Trace (lineární algebra) - Trace (linear algebra) - Wikipedia

v lineární algebra, stopa a čtvercová matice $A$ , označeno ${ displaystyle operatorname {tr} ( mathbf {A})}$ ,^[1]^[2] je definován jako součet prvků na hlavní úhlopříčka (zleva nahoře dole vpravo) z $A$ .

Stopa matice je součtem její (komplexní) vlastní čísla, a to je neměnný s ohledem na a změna základny. Tuto charakterizaci lze obecně použít k definování trasování lineárního operátoru. Trasa je definována pouze pro čtvercovou matici ( $n \times n$ ).

Stopa souvisí s derivátem určující (vidět Jacobiho vzorec ).

Definice

The stopa z $n \times n$ čtvercová matice $A$ je definován jako^[2]^[3]^[4]^:34

{ displaystyle operatorname {tr} ( mathbf {A}) = sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {ii} = a_ {11} + a_ {22} + dots + a_ {nn} }

kde $A ii$ označuje záznam na $i$ th řádek a $i$ th sloupec $A$ .

Příklad

Nechat $A$ být maticí, s

{ displaystyle mathbf {A} = { begin {pmatrix} a_ {11} & a_ {12} & a_ {13} a_ {21} & a_ {22} & a_ {23} a_ {31} & a_ {32 } & a_ {33} end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} -1 & 0 & 3 11 & 5 & 2 6 & 12 & -5 end {pmatrix}}}

Pak

{ displaystyle operatorname {tr} ( mathbf {A}) = součet _ {i = 1} ^ {3} a_ {ii} = a_ {11} + a_ {22} + a_ {33} =}

-1 + 5 + (-5) = -1

Vlastnosti

Základní vlastnosti

Stopa je a lineární mapování. To znamená^[2]^[3]

{ displaystyle { begin {aligned} operatorname {tr} ( mathbf {A} + mathbf {B}) & = operatorname {tr} ( mathbf {A}) + operatorname {tr} ( mathbf {B}) operatorname {tr} (c mathbf {A}) & = c operatorname {tr} ( mathbf {A}) end {zarovnáno}}}

pro všechny čtvercové matice $A$ a $B$ , a všechno skaláry $C$ .^[4]^:34

Matice a její přemístit mít stejnou stopu:^[2]^[3]^[4]^:34

{ displaystyle operatorname {tr} ( mathbf {A}) = operatorname {tr} left ( mathbf {A} ^ { mathsf {T}} right).}

Toto bezprostředně vyplývá ze skutečnosti, že transponování čtvercové matice neovlivňuje prvky podél hlavní úhlopříčky.

Trasování produktu

Stopa čtvercové matice, která je produktem dvou matic, lze přepsat jako součet vstupních produktů jejich prvků. Přesněji řečeno, pokud $A$ a $B$ jsou dva m × n matice, pak:

{ displaystyle operatorname {tr} left ( mathbf {A} ^ { mathsf {T}} mathbf {B} right) = operatorname {tr} left ( mathbf {A} mathbf {B } ^ { mathsf {T}} right) = operatorname {tr} left ( mathbf {B} ^ { mathsf {T}} mathbf {A} right) = operatorname {tr} left ( mathbf {B} mathbf {A} ^ { mathsf {T}} right) = sum _ {i, j} a_ {ij} b_ {ij}.}

To znamená, že stopa produktu matic stejné velikosti funguje podobně jako a Tečkovaný produkt vektorů (představte si $A$ a $B$ jako dlouhé vektory se sloupci naskládanými na sebe). Z tohoto důvodu je zobecnění vektorových operací na matice (např. V maticový počet a statistika ) často zahrnují stopu produktů matice.

Pro skutečné matice $A$ a $B$ , stopu produktu lze zapsat také v následujících formách:

${ displaystyle operatorname {tr} left ( mathbf {A} ^ { mathsf {T}} mathbf {B} right) = sum _ {i, j} ( mathbf {A} circ mathbf {B}) _ {ij}}$	(za použití Produkt Hadamard, známý také jako vstupní produkt).
${ displaystyle operatorname {tr} left ( mathbf {A} ^ { mathsf {T}} mathbf {B} right) = operatorname {vec} ( mathbf {B}) ^ { mathsf { T}} operatorname {vec} ( mathbf {A}) = operatorname {vec} ( mathbf {A}) ^ { mathsf {T}} operatorname {vec} ( mathbf {B})}$	(za použití vektorizace operátor).

