Tuto funkci představuje matice

${ displaystyle P = { begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 end {bmatrix}}.}$

Působení této matice na libovolný vektor je

${ displaystyle P { begin {pmatrix} x y z end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} x y 0 end {pmatrix}}.}$

To vidět ${ displaystyle P}$ je skutečně projekce, tj. ${ displaystyle P = P ^ {2}}$, počítáme

${ displaystyle P ^ {2} { begin {pmatrix} x y z end {pmatrix}} = P { begin {pmatrix} x y 0 end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} x y 0 end {pmatrix}} = P { begin {pmatrix} x y z end {pmatrix}}}$.

To pozorujeme ${ displaystyle P ^ { mathrm {T}} = P}$ ukazuje, že projekce je ortogonální projekce.

Šikmá projekce

Jednoduchý příklad neortogonální (šikmé) projekce (definice viz níže) je

${ displaystyle P = { begin {bmatrix} 0 & 0 alpha & 1 end {bmatrix}}.}$

Přes násobení matic, jeden to vidí

${ displaystyle P ^ {2} = { begin {bmatrix} 0 & 0 alpha & 1 end {bmatrix}} { begin {bmatrix} 0 & 0 alpha & 1 end {bmatrix}} = { begin { bmatrix} 0 & 0 alpha & 1 end {bmatrix}} = P.}$

což dokazuje ${ displaystyle P}$ je skutečně projekce.

Projekce ${ displaystyle P}$ je ortogonální právě tehdy ${ displaystyle alpha = 0}$ protože teprve potom ${ displaystyle P ^ { mathrm {T}} = P}$.

Vlastnosti a klasifikace

Transformace T je projekce k na m. Rozsah T je m a prázdný prostor je k.

Idempotence

Podle definice projekce ${ displaystyle P}$ je idempotentní (tj. ${ displaystyle P ^ {2} = P}$).

Doplňkovost rozsahu a jádra

Nechat ${ displaystyle W}$ být konečný rozměrný vektorový prostor a ${ displaystyle P}$ být projekcí na ${ displaystyle W}$. Předpokládejme podprostory ${ displaystyle U}$ a ${ displaystyle V}$ jsou rozsah a jádro z ${ displaystyle P}$ Potom ${ displaystyle P}$ má následující vlastnosti:

1. ${ displaystyle P}$ je operátor identity ${ displaystyle I}$ na ${ displaystyle U}$

   ${ displaystyle forall x v U: Px = x}$.

2. Máme přímý součet ${ displaystyle W = U oplus V}$. Každý vektor ${ displaystyle x ve W}$ mohou být jedinečně rozloženy jako ${ displaystyle x = u + v}$ s ${ displaystyle u = Px}$ a ${ displaystyle v = x-Px = (I-P) x}$, a kde ${ displaystyle u v U, v ve V}$.

Rozsah a jádro projekce jsou komplementární, jako jsou ${ displaystyle P}$ a ${ displaystyle Q = I-P}$. Operátor ${ displaystyle Q}$ je také projekce jako rozsah a jádro ${ displaystyle P}$ staňte se jádrem a rozsahem ${ displaystyle Q}$ a naopak. Říkáme ${ displaystyle P}$ je projekce ${ displaystyle V}$ na ${ displaystyle U}$ (jádro / rozsah) a ${ displaystyle Q}$ je projekce ${ displaystyle U}$ na ${ displaystyle V}$.

Spektrum

V nekonečných dimenzionálních vektorových prostorech je spektrum projekce je obsažena v ${ displaystyle {0,1 }}$ tak jako

${ displaystyle ( lambda I-P) ^ {- 1} = { frac {1} { lambda}} I + { frac {1} { lambda ( lambda -1)}} P.}$

Pouze 0 nebo 1 může být vlastní číslo projekce. To znamená, že ortogonální projekce ${ displaystyle P}$ je vždy pozitivní semitečná matice. Obecně platí, že odpovídajícím vlastním prostorům je (respektive) jádro a rozsah projekce. Rozklad vektorového prostoru na přímé součty není ojedinělý. Proto vzhledem k podprostoru ${ displaystyle V}$, může existovat mnoho projekcí, jejichž rozsah (nebo jádro) je ${ displaystyle V}$.

