Skupiny bodů ve třech dimenzích - Point groups in three dimensions

Skupiny bodů ve třech dimenzích
Polyhedrální skupina, [n, 3], (* n32)
Involuční symetrie C_s, (*) [ ] =	Cyklická symetrie C_nv, (* nn) [n] =	Dihedrální symetrie D_nh, (* n22) [n, 2] =
Čtyřboká symetrie T_d, (*332) [3,3] =	Oktaedrická symetrie Ó_h, (*432) [4,3] =	Ikosahedrální symetrie Já_h, (*532) [5,3] =

v geometrie, a bodová skupina ve třech rozměrech je izometrická skupina ve třech rozměrech, které ponechávají počátek fixovaný, nebo odpovídajícím způsobem izometrickou skupinu a koule. Je to podskupina z ortogonální skupina O (3), skupina všech izometrie které ponechávají původ fixovaný nebo odpovídajícím způsobem skupinu ortogonální matice. Samotný O (3) je podskupinou Euklidovská skupina E (3) všech izometrií.

Skupiny symetrie objektů jsou izometrické skupiny. Analýza izometrických skupin je tedy analýzou možného symetrie. Všechny izometrie ohraničeného 3D objektu mají jeden nebo více společných pevných bodů. Jako jeden z nich jsme vybrali původ.

Někdy se také nazývá skupina symetrie objektu skupina plné symetrie, na rozdíl od jeho rotační skupina nebo správná skupina symetrie, průsečík jeho celé skupiny symetrie a rotační skupina SO (3) samotného 3D prostoru. Skupina rotace objektu se rovná jeho celé skupině symetrie právě tehdy, pokud objekt je chirální.

Skupiny bodů ve třech rozměrech se v chemii intenzivně používají, zejména k popisu symetrií a molekula a ze dne molekulární orbitaly tváření kovalentní vazby, a v této souvislosti se také nazývají skupiny molekulárních bodů.

Skupiny konečných coxeterů jsou speciální sada bodové skupiny generované čistě sadou reflexních zrcadel procházejících stejným bodem. Hodnost n Skupina Coxeter má n zrcadla a je reprezentován a Coxeter – Dynkinův diagram. Coxeterova notace nabízí v závorkách notaci ekvivalentní Coxeterovu diagramu se značkovacími symboly pro rotační a jiné skupiny bodů podsymmetrie.

Struktura skupiny

SO (3) je podskupina E⁺(3), který se skládá z přímé izometrie tj. zachování izometrií orientace; obsahuje ty, které ponechávají původ pevný.

O (3) je přímý produkt SO (3) a skupina generovaná inverze (označeno jeho maticí -Já):

O (3) = SO (3) × { Já , −Já }

Existuje tedy korespondence 1: 1 mezi všemi přímými izometrií a všemi nepřímými izometrií prostřednictvím inverze. Existuje také korespondence 1: 1 mezi všemi skupinami přímých izometrií H v O (3) a ve všech skupinách K. izometrií v O (3), které obsahují inverzi:

K. = H × { Já , −Já }

H = K. ∩ SO (3)

Například pokud H je C₂, pak K. je C_2h, nebo když H je C₃, pak K. je S₆. (Definice těchto skupin viz níže.)

Pokud skupina přímých izometrií H má podskupinu L z index 2, pak kromě odpovídající skupiny obsahující inverzi existuje také odpovídající skupina, která obsahuje nepřímé izometrie, ale žádnou inverzi:

M = L ∪ ( (H ∖ L) × { −Já } )

kde izometrie ( A, Já ) je identifikován s A. Příklad by byl C₄ pro H a S₄ pro M.

Tím pádem M se získává z H převrácením izometrií dovnitř H ∖ L. Tato skupina M je jako abstraktní skupina isomorfní s H. Naopak pro všechny skupiny izometrie, které obsahují nepřímé izometrie, ale žádnou inverzi, můžeme získat rotační skupinu převrácením nepřímých izometrií. To je vyjasnění při kategorizaci skupin izometrie, viz níže.

Ve 2D cyklická skupina z k-složit rotace C_k je pro každé kladné celé číslo k normální podskupina O (2,R) a SO (2,R). V souladu s tím ve 3D pro každou osu cyklická skupina k-násobné rotace kolem této osy je normální podskupina skupiny všech rotací kolem této osy. Protože jakákoli podskupina indexu dva je normální, skupina rotací (C_n) je normální ve skupině (C_nv) získaný přidáním do (C_n) odrazové roviny procházející jeho osou a ve skupině (C_nh) získaný přidáním do (C_n) odrazová rovina kolmá k její ose.