Matice ve stopě produktu lze přepínat beze změny výsledku: If $A$ je $m \times n$ matice a $B$ je $n \times m$ tedy matice^[2]^[3]^[4]^:34^{[poznámka 1]}

${ displaystyle operatorname {tr} ( mathbf {A} mathbf {B}) = operatorname {tr} ( mathbf {B} mathbf {A})}$

Navíc pro skutečné sloupcové matice ${ displaystyle mathbf {a} in mathbb {R} ^ {n}}$ a ${ displaystyle mathbf {b} in mathbb {R} ^ {n}}$ , stopa vnějšího produktu je ekvivalentní vnitřnímu produktu:

${ displaystyle operatorname {tr} vlevo ( mathbf {b} mathbf {a} ^ { textyf {T}} doprava) = mathbf {a} ^ { textyf {T}} mathbf {b }}$

Cyklická vlastnost

Obecněji řečeno, stopa je neměnný pod cyklické permutace, to znamená,

${ displaystyle operatorname {tr} ( mathbf {A} mathbf {B} mathbf {C} mathbf {D}) = operatorname {tr} ( mathbf {B} mathbf {C} mathbf { D} mathbf {A}) = operatorname {tr} ( mathbf {C} mathbf {D} mathbf {A} mathbf {B}) = operatorname {tr} ( mathbf {D} mathbf {A} mathbf {B} mathbf {C}).}$

Toto je známé jako cyklická vlastnost.

Svévolné obměny nejsou povoleny: obecně

{ displaystyle operatorname {tr} ( mathbf {A} mathbf {B} mathbf {C}) neq operatorname {tr} ( mathbf {A} mathbf {C} mathbf {B}). }

Pokud jsou však produkty tří symetrický matice jsou brány v úvahu, je povolena jakákoli permutace, protože:

{ displaystyle operatorname {tr} ( mathbf {A} mathbf {B} mathbf {C}) = operatorname {tr} left ( left ( mathbf {A} mathbf {B} mathbf { C} right) ^ { mathsf {T}} right) = operatorname {tr} ( mathbf {C} mathbf {B} mathbf {A}) = operatorname {tr} ( mathbf {A } mathbf {C} mathbf {B}),}

kde první rovnost je proto, že stopy matice a její transpozice jsou stejné. To neplatí obecně pro více než tři faktory.

Trasování maticového produktu

Na rozdíl od určující stopa produktu není produktem stop, to znamená, že existují matice $A$ a $B$ takhle

{ displaystyle operatorname {tr} ( mathbf {A} mathbf {B}) neq operatorname {tr} ( mathbf {A}) operatorname {tr} ( mathbf {B})}

Například pokud

{ displaystyle mathbf {A} = { begin {pmatrix} 0 & 1 0 & 0 end {pmatrix}}, mathbf {B} = { begin {pmatrix} 0 & 0 1 & 0 end {pmatrix}} ,}

pak je produkt

{ displaystyle mathbf {AB} = { begin {pmatrix} 1 & 0 0 & 0 end {pmatrix}},}

a stopy jsou ${ displaystyle operatorname {tr} ( mathbf {A} mathbf {B}) = 1 neq 0 cdot 0 = operatorname {tr} ( mathbf {A}) operatorname {tr} ( mathbf { B}).}$

Navíc:

{ displaystyle operatorname {tr} ( mathbf {A} mathbf {B}) = operatorname {tr} ( mathbf {B} mathbf {A})}

Stopy produktu Kronecker

Stopa po Produkt Kronecker ze dvou matic je produktem jejich stop:

{ displaystyle operatorname {tr} ( mathbf {A} otimes mathbf {B}) = operatorname {tr} ( mathbf {A}) operatorname {tr} ( mathbf {B}).}

Úplná charakterizace stopy

Následující tři vlastnosti:

{ displaystyle { begin {aligned} operatorname {tr} ( mathbf {A} + mathbf {B}) & = operatorname {tr} ( mathbf {A}) + operatorname {tr} ( mathbf {B}), operatorname {tr} (c mathbf {A}) & = c operatorname {tr} ( mathbf {A}), operatorname {tr} ( mathbf {A} mathbf {B}) & = operatorname {tr} ( mathbf {B} mathbf {A}), end {zarovnáno}}}

charakterizujte stopu úplně ve smyslu, který následuje. Nechat $F$ být lineární funkční na prostoru čtvercových matic uspokojující $F (xy) = F (yx)$ . Pak $F$ a $tr$ jsou proporcionální.^{[poznámka 2]}

Podobnost invariance

Stopa je podobnost-invariantní, což znamená, že pro jakoukoli čtvercovou matici $A$ a jakákoli invertibilní matice $P$ stejných rozměrů, matice $A$ a $P -1 AP$ mít stejnou stopu. To je proto, že

{ displaystyle operatorname {tr} left ( mathbf {P} ^ {- 1} mathbf {A} mathbf {P} right) = operatorname {tr} left ( mathbf {P} ^ { -1} ( mathbf {A} mathbf {P}) right) = operatorname {tr} left (( mathbf {A} mathbf {P}) mathbf {P} ^ {- 1} right) = operatorname {tr} left ( mathbf {A} left ( mathbf {P} mathbf {P} ^ {- 1} right) right) = operatorname {tr} ( mathbf { A}).}

Stopy produktu symetrické a zkosené symetrické matice

Li $A$ je symetrický a $B$ je šikmo symetrický, pak

{ displaystyle operatorname {tr} ( mathbf {A} mathbf {B}) = 0}

.

