Seznam konečných skupin sférické symetrie - List of finite spherical symmetry groups
![]() Involuční symetrie Cs, (*) [ ] = ![]() | ![]() Cyklická symetrie Cnv, (* nn) [n] = ![]() ![]() ![]() | ![]() Dihedrální symetrie Dnh, (* n22) [n, 2] = ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | |
Polyhedrální skupina, [n, 3], (* n32) | |||
---|---|---|---|
![]() Čtyřboká symetrie Td, (*332) [3,3] = ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() Oktaedrická symetrie Óh, (*432) [4,3] = ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() Ikosahedrální symetrie Jáh, (*532) [5,3] = ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Jsou také nazývány konečné sférické skupiny symetrie bodové skupiny ve třech rozměrech. Existuje pět základních tříd symetrie, které mají trojúhelníkové základní domény: vzepětí, cyklický, čtyřboká, osmistěn, a icosahedral symetrie.
V tomto článku jsou uvedeny skupiny podle Schoenflies notace, Coxeterova notace,[1] orbifold notace,[2] a objednat. John Conway používá variaci noty Schoenflies na základě skupin čtveřice algebraická struktura označená jedním nebo dvěma velkými písmeny a indexy celého čísla. Pořadí skupiny je definováno jako dolní index, pokud není pořadí zdvojnásobeno u symbolů s předponou plus nebo minus, „±“, což znamená centrální inverze.[3]
Hermann – Mauguinova notace (Mezinárodní notace) je také uveden. The krystalografie skupiny, celkem 32, jsou podmnožinou s objednávkami prvků 2, 3, 4 a 6.[4]
Involuční symetrie
Jsou čtyři involuční skupiny: žádná symetrie (C.1), reflexní symetrie (Cs), 2násobná rotační symetrie (C.2) a centrální bodová symetrie (Ci).
Mezinárodní | Geo [5] | Koule. | Schön. | Ošidit. | Kormidelník. | Obj. | Fond. doména |
---|---|---|---|---|---|---|---|
1 | 1 | 11 | C1 | C1 | ][ [ ]+ | 1 | ![]() |
2 | 2 | 22 | D1 = C.2 | D2 = C.2 | [2]+ | 2 | ![]() |
1 | 22 | × | Ci = S2 | CC2 | [2+,2+] | 2 | ![]() |
2 = m | 1 | * | Cs = C.1v = C.1 hod | ± C.1 = CD2 | [ ] | 2 | ![]() |
Cyklická symetrie
Existují čtyři nekonečné cyklická symetrie rodiny, s n = 2 nebo vyšší. (n může být 1 jako zvláštní případ jako žádná symetrie)
Mezinárodní | Geo | Koule. | Schön. | Ošidit. | Kormidelník. | Obj. | Fond. doména |
---|---|---|---|---|---|---|---|
4 | 42 | 2× | S4 | CC4 | [2+,4+] | 4 | ![]() |
2 / m | 22 | 2* | C2h = D1d | ± C.2 = ± D.2 | [2,2+] [2+,2] | 4 | ![]() |
Mezinárodní | Geo | Koule. | Schön. | Ošidit. | Kormidelník. | Obj. | Fond. doména |
---|---|---|---|---|---|---|---|
2 3 4 5 6 n | 2 3 4 5 6 n | 22 33 44 55 66 nn | C2 C3 C4 C5 C6 Cn | C2 C3 C4 C5 C6 Cn | [2]+ [3]+ [4]+ [5]+ [6]+ [n]+ | 2 3 4 5 6 n | ![]() |
2 mm 3 m 4 mm 5 m 6 mm nm (n je liché) nmm (n je sudé) | 2 3 4 5 6 n | *22 *33 *44 *55 *66 * nn | C2v C3v C4v C5v C6v Cnv | CD4 CD6 CD8 CD10 CD12 CD2n | [2] [3] [4] [5] [6] [n] | 4 6 8 10 12 2n | ![]() |
3 8 5 12 - | 62 82 10.2 12.2 2n.2 | 3× 4× 5× 6× n × | S6 S8 S10 S12 S2n | ± C.3 CC8 ± C.5 CC12 CC2n / ± C.n | [2+,6+] [2+,8+] [2+,10+] [2+,12+] [2+, 2n+] | 6 8 10 12 2n | ![]() |
3 / m =6 4 / m 5 / m =10 6 / m n / m | 32 42 52 62 n2 | 3* 4* 5* 6* n * | C3h C4h C5h C6h Cnh | CC6 ± C.4 CC10 ± C.6 ± C.n / CC2n | [2,3+] [2,4+] [2,5+] [2,6+] [2, n+] | 6 8 10 12 2n | ![]() |
Dihedrální symetrie
Existují tři nekonečné dihedrální symetrie rodiny, s n = 2 nebo vyšší (n může být 1 jako zvláštní případ).