3D izometrie, které ponechávají počátek pevný

Izometrie R³ které ponechávají počátek fixovaný a tvoří skupinu O (3,R), lze rozdělit do následujících kategorií:

SO (3,R):
- identita
- rotace kolem osy přes počátek o úhel, který se nerovná 180 °
- rotace kolem osy přes počátek o úhel 180 °;
totéž s inverze (X je mapováno na -X), tj .:
- inverze
- rotace kolem osy o úhel, který se nerovná 180 °, v kombinaci s odrazem v rovině počátkem kolmým na osu
- odraz v rovině počátkem.

Obzvláště 4. a 5. a v širším smyslu také 6. se nazývají nesprávné otáčení.

Viz také podobné přehled včetně překladů.

Časování

Při porovnávání typu symetrie dvou objektů je počátek zvolen pro každý zvlášť, tj. Nemusí mít stejný střed. Kromě toho jsou dva objekty považovány za stejný typ symetrie, pokud jsou jejich skupinami symetrie konjugované podskupiny O (3) (dvě podskupiny H₁, H₂ skupiny G jsou sdružené, pokud existuje G ∈ G takhle H₁ = G⁻¹H₂G ).

Například dva 3D objekty mají stejný typ symetrie:

pokud oba mají zrcadlovou symetrii, ale s ohledem na jinou zrcadlovou rovinu
pokud mají oba trojnásobnou rotační symetrii, ale vzhledem k jiné ose.

V případě více zrcadlových rovin a / nebo os rotace jsou dvě skupiny symetrie stejného typu symetrie právě tehdy, když existuje rotace mapující celou strukturu první skupiny symetrie na strukturu druhé. (Ve skutečnosti bude existovat více než jedna taková rotace, ale ne nekonečné číslo, jako když existuje pouze jedno zrcadlo nebo osa.) Definice konjugace by také umožnila zrcadlový obraz struktury, ale to není nutné, samotná struktura je achirál. Například pokud skupina symetrie obsahuje trojnásobnou osu rotace, obsahuje rotace ve dvou protilehlých směrech. (Struktura je chirální pro 11 párů vesmírné skupiny s osou šroubu.)

Nekonečné izometrické skupiny

Je jich mnoho nekonečné izometrické skupiny; například „cyklická skupina "(což znamená, že je generován jedním prvkem - nezaměňovat s a torzní skupina ) generovaný rotací o iracionální číslo otáček kolem osy. Můžeme vytvářet necyklické abelianské skupiny přidáním dalších rotací kolem stejné osy. Existují také neabelovské skupiny generované rotacemi kolem různých os. Jedná se obvykle (obecně) skupiny zdarma. Budou nekonečné, pokud nebudou speciálně zvoleny rotace.

Všechny dosud zmíněné nekonečné skupiny nejsou Zavřeno tak jako topologické podskupiny O (3). Nyní diskutujeme topologicky uzavřené podskupiny O (3).

Neoznačený koule má O (3) symetrii.

Celá O (3) je skupina symetrie sférická symetrie; SO (3) je odpovídající rotační skupina. Ostatní nekonečné izometrické skupiny se skládají ze všech rotace kolem osy procházející počátkem a těch s dodatečným odrazem v rovinách procházejících osou a / nebo odrazem v rovině počátkem, kolmým k ose. Ti, kteří mají odraz v rovinách skrz osu, s nebo bez odrazu v rovině počátkem kolmým k ose, jsou skupinami symetrie pro dva typy válcová symetrie. Všimněte si, že jakýkoli fyzický objekt s nekonečnou rotační symetrií bude mít také symetrii zrcadlových rovin procházejících osou.

Existuje sedm spojitých skupin, které jsou limitem konečných izometrických skupin. Tyto tzv skupiny omezujících bodů nebo Skupiny omezující curie jsou pojmenovány po Pierre Curie kdo je vyšetřoval jako první.^[1]^[2] Sedm nekonečných sérií axiálních skupin vede k pěti omezujícím skupinám (dvě z nich jsou duplikáty) a sedm zbývajících skupin bodů vytváří dvě další spojité skupiny. V mezinárodní notaci je seznam ∞, ∞2, ∞ / m, ∞mm, ∞ / mm, ∞∞ a ∞∞m.^[3]

Skupiny konečné izometrie

Symetrie ve 3D, které ponechávají počátek pevný, jsou plně charakterizovány symetriemi na kouli se středem v počátku. Skupiny konečných 3D bodů viz také skupiny sférické symetrie.