Vztah k vlastním číslům

Trasování matice identity

Stopa po $n \times n$ matice identity je rozměr prostoru, a to $n$ .^[1]

{ displaystyle operatorname {tr} left ( mathbf {I} _ {n} right) = n}

Tohle vede k zobecnění dimenze pomocí trasování.

Trasa idempotentní matice

Stopa po idempotentní matice $A$ (matice, pro kterou $A 2 = A$ ) je hodnost z $A$ .

Stopa nilpotentní matice

Stopa a nilpotentní matice je nula.

Když je charakteristika základního pole nulová, platí také konverzace: pokud $tr (A k) = 0$ pro všechny $k$ , pak $A$ je nilpotentní.

Když charakteristika $n > 0$ je pozitivní, identita v $n$ rozměry je protikladem, jako ${ displaystyle operatorname {tr} left ( mathbf {I} _ {n} ^ {k} right) = operatorname {tr} left ( mathbf {I} _ {n} right) = n ekviv 0}$ , ale identita není nilpotentní.

Trace se rovná součtu vlastních čísel

Obecněji, pokud

{ displaystyle f (x) = prod _ {i = 1} ^ {k} left (x- lambda _ {i} right) ^ {d_ {i}}}

je charakteristický polynom matice $A$ , pak

${ displaystyle operatorname {tr} ( mathbf {A}) = součet _ {i = 1} ^ {k} d_ {i} lambda _ {i}}$

to znamená, že stopa čtvercové matice se rovná součtu vlastních čísel počítaných s multiplicitami.

Stopa komutátoru

Když obojí $A$ a $B$ jsou $n \times n$ matice, stopa (prstencově teoretická) komutátor z $A$ a $B$ zmizí: $tr ([A, B]) = 0$ , protože $tr (AB) = tr (BA)$ a $tr$ je lineární. Lze to konstatovat jako „stopa je mapa Lieových algeber $gl n \to k$ od operátorů ke skalárům ", protože komutátor skalárů je triviální (jedná se o algebru Abelianovy lži). Zejména při použití invariance podobnosti vyplývá, že matice identity nikdy není podobná komutátoru jakékoli dvojice matic.

Naopak jakákoli čtvercová matice s nulovou stopou je lineární kombinací komutátorů párů matic.^{[Poznámka 3]} Kromě toho je libovolná čtvercová matice s nulovou stopou jednotně ekvivalentní na čtvercovou matici s úhlopříčkou skládající se ze všech nul.

Stopa hermitovské matice

Stopa a Hermitova matice je skutečné, protože prvky na úhlopříčce jsou skutečné.

Trasa permutační matice

Stopa a permutační matice je počet pevné body, protože úhlopříčný člen $A ii$ je 1, pokud $i$ bod je pevný a 0 jinak.

Trasa projekční matice

Stopa a projekční matice je rozměr cílového prostoru.

{ displaystyle { begin {aligned} mathbf {P} _ { mathbf {X}} & = mathbf {X} left ( mathbf {X} ^ { mathsf {T}} mathbf {X} right) ^ {- 1} mathbf {X} ^ { mathsf {T}} [3pt] Longrightarrow operatorname {tr} left ( mathbf {P} _ { mathbf {X}} vpravo) & = operatorname {rank} ( mathbf {X}). end {zarovnáno}}}

Matice $P X$ je idempotentní a obecněji stopa jakékoli idempotentní matice se rovná jeho vlastní pozici.

Exponenciální stopa

Výrazy jako $tr (exp (A))$ , kde $A$ je čtvercová matice, vyskytuje se tak často v některých oborech (např. vícerozměrná statistická teorie), že se stala běžnou zkratková notace:

{ displaystyle operatorname {tre} (A): = operatorname {tr} ( exp (A)).}

$tre$ se někdy označuje jako exponenciální stopa funkce; používá se v Golden – Thompsonova nerovnost.

Stopa lineárního operátoru

Obecně platí, že vzhledem k nějaké lineární mapě $F : PROTI \to PROTI$ (kde $PROTI$ je konečný-dimenzionální vektorový prostor ), můžeme definovat stopu této mapy zvážením stopy a maticová reprezentace z $F$ , tj. výběr a základ pro $PROTI$ a popisovat $F$ jako matice vzhledem k tomuto základu a při sledování stopy této čtvercové matice. Výsledek nebude záviset na zvoleném základě, protože vzniknou různé základy podobné matice, což umožňuje možnost základně nezávislé definice stopy lineární mapy.

