Johnson solidní - Johnson solid
v geometrie, a Johnson solidní je přísně konvexní mnohostěn každá tvář je a pravidelný mnohoúhelník. To není vyžadováno každá plocha musí být stejný mnohoúhelník nebo že se kolem každého vrcholu spojují stejné polygony. Příkladem Johnsonova tělesa je čtvercový základ pyramida s rovnostranný strany (J1 ); má 1 čtvercový obličej a 4 trojúhelníkové obličeje. Někteří autoři vyžadují, aby pevná látka nebyla jednotný (tj. ne Platonická pevná látka, Archimédův pevný, jednotný hranol nebo uniforma antiprism ) dříve, než to označí jako „Johnsonovu pevnou látku“.
Stejně jako v jakémkoli přísně konvexním tělese se v každém vrcholu setkávají nejméně tři tváře a součet jejich úhlů je menší než 360 stupňů. Vzhledem k tomu, že pravidelný mnohoúhelník má úhly alespoň 60 stupňů, vyplývá z toho, že se na libovolném vrcholu setkává nejvýše pět ploch. The pětiboká pyramida (J2) je příklad, který má vrchol stupně 5.
Ačkoli neexistuje žádné zjevné omezení, že žádný daný pravidelný mnohoúhelník nemůže být plochou Johnsonova tělesa, ukazuje se, že plochy Johnsonových těles, které nejsou jednotný (tj. ne a Platonická pevná látka, Archimédův pevný, jednotný hranol nebo uniforma antiprism ) vždy mají 3, 4, 5, 6, 8 nebo 10 stran.
V roce 1966 Norman Johnson zveřejnil seznam, který obsahoval všech 92 Johnsonových těles (s výjimkou 5 platonických těles, 13 archimédských těles, nekonečně mnoho jednotných hranolů a nekonečně mnoho jednotných antiprismů) a dal jim jejich jména a čísla. Neprokázal, že jich je jen 92, ale domníval se, že žádné další neexistují. Victor Zalgaller v roce 1969 dokázal, že Johnsonův seznam byl úplný.
Z pevných látek Johnson, podlouhlá čtvercová gyrobicupola (J37), nazývaný také pseudorhombicuboctahedron,[1] je jedinečné v tom, že je lokálně stejnoměrný na vrcholu: na každém vrcholu jsou 4 tváře a jejich uspořádání je vždy stejné: 3 čtverce a 1 trojúhelník. Není však vrcholem-tranzitivní, protože má odlišnou izometrii na různých vrcholech, což z něj činí Johnsonovo těleso spíše než Archimédův pevný.
Jména
Pojmenování Johnsonových těles se řídí flexibilním a přesným popisným vzorcem, takže mnoho těles lze pojmenovat různými způsoby, aniž by byla ohrožena jejich přesnost jako popis. Většina Johnsonových těles může být konstruována z prvních několika (pyramidy, kopule, a rotunda ), společně s Platonický a Archimedean pevné látky, hranoly, a antiprismy; střed názvu konkrétní pevné látky bude odrážet tyto přísady. Odtamtud je k slovu připojena řada předpon, které označují sčítání, rotace a transformace:
- Bi- označuje, že dvě kopie dotyčného tělesa jsou spojeny od základu k základně. U kopulí a rotund lze pevné látky spojit tak, aby buď jako tváře (orto-) nebo na rozdíl od tváří (gyroskop) setkat. Pomocí této nomenklatury, an osmistěn lze popsat jako a čtvercový bipyramid, a cuboctahedron jako trojúhelníková gyrobicupolaa icosidodecahedron jako pětiboká gyrobirotunda.
- Protáhlý označuje a hranol je spojen se základnou dotyčného tělesa nebo mezi základnami v případě Bi-pevných látek. A kosočtverec lze tedy popsat jako protáhlá čtvercová orthobicupola.
- Gyroelongated označuje antiprism je spojen se základnou dotyčné pevné látky nebo mezi základnami v případě Bi-pevných látek. An dvacetistěnu lze tedy popsat jako a gyroelongated pentagonal bipyramid.
- Rozšířené označuje další mnohostěn, jmenovitě a pyramida nebo kopule, je spojeno s jednou nebo více plochami dotyčného tělesa.
- Zmenšeno označuje, že pyramida nebo kupole jsou odstraněny z jedné nebo více ploch dotyčného tělesa.