Sada konjugovaných skupin konečných 3D bodů sestává z:

7 nekonečných řad s nejvýše jednou více než 2násobnou osou otáčení; jsou to skupiny konečné symetrie na nekonečnu válec, nebo ekvivalentně, na konečném válci. Někdy se jim říká axiální nebo hranolové skupiny bodů.
7 bodových skupin s několika 3 nebo vícenásobnými osami otáčení; mohou být také charakterizovány jako skupiny bodů s více 3násobnými osami otáčení, protože všech 7 zahrnuje tyto osy; s ohledem na 3 nebo vícenásobné osy otáčení jsou možné kombinace:
- 4 3násobné osy
- 4 3násobné osy a 3 4násobné osy
- 10 3násobných os a 6 5násobných os

Podle krystalografická věta o omezení, omezený počet skupin bodů je kompatibilní s diskrétními translační symetrie: 27 ze 7 nekonečných sérií a 5 ze 7 dalších. Dohromady tvoří 32 tzv krystalografické skupiny bodů.

Sedm nekonečných řad axiálních skupin

Nekonečná řada axiálních nebo hranolových skupin má index n, což může být jakékoli celé číslo; v každé sérii, ntato skupina symetrie obsahuje n-složit rotační symetrie kolem osy, tj. symetrie vzhledem k rotaci o úhel 360 ° /n. n= 1 pokrývá případy, kdy vůbec neexistuje rotační symetrie. Existují čtyři řady bez dalších os rotační symetrie (viz cyklické symetrie ) a tři s dalšími osami 2násobné symetrie (viz dihedrální symetrie ). Lze je chápat jako skupiny bodů ve dvou dimenzích rozšířen o osovou souřadnici a odrazy v ní. Vztahují se k vlysové skupiny;^[4] mohou být interpretovány jako opakující se vzory vlysových skupin n krát kolem válce.

V následující tabulce je uvedeno několik notací pro skupiny bodů: Hermann – Mauguinova notace (použito v krystalografie ), Schönfliesova notace (používá se k popisu molekulární symetrie ), orbifold notace, a Coxeterova notace. Poslední tři jsou nejen pohodlně spojené s jejími vlastnostmi, ale také s řádem skupiny. Jedná se o jednotný zápis, který lze použít také pro skupiny tapet a vlysové skupiny. Krystalografické skupiny mají n omezeno na 1, 2, 3, 4 a 6; odstranění krystalografického omezení umožňuje jakékoli kladné celé číslo. Série jsou:

H – M		Schön.	Koule.	Kormidelník.	Vlys	Struct. (Objednat )	Příklad	Komentáře
Dokonce n	Zvláštní n	Schön.	Koule.	Kormidelník.	(válec)	Struct. (Objednat )	Příklad	Komentáře
n		C_n	nn	[n]⁺	p1	Z_n (n)		n-násobná rotační symetrie
2n	n	S_2n	n×	[2n⁺,2⁺]	p11g	Z_2n (2n)		n-složit rotační odraz symetrie Nesmí být zaměňována s abstraktem symetrická skupina
n/ m	2n	C_nh	n*	[č⁺,2]	p11m	Z_n× Z.₂ (2n)
nmm	nm	C_nproti	*nn	[n]	p1m1	Dih_n (2n)		Pyramidový symetrie; v biologii biradiální symetrie
n22	n2	D_n	22n	[n, 2]⁺	p211	Dih_n (2n)		Dihedrální symetrie
2n2 m	nm	D_nd	2*n	[2n, 2⁺]	p2mg	Dih_2n (4n)		Antiprismatic symetrie
n/ mmm	2n2 m	D_nh	*22n	[n, 2]	p2mm	Dih_n× Z.₂ (4n)		Hranolové symetrie

Pro zvláštní n máme Z_2n = Z_n × Z.₂ a Dih_2n = Dih_n × Z.₂.

Termíny horizontální (h) a vertikální (v) a odpovídající dolní indexy odkazují na další rovinu zrcadlení, která může být rovnoběžná s osou otáčení (svislá) nebo kolmá k ose otáčení (vodorovná).

Nejjednodušší netriviální mají involuční symetrie (abstraktní skupina Z₂ nebo Dih₁):

C_i – inverze symetrie
C₂ – 2krát rotační symetrie
C_s – reflexní symetrie, také zvaný bilaterální symetrie.

Vzory na válcovém pásku ilustrující případ n = 6 pro každou ze 7 nekonečných rodin bodových skupin. Skupina symetrie každého vzoru je označená skupina.