Takovou definici lze uvést pomocí kanonický izomorfismus mezi prostorem $Konec(PROTI)$ lineárních map na $PROTI$ a $PROTI \otimes PROTI *$ , kde $PROTI *$ je dvojí prostor z $PROTI$ . Nechat $proti$ být v $PROTI$ a nechte $F$ být v $PROTI *$ . Pak stopa nerozložitelného prvku $proti \otimes F$ je definován jako $F (proti)$ ; stopa obecného prvku je definována linearitou. Použití explicitního základu pro $PROTI$ a odpovídající dvojí základ pro $PROTI *$ , lze ukázat, že to dává stejnou definici stopy, jak je uvedeno výše.

Vztahy vlastních čísel

Li $A$ je lineární operátor představovaný čtvercovou maticí s nemovitý nebo komplex položky a pokud $λ 1, \dots, λ n$ jsou vlastní čísla z $A$ (uvedeny podle jejich algebraické multiplicity ), pak

${ displaystyle operatorname {tr} ( mathbf {A}) = součet _ {i} lambda _ {i}}$

To vyplývá ze skutečnosti, že $A$ je vždy podobný k jeho Jordánská forma, svršek trojúhelníková matice mít $λ 1, \dots, λ n$ na hlavní úhlopříčce. Naproti tomu určující z $A$ je produkt jeho vlastních čísel; to je

{ displaystyle det ( mathbf {A}) = prod _ {i} lambda _ {i}.}

Obecněji,

{ displaystyle operatorname {tr} left ( mathbf {A} ^ {k} right) = sum _ {i} lambda _ {i} ^ {k}.}

Deriváty

Stopa odpovídá derivaci determinantu: je to Lež algebra analog (Lež skupina ) mapa determinantu. Toto je upřesněno v Jacobiho vzorec pro derivát z určující.

Jako zvláštní případ na identitu, derivát determinantu se ve skutečnosti rovná stopě: $tr = det ' Já$ . Z toho (nebo ze spojení mezi stopou a vlastními hodnotami) lze odvodit spojení mezi stopovou funkcí, exponenciální mapou mezi Lieovou algebrou a její Lieovou skupinou (nebo konkrétně exponenciální matice funkce) a určující:

{ displaystyle det ( exp ( mathbf {A})) = exp ( operatorname {tr} ( mathbf {A}))}}

Zvažte například rodinu jednoho parametru lineárních transformací daných rotací o úhel $θ$ ,

{ displaystyle mathbf {R} _ { theta} = { begin {pmatrix} cos theta & - sin theta sin theta & cos theta end {pmatrix}}.}

Všechny tyto transformace mají determinant 1, takže zachovávají oblast. Derivát této rodiny v $θ = 0$ , rotace identity, je antisymetrická matice

{ displaystyle A = { begin {pmatrix} 0 & -1 1 & 0 end {pmatrix}}}

který má jasně stopu nula, což naznačuje, že tato matice představuje nekonečně malou transformaci, která zachovává oblast.

Související charakterizace stopy platí pro lineární vektorová pole. Vzhledem k tomu, matice $A$ , definujte vektorové pole $F$ na $R n$ podle $F (X) = Sekera$ . Komponenty tohoto vektorového pole jsou lineární funkce (dané řádky $A$ ). Své divergence $div F$ je konstantní funkce, jejíž hodnota se rovná $tr (A)$ .

Podle věta o divergenci, lze to interpretovat z hlediska toků: pokud $F (X)$ představuje rychlost kapaliny v místě $X$ a $U$ je region v $R n$ , síťový tok kapaliny z $U$ darováno $tr (A) \cdot Objem (U)$ , kde $objem (U)$ je objem z $U$ .

Trasa je lineární operátor, a proto dojíždí s derivací:

{ displaystyle operatorname {d} operatorname {tr} ( mathbf {X}) = operatorname {tr} ( operatorname {d} mathbf {X}).}

Aplikace

Stopa 2 × 2 komplexní matice se používá ke klasifikaci Möbiovy transformace. Nejprve se matice normalizuje, aby se její určující rovna jedné. Pak, pokud je čtverec stopy 4, je odpovídající transformace parabolický. Pokud je čtverec v intervalu [0,4), to je eliptický. Nakonec, pokud je čtverec větší než 4, transformace je loxodromní. Vidět klasifikace Möbiových transformací.

Trasa se používá k definování postavy z skupinové reprezentace. Dvě reprezentace $A, B : G \to GL (PROTI)$ skupiny $G$ jsou rovnocenné (až do změny základu dne $PROTI$ ) pokud $tr (A (G)) = tr (B (G))$ pro všechny $G \in G$ .

Stopa také hraje ústřední roli v distribuci kvadratické formy.