Pokud je projekce netriviální, má minimální polynom ${ displaystyle x ^ {2} -x = x (x-1)}$, který rozvíjí odlišné kořeny, a tak ${ displaystyle P}$ je úhlopříčně.

Produkt projekcí

Výsledkem projekcí není obecně projekce, i když jsou kolmé. Pokud dojíždí dvě projekce, pak jejich produktem je projekce, ale obrácení je nepravdivé: produktem dvou projekcí, které nedojíždějí, může být projekce.

Pokud dojíždějí dvě ortogonální projekce, je jejich produktem ortogonální projekce. Pokud je produktem dvou ortogonálních projekcí ortogonální projekce, pak dvě ortogonální projekce dojíždějí (obecněji: dva samoadjungující endomorfismy dojíždějí tehdy a jen tehdy, je-li jejich produkt self-adjoint).

Ortogonální projekce

Když vektorový prostor ${ displaystyle W}$ má vnitřní produkt a je kompletní (je a Hilbertův prostor ) pojem ortogonalita může být použito. An ortogonální projekce je projekce, pro kterou je rozsah ${ displaystyle U}$ a prázdný prostor ${ displaystyle V}$ jsou ortogonální podprostory. Tedy pro každého ${ displaystyle x}$ a ${ displaystyle y}$ v ${ displaystyle W}$, ${ displaystyle langle Px, (y-Py) rangle = langle (x-Px), Py rangle = 0}$. Ekvivalentně:

${ displaystyle langle x, Py rangle = langle Px, Py rangle = langle Px, y rangle}$.

Projekce je ortogonální, právě když je samoadjung. Použití vlastností self-adjoint a idempotent z ${ displaystyle P}$, pro všechny ${ displaystyle x}$ a ${ displaystyle y}$ v ${ displaystyle W}$ my máme ${ displaystyle Px v U}$, ${ displaystyle y-Py ve V}$, a

${ displaystyle langle Px, y-Py rangle = langle P ^ {2} x, y-Py rangle = langle Px, P (IP) y rangle = langle Px, (PP ^ {2} ) y rangle = 0 ,}$

kde ${ displaystyle langle cdot, cdot rangle}$ je vnitřní produkt spojený s ${ displaystyle W}$. Proto, ${ displaystyle Px}$ a ${ displaystyle y-Py}$ jsou ortogonální projekce.^[3]Druhý směr, a to že pokud ${ displaystyle P}$ je ortogonální, pak je samoadjungované, vyplývá z

${ displaystyle langle x, Py rangle = langle Px, y rangle = langle x, P ^ {*} y rangle}$

pro každého ${ displaystyle x}$ a ${ displaystyle y}$ v ${ displaystyle W}$; tím pádem ${ displaystyle P = P ^ {*}}$.

Důkaz existence

Nechat ${ displaystyle H}$ být úplným metrickým prostorem s vnitřní produkt a nechte ${ displaystyle U}$ být uzavřen lineární podprostor z ${ displaystyle H}$ (a tedy také kompletní). Pro každého ${ displaystyle x}$ následující sada nezáporných normy ${ displaystyle { | x-u || u v U }}$ má infimum, a vzhledem k úplnosti ${ displaystyle U}$ to je minimální. Definujeme ${ displaystyle Px}$ jako bod v ${ displaystyle U}$ kde je toto minimum dosaženo. Očividně ${ displaystyle Px}$ je v ${ displaystyle U}$. Zbývá to ukázat ${ displaystyle Px}$ splňuje ${ displaystyle langle x-Px, Px rangle = 0}$ a že je lineární. Pojďme definovat ${ displaystyle a = x-Px}$. Za každou nenulovou ${ displaystyle v}$ v ${ displaystyle U}$, platí: ${ displaystyle | a - { frac { langle a, v rangle} { | v | ^ {2}}} v | ^ {2} = | a | ^ {2} - { frac {{ langle a, v rangle} ^ {2}} { | v | ^ {2}}}}$ Definováním ${ displaystyle w = Px + { frac { langle a, v rangle} { | v | ^ {2}}} v}$ vidíme to ${ displaystyle | x-w | < | x-Px |}$ ledaže ${ displaystyle langle a, v rangle}$ zmizí. Od té doby ${ displaystyle Px}$ byl vybrán jako minimum výše uvedené sady, z toho vyplývá ${ displaystyle langle a, v rangle}$ skutečně zmizí. Zejména (pro ${ displaystyle y = Px}$): ${ displaystyle langle x-Px, Px rangle = 0}$. Linearita vyplývá ze zmizení ${ displaystyle langle x-Px, v rangle}$ pro každého ${ displaystyle v v U}$: ${ Displaystyle langle left (x + y right) -P left (x + y right), v rangle = 0}$ ${ Displaystyle langle left (x-Px right) + left (y-Py right), v rangle = 0}$ Vezmeme-li rozdíl mezi rovnicemi, které máme ${ displaystyle langle Px + Py-P left (x + y right), v rangle = 0}$ Ale protože si můžeme vybrat ${ displaystyle v = Px + Py-P (x + y)}$ (jak je sám v ${ displaystyle U}$) z toho vyplývá, že ${ displaystyle Px + Py = P (x + y)}$. Podobně máme ${ displaystyle lambda Px = P ( lambda x)}$ pro každého skalární ${ displaystyle lambda}$.