Druhá z nich je první z jednoosých skupin (cyklické skupiny ) C_n řádu n (platí také pro 2D), které jsou generovány jediným otočením o úhel 360 ° /n. Kromě toho lze přidat rovinu zrcadlení kolmou k ose, což dává skupině C_nh objednávky 2nnebo sada n zrcadlové roviny obsahující osu, což dává skupině C_nv, také objednávky 2n. Druhá je skupina symetrie pro regulár n-stranný pyramida. Typický objekt se skupinou symetrie C_n nebo D_n je vrtule.

Pokud jsou přidány vodorovné i svislé odrazové roviny, jejich průsečíky dávají n osy otáčení o 180 °, takže skupina již není jednoosá. Tato nová skupina objednávky 4n je nazýván D_nh. Jeho podskupinou rotací je dihedrální skupina D_n objednávky 2n, který má stále 2násobné osy otáčení kolmé k primární ose otáčení, ale žádné zrcadlové roviny.

Poznámka: ve 2D, D_n zahrnuje odrazy, které lze také považovat za převrácení plochých předmětů bez rozlišení přední a zadní strany; ale ve 3D se tyto dvě operace rozlišují: D_n obsahuje „převrácení“, nikoli odrazy.

V této rodině je ještě jedna skupina, tzv D_nd (nebo D_nv), který má svislé zrcadlové roviny obsahující hlavní osu otáčení, ale místo vodorovné zrcadlové roviny má izometrii, která kombinuje odraz v vodorovné rovině a rotaci o úhel 180 ° /n. D_nh je skupina symetrie pro „normální“ n-gonal hranol a také pro „obyčejného“ n-gonal bipyramid. D_nd je skupina symetrie pro „normální“ n-gonal antiprism, a také pro „obyčejného“ n-gonal lichoběžník. D_n je skupina symetrie částečně otočeného ("zkrouceného") hranolu.

Skupiny D₂ a D_2h jsou pozoruhodné v tom, že neexistuje žádná speciální osa otáčení. Spíše existují tři kolmé 2násobné osy. D₂ je podskupina všech mnohostěnných symetrií (viz níže) a D_2h je podskupina mnohostěnných skupin T_h a O._h. D₂ může nastat v homotetramery jako Concanavalin A, ve čtyřboké koordinační sloučeniny se čtyřmi identickými chirální ligandy nebo v molekule, jako je tetrakis (chlorfluormethyl) methan, pokud mají všechny chlorfluormethyl skupiny stejnou chiralitu. Prvky D₂ jsou v korespondenci 1: 2 s rotacemi danými jednotka Lipschitzovy čtveřice.

Skupina S_n je generováno kombinací odrazu v horizontální rovině a rotace o úhel 360 ° / n. Pro n liché to se rovná skupině generované dvěma samostatně, C_nh objednávky 2n, a proto zápis S_n není potřeba; však pro n i když je odlišný, a pořádek n. Jako D_nd obsahuje řadu nesprávné otáčení bez obsazení odpovídajících rotací.

Všechny skupiny symetrie v 7 nekonečných řadách se liší, s výjimkou následujících čtyř párů vzájemně stejných:

C_{1 hod} a C_1v: skupina řádu 2 s jediným odrazem (C_s )
D₁ a C₂: skupina objednávky 2 s jediným otočením o 180 °
D_1h a C_2proti: skupina řádu 4 s odrazem v rovině a rotací o 180 ° přímkou v této rovině
D_1d a C_2h: skupina řádu 4 s odrazem v rovině a rotací o 180 ° přímkou kolmou na tuto rovinu.

S₂ je skupina řádu 2 s jedinou inverzí (C_i ).

„Rovný“ je zde míněn stejně jako konjugace ve vesmíru. To je silnější než „až do algebraického izomorfismu“. Například existují tři různé skupiny řádu dva v prvním smyslu, ale v druhém smyslu existuje pouze jedna. Podobně např. S_2n je algebraicky izomorfní se Z_2n.

Skupiny mohou být konstruovány následovně:

C_n. Generováno prvkem zvaným také C._n, což odpovídá rotaci o úhel 2π /n kolem osy. Jeho prvky jsou E (identita), C_n, C._n², ..., C._nⁿ⁻¹, odpovídající úhlu otočení 0, 2π /n, 4π /n, ..., 2(n - 1) π /n.
S_2n. Generováno prvkem C._2nσ_h, kde σ_h je odraz ve směru osy. Jeho prvky jsou prvky C._n s C._2nσ_h, C._2n³σ_h, ..., C._2n²ⁿ⁻¹σ_h přidané.
C_nh. Generováno prvkem C._n a odraz σ_h. Jeho prvky jsou prvky skupiny C._n, s prvky σ_h, C._nσ_h, C._n²σ_h, ..., C._nⁿ⁻¹σ_h přidané.
C_nproti. Generováno prvkem C._n a odraz σ_proti ve směru v rovině kolmé k ose. Jeho prvky jsou prvky skupiny C._n, s prvky σ_proti, C._nσ_proti, C._n²σ_proti, ..., C._nⁿ⁻¹σ_proti přidané.
D_n. Generováno prvkem C._n a rotace o 180 ° U = σ_hσ_proti kolem směru v rovině kolmé k ose. Jeho prvky jsou prvky skupiny C._n, s prvky U, C._nVIDÍŠ_n²VIDÍŠ_n^n − 1U přidáno.
D_nd. Generováno prvky C._2nσ_h a σ_proti. Jeho prvky jsou prvky skupiny C._n a další prvky S._2n a C._nproti, s prvky C._2nσ_hσ_proti, C._2n³σ_hσ_proti, ..., C._2n^2n − 1σ_hσ_proti přidané.
D_nh. Generováno prvky C._n, σ_ha σ_proti. Jeho prvky jsou prvky skupiny C._n a další prvky C_nh, C._nprotia D._n.

Brát n až ∞ získá skupiny se spojitými axiálními rotacemi:

H – M	Schönflies	Orbifold	Coxeter	Limit	Abstraktní skupina
∞	C_∞	∞∞	[∞]⁺	C_n	Z_∞	SO (2)
∞, ∞ / m	C_.H	∞*	[2,∞⁺]	C_nh, S._2n	Z₂× Z._∞	Z₂× SO (2)
.M	C_.V	*∞∞	[∞]	C_nproti	Dih_∞	O (2)
∞2	D_∞	22∞	[2,∞]⁺	D_n	Dih_∞	O (2)
∞m, ∞ / mm	D_.H	*22∞	[2,∞]	D_nh, D_nd	Z₂× Z._∞	Z₂× O (2)

Sedm zbývajících skupin bodů

O ostatních bodových skupinách se říká, že jsou velmi vysoké resp mnohostěnný symetrie, protože mají více než jednu osu otáčení řádu větší než 2. Zde C_n označuje osu otáčení o 360 ° / na S_n označuje osu nesprávné rotace skrz ni. V závorkách jsou orbifold notace, Coxeterova notace (Coxeterův diagram ), plný Hermann – Mauguinova notace a zkrácený, pokud se liší. Skupiny jsou:

T, (332) [3,3]⁺ () 23 objednávka 12	chirální čtyřboká symetrie	Existují čtyři C.₃ osy, každý skrz dva vrcholy a krychle (úhlopříčky těla) nebo jeden z pravidelných čtyřstěn a tři C.₂ osami středy tváří krychle nebo středy hran čtyřstěnných hran. Tato skupina je izomorfní na A₄, střídavá skupina na 4 prvcích a je rotační skupinou pro pravidelný čtyřstěn. Je to normální podskupina T._d, T_ha oktaedrické symetrie. Prvky skupiny odpovídají 1: 2 rotacím daným 24 jednotka Hurwitzovy čtveřice („binární čtyřboká skupina ").
T_d, (*332) [3,3] () 43 m objednávka 24	plná čtyřboká symetrie	Tato skupina má stejné osy otáčení jako T, ale se šesti zrcadlovými rovinami, z nichž každá obsahuje dva okraje krychle nebo jeden okraj čtyřstěnu, jeden C₂ osa a dvě C.₃ sekery. C.₂ osy jsou nyní ve skutečnosti S.₄ sekery. Tato skupina je skupinou symetrie pro regulární čtyřstěn. T_d je izomorfní s S₄, symetrická skupina na 4 písmena, protože mezi prvky T je korespondence 1: 1_d a 24 permutací čtyř 3násobných os. Objekt C_3v symetrie pod jednou ze 3-násobných os vede pod působením T_d do obíhat skládající se ze čtyř takových objektů a T_d odpovídá množině permutací těchto čtyř objektů. T_d je normální podskupina O_h. Viz také izometrie pravidelného čtyřstěnu.
T_h, (3*2) [3⁺,4] () 2 / m3, m3 objednávka 24	pyritohedrální symetrie	Švy a volejbal mít T_h symetrie. Tato skupina má stejné osy otáčení jako T, se zrcadlovými rovinami rovnoběžnými s plochami krychle. C.₃ osy se stávají S.₆ osy a existuje inverzní symetrie. T_h je izomorfní s A₄ × Z₂ (od T a C._i jsou obě normální podskupiny), a ne do symetrická skupina S₄. Jedná se o symetrii krychle, kdy na každé ploše je úsečka rozdělující plochu na dva stejné obdélníky, takže úsečky sousedních ploch se na okraji nesetkávají. Symetrie odpovídají rovnoměrným permutacím tělesných úhlopříček a stejné v kombinaci s inverzí. Je to také symetrie a pyritohedron, který je podobný popsané krychli, přičemž každý obdélník je nahrazen pětiúhelníkem s jednou osou symetrie a 4 stejnými stranami a 1 jinou stranou (ta, která odpovídá úsečce dělící tvář krychle); tj. tváře krychle vyčnívají na dělicí čáře a tam se zužují. Je to podskupina (ale ne normální podskupina) celé ikosahedrické skupiny symetrie (jako skupina izometrie, ne jen jako abstraktní skupina) se 4 z 10 3-násobných os. Je to normální podskupina O_h.
Ó, (432) [4,3]⁺ () 432 objednávka 24	chirální oktaedrická symetrie	Tato skupina je jako T, ale C.₂ osy jsou nyní C.₄ osy a navíc je zde 6 C.₂ osami středy okrajů krychle. Tato skupina je také izomorfní S₄ protože jeho prvky odpovídají 1: 1 24 permutacím 3násobných os, jako u T. D₃ symetrie pod jednou ze 3-násobných os vede pod působením O k an obíhat skládající se ze čtyř takových objektů a O odpovídá množině permutací těchto čtyř objektů. Je to rotační skupina krychle a osmistěn. Představující rotace s čtveřice, O se skládá z 24 jednotka Hurwitzovy čtveřice a 24. den Lipschitzovy čtveřice čtvercové normy 2 normalizované dělením ${ displaystyle { sqrt {2}}}$ . Stejně jako dříve se jedná o korespondenci 1: 2.
Ó_h, (*432) [4,3] () 4 / m32 / m, m3m objednávka 48	plná oktaedrická symetrie	Tato skupina má stejné osy otáčení jako Ó, ale se zrcadlovými rovinami obsahujícími obě zrcadlové roviny T_d a T_h. Tato skupina je izomorfní s S₄ × Z₂ (protože oba O a C_i jsou normální podskupiny) a je to skupina symetrie souboru krychle a osmistěn. Viz také izometrie krychle.
Já, (532) [5,3]⁺ () 532 objednávka 60	chirální ikosahedrální symetrie	rotační skupina dvacetistěnu a dvanáctistěn. Je to normální podskupina z index 2 v celé skupině symetrií Já_h. Tato skupina obsahuje 10 verzí D₃ a 6 verzí D₅ (rotační symetrie jako hranoly a antiprismy). Obsahuje také pět verzí T (vidět Sloučenina pěti čtyřstěnů ). Skupina Já je izomorfní na A₅, střídavá skupina na 5 písmenech, protože jeho prvky odpovídají 1: 1 se sudými permutacemi pěti T_h symetrie (nebo pět právě uvedených čtyřstěnů). Představující rotace s čtveřice, Já se skládá ze 120 jednotka icosians. Stejně jako dříve se jedná o korespondenci 1: 2.
Já_h, (*532) [5,3] () 532 / m, 53m objednat 120	úplná ikosahedrická symetrie	skupina symetrie dvacetistěnu a dvanáctistěnu. Skupina Já_h je izomorfní s A₅ × Z₂ protože já a C_i jsou obě normální podskupiny. Tato skupina obsahuje 10 verzí D_3d, 6 verzí D_{5 d} (symetrie jako antiprismy) a 5 verzí T_h.

Kontinuální skupiny související s těmito skupinami jsou:

∞∞, K.nebo SO (3), všechny možné rotace.
∞∞m, K._hnebo O (3), všechny možné rotace a odrazy.

Jak je uvedeno výše pro nekonečné izometrické skupiny, jakýkoli fyzický objekt mající K symetrii bude mít také K._h symetrie.

Vztah mezi orbifold notace a pořadí

Pořadí každé skupiny je 2 děleno orbifold Eulerova charakteristika; druhá je 2 mínus součet hodnot funkcí přiřazených následujícím způsobem:

n bez nebo před * se počítá jako (n−1)/n
n po * se počítá jako (n−1)/(2n)
* a × se počítají jako 1

O to lze také požádat skupiny tapet a vlysové skupiny: pro ně je součet hodnot prvků 2, což dává nekonečné pořadí; vidět orbifold Euler charakteristický pro skupiny tapet

Reflexní skupiny coxeterů

Základní domény skupin 3D Coxeter
A₃, [3,3],	B₃, [4,3],	H₃, [5,3],
6 zrcátek	3 + 6 zrcátek	15 zrcadel
2A₁, [1,2],	3A₁, [2,2],	A₁A₂, [2,3],
2 zrcadla	3 zrcadla	4 zrcadla
A₁, [1],	2A₁, [2],	A₂, [3],
1 zrcadlo	2 zrcadla	3 zrcadla