Lež algebra

Trasa je mapa Lieových algeber ${ displaystyle operatorname {tr}: { mathfrak {gl}} _ {n} do K}$ z algebry lži ${ displaystyle { mathfrak {gl}} _ {n}}$ lineárních operátorů na $n$ -dimenzionální prostor ( $n \times n$ matice s položkami v ${ displaystyle K}$ ) k lže algebře $K.$ skalárů; tak jako $K.$ je Abelian (Lieova závorka zmizí), skutečnost, že se jedná o mapu Lieových algeber, je přesně výrokem, že stopa závorky zmizí:

{ displaystyle operatorname {tr} ([ mathbf {A}, mathbf {B}]) = 0 { text {pro každého}} mathbf {A}, mathbf {B} v { mathfrak { gl}} _ {n}.}

Jádro této mapy, matice, jejíž stopa je nula, se často říká, že je bez stopy nebo bez stopa tyto matice tvoří jednoduchá Lie algebra ${ displaystyle { mathfrak {sl}} _ {n}}$ , který je Lež algebra z speciální lineární skupina matic s determinantem 1. Speciální lineární skupinu tvoří matice, které nemění objem, zatímco speciální lineární Lieova algebra je matice, která nemění objem infinitezimální sady.

Ve skutečnosti existuje interní přímý součet rozklad ${ displaystyle { mathfrak {gl}} _ {n} = { mathfrak {sl}} _ {n} oplus K}$ operátorů / matic na stopové operátory / matice a skalární operátory / matice. Projekční mapu na skalární operátory lze vyjádřit pomocí stopy, konkrétně jako:

{ displaystyle mathbf {A} mapsto { frac {1} {n}} operatorname {tr} ( mathbf {A}) mathbf {I}.}

Formálně lze stopu skládat ( počítat mapa) s jednotkovou mapou ${ displaystyle K to { mathfrak {gl}} _ {n}}$ "zahrnutí skaláry "získat mapu ${ displaystyle { mathfrak {gl}} _ {n} do { mathfrak {gl}} _ {n}}$ mapování na skaláry a vynásobení $n$ . Dělení $n$ dělá to projekce, čímž se získá výše uvedený vzorec.

Ve smyslu krátké přesné sekvence, jeden má

{ displaystyle 0 to { mathfrak {sl}} _ {n} to { mathfrak {gl}} _ {n} { overset { operatorname {tr}} { to}} K to 0}

který je analogický k

{ displaystyle 1 to operatorname {SL} _ {n} to operatorname {GL} _ {n} { overset { det} { to}} K ^ {*} na 1}

(kde ${ displaystyle K ^ {*} = K setminus {0 }}$ ) pro Lie skupiny. Stopa se však přirozeně rozdělí (přes ${ displaystyle 1 / n}$ krát skaláry) ${ displaystyle { mathfrak {gl}} _ {n} = { mathfrak {sl}} _ {n} oplus K}$ , ale rozdělení determinantu by bylo jako $n$ th root times scalars, a to obecně nedefinuje funkci, takže determinant se nerozdělí a obecná lineární skupina se nerozloží:

{ displaystyle operatorname {GL} _ {n} neq operatorname {SL} _ {n} krát K ^ {*}.}

Bilineární formy

The bilineární forma (kde $X$ , $Y$ jsou čtvercové matice)

{ displaystyle B ( mathbf {X}, mathbf {Y}) = operatorname {tr} ( operatorname {ad} ( mathbf {X}) operatorname {ad} ( mathbf {Y})) quad { text {where}} operatorname {ad} ( mathbf {X}) mathbf {Y} = [ mathbf {X}, mathbf {Y}] = mathbf {X} mathbf {Y} - mathbf {Y} mathbf {X}}

se nazývá Formulář zabíjení, který se používá pro klasifikaci Lieových algeber.

Stopa definuje bilineární formu:

{ displaystyle ( mathbf {X}, mathbf {Y}) mapsto operatorname {tr} ( mathbf {X} mathbf {Y}).}

Forma je symetrická, nedegenerovaná^{[poznámka 4]} a asociativní v tom smyslu, že:

{ displaystyle operatorname {tr} ( mathbf {X} [ mathbf {Y}, mathbf {Z}]) = operatorname {tr} ([ mathbf {X}, mathbf {Y}] mathbf {Z}).}

Pro složitou jednoduchou Lieovu algebru (např ${ displaystyle { mathfrak {sl}}}$ ), každá taková bilineární forma je navzájem úměrná; zejména do vražedného formuláře.

Dvě matice $X$ a $Y$ se říká, že jsou sledovat ortogonální -li

{ displaystyle operatorname {tr} ( mathbf {X} mathbf {Y}) = 0}

.

Vnitřní produkt

Pro $m \times n$ matice $A$ se složitými (nebo skutečnými) položkami a ^H jako transpozice konjugátu máme

{ displaystyle operatorname {tr} left ( mathbf {A} ^ { mathsf {H}} mathbf {A} right) geq 0}

s rovností kdyby a jen kdyby $A = 0$ .^[5]^:7

Zadání

{ displaystyle langle mathbf {A}, mathbf {B} rangle = operatorname {tr} left ( mathbf {A} ^ { mathsf {H}} mathbf {B} right)}

výnosy vnitřní produkt v prostoru celého komplexu (nebo skutečného) $m \times n$ matice.

