Deltahedron - Deltahedron

Největší přísně konvexní deltahedron je pravidelný dvacetistěnu

Tohle je zkrácený čtyřstěn s šestiúhelníky rozdělenými na trojúhelníky. Toto číslo je ne přísně konvexní deltahedron, protože koplanární plochy nejsou v definici povoleny.

V geometrii, a deltahedron (množný deltahedra) je mnohostěn jehož tváře všichni jsou rovnostranné trojúhelníky. Název je převzat z řecký velká písmena delta (Δ), který má tvar rovnostranného trojúhelníku. Existuje nekonečně mnoho deltahedra, ale z nich jen osm konvexní, které mají 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16 a 20 tváří.^[1] Počet ploch, hran a vrcholy je uveden níže pro každou z osmi konvexních deltahedra.

Osm konvexních deltahedrů

Existuje pouze osm přísně konvexních deltahedra: tři jsou pravidelný mnohostěn a pět je Johnson pevné látky.

Pravidelná deltahedra
obraz	název	Tváře	Hrany	Vrcholy	Konfigurace vrcholů	Skupina symetrie
	čtyřstěn	4	6	4	4 × 3³	T_d, [3,3]
	osmistěn	8	12	6	6 × 3⁴	Ó_h, [4,3]
	dvacetistěnu	20	30	12	12 × 3⁵	Já_h, [5,3]
Johnson deltahedra
obraz	název	Tváře	Hrany	Vrcholy	Konfigurace vrcholů	Skupina symetrie
	trojúhelníkový bipyramid	6	9	5	2 × 3³ 3 × 3⁴	D_3h, [3,2]
	pětiúhelníkový bipyramid	10	15	7	5 × 3⁴ 2 × 3⁵	D_5h, [5,2]
	potlačit disphenoid	12	18	8	4 × 3⁴ 4 × 3⁵	D_2d, [2,2]
	triaugmentovaný trojúhelníkový hranol	14	21	9	3 × 3⁴ 6 × 3⁵	D_3h, [3,2]
	gyroelongovaný hranatý bipyramid	16	24	10	2 × 3⁴ 8 × 3⁵	D_4d, [4,2]

V deltahedronu se 6 tvářemi mají některé vrcholy stupeň 3 a nějaký stupeň 4. V deltahedře s 10, 12, 14 a 16 tvářemi mají některé vrcholy stupeň 4 a nějaký stupeň 5. Těchto pět nepravidelných deltahedra patří třída Johnson pevné látky: konvexní mnohostěn s pravidelné mnohoúhelníky pro tváře.

Deltahedra si zachovává svůj tvar, i když se okraje mohou volně otáčet kolem svých vrcholů, takže úhly mezi okraji jsou tekuté. Ne všechny mnohostěny mají tuto vlastnost: například pokud uvolníte některé úhly a krychle, kostka může být deformována do nepravého čtverce hranol.

Neexistuje konvexní deltahedron s 18 tvářemi.^[2] Nicméně okrajově smluvený dvacetistěn uvádí příklad octadecahedron které mohou být buď konvexní s 18 nepravidelnými trojúhelníkovými plochami, nebo mohou být vytvořeny s rovnostrannými trojúhelníky, které obsahují dvě koplanární sady tří trojúhelníků.

Případy, které nejsou striktně konvexní

Existuje nekonečně mnoho případů s koplanárními trojúhelníky, které umožňují části nekonečna trojúhelníkové obklady. Pokud jsou sady koplanárních trojúhelníků považovány za jednu plochu, lze spočítat menší sadu ploch, hran a vrcholů. Koplanární trojúhelníkové plochy lze sloučit do kosočtverečných, lichoběžníkových, šestihranných nebo jiných rovnostranných polygonálních ploch. Každá tvář musí být konvexní polyiamond jako , , , , , , a , ...^[3]

Některé menší příklady zahrnují:

Koplanární deltahedra
název	Tváře	Hrany	Vrcholy	Konfigurace vrcholů	Skupina symetrie
Augmented octahedron Augmentace 1 tet + 1 okt	10	15	7	1 × 3³ 3 × 3⁴ 3 × 3⁵ 0 × 3⁶	C_3v, [3]
Augmented octahedron Augmentace 1 tet + 1 okt	4 3	12	7	1 × 3³ 3 × 3⁴ 3 × 3⁵ 0 × 3⁶	C_3v, [3]
Trigonální lichoběžník Augmentace 2 tets + 1 oct	12	18	8	2 × 3³ 0 × 3⁴ 6 × 3⁵ 0 × 3⁶	C_3v, [3]
Trigonální lichoběžník Augmentace 2 tets + 1 oct	6	12	8	2 × 3³ 0 × 3⁴ 6 × 3⁵ 0 × 3⁶	C_3v, [3]
Augmentace 2 tets + 1 oct	12	18	8	2 × 3³ 1 × 3⁴ 4 × 3⁵ 1 × 3⁶	C_2v, [2]
Augmentace 2 tets + 1 oct	2 2 2	11	7	2 × 3³ 1 × 3⁴ 4 × 3⁵ 1 × 3⁶	C_2v, [2]
Trojúhelníkový frustum Augmentace 3 tets + 1 oct	14	21	9	3 × 3³ 0 × 3⁴ 3 × 3⁵ 3 × 3⁶	C_3v, [3]
Trojúhelníkový frustum Augmentace 3 tets + 1 oct	1 3 1	9	6	3 × 3³ 0 × 3⁴ 3 × 3⁵ 3 × 3⁶	C_3v, [3]
Podlouhlý osmistěn Augmentace 2 tets + 2 oct	16	24	10	0 × 3³ 4 × 3⁴ 4 × 3⁵ 2 × 3⁶	D_2h, [2,2]
Podlouhlý osmistěn Augmentace 2 tets + 2 oct	4 4	12	6	0 × 3³ 4 × 3⁴ 4 × 3⁵ 2 × 3⁶	D_2h, [2,2]
Čtyřstěn Augmentace 4 tets + 1 oct	16	24	10	4 × 3³ 0 × 3⁴ 0 × 3⁵ 6 × 3⁶	T_d, [3,3]
Čtyřstěn Augmentace 4 tets + 1 oct	4	6	4	4 × 3³ 0 × 3⁴ 0 × 3⁵ 6 × 3⁶	T_d, [3,3]
Augmentace 3 tets + 2 octy	18	27	11	1 × 3³ 2 × 3⁴ 5 × 3⁵ 3 × 3⁶	D_2h, [2,2]
Augmentace 3 tets + 2 octy	2 1 2 2	14	9	1 × 3³ 2 × 3⁴ 5 × 3⁵ 3 × 3⁶	D_2h, [2,2]
Edge-smluvně icosahedron	18	27	11	0 × 3³ 2 × 3⁴ 8 × 3⁵ 1 × 3⁶	C_2v, [2]
Edge-smluvně icosahedron	12 2	22	10	0 × 3³ 2 × 3⁴ 8 × 3⁵ 1 × 3⁶	C_2v, [2]
Trojúhelníkový bifrustum Augmentace 6 tets + 2 oct	20	30	12	0 × 3³ 3 × 3⁴ 6 × 3⁵ 3 × 3⁶	D_3h, [3,2]
Trojúhelníkový bifrustum Augmentace 6 tets + 2 oct	2 6	15	9	0 × 3³ 3 × 3⁴ 6 × 3⁵ 3 × 3⁶	D_3h, [3,2]
trojúhelníková kopule Augmentace 4 tets + 3 octy	22	33	13	0 × 3³ 3 × 3⁴ 6 × 3⁵ 4 × 3⁶	C_3v, [3]
trojúhelníková kopule Augmentace 4 tets + 3 octy	3 3 1 1	15	9	0 × 3³ 3 × 3⁴ 6 × 3⁵ 4 × 3⁶	C_3v, [3]
Trojúhelníkový bipyramid Augmentace 8 tets + 2 oct	24	36	14	2 × 3³ 3 × 3⁴ 0 × 3⁵ 9 × 3⁶	D_3h, [3]
Trojúhelníkový bipyramid Augmentace 8 tets + 2 oct	6	9	5	2 × 3³ 3 × 3⁴ 0 × 3⁵ 9 × 3⁶	D_3h, [3]
Šestihranný antiprism	24	36	14	0 × 3³ 0 × 3⁴ 12 × 3⁵ 2 × 3⁶	D_6d, [12,2⁺]
Šestihranný antiprism	12 2	24	12	0 × 3³ 0 × 3⁴ 12 × 3⁵ 2 × 3⁶	D_6d, [12,2⁺]
Zkrácený čtyřstěn Augmentace 6 tets + 4 oct	28	42	16	0 × 3³ 0 × 3⁴ 12 × 3⁵ 4 × 3⁶	T_d, [3,3]
Zkrácený čtyřstěn Augmentace 6 tets + 4 oct	4 4	18	12	0 × 3³ 0 × 3⁴ 12 × 3⁵ 4 × 3⁶	T_d, [3,3]
Tetrakis cuboctahedron Octahedron Augmentace 8 tets + 6 oct	32	48	18	0 × 3³ 12 × 3⁴ 0 × 3⁵ 6 × 3⁶	Ó_h, [4,3]
Tetrakis cuboctahedron Octahedron Augmentace 8 tets + 6 oct	8	12	6	0 × 3³ 12 × 3⁴ 0 × 3⁵ 6 × 3⁶	Ó_h, [4,3]