Mezinárodní | Geo | Koule. | Schön. | Ošidit. | Kormidelník. | Obj. | Fond. doména |
---|---|---|---|---|---|---|---|
222 | 2.2 | 222 | D2 | D4 | [2,2]+ | 4 | ![]() |
42 m | 42 | 2*2 | D2d | DD8 | [2+,4] | 8 | ![]() |
mmm | 22 | *222 | D2h | ± D.4 | [2,2] | 8 | ![]() |
Mezinárodní | Geo | Koule. | Schön. | Ošidit. | Kormidelník. | Obj. | Fond. doména |
---|---|---|---|---|---|---|---|
32 422 52 622 | 3.2 4.2 5.2 6.2 n.2 | 223 224 225 226 22n | D3 D4 D5 D6 Dn | D6 D8 D10 D12 D2n | [2,3]+ [2,4]+ [2,5]+ [2,6]+ [2, n]+ | 6 8 10 12 2n | ![]() |
3m 82 m 5m 120,2 m | 62 82 10.2 12.2 n2 | 2*3 2*4 2*5 2*6 2 * n | D3d D4d D5 d D6d Dnd | ± D.6 DD16 ± D.10 DD24 DD4n / ± D.2n | [2+,6] [2+,8] [2+,10] [2+,12] [2+, 2n] | 12 16 20 24 4n | ![]() |
6m2 4 / mmm 10m2 6 / mmm | 32 42 52 62 n2 | *223 *224 *225 *226 * 22n | D3h D4h D5h D6h Dnh | DD12 ± D.8 DD20 ± D.12 ± D.2n / DD4n | [2,3] [2,4] [2,5] [2,6] [2, n] | 12 16 20 24 4n | ![]() |
Polyedrická symetrie
Existují tři typy polyedrická symetrie: čtyřboká symetrie, oktaedrická symetrie, a ikosahedrální symetrie, pojmenovaný podle trojúhelníkové tváře pravidelný mnohostěn s těmito symetriemi.
Mezinárodní | Geo | Koule. | Schön. | Ošidit. | Kormidelník. | Obj. | Fond. doména |
---|---|---|---|---|---|---|---|
23 | 3.3 | 332 | T | T | [3,3]+ = [4,3+]+ | 12 | ![]() |
m3 | 43 | 3*2 | Th | ± T | [4,3+] | 24 | ![]() |
43 m | 33 | *332 | Td | NA | [3,3] = [1+,4,3] | 24 | ![]() |
Mezinárodní | Geo | Koule. | Schön. | Ošidit. | Kormidelník. | Obj. | Fond. doména |
---|---|---|---|---|---|---|---|
432 | 4.3 | 432 | Ó | Ó | [4,3]+ = [[3,3]]+ | 24 | ![]() |
m3m | 43 | *432 | Óh | ± O. | [4,3] = [[3,3]] | 48 | ![]() |
Mezinárodní | Geo | Koule. | Schön. | Ošidit. | Kormidelník. | Obj. | Fond. doména |
---|---|---|---|---|---|---|---|
532 | 5.3 | 532 | Já | Já | [5,3]+ | 60 | ![]() |
532 / m | 53 | *532 | Jáh | ± já | [5,3] | 120 | ![]() |
Viz také
- Krystalografická skupina bodů
- Skupina trojúhelníků
- Seznam skupin planární symetrie
- Skupiny bodů ve dvou dimenzích
Poznámky
Reference
- Peter R. Cromwell, Mnohostěn (1997), dodatek I
- Sands, Donald E. (1993). "Krystalové systémy a geometrie". Úvod do krystalografie. Mineola, New York: Dover Publications, Inc. str. 165. ISBN 0-486-67839-3.
- Na čtveřicích a oktonionech, 2003, John Horton Conway a Derek A. Smith ISBN 978-1-56881-134-5
- Symetrie věcí 2008, John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, ISBN 978-1-56881-220-5
- Kaleidoskopy: Vybrané spisy H.S.M. Coxeter, editoval F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [2]
- (Papír 22) H.S.M. Coxeter, Běžné a polořadovky Polytopes I, [Math. Zeit. 46 (1940) 380–407, MR 2,10]
- (Papír 23) H.S.M. Coxeter, Pravidelné a polořadovky Polytopes II, [Math. Zeit. 188 (1985) 559–591]
- (Papír 24) H.S.M. Coxeter, Pravidelné a polořadovky Polytopes III, [Math. Zeit. 200 (1988) 3–45]
- N.W. Johnson: Geometrie a transformace, (2018) ISBN 978-1-107-10340-5 Kapitola 11: Skupiny konečné symetrieTabulka 11.4 Konečné skupiny izometrií ve 3 prostoru