- Kroužit označuje kopuli připevněnou nebo obsaženou v dotyčném tělese, která je otočena tak, že se různé okraje shodují, jako v rozdílu mezi orto- a gyrobicupolae.
Poslední tři operace - augmentace, zmenšení, a kroužení - lze provést několikrát pro určité velké pevné látky. Bi- & Tri- označte dvojitou a trojitou operaci. Například a bigyrate pevná látka má dvě otočené kopule a a tridiminished pevná látka má tři odstraněné pyramidy nebo kopule.
U některých velkých těles se rozlišuje mezi tělesy, kde jsou změněné plochy rovnoběžné, a tělesy, kde jsou změněné plochy šikmé. Para- označuje první, že dané těleso změnilo paralelní plochy, a Meta- druhé, změněné šikmé tváře. Například a parabiaugmentovaný těleso má rozšířené dvě rovnoběžné plochy a metabigyrate těleso má 2 šikmé tváře upravené.
Posledních několik Johnsonových těles má názvy založené na určitých polygonových komplexech, ze kterých jsou sestaveny. Tyto názvy definuje Johnson[2]s následující nomenklaturou:
- A lune je komplex dvou trojúhelníků připojených k protilehlým stranám čtverce.
- Spheno- označuje komplex wedgelike tvořený dvěma sousedními lunami. Dispheno- označuje dva takové komplexy.
- Hebespheno- označuje tupý komplex dvou lun oddělených třetím lunem.
- Corona je korunový komplex osmi trojúhelníků.
- Megacorona je větší komplex připomínající korunu 12 trojúhelníků.
- Přípona -cingulum označuje pás 12 trojúhelníků.
Výčet
Pyramidy, kopule a rotundy
Prvních 6 Johnsonových pevných látek jsou pyramidy, kopule nebo rotundy s maximálně 5 bočními plochami. Pyramidy a kopule se 6 nebo více bočními plochami jsou koplanární a nejsou tedy Johnsonovými tělesy.
Pyramidy
První dva Johnsonovy pevné látky, J1 a J2, jsou pyramidy. The trojúhelníková pyramida je pravidelný čtyřstěn, takže to není Johnsonova pevná látka. Představují úseky pravidelných mnohostěnů.
| Pravidelný | J1 | J2 |
|---|---|---|
| Trojúhelníková pyramida (Čtyřstěn ) | Čtvercová pyramida | Pětiúhelníková pyramida |
 |  |  |
 |  |  |
| Související pravidelná mnohostěna | ||
| Čtyřstěn | Octahedron | Dvacetistěnu |
 |  |  |
Kopule a rotunda
Další čtyři Johnsonovy pevné látky jsou tři kopule a jeden rotunda. Představují úseky jednotných mnohostěnů.
| Kopule | Rotunda | |||
|---|---|---|---|---|
| Jednotný | J3 | J4 | J5 | J6 |
| Fastigium (Digonal cupola) (Trojhranný hranol ) | Trojúhelníková kopule | Čtvercová kopule | Pětiúhelníková kopule | Pětiúhelníková rotunda |
 |  |  |  |  |
 |  |  |  | |
| Související uniformní mnohostěn | ||||
| Cuboctahedron | Rhombicuboctahedron | Rhombicosidodecahedron | Icosidodecahedron | |
 |  |  |  | |
Upravené pyramidy
Johnsonovy pevné látky 7 až 17 jsou odvozeny z pyramid.
Prodloužené a gyroelongální pyramidy
V gyroelongované trojúhelníkové pyramidě jsou tři páry sousedních trojúhelníků koplanární a tvoří ne-čtvercový kosočtverec, takže nejde o Johnsonovu pevnou látku.