Vlastnosti a zvláštní případy

Ortogonální projekce je a ohraničený operátor. Je to proto, že pro každého ${ displaystyle v}$ ve vektorovém prostoru, který máme, tím Cauchy – Schwarzova nerovnost:

${ displaystyle | Pv | ^ {2} = langle Pv, Pv rangle = langle Pv, v rangle leq | Pv | cdot | v |}$

Tím pádem ${ displaystyle | Pv | leq | v |}$.

Pro konečný rozměrný komplexní nebo skutečný vektorový prostor je standardní vnitřní produkt lze nahradit ${ displaystyle langle cdot, cdot rangle}$.

Vzorce

Jednoduchý případ nastane, když je ortogonální projekce na přímku. Li ${ displaystyle u}$ je jednotkový vektor na řádku, pak projekce je dána vnější produkt

${ displaystyle P_ {u} = uu ^ { mathrm {T}}.}$

(Li ${ displaystyle u}$ je komplexní hodnota, transpozice ve výše uvedené rovnici je nahrazena hermitovskou transpozicí). Tento operátor odchází u invariantní a ničí všechny vektory kolmé na ${ displaystyle u}$, což dokazuje, že se skutečně jedná o ortogonální projekci na řádek obsahující u.^[4] Jednoduchý způsob, jak to vidět, je zvážit libovolný vektor ${ displaystyle x}$ jako součet komponenty na přímce (tj. projektovaný vektor, který hledáme) a další na ni kolmé, ${ displaystyle x = x _ { paralelní} + x _ { perp}}$. Použitím projekce dostaneme

${ displaystyle P_ {u} x = uu ^ { mathrm {T}} x _ { paralelní} + uu ^ { mathrm {T}} x _ { perp} = u left ( mathrm {sign} (u ^ { mathrm {T}} x _ { paralelní}) | x _ { paralelní} | vpravo) + u cdot 0 = x _ { paralelní}}$

podle vlastností Tečkovaný produkt paralelních a kolmých vektorů.

Tento vzorec lze zobecnit na ortogonální projekce v podprostoru libovolné dimenze. Nechat ${ displaystyle u_ {1}, ldots, u_ {k}}$ být ortonormální základ podprostoru ${ displaystyle U}$a nechte ${ displaystyle A}$ označit ${ displaystyle n krát k}$ matice, jejíž sloupce jsou ${ displaystyle u_ {1}, ldots, u_ {k}}$, tj ${ displaystyle A = { begin {bmatrix} u_ {1} & ldots & u_ {k} end {bmatrix}}}$. Pak je projekce dána vztahem:^[5]

${ displaystyle P_ {A} = AA ^ { mathrm {T}}}$

které lze přepsat jako

${ displaystyle P_ {A} = součet _ {i} langle u_ {i}, cdot rangle u_ {i}.}$

Matice ${ displaystyle A ^ { mathrm {T}}}$ je parciální izometrie který mizí na ortogonálním doplňku ${ displaystyle U}$ a ${ displaystyle A}$ je izometrie, která vloží ${ displaystyle U}$ do podkladového vektorového prostoru. Rozsah ${ displaystyle P_ {A}}$ je tedy konečný prostor z ${ displaystyle A}$. Je také jasné, že ${ displaystyle AA ^ { mathrm {T}}}$ je operátor identity na ${ displaystyle U}$.

