Konečné stellation of the icosahedron - Final stellation of the icosahedron
Konečné stellation of the icosahedron | |||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Dva symetrické pravopisné projekce | |||||||
Skupina symetrie | icosahedral (Jáh) | ||||||
Typ | Stellated icosahedron, 8. 59 | ||||||
Symboly | Du Val H Wenningere: Ž42 | ||||||
Elementy (Jako hvězdný mnohostěn) | F = 20, E = 90 PROTI = 60 (χ = −10) | ||||||
Elementy (Jako jednoduchý mnohostěn) | F = 180, E = 270, PROTI = 92 (χ = 2) | ||||||
Vlastnosti (Jako hvězdný mnohostěn) | Vrchol-tranzitivní, tvář-tranzitivní | ||||||
|
v geometrie, kompletní nebo konečná stellace dvacetistěnu[1][2] je nejvzdálenější stellation z dvacetistěnu, a je „úplný“ a „konečný“, protože zahrnuje všechny buňky v ikosahedronu hvězdný diagram. To znamená, že každé tři protínající se roviny ikosahedrálního jádra se protínají buď na vrcholu tohoto mnohostěnu, nebo uvnitř něj.
Tento mnohostěn je sedmnáctý stellation z dvacetistěnu a uveden jako Wenningerův index 42.
Jako geometrický útvar má dvě interpretace popsané níže:
- Jako nepravidelný hvězdný (protínající se) mnohostěn s 20 identickými protínajícími se enneagrammic tváře, 90 hran, 60 vrcholů.
- Jako jednoduchý mnohostěn se 180 trojúhelníkovými plochami (60 rovnoramenných, 120 scalenových), 270 hranami a 92 vrcholy. Tato interpretace je užitečná pro mnohostěnný model budova.
Johannes Kepler prozkoumané hvězdy, které vytvářejí pravidelné hvězdné mnohostěny ( Kepler-Poinsotův mnohostěn ) v roce 1619, ale kompletní dvacetistěn s nepravidelnými tvářemi poprvé studoval v roce 1900 Max Brückner.
Dějiny
Brücknerův model (Příloha XI, obr. 14, 1900)[3] |
Echidna |
- 1619: v Harmonices Mundi, Johannes Kepler nejprve aplikoval proces stellace, rozpoznal malý hvězdný dvanáctistěn a velký hvězdný dvanáctistěn jako pravidelný mnohostěn.[4]
- 1809: Louis Poinsot znovuobjevený Keplerův mnohostěn a další dva, velký dvacetistěn a velký dvanáctistěn jako běžná hvězdná mnohostěna, nyní nazývaná Kepler – Poinsotův mnohostěn.[5]
- 1812: Augustin-Louis Cauchy provedl další výčet hvězdných mnohostěnů, což prokázalo, že existují pouze 4 běžné hvězdné mnohostěny.[6]
- 1900: Max Brückner rozšířil teorii hvězd nad běžné formy a identifikoval deset hvězd icosahedronu, včetně úplná hvězdice.[3]
- 1924: A.H. Wheeler v roce 1924 zveřejnil seznam 20 hvězdných formulářů (22 včetně reflexních kopií), včetně úplná hvězdice.[7]
- 1938: Ve své knize z roku 1938 Padesát devět Icosahedra, H. S. M. Coxeter, P. Du Val, H. T. Flather a J. F. Petrie uvedli soubor pravidel pro hvězdné bytosti pro pravidelný dvacetistěn a poskytli systematický výčet padesáti devíti hvězd, které těmto pravidlům odpovídají. Kompletní označení je v knize označováno jako osmé.
- 1974: v Wenningere kniha z roku 1974 Mnohostěnné modely, konečná stellace icosahedronu je zahrnuta jako 17. model stellated icosahedra s indexovým číslem W42.
- 1995: Andrew Hume to pojmenoval ve svém Netlib polyedrická databáze jako echidnahedron[8] (dále jen echidna nebo mravenečník ostnatý je malý savec která je pokryta hrubou vlasy a trny a který se kroutí v kouli, aby se chránil).