Bipyramidy
The čtvercový bipyramid je pravidelný osmistěn, zatímco gyroelongated pentagonal bipyramid je pravidelný dvacetistěnu, takže to nejsou Johnsonovy pevné látky. V gyroelongatickém trojúhelníkovém bipyramidu je šest párů sousedních trojúhelníků koplanárních a tvoří ne-čtvercový kosočtverec, takže to také není Johnsonovo těleso.
| Bipyramidy | Podlouhlé bipyramidy | Gyroelongated bipyramids | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| J12 | Pravidelný | J13 | J14 | J15 | J16 | Koplanární | J17 | Pravidelný |
| Trojúhelníkový bipyramid | Čtvercový bipyramid (osmistěn ) | Pětiúhelníkový bipyramid | Prodloužený trojúhelníkový bipyramid | Podlouhlý čtvercový bipyramid | Prodloužený pětiúhelníkový bipyramid | Gyroelongated trojúhelníkový bipyramid (trigonální lichoběžník ) | Gyroelongated square bipyramid | Gyroelongated pentagonal bipyramid (dvacetistěnu ) |
 | |  |  |  |  |  |  |  |
 |  |  |  |  |  |  |  | |
| Rozšířená z mnohostěnů | ||||||||
| čtyřstěn | čtvercová pyramida | pětiboká pyramida | čtyřstěn trojúhelníkový hranol | čtvercová pyramida krychle | pětiboká pyramida pětiúhelníkový hranol | čtyřstěn Octahedron | čtvercová pyramida čtvercový antiprism | pětiboká pyramida pětiúhelníkový antiprism |
 |  |  |  |  |  |  |  |  |
Upravené kopule a rotundy
Johnsonovy pevné látky 18 až 48 jsou odvozeny z kopulí a rotund.
Prodloužené a gyroelongální kopule a rotundy
Bicupolae
Trojúhelníková gyrobicupola je Archimédův pevný (v tomto případě cuboctahedron ), takže nejde o Johnsonovu pevnou látku.
| Orthobicupola | Gyrobicupola | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Koplanární | J27 | J28 | J30 | J26 | Semiregular | J29 | J31 |
| Orthobifastigium | Trojúhelníkový orthobicupola | Čtvercová ortobicupola | Pětiboká orthobicupola | Gyrobifastigium | Trojúhelníkový gyrobicupola (cuboctahedron ) | Čtvercová gyrobicupola | Pětiboká gyrobicupola |
 |  |  |  |  | |  |  |
 |  |  |  |  |  |  | |
| Rozšířená z mnohostěnu | |||||||
| Trojhranný hranol | Trojúhelníková kopule | Čtvercová kopule | Pětiúhelníková kopule | Trojhranný hranol | Trojúhelníková kopule | Čtvercová kopule | Pětiúhelníková kopule |
|  |  |  | | | | |
Cupola-rotundae a birotunda
Pětiúhelníková gyrobirotunda je Archimédův pevný (v tomto případě icosidodecahedron ), takže nejde o Johnsonovu pevnou látku.
| Kopule-rotunda | Birotunda | ||
|---|---|---|---|
| J32 | J33 | J34 | Semiregular |
| Pětiboká orthocupolarotunda | Pětiúhelníkový gyrocupolarotunda | Pětiboká orthobirotunda | Pětiúhelníková gyrobirotunda (icosidodecahedron ) |
 |  |  | |
 |  |  |  |
| Rozšířená z mnohostěnů | |||
| Pětiúhelníková kopule Pětiúhelníková rotunda | Pětiúhelníková rotunda | ||
 | | ||
Prodloužené bicupoly
Podlouhlá čtvercová orthobicupola je Archimédův pevný (v tomto případě kosočtverec ), takže nejde o Johnsonovu pevnou látku.
Prodloužené kopulovité rotundy a birotundy
| Prodloužená kopule-rotunda | Podlouhlá birotunda | ||
|---|---|---|---|
| J40 | J41 | J42 | J43 |
| Prodloužený pětiúhelníkový orthocupolarotunda | Prodloužený pětiúhelníkový gyrocupolarotunda | Prodloužený pětiúhelníkový orthobirotunda | Prodloužený pětiúhelníkový gyrobirotunda |
 |  |  |  |
 |  |  |  |
| Rozšířená z mnohostěnů | |||
| Decagonal hranol Pětiúhelníková kopule Pětiúhelníková rotunda | Decagonal hranol Pětiúhelníková rotunda | ||
 | | ||
Gyroelongated bicupolae, cupola-rotunda a birotunda
Tyto Johnsonovy pevné látky mají 2 chirální formy.