Podmínku ortonormality lze také zrušit. Li ${ displaystyle u_ {1}, ldots, u_ {k}}$ je (ne nutně orthonormální) základ a ${ displaystyle A}$ je matice s těmito vektory jako sloupy, pak je projekce:^[6][7]

${ displaystyle P_ {A} = A (A ^ { mathrm {T}} A) ^ {- 1} A ^ { mathrm {T}}.}$

Matice ${ displaystyle A}$ stále vkládá ${ displaystyle U}$ do podkladového vektorového prostoru, ale obecně již není izometrií. Matice ${ displaystyle (A ^ { mathrm {T}} A) ^ {- 1}}$ je „normalizační faktor“, který normu obnovuje. Například operátor pořadí 1 ${ displaystyle uu ^ { mathrm {T}}}$ není projekce, pokud ${ displaystyle | u | neq 1.}$ Po dělení ${ displaystyle u ^ { mathrm {T}} u = | u | ^ {2},}$ získáme projekci ${ displaystyle u (u ^ { mathrm {T}} u) ^ {- 1} u ^ { mathrm {T}}}$ na podprostor překlenutý o ${ displaystyle u}$.

V obecném případě můžeme mít libovolnou pozitivní definitivní matici ${ displaystyle D}$ definování vnitřního produktu ${ displaystyle langle x, y rangle _ {D} = y ^ { dagger} Dx}$a projekce ${ displaystyle P_ {A}}$ je dána ${ displaystyle P_ {A} x = mathrm {argmin} _ {y in mathrm {range} (A)} | x-y | _ {D} ^ {2}}$. Pak

${ displaystyle P_ {A} = A (A ^ { mathrm {T}} DA) ^ {- 1} A ^ { mathrm {T}} D.}$

Když je prostorový rozsah projekce generován a rám (tj. počet generátorů je větší než jeho rozměr), vzorec pro projekci má podobu: ${ displaystyle P_ {A} = AA ^ {+}}$. Tady ${ displaystyle A ^ {+}}$ znamená Moore – Penroseova pseudoinverze. Toto je jen jeden z mnoha způsobů konstrukce operátoru projekce.

Li ${ displaystyle { begin {bmatrix} A&B end {bmatrix}}}$ je nesingulární matice a ${ displaystyle A ^ { mathrm {T}} B = 0}$ (tj., ${ displaystyle B}$ je prázdný prostor matice ${ displaystyle A}$),^[8] platí:

${ displaystyle { begin {aligned} I & = { begin {bmatrix} A&B end {bmatrix}} { begin {bmatrix} A&B end {bmatrix}} ^ {- 1} { begin {bmatrix} A ^ { mathrm {T}} B ^ { mathrm {T}} end {bmatrix}} ^ {- 1} { begin {bmatrix} A ^ { mathrm {T}} B ^ { mathrm {T}} end {bmatrix}} & = { begin {bmatrix} A&B end {bmatrix}} left ({ begin {bmatrix} A ^ { mathrm {T}} B ^ { mathrm {T}} end {bmatrix}} { begin {bmatrix} A&B end {bmatrix}} right) ^ {- 1} { begin {bmatrix} A ^ { mathrm {T}} B ^ { mathrm {T}} end {bmatrix}} & = { begin {bmatrix} A&B end {bmatrix}} { begin {bmatrix} A ^ { mathrm {T}} A&O O&B ^ { mathrm {T}} B end {bmatrix}} ^ {- 1} { begin {bmatrix} A ^ { mathrm {T}} B ^ { mathrm {T}} end {bmatrix}} [4pt] & = A (A ^ { mathrm {T}} A) ^ {- 1} A ^ { mathrm {T}} + B (B ^ { mathrm {T}} B) ^ {- 1} B ^ { mathrm {T}} end {zarovnáno}}}$

Pokud je ortogonální stav vylepšen na ${ displaystyle A ^ { mathrm {T}} WB = A ^ { mathrm {T}} W ^ { mathrm {T}} B = 0}$ s ${ displaystyle W}$ jiné než singulární, platí:

${ displaystyle I = { begin {bmatrix} A&B end {bmatrix}} { begin {bmatrix} (A ^ { mathrm {T}} WA) ^ {- 1} A ^ { mathrm {T}} (B ^ { mathrm {T}} WB) ^ {- 1} B ^ { mathrm {T}} end {bmatrix}} W.}$

Všechny tyto vzorce platí i pro složité vnitřní produktové prostory, pokud konjugovat transponovat místo transpozice se používá. Další podrobnosti o částkách projektorů lze najít v publikaci Banerjee a Roy (2014).^[9] Viz také Banerjee (2004)^[10] pro aplikaci součtů projektorů v základní sférické trigonometrii.