Konvexní formy

Existuje nekonečné množství nekonvexních forem.

Několik příkladů protínajících tváří deltahedra:

Velký dvacetistěn - a Kepler-Poinsot pevný, s 20 protínajícími se trojúhelníky

Další nekonvexní deltahedra lze generovat přidáním rovnostranných pyramid na tváře všech 5 pravidelných mnohostěnů:

triakis čtyřstěn	tetrakis hexahedron	triakis octahedron (stella octangula )	pentakis dodecahedron	triakis icosahedron

12 trojúhelníků	24 trojúhelníků		60 trojúhelníků

Mezi další augmentace čtyřstěnu patří:

Příklady: Rozšířený čtyřstěn
8 trojúhelníků	10 trojúhelníků	12 trojúhelníků

Také přidáním obrácených pyramid na tváře:

Vykopaný dodecahedron

60 trojúhelníků	48 trojúhelníků
Vykopaný dodecahedron	A toroidní deltahedron

Viz také

Zjednodušený mnohostěn - Polytopes se všemi simplexní fazety

Reference

^ Freudenthal, H; van der Waerden, B. L. (1947), „Over een bewering van Euclides („ On an Assertion of Euclid “)“, Simon Stevin (v holandštině), 25: 115–128 (Ukázali, že existuje pouze 8 konvexních deltahedrů.)
^ Trigg, Charles W. (1978), „Nekonečná třída Deltahedry“, Matematický časopis, 51 (1): 55–57, doi:10.1080 / 0025570X.1978.11976675, JSTOR 2689647.
^ Konvexní deltahedra a příspěvek koplanárních tváří

Další čtení

Rausenberger, O. (1915), "Konvexe pseudoreguläre Polyeder", Zeitschrift für mathematischen und naturwissenschaftlichen Unterricht, 46: 135–142.
Cundy, H. Martyn (Prosinec 1952), „Deltahedra“, Matematický věstník, 36: 263–266, doi:10.2307/3608204, JSTOR 3608204.
Cundy, H. Martyn; Rollett, A. (1989), "3.11. Deltahedra", Matematické modely (3. vyd.), Stradbroke, Anglie: Tarquin Pub., S. 142–144.
Gardner, Martin (1992), Fractal Music, Hypercards, and More: Mathematical Recreations from Scientific American, New York: W. H. Freeman, str. 40, 53 a 58-60.
Pugh, Anthony (1976), Mnohostěn: Vizuální přístup, Kalifornie: University of California Press Berkeley, ISBN 0-520-03056-7 str. 35–36

externí odkazy

[1] Freudenthal, H; van der Waerden, B. L. (1947), „Over een bewering van Euclides („ On an Assertion of Euclid “)“, Simon Stevin (v holandštině), 25: 115–128 (Ukázali, že existuje pouze 8 konvexních deltahedrů.)

[2] Trigg, Charles W. (1978), „Nekonečná třída Deltahedry“, Matematický časopis, 51 (1): 55–57, doi:10.1080 / 0025570X.1978.11976675, JSTOR 2689647.

[3] Konvexní deltahedra a příspěvek koplanárních tváří

[1]

[2]

[3]