The norma odvozený od výše uvedeného vnitřního produktu se nazývá Frobeniova norma, který splňuje submultiplikativní vlastnost jako maticovou normu. Ve skutečnosti je to prostě Euklidovská norma pokud je matice považována za vektor délky $m \cdot n$ .

Z toho vyplývá, že pokud $A$ a $B$ jsou skutečné pozitivní semi-definitivní matice stejné velikosti

{ displaystyle 0 leq left [ operatorname {tr} ( mathbf {A} mathbf {B}) right] ^ {2} leq operatorname {tr} left ( mathbf {A} ^ { 2} right) operatorname {tr} left ( mathbf {B} ^ {2} right) leq left [ operatorname {tr} ( mathbf {A}) right] ^ {2} left [ operatorname {tr} ( mathbf {B}) right] ^ {2}.}

^{[poznámka 5]}

Zobecnění

Pojem stopa matice je zobecněn na stopová třída z kompaktní operátory na Hilbertovy prostory a analog z Frobeniova norma se nazývá Hilbert – Schmidt norma.

Li $K.$ je stopová třída, pak pro všechny ortonormální základ ${ displaystyle ( varphi _ {n}) _ {n}}$ , stopa je dána

{ displaystyle operatorname {tr} (K) = součet _ {n} left langle varphi _ {n}, K varphi _ {n} right rangle,}

a je konečný a nezávislý na ortonormálním základě.^[6]

The částečná stopa je další zobecnění stopy, která je oceněna operátorem. Stopa lineárního operátoru $Z$ který žije na produktovém prostoru $A \otimes B$ se rovná částečným stopám $A$ a $B$ :

{ displaystyle operatorname {tr} (Z) = operatorname {tr} _ {A} left ( operatorname {tr} _ {B} (Z) right) = operatorname {tr} _ {B} left ( operatorname {tr} _ {A} (Z) right).}

Další vlastnosti a zobecnění částečného trasování najdete v tématu sledované monoidní kategorie.

Li $A$ je generál asociativní algebra přes pole $k$ , pak stopa na $A$ je často definována jako libovolná mapa $tr: A \mapsto k$ který zmizí na komutátorech: $tr ([A, b])$ pro všechny $A, b \in A$ . Taková stopa není jednoznačně definována; vždy ji lze alespoň upravit násobením nenulovým skalárem.

A supertrace je zobecnění stopy k nastavení superalgebry.

Provoz společnosti kontrakce tenzoru zobecňuje stopu na libovolné tenzory.

Definice bez souřadnic

Ke stopě lze přistupovat také způsobem bez souřadnic, tj. Bez odkazování na volbu základu, a to následovně: prostor lineárních operátorů ve vektorovém prostoru konečných rozměrů $PROTI$ (definováno přes pole $F$ ) je isomorfní s prostorem $PROTI \otimes PROTI *$ přes lineární mapu

{ displaystyle V otimes V ^ {*} to operatorname {Hom} (V, V), v otimes h mapsto (w mapsto h (w) v).}

K dispozici je také kanonická bilineární funkce $t : PROTI \times PROTI * \to F$ který spočívá v aplikaci prvku $w *$ z $PROTI *$ k prvku $proti$ z $PROTI$ získat prvek $F$ :

{ displaystyle t left (v, w ^ {*} right): = w ^ {*} (v) ve F.}

To indukuje lineární funkci na tenzorový produkt (podle jeho univerzální vlastnictví ) $t : PROTI \otimes PROTI * \to F$ , který, jak se ukázalo, když je tento tenzorový produkt považován za prostor operátorů, se rovná stopě.

Zejména vzhledem k hodnost jeden operátor $A$ (ekvivalentně a jednoduchý tenzor ${ displaystyle v otimes w ^ {*}}$ ), čtverec je ${ displaystyle A ^ {2} = lambda A,}$ protože na jeho jednorozměrném obrazu $A$ je jen skalární násobení. Pokud jde o tenzorový výraz, ${ displaystyle lambda = w ^ {*} (v),}$ a je to stopa (a pouze nenulová vlastní hodnota) $A$ ; to poskytuje souřadnicovou interpretaci diagonálního vstupu. Každý operátor na $n$ -dimenzionální prostor lze vyjádřit jako součet $n$ hodnost operátorů; to dává souřadnicovou verzi součtu diagonálních záznamů.