Šikmé projekce

Termín šikmé projekce se někdy používá k označení neortogonálních projekcí. Tyto projekce se také používají k reprezentaci prostorových obrazců ve dvourozměrných výkresech (viz šikmá projekce ), i když ne tak často jako ortogonální projekce. Vzhledem k tomu, výpočet přizpůsobené hodnoty obyčejné nejmenší čtverce regrese vyžaduje ortogonální projekci, výpočet přizpůsobené hodnoty an regrese instrumentálních proměnných vyžaduje šikmou projekci.

Projekce jsou definovány jejich prázdným prostorem a základními vektory používanými k charakterizaci jejich rozsahu (což je doplněk prázdného prostoru). Když jsou tyto základní vektory kolmé k nulovému prostoru, pak je projekce ortogonální projekce. Pokud tyto základní vektory nejsou kolmé k nulovému prostoru, je projekce šikmá projekce. Nechte vektory ${ displaystyle u_ {1}, ldots, u_ {k}}$ tvoří základ pro rozsah projekce a shromáždí tyto vektory v ${ displaystyle n krát k}$ matice ${ displaystyle A}$. Rozsah a prázdný prostor jsou doplňkové prostory, takže prázdný prostor má rozměr ${ displaystyle n-k}$. Z toho vyplývá, že ortogonální doplněk prázdného prostoru má rozměr ${ displaystyle k}$. Nechat ${ displaystyle v_ {1}, ldots, v_ {k}}$ tvoří základ pro ortogonální doplněk nulového prostoru projekce a shromáždí tyto vektory v matici ${ displaystyle B}$. Pak je projekce definována

${ displaystyle P = A (B ^ { mathrm {T}} A) ^ {- 1} B ^ { mathrm {T}}.}$

Tento výraz zobecňuje vzorec pro ortogonální projekce uvedený výše.^[11][12]

Hledání projekce s vnitřním produktem

Nechat ${ displaystyle V}$ být vektorový prostor (v tomto případě rovina) překlenutý ortogonálními vektory ${ displaystyle u_ {1}, u_ {2}, cdots, u_ {p}}$. Nechat ${ displaystyle y}$ být vektorem. Lze definovat projekci ${ displaystyle y}$ na ${ displaystyle V}$ tak jako

${ displaystyle operatorname {proj} _ {V} y = { frac {y cdot u ^ {j}} {u ^ {j} cdot u ^ {j}}} u ^ {j}}$

Kde ${ displaystyle j}$ to naznačuje Einsteinova součtová notace. Vektor ${ displaystyle y}$ lze psát jako ortogonální součet tak, že ${ displaystyle y = operatorname {proj} _ {V} y + z}$. ${ displaystyle operatorname {proj} _ {V} y}$ je někdy označován jako ${ displaystyle { hat {y}}}$. V lineární algebře existuje věta, která říká, že toto ${ displaystyle z}$ je nejkratší vzdálenost od ${ displaystyle y}$ na ${ displaystyle V}$ a běžně se používá v oblastech, jako je strojové učení.

y se promítá do vektorového prostoru V

Kanonické formy

Jakákoli projekce ${ displaystyle P = P ^ {2}}$ na vektorovém prostoru dimenze ${ displaystyle d}$ nad polem je a diagonalizovatelná matice, protože jeho minimální polynom rozděluje ${ displaystyle x ^ {2} -x}$, který se rozděluje na odlišné lineární faktory. Existuje tedy základ, ve kterém ${ displaystyle P}$ má formu

${ displaystyle P = I_ {r} oplus 0_ {d-r}}$

kde ${ displaystyle r}$ je hodnost ${ displaystyle P}$. Tady ${ displaystyle I_ {r}}$ je matice identity velikosti ${ displaystyle r}$, a ${ displaystyle 0_ {d-r}}$ je nulová matice velikosti ${ displaystyle d-r}$. Je-li vektorový prostor složitý a vybavený znakem vnitřní produkt, pak existuje ortonormální základ, ve kterém je matice P je^[13]