Výklady
Jako hvězdu
The stellation mnohostěnu rozšiřuje plochy mnohostěnu do nekonečných rovin a generuje nový mnohostěn, který je těmito rovinami ohraničen jako plochy a průsečíky těchto rovin jako hrany. Padesát devět Icosahedra vyjmenovává označení pravidelného dvacetistěnu podle souboru pravidel předložených J. C. P. Miller, včetně úplná hvězdice. Symbol Du Val celé stellace je H, protože zahrnuje všechny buňky ve hvězdicovém diagramu až po nejvzdálenější vrstvu „h“.[6]
Jako jednoduchý mnohostěn
A polyedrický model může být sestrojeno 12 sadami ploch, z nichž každá je složena do skupiny pěti pyramid. |
Jako jednoduchý mnohostěn s viditelným povrchem je vnější forma konečné stellace složena ze 180 trojúhelníkových ploch, které jsou nejvzdálenějšími trojúhelníkovými oblastmi ve stellačním diagramu. Ty se spojují podél 270 hran, které se zase setkávají na 92 vrcholech, s Eulerova charakteristika ze dne 2.[9]
92 vrcholů leží na plochách tří soustředných koulí. Nejvnitřnější skupina 20 vrcholů tvoří vrcholy pravidelného dvanáctistěnu; další vrstva 12 tvoří vrcholy pravidelného dvacetistěnu; a vnější vrstva 60 tvoří vrcholy nejednotného zkráceného dvacetistěnu. Poloměry těchto koulí jsou v poměru[10]
Vnitřní | Střední | Vnější | Všichni tři |
---|---|---|---|
20 vrcholů | 12 vrcholů | 60 vrcholů | 92 vrcholů |
Dodecahedron | Dvacetistěnu | Nejednotný zkrácený dvacetistěn | Kompletní dvacetistěn |
Když je považován za trojrozměrný pevný objekt s délkami hran A, φA, φ2A a φ2A√2 (kde φ je Zlatý řez ) kompletní dvacetistěn má povrchovou plochu[10]
a objem[10]
Jako hvězdný mnohostěn
Dvacet 9 mnohoúhelníkových ploch (jedna plocha je nakreslena žlutě s 9 vrcholy označenými.) | 2-isogonal 9 tváří |
Na úplnou hvězdu lze pohlížet také jako na sebeprotínající se hvězdný mnohostěn s 20 tvářemi odpovídajícími 20 tvářím podkladového dvacetistěnu. Každá tvář je nepravidelná 9/4 hvězdný polygon nebo enneagram.[6] Jelikož se na každém vrcholu setkávají tři tváře, má 20 × 9/3 = 60 vrcholů (jedná se o nejvzdálenější vrstvu viditelných vrcholů a tvoří špičky „hřbetů“) a 20 × 9/2 = 90 okrajů (každý okraj hvězdný mnohostěn zahrnuje a spojuje dva ze 180 viditelných okrajů).
Když je považována za hvězdný dvacetistěn, je úplná hvězdná a ušlechtilý mnohostěn, protože je to obojí isohedrální (face-transitive) a isogonal (vrchol-tranzitivní).
Viz také
Poznámky
- ^ Coxeter a kol. (1938), s. 30–31
- ^ Wenninger, Mnohostěnné modely, str. 65.
- ^ A b Brückner, Max (1900)
- ^ Weisstein, Eric W. „Kepler-Poinsot Solid“. MathWorld.
- ^ Louis Poinsot, Memoire sur les polygones et polyèdres. J. de l'École Polytechnique 9, s. 16–48, 1810.
- ^ A b C Cromwell (1999) (s. 259)
- ^ Wheeler (1924)
- ^ Název echidnahedron lze připsat Andrewu Humovi, vývojář z netlib mnohostěnná databáze:
„... a nějaké podivné pevné látky včetně echidnahedronu (mé jméno; ve skutečnosti je to konečná stellace dvacetistěnu).“ geometry.research; "mnohostěnná databáze"; 30. srpna 1995, 12:00. - ^ Echidnahedron Archivováno 2008-10-07 na Wayback Machine na polyhedra.org
- ^ A b C Weisstein, Eric W. "Echidnahedron". MathWorld.
Reference
- Brückner, max (1900). Vielecke und Vielflache: Theorie und Geschichte. Lipsko: B.G. Treubner. ISBN 978-1-4181-6590-1. (v němčině) WorldCat Angličtina: Polygons and Polyhedra: Theory and History. Fotografie modelů: Tafel VIII (Plate VIII), atd. Vysoké rozlišení. skenuje.
- A. H. Wheeler, Určité formy dvacetistěnu a metoda pro odvození a označení vyšších mnohostěnů, Proc. Internat. Matematika. Congress, Toronto, 1924, sv. 1, s. 701–708
- H.S.M. Coxeter, Pravidelné Polytopes, (3. vydání, 1973), vydání Dover, ISBN 0-486-61480-8, 3.6 6.2 Stelace platonických pevných látek, str. 96–104
- Coxeter, Harold Scott MacDonald; Du Val, P .; Flather, H. T .; Petrie, J. F. (1999), Padesát devět icosahedra (3. vyd.), Tarquin, ISBN 978-1-899618-32-3, PAN 0676126 (1. ednská univerzita v Torontu (1938))
- Wenninger, Magnus J., Mnohostěnné modely; Cambridge University Press, 1. vydání, 1983, Ppbk (2003). ISBN 978-0-521-09859-5. (Model 42, str. 65, Konečné stellation of the icosahedron)
- Cromwell, Peter R. (1997). Mnohostěn. Cambridge University Press. ISBN 0-521-66405-5.
- Jenkins, Gerald a Magdalen Bear. The Final Stellation of the Icosahedron: An Advanced Mathematical Model to Cut Out and Glue together. Norfolk, Anglie: Tarquin Publications, 1985. ISBN 978-0-906212-48-6.
externí odkazy
- S pokyny pro konstrukci modelu echidnahedron (.doc ) Ralph Jones
- Směrem k hvězdám dvacetistěnu a tváří v tvář dvanáctistěnu Guy Inchbald
- Weisstein, Eric W. „Padesát devět dvacetistěnových hvězd“. MathWorld.
- Hvězdy dvacetistěnu
- 59 Stellations of the Icosahedron
- VRML Modelka: http://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/vrml/echidnahedron.wrl
- Netlib: Mnohostěnná databáze, model 141