| Gyroelongated bicupola | Gyroelongated cupola-rotunda | Gyroelongated birotunda | |||
|---|---|---|---|---|---|
| Konkávní | J44 | J45 | J46 | J47 | J48 |
| Gyroelongated bifastigium | Gyroelongated triangular bicupola | Gyroelongated square bicupola | Gyroelongated pentagonal bicupola | Gyroelongated pentagonal cupolarotunda | Gyroelongated pětiúhelníková birotunda |
 |  |  |  |  |  |
 |  |  |  |  | |
| Rozšířená z mnohostěnů | |||||
| Trojhranný hranol Čtvercový antiprism | Trojúhelníková kopule Šestihranný antiprism | Čtvercová kopule Osmiboký protiklad | Pětiúhelníková kopule Decagonal antiprism | Pětiúhelníková kopule Pětiúhelníková rotunda Decagonal antiprism | Pětiúhelníková rotunda Decagonal antiprism |
| |  |  |  | | |
Rozšířené hranoly
Johnsonovy pevné látky 49 až 57 jsou vyrobeny rozšířením stran hranolů čtvercovými pyramidami.
| Rozšířené trojúhelníkové hranoly | Rozšířené pětiúhelníkové hranoly | Rozšířené šestihranné hranoly | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| J49 | J50 | J51 | J52 | J53 | J54 | J55 | J56 | J57 |
| Rozšířený trojúhelníkový hranol | Biaugmentovaný trojúhelníkový hranol | Triaugmentovaný trojúhelníkový hranol | Rozšířený pětiúhelníkový hranol | Biaugmentovaný pětiúhelníkový hranol | Rozšířený šestihranný hranol | Parabiaugmentovaný šestihranný hranol | Metabiaugmentovaný šestihranný hranol | Triaugmentovaný šestihranný hranol |
 |  |  |  |  |  |  |  |  |
 |  |  |  |  |  |  |  |  |
| Rozšířená z mnohostěnů | ||||||||
| Trojhranný hranol Čtvercová pyramida | Pětiúhelníkový hranol Čtvercová pyramida | Šestihranný hranol Čtvercová pyramida | ||||||
| | |  | ||||||
Modifikované platonické pevné látky
Johnsonovy pevné látky 58 až 64 jsou vytvořeny rozšířením nebo zmenšením platonických pevných látek.
Rozšířená dodekahedra
| J58 | J59 | J60 | J61 |
|---|---|---|---|
| Augmented dodecahedron | Parabiaugmentovaný dvanáctistěn | Metabiaugmented dodecahedron | Triaugmented dodecahedron |
 |  |  |  |
 |  |  |  |
| Rozšířená z mnohostěnů | |||
| Dodecahedron a pětiboká pyramida | |||
 | |||
Zmenšená a rozšířená zmenšená icosahedra
| Zmenšený dvacetistěn | Augmented tridiminished icosahedron | |||
|---|---|---|---|---|
| J11 (Opakováno) | Jednotný | J62 | J63 | J64 |
| Zmenšený dvacetistěn (Gyroelongated pentagonal pyramid ) | Parabidiminoval dvacetistěn (Pětiúhelníkový antiprism ) | Metabidiminoval dvacetistěn | Trimiminovaný dvacetistěn | Augmented tridiminished icosahedron |
 |  |  |  |  |
 |  |  |  | |
Upravené archimédovské pevné látky
Johnsonovy pevné látky 65 až 83 jsou vytvářeny zvětšením, zmenšením nebo kroucením archimédských pevných látek.
Augmented Archimedean pevné látky
| Rozšířený zkrácený čtyřstěn | Rozšířené zkrácené kostky | Rozšířená zkrácená dodekahedra | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| J65 | J66 | J67 | J68 | J69 | J70 | J71 |
| Rozšířený zkrácený čtyřstěn | Rozšířená zkrácená kostka | Biaugmentovaná zkrácená kostka | Rozšířený zkrácený dvanáctistěn | Parabiaugmented komolý dodecahedron | Metabiaugmented zkrácený dodecahedron | Triaugmented komolý dodecahedron |
 |  |  |  |  |  |  |
 |  |  |  |  |  |  |
| Rozšířená z mnohostěnů | ||||||
| zkrácený čtyřstěn trojúhelníková kopule | zkrácená kostka čtvercová kopule | zkrácený dvanáctistěn pětiboká kupole | ||||
 |  |  | ||||
Gyrate a zmenšený rhombicosidodecahedra
| Gyrate rhombicosidodecahedra | |||
|---|---|---|---|
| J72 | J73 | J74 | J75 |
| Gyrate rhombicosidodecahedron | Parabigyrate rhombicosidodecahedron | Metabigyrate rhombicosidodecahedron | Trigyrate rhombicosidodecahedron |
 |  |  |  |
 |  |  |  |
| Snížená rhombicosidodecahedra | |||
| J76 | J80 | J81 | J83 |
| Zmenšený kosočtverec | Parabid zmenšil rhombicosidodecahedron | Metabidiminovaný rhombicosidodecahedron | Trimiminovaný kosočtverec |
 |  |  |  |
 |  |  |  |
| Gyrate zmenšil rhombicosidodecahedru | |||
| J77 | J78 | J79 | J82 |
| Paragyrát zmenšil kosočtverec | Metagyrát zmenšil kosočtverec | Bigyrate zmenšil rhombicosidodecahedron | Gyrate snížil rhombicosidodecahedron |
 |  |  |  |
 |  |  |  |
J37 by se zde také objevil jako duplikát (jedná se o kosočtverečný kosočtverec).