${ displaystyle P = { begin {bmatrix} 1 & sigma _ {1} 0 & 0 end {bmatrix}} oplus cdots oplus { begin {bmatrix} 1 & sigma _ {k} 0 & 0 konec {bmatrix}} oplus I_ {m} oplus 0_ {s}}$ .

kde ${ displaystyle sigma _ {1} geq sigma _ {2} geq ldots geq sigma _ {k}> 0}$. Celá čísla ${ displaystyle k, s, m}$ a skutečná čísla ${ displaystyle sigma _ {i}}$ jsou jednoznačně určeny. Všimněte si, že ${ displaystyle k + s + m = d}$. Faktor ${ displaystyle I_ {m} oplus 0_ {s}}$ odpovídá maximálnímu invariantnímu podprostoru, na kterém ${ displaystyle P}$ působí jako ortogonální projekce (tak, že P sama o sobě je ortogonální právě tehdy ${ displaystyle k = 0}$) a ${ displaystyle sigma _ {i}}$-bloky odpovídají šikmý komponenty.

Projekce na normované vektorové prostory

Když podkladový vektorový prostor ${ displaystyle X}$ je (nemusí být nutně konečně-dimenzionální) normovaný vektorový prostor Je třeba vzít v úvahu analytické otázky, které v konečném případě nejsou relevantní. Předpokládejme hned ${ displaystyle X}$ je Banachův prostor.

Mnoho z výše diskutovaných algebraických výsledků přežilo přechod do tohoto kontextu. Daný přímý rozklad součtu ${ displaystyle X}$ do doplňkových podprostorů stále určuje projekci a naopak. Li ${ displaystyle X}$ je přímý součet ${ displaystyle X = U oplus V}$, pak operátor definovaný ${ displaystyle P (u + v) = u}$ je stále projekce s rozsahem ${ displaystyle U}$ a jádro ${ displaystyle V}$. Je také jasné, že ${ displaystyle P ^ {2} = P}$. Naopak, pokud ${ displaystyle P}$ je projekce zapnuta ${ displaystyle X}$, tj. ${ displaystyle P ^ {2} = P}$, pak se to snadno ověří ${ displaystyle (1-P) ^ {2} = (1-P)}$. Jinými slovy, ${ displaystyle 1-P}$ je také projekce. Vztah ${ displaystyle P ^ {2} = P}$ naznačuje ${ displaystyle 1 = P + (1-P)}$ a ${ displaystyle X}$ je přímý součet ${ displaystyle mathrm {ran} (P) oplus mathrm {ran} (1-P)}$.

Na rozdíl od případu konečných rozměrů však projekce nemusí být kontinuální obecně. Pokud podprostor ${ displaystyle U}$ z ${ displaystyle X}$ není uzavřen v topologii normy, pak projekce na ${ displaystyle U}$ není spojitá. Jinými slovy, rozsah spojité projekce ${ displaystyle P}$ musí to být uzavřený podprostor. Kromě toho je jádro spojité projekce (ve skutečnosti spojitý lineární operátor obecně) uzavřeno. Tak a kontinuální projekce ${ displaystyle P}$ dává rozklad ${ displaystyle X}$ do dvou doplňkových Zavřeno podprostory: ${ displaystyle X = mathrm {ran} (P) oplus mathrm {ker} (P) = mathrm {ker} (1-P) oplus mathrm {ker} (P)}$.

Konverzace platí také s dalším předpokladem. Předpokládat ${ displaystyle U}$ je uzavřený podprostor o ${ displaystyle X}$. Pokud existuje uzavřený podprostor ${ displaystyle V}$ takhle X = U ⊕ PROTI, pak projekce ${ displaystyle P}$ s rozsahem ${ displaystyle U}$ a jádro ${ displaystyle V}$ je spojitý. To vyplývá z věta o uzavřeném grafu. Předpokládat X_n → X a Px_n → y. Je třeba to ukázat ${ displaystyle Px = y}$. Od té doby ${ displaystyle U}$ je uzavřen a {Px_n} ⊂ U, y leží v ${ displaystyle U}$, tj. Py = y. Taky, X_n − Px_n = (Já − P)X_n → X − y. Protože ${ displaystyle V}$ je uzavřen a {(Já − P)X_n} ⊂ PROTI, my máme ${ displaystyle x-y ve V}$, tj. ${ displaystyle P (x-y) = Px-Py = Px-y = 0}$, který prokazuje nárok.