To také objasňuje proč $tr (AB) = tr (BA)$ a proč $tr (AB) \neq tr (A) tr (B)$ , protože složení operátorů (násobení matic) a trasování lze interpretovat jako stejný párování. Prohlížení

{ displaystyle operatorname {End} (V) cong V otimes V ^ {*},}

jeden může interpretovat mapu složení

{ displaystyle operatorname {End} (V) times operatorname {End} (V) na operatorname {End} (V)}

tak jako

{ displaystyle (V otimes V ^ {*}) krát (V otimes V ^ {*}) to (V otimes V ^ {*})}

vycházející z párování $PROTI * \times PROTI \to F$ střednědobě. Vezmeme-li stopu produktu, pak pochází z párování na vnějších termínech, přičemž vezmeme produkt v opačném pořadí a poté, co vezmeme stopu, pouze přepneme, které párování se použije jako první. Na druhou stranu, po stopě $A$ a stopa po $B$ odpovídá použití párování na levé členy a na pravé členy (spíše než na vnitřní a vnější), a je tedy odlišný.

V souřadnicích to odpovídá indexům: násobení je dáno

{ displaystyle ( mathbf {A} mathbf {B}) _ {ik} = součet _ {j} a_ {ij} b_ {jk},}

tak

{ displaystyle operatorname {tr} ( mathbf {A} mathbf {B}) = součet _ {ij} a_ {ij} b_ {ji} quad { text {a}} quad operatorname {tr } ( mathbf {B} mathbf {A}) = suma _ {ij} b_ {ij} a_ {ji}}

což je stejné, zatímco

{ displaystyle operatorname {tr} ( mathbf {A}) cdot operatorname {tr} ( mathbf {B}) = sum _ {i} a_ {ii} cdot sum _ {j} b_ { jj},}

což je jiné.

Pro konečný rozměr $PROTI$ , se základem ${E i}$ a dvojí základ ${E i}$ , pak $E i \otimes E j$ je $ij$ -zadání matice operátora s ohledem na tento základ. Libovolný operátor $A$ je tedy součtem formy

{ displaystyle mathbf {A} = a_ {ij} e_ {i} další e ^ {j}.}

S $t$ jak je definováno výše,

{ displaystyle operatorname {tr} ( mathbf {A}) = a_ {ij} operatorname {tr} left (e_ {i} otimes e ^ {j} right).}

Ten druhý je však jen Kroneckerova delta, je 1 pokud $i = j$ a 0 jinak. To ukazuje $tr (A)$ je prostě součet koeficientů podél úhlopříčky. Tato metoda však činí invariance souřadnic bezprostředním důsledkem definice.

Dvojí

Dále je možné tuto mapu zdvojnásobit a získat mapu

{ displaystyle F ^ {*} = F až V mnohokrát V ^ {*} cong operatorname {End} (V).}

Tato mapa je přesně zahrnutím skaláry, odesílání $1 \in F$ do matice identity: „trasování je dvojí vůči skalárům“. V jazyce bialgebry, skaláry jsou jednotka, zatímco stopa je počítat.

Pak je lze skládat,

{ displaystyle F ~ { overset {I} { to}} ~ operatorname {End} (V) ~ { overset { operatorname {tr}} { to}} ~ F,}

což vynásobí $n$ , protože stopa identity je dimenzí vektorového prostoru.

Zobecnění

Použití pojmu aktualizovatelné objekty a kategorické stopy, tento přístup ke stopám lze plodně axiomatizovat a aplikovat na další matematické oblasti.

Viz také

Poznámky

^ To je bezprostřední z definice maticový produkt:
${ displaystyle operatorname {tr} ( mathbf {A} mathbf {B}) = součet _ {i = 1} ^ {m} left ( mathbf {A} mathbf {B} right) _ {ii} = součet _ {i = 1} ^ {m} součet _ {j = 1} ^ {n} a_ {ij} b_ {ji} = součet _ {j = 1} ^ {n} součet _ {i = 1} ^ {m} b_ {ji} a_ {ij} = sum _ {j = 1} ^ {n} left ( mathbf {B} mathbf {A} right) _ { jj} = operatorname {tr} ( mathbf {B} mathbf {A})}$ .
^ Důkaz: $F (E ij) = 0$ kdyby a jen kdyby $i \neq j$ a $F (E jj) = F (E 11)$ (se standardním základem $E ij$ ), a tudíž
${ displaystyle f ( mathbf {A}) = součet _ {i, j} [ mathbf {A}] _ {ij} f doleva (e_ {ij} doprava) = součet _ {i} [ mathbf {A}] _ {ii} f left (e_ {11} right) = f left (e_ {11} right) operatorname {tr} ( mathbf {A}).}$
Více abstraktně to odpovídá rozkladu
${ displaystyle { mathit {gl}} _ {n} = { mathit {sl}} _ {n} oplus k,}$
tak jako $tr (AB) = tr (BA)$ (ekvivalentně, $tr ([A, B]) = 0$ ) definuje stopu na $sl n$ , který má doplněk skalárních matic a ponechává jeden stupeň volnosti: jakákoli taková mapa je určena její hodnotou na skalářích, což je jeden skalární parametr, a proto jsou všechny násobky stopy, nenulová taková mapa.
^ Důkaz: ${ displaystyle { mathfrak {sl}}}$ je polojednoduchá Lie algebra a tedy každý prvek v něm je lineární kombinací komutátorů některých párů prvků, jinak odvozená algebra by byl správný ideál.
^ To vyplývá ze skutečnosti, že $tr (A * A) = 0$ kdyby a jen kdyby $A = 0$ .
^ To lze dokázat pomocí Cauchy – Schwarzova nerovnost.