Další gyrátové a zmenšené archimédské pevné látky
Jiné archimédské pevné látky lze kroužit a zmenšovat, ale všechny vedou k dříve spočítaným pevným látkám.
| J27 | J3 | J34 | J6 | J37 | J19 |
|---|---|---|---|---|---|
| Gyrate cuboctahedron (trojúhelníková orthobicupola ) | Zmenšený cuboctahedron (trojúhelníková kopule ) | Gyrate icosidodecahedron (pětiboká orthobirotunda ) | Snížený icosidodecahedron (pětiúhelníková rotunda ) | Gyrate rhombicuboctahedron (podlouhlá čtvercová gyrobicupola ) | Zmenšený kosočtverec (podlouhlá čtvercová kopule ) |
| | | |  |  |
| | | |  |  |
| Otřesy nebo zmenšení z mnohostěnů | |||||
| Cuboctahedron | Icosidodecahedron | Rhombicuboctahedron | |||
| | | |||
Elementární tělesa
Johnsonovy pevné látky 84 až 92 nejsou odvozeny z manipulace typu „vyjmout a vložit“ jednotný pevné látky.
Potlačení antiprismů
The urážet antiprismy lze zkonstruovat jako alternaci zkráceného antiprismu. Gyrobianticupolae jsou další konstrukcí pro urážlivé antiprismy. Z běžných polygonů lze zkonstruovat pouze antiprismy s maximálně 4 stranami. Tlumený trojúhelníkový antiprism je pravidelný dvacetistěnu, takže to není Johnsonova pevná látka.
| J84 | Pravidelný | J85 |
|---|---|---|
| Utlumit disphenoid ss {2,4} | Dvacetistěnu ss {2,6} | Snub náměstí antiprism ss {2,8} |
| Digonal gyrobianticupola | Trojúhelníkový gyrobianticupola | Čtvercová gyrobianticupola |
 |  |  |
 |  |  |
Ostatní
| J86 | J87 | J88 | |
|---|---|---|---|
| Sphenocorona | Rozšířená sphenocorona | Sphenomegacorona | |
 |  |  | |
 |  |  | |
| J89 | J90 | J91 | J92 |
| Hebesphenomegacorona | Disphenocingulum | Bilunabirotunda | Trojúhelníkový hebesphenorotunda |
 |  |  |  |
 |  |  |  |
Klasifikace podle typů tváří
Johnsonovy pevné látky s trojúhelníkem
Pět Johnsonových pevných látek je deltahedra, se všemi rovnostrannými trojúhelníkovými plochami:
Johnsonovy pevné látky trojúhelníku a čtverce
Dvacet čtyři Johnsonových těles má pouze trojúhelníkové nebo čtvercové plochy:
Johnsonovy pevné látky v trojúhelníku a pětiúhelníku
Jedenáct Johnsonových těles má pouze trojúhelníkové a pětiúhelníkové plochy:
Johnsonovy pevné látky s trojúhelníkem, čtvercem a pětiúhelníkem
Dvacet Johnsonových těles má pouze trojúhelníkové, čtvercové a pětiúhelníkové plochy:
Johnsonovy pevné látky s trojúhelníkem, čtvercem a šestiúhelníkem
Osm Johnsonových těles má pouze trojúhelníkové, čtvercové a šestihranné plochy:
Johnsonovy pevné látky s trojúhelníkem, čtvercem a osmihranem
Pět Johnsonových těles má pouze trojúhelníkové, čtvercové a osmiboké plochy:
Johnsonovy pevné látky v trojúhelníku, pětiúhelníku a v desetiúhelníku
Dvě Johnsonovy pevné látky mají pouze trojúhelníkové, pětiúhelníkové a desetihranné plochy:
Johnsonovy pevné látky s trojúhelníkem, čtvercem, pětiúhelníkem a šestiúhelníkem