Výše uvedený argument využívá předpokladu, že obojí ${ displaystyle U}$ a ${ displaystyle V}$ jsou zavřené. Obecně platí, že vzhledem k uzavřenému podprostoru ${ displaystyle U}$, nemusí existovat doplňkový uzavřený podprostor ${ displaystyle V}$, i když pro Hilbertovy prostory to lze vždy provést pomocí ortogonální doplněk. U Banachových prostorů má jednorozměrný podprostor vždy uzavřený doplňkový podprostor. To je okamžitý důsledek Hahnova – Banachova věta. Nechat ${ displaystyle U}$ být lineární rozpětí ${ displaystyle u}$. Hahn – Banach existuje omezená lineární funkce ${ displaystyle varphi}$ takhle φ(u) = 1. Operátor ${ displaystyle P (x) = varphi (x) u}$ splňuje ${ displaystyle P ^ {2} = P}$, tj. je to projekce. Ohraničenost ${ displaystyle varphi}$ znamená kontinuitu ${ displaystyle P}$ a proto ${ displaystyle operatorname {ker} (P) = operatorname {běh} (I-P)}$ je uzavřený doplňkový podprostor o ${ displaystyle U}$.

Aplikace a další úvahy

V projekci hrají hlavní roli projekce (ortogonální a jiné) algoritmy pro určité problémy lineární algebry:

• QR rozklad (vidět Transformace domácnosti a Gram – Schmidtův rozklad );
• Rozklad singulární hodnoty
• Snížení na Hessenberg forma (první krok v mnoha algoritmy vlastních čísel )
• Lineární regrese
• Projektivní prvky maticových algeber se používají při konstrukci určitých K-skupin v Operátor K-teorie

Jak bylo uvedeno výše, projekce jsou zvláštním případem idempotentů. Analyticky jsou ortogonální projekce nekomutativní zobecnění charakteristické funkce. Idempotenty se používají například při klasifikaci polojednoduché algebry, zatímco teorie míry začíná zvažováním charakteristických funkcí měřitelných množin. Jak si tedy lze představit, s projekcemi se velmi často setkáváme v kontextu operátorské algebry. Zejména a von Neumannova algebra je generován jeho úplným mříž projekcí.

Zobecnění

Obecněji řečeno, vzhledem k mapě mezi normovanými vektorovými prostory ${ displaystyle T dvojtečka V až W,}$ lze analogicky požádat, aby tato mapa byla izometrií na ortogonálním doplňku jádra: to ${ displaystyle ( ker T) ^ { perp} do W}$ být izometrií (srov Částečná izometrie ); zejména to musí být na. Případ ortogonální projekce je, když Ž je podprostor o PROTI. v Riemannova geometrie, toto se používá v definici a Riemannovo ponoření.

Viz také

• Středicí matice, což je příklad projekční matice.
• Ortogonalizace
• Invariantní podprostor
• Vlastnosti stopy
• Dykstrův projekční algoritmus vypočítat projekci na průsečík množin

Poznámky

Reference

• Banerjee, Sudipto; Roy, Anindya (2014), Lineární algebra a maticová analýza pro statistiku, Texty ve statistické vědě (1. vyd.), Chapman and Hall / CRC, ISBN  978-1420095388
• Dunford, N .; Schwartz, J. T. (1958). Lineární operátoři, část I: Obecná teorie. Mezivědou.
• Meyer, Carl D. (2000). Maticová analýza a aplikovaná lineární algebra. Společnost pro průmyslovou a aplikovanou matematiku. ISBN  978-0-89871-454-8.

externí odkazy

• Přednáška o lineární algebře MIT o projekčních maticích na Youtube, z MIT OpenCourseWare
• Linear Algebra 15d: The Projection Transformation na Youtube tím, že Pavel Grinfeld.
• Výukový program pro rovinné geometrické projekce - jednoduchý návod vysvětlující různé typy rovinných geometrických projekcí.