Reference

^ ^A ^b „Úplný seznam symbolů algebry“. Matematický trezor. 2020-03-25. Citováno 2020-09-09.
^ ^A ^b ^C ^d ^E "Pořadí, stopa, determinant, transpozice a inverze matic". fourier.eng.hmc.edu. Citováno 2020-09-09.
^ ^A ^b ^C ^d Weisstein, Eric W. „Matrix Trace“. mathworld.wolfram.com. Citováno 2020-09-09.
^ ^A ^b ^C ^d Lipschutz, Seymour; Lipson, Marc (září 2005). Schaumův náčrt teorie a problémů lineární algebry. McGraw-Hill. ISBN 9780070605022.
^ Horn, Roger A .; Johnson, Charles R. (2013). Maticová analýza (2. vyd.). Cambridge University Press. ISBN 9780521839402.
^ Teschl, G. (30. října 2014). Matematické metody v kvantové mechanice. Postgraduální studium matematiky. 157 (2. vyd.). Americká matematická společnost. ISBN 978-1470417048.

externí odkazy

"Stopa čtvercové matice", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]

[5] To je bezprostřední z definice maticový produkt:
${ displaystyle operatorname {tr} ( mathbf {A} mathbf {B}) = součet _ {i = 1} ^ {m} left ( mathbf {A} mathbf {B} right) _ {ii} = součet _ {i = 1} ^ {m} součet _ {j = 1} ^ {n} a_ {ij} b_ {ji} = součet _ {j = 1} ^ {n} součet _ {i = 1} ^ {m} b_ {ji} a_ {ij} = sum _ {j = 1} ^ {n} left ( mathbf {B} mathbf {A} right) _ { jj} = operatorname {tr} ( mathbf {B} mathbf {A})}$ .

[6] Důkaz: $F (E ij) = 0$ kdyby a jen kdyby $i \neq j$ a $F (E jj) = F (E 11)$ (se standardním základem $E ij$ ), a tudíž
${ displaystyle f ( mathbf {A}) = součet _ {i, j} [ mathbf {A}] _ {ij} f doleva (e_ {ij} doprava) = součet _ {i} [ mathbf {A}] _ {ii} f left (e_ {11} right) = f left (e_ {11} right) operatorname {tr} ( mathbf {A}).}$
Více abstraktně to odpovídá rozkladu
${ displaystyle { mathit {gl}} _ {n} = { mathit {sl}} _ {n} oplus k,}$
tak jako $tr (AB) = tr (BA)$ (ekvivalentně, $tr ([A, B]) = 0$ ) definuje stopu na $sl n$ , který má doplněk skalárních matic a ponechává jeden stupeň volnosti: jakákoli taková mapa je určena její hodnotou na skalářích, což je jeden skalární parametr, a proto jsou všechny násobky stopy, nenulová taková mapa.

[7] Důkaz: ${ displaystyle { mathfrak {sl}}}$ je polojednoduchá Lie algebra a tedy každý prvek v něm je lineární kombinací komutátorů některých párů prvků, jinak odvozená algebra by byl správný ideál.

[8] To vyplývá ze skutečnosti, že $tr (A * A) = 0$ kdyby a jen kdyby $A = 0$ .

[10] To lze dokázat pomocí Cauchy – Schwarzova nerovnost.

[:0-1] A ^b „Úplný seznam symbolů algebry“. Matematický trezor. 2020-03-25. Citováno 2020-09-09.

[:1-2] A ^b ^C ^d ^E "Pořadí, stopa, determinant, transpozice a inverze matic". fourier.eng.hmc.edu. Citováno 2020-09-09.

[:2-3] A ^b ^C ^d Weisstein, Eric W. „Matrix Trace“. mathworld.wolfram.com. Citováno 2020-09-09.

[LipschutzLipson-4] A ^b ^C ^d Lipschutz, Seymour; Lipson, Marc (září 2005). Schaumův náčrt teorie a problémů lineární algebry. McGraw-Hill. ISBN 9780070605022.

[HornJohnson-9] Horn, Roger A .; Johnson, Charles R. (2013). Maticová analýza (2. vyd.). Cambridge University Press. ISBN 9780521839402.

[11] Teschl, G. (30. října 2014). Matematické metody v kvantové mechanice. Postgraduální studium matematiky. 157 (2. vyd.). Americká matematická společnost. ISBN 978-1470417048.

[1]

[2]

[3]

[4]

[poznámka 1]

[poznámka 2]

[Poznámka 3]

[poznámka 4]

[5]

[poznámka 5]

[6]