Pouze jedno Johnsonovo těleso má trojúhelníkové, čtvercové, pětiúhelníkové a šestihranné plochy:
Johnsonovy pevné látky trojúhelníkové, čtvercové, pětiúhelníkové a desetihranné
Šestnáct Johnsonových těles má pouze trojúhelník, čtverec, pětiúhelník a desetiúhelníkové plochy:
Circumscribable Johnson pevné látky
25 Johnsonových těles má vrcholy, které existují na povrchu a koule: 1–6,11,19,27,34,37,62,63,72–83. Všechny z nich lze vidět, že souvisejí s pravidelným nebo rovnoměrným mnohostěnem pomocí gyrace, zmenšení nebo disekce.[3]
| Octahedron | Cuboctahedron | Rhombicuboctahedron | |||
|---|---|---|---|---|---|
J1 | J3 | J27 | J4 | J19 | J37 |
| Dvacetistěnu | Icosidodecahedron | ||||
|---|---|---|---|---|---|
J2 | J11 | J62 | J63 | J6 | J34 |
| Rhombicosidodecahedron | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| J5 | J72 | J73 | J74 | J75 | J76 | J77 |
| J78 | J79 | J80 | J81 | J82 | J83 | |
Viz také
Reference
- Johnson, Norman W. (1966). "Konvexní tělesa s pravidelnými plochami". Kanadský žurnál matematiky. 18: 169–200. doi:10.4153 / cjm-1966-021-8. ISSN 0008-414X. Zbl 0132.14603. Obsahuje původní výčet 92 pevných látek a domněnku, že neexistují žádné další.
- Zalgaller, Victor A. (1967). "Konvexní mnohostěn s pravidelnými tvářemi". Zap. Nauchn. Semin. Leningr. Otd. Rohož. Inst. Steklová (v Rusku). 2: 1–221. ISSN 0373-2703. Zbl 0165.56302. První důkaz, že existuje pouze 92 pevných látek Johnson. Anglický překlad: Zalgaller, Victor A. (1969). "Konvexní mnohostěn s pravidelnými tvářemi". Semináře z matematiky, V. A. Steklov Math. Inst., Leningrad. Poradenská kancelář. 2. ISSN 0080-8873. Zbl 0177.24802.
- Anthony Pugh (1976). Mnohostěn: Vizuální přístup. Kalifornie: University of California Press Berkeley. ISBN 0-520-03056-7. Kapitola 3 Další konvexní mnohostěny
- ^ GWH. „Pseudo Rhombicuboctahedra“. www.georgehart.com. Citováno 17. dubna 2018.
- ^ George Hart (cituje Johnsona) (1996). „Johnson Solids“. Virtuální mnohostěn. Citováno 5. února 2014.
- ^ Klitzing, Dr. Richard. „Johnson solids et al“. bendwavy.org. Citováno 17. dubna 2018.
externí odkazy
- Gagnon, Sylvain (1982). „Les polyèdres convexes aux Faces régulières“ [Konvexní mnohostěn s pravidelnými tvářemi] (PDF). Strukturální topologie (6): 83–95.
- Papírové modely mnohostěnů Mnoho odkazů
- Johnson Solids George W. Hart.
- Obrázky všech 92 pevných látek, roztříděných, na jedné stránce
- Weisstein, Eric W. "Johnson Solid". MathWorld.
- VRML modely Johnson Solids Jim McNeill
- VRML modely Johnson Solids Vladimír Bulatov
- CRF polychora objev projektu pokusy objevit CRF polychora, zobecnění Johnsonových pevných látek do 4-dimenzionálního prostoru
- https://levskaya.github.io/polyhedronisme/ generátor mnohostěnů a Provoz Conway aplikován na ně, včetně Johnsonových pevných látek.