Rovněž se nazývají skupiny reflexních bodů ve třech dimenzích Skupiny coxeterů a může být dán a Coxeter-Dynkinův diagram a představují sadu zrcadel, která se protínají v jednom centrálním bodě a svázají a sférický trojúhelník doména na povrchu koule. Skupiny coxeterů s méně než 3 generátory mají degenerované sférické trojúhelníkové domény, jako luny nebo a polokoule. v Coxeterova notace tyto skupiny jsou čtyřboká symetrie [3,3], oktaedrická symetrie [4,3], ikosahedrální symetrie [5,3] a dihedrální symetrie [str. 2]. Počet zrcadel pro neredukovatelnou skupinu je nh / 2, kde h je skupina Coxeter Číslo coxeteru, n je dimenze (3).^[5]

Weyl skupina		Objednat	Coxeter číslo (h)	Zrcadla (m)
Polyedrické skupiny
A₃	[3,3]	24	4	6
B₃	[4,3]	48	6	3+6
H₃	[5,3]	120	10	15
Vzepětí skupiny
2A₁	[1,2]	4		1+1
3A₁	[2,2]	8		2+1
Já₂(p)A₁	[str. 2]	4p		p + 1
Cyklické skupiny
2A₁	[2]	4		2
Já₂(p)	[p]	2 s		p
Jedno zrcadlo
A₁	[ ]	2		1

Rotační skupiny

Skupiny rotace, tj. Konečné podskupiny SO (3), jsou: cyklické skupiny C_n (rotační skupina kanonické pyramida ), dihedrální skupiny D_n (rotační skupina uniformy hranol nebo kanonické bipyramid ) a rotační skupiny T, Ó a Já pravidelného čtyřstěn, osmistěn /krychle a dvacetistěnu /dvanáctistěn.

Zejména dihedrální skupiny D₃, D₄ atd. jsou rotační skupiny rovinných pravidelných polygonů vložených do trojrozměrného prostoru a takový údaj lze považovat za zdegenerovaný pravidelný hranol. Proto se také nazývá a dihedron (Řek: pevná látka se dvěma tvářemi), což vysvětluje název dihedrální skupina.

Objekt se skupinou symetrie C_n, C_nh, C_nv nebo S_2n má rotační skupinu C_n.
Objekt se skupinou symetrie D_n, D_nhnebo D_nd má rotační skupinu D_n.
Objekt s jednou z dalších sedmi skupin symetrie má jako rotační skupinu odpovídající skupinu bez dolního indexu: T, Ó nebo Já.

Skupina rotace objektu se rovná jeho celé skupině symetrie právě tehdy, pokud objekt je chirální. Jinými slovy, chirálními objekty jsou objekty se svou skupinou symetrie v seznamu rotačních skupin.

Uvedeny v Schönfliesova notace, Coxeterova notace, (orbifold notace ), rotační podskupiny jsou:

Odraz	Odraz / rotace	Nesprávné otáčení	Otáčení
C_nv, [n], (* nn)	C_nh, [č⁺, 2], (n *)	S_2n, [2n⁺,2⁺], (n ×)	C_n, [n]⁺, (nn)
D_nh, [2, n], (* n22)	D_nd, [2⁺, 2n], (2 * n)		D_n, [2, n]⁺, (n22)
T_d, [3,3], (*332)			T, [3,3]⁺, (332)
Ó_h, [4,3], (*432)	T_h, [3⁺,4], (3*2)		Ó, [4,3]⁺, (432)
Já_h, [5,3], (*532)			Já, [5,3]⁺, (532)

Korespondence mezi rotačními skupinami a jinými skupinami

Následující skupiny obsahují inverze:

C_nh a D_nh dokonce n
S_2n a D_nd pro liché n (S₂ = C_i je skupina generovaná inverzí; D_1d = C_2h)
T_h, Ó_h, a Já_h

Jak je vysvětleno výše, mezi těmito skupinami a všemi rotačními skupinami existuje korespondence 1: 1:

C_nh dokonce n a S_2n pro liché n odpovídají C_n
D_nh dokonce n a D_nd pro liché n odpovídají D_n
T_h, Ó_h, a Já_h odpovídají T, Ó, a Já, resp.

Ostatní skupiny obsahují nepřímé izometrie, ale ne inverzi:

C_nv
C_nh a D_nh pro liché n
S_2n a D_nd dokonce n
T_d

Všechny odpovídají rotační skupině H a podskupina L indexu 2 v tom smyslu, že jsou získány z H převrácením izometrií dovnitř H \ L, jak je vysvětleno výše:

C_n je podskupina D_n indexu 2, dávat C_nv
C_n je podskupina C_2n indexu 2, dávat C_nh pro liché n a S_2n dokonce n
D_n je podskupina D_2n indexu 2, dávat D_nh pro liché n a D_nd dokonce n
T je podskupina Ó indexu 2, dávat T_d

Maximální symetrie

Existují dvě skupiny diskrétních bodů s vlastností, že žádná skupina diskrétních bodů ji nemá jako správnou podskupinu: Ó_h a Já_h. Jejich největší společná podskupina je T_h. Obě skupiny se získají změnou 2násobné rotační symetrie na 4násobnou a přidáním 5násobné symetrie.

Existují dvě skupiny krystalografických bodů s vlastností, že žádná skupina krystalografických bodů ji nemá jako správnou podskupinu: Ó_h a D_6h. Jejich maximální společné podskupiny, v závislosti na orientaci, jsou D_3d a D_2h.

Skupiny uspořádané podle typu abstraktní skupiny

Níže jsou skupiny vysvětlené výše uspořádány podle typu abstraktních skupin.

Nejmenší abstraktní skupiny, které jsou ne libovolná skupina symetrie ve 3D, jsou čtveřice skupina (pořadí 8), Z₃ × Z.₃ (pořadí 9), dicyklická skupina Dic₃ (pořadí 12) a 10 ze 14 skupin pořadí 16.

Sloupec "# prvků pořadí 2" v následujících tabulkách zobrazuje celkový počet izometrických podskupin typů C₂, C_i, C_s. Toto celkové číslo je jednou z charakteristik, které pomáhají rozlišovat různé typy abstraktních skupin, zatímco jejich typ izometrie pomáhá rozlišovat různé skupiny izometrie stejné abstraktní skupiny.

V rámci možností izometrických skupin ve 3D existuje nekonečně mnoho typů abstraktních skupin s 0, 1 a 3 prvky řádu 2, existují dva s 2n + 1 prvky řádu 2 a existují tři s 2n + 3 prvky pořadí 2 (pro každý n ≥ 2). Nikdy neexistuje kladný sudý počet prvků řádu 2.

Skupiny symetrie ve 3D, které jsou cyklické jako abstraktní skupina

The skupina symetrie pro n-násobně rotační symetrie je C_n; jeho abstraktní typ skupiny je cyklická skupina Z_n, což také označuje C_n. Existují však další dvě nekonečné řady skupin symetrie s tímto typem abstraktní skupiny:

Pro sudou objednávku 2n tam je skupina S_2n (Schoenfliesova notace) generovaná rotací o úhel 180 ° / n kolem osy, kombinovaná s odrazem v rovině kolmé k ose. Pro S₂ zápis C_i se používá; generuje se inverzí.
Pro jakoukoli objednávku 2n kde n je zvláštní, máme C_nh; má n- složená osa otáčení a kolmá rovina odrazu. Je generován rotací o úhel 360 ° /n kolem osy v kombinaci s odrazem. Pro C_1h zápis C_s se používá; generuje se odrazem v rovině.

Takže máme, s tučným písmem 10 cyklických krystalografických skupin bodů, pro které krystalografické omezení platí:

Objednat	Izometrické skupiny	Abstraktní skupina	Počet prvků objednávky 2
1	C₁	Z₁	0
2	C₂, C_i, C_s	Z₂	1
3	C₃	Z₃	0
4	C₄, S₄	Z₄	1
5	C₅	Z₅	0
6	C₆, S₆, C_3h	Z₆ = Z₃ × Z.₂	1
7	C₇	Z₇	0
8	C₈, S₈	Z₈	1
9	C₉	Z₉	0
10	C₁₀, S₁₀, C_5h	Z₁₀ = Z₅ × Z.₂	1

atd.

Skupiny symetrie ve 3D, které jsou vzepětí jako abstraktní skupina

Ve 2D dihedrální skupina D_n zahrnuje odrazy, které lze také považovat za převrácení plochých předmětů bez rozlišení přední a zadní strany.

Ve 3D se však rozlišují dvě operace: skupina symetrie označená D_n obsahuje n 2násobné osy kolmé na n- složená osa, ne odrazy. D_n je rotační skupina z n-stranný hranol s pravidelnou základnou a n-stranný bipyramid s pravidelnou základnou a také pravidelnou, n-stranný antiprism a pravidelný, n-stranný lichoběžník. Skupina je také úplnou skupinou symetrie takových objektů po jejich vyrobení chirální např. identické chirální značení na každém obličeji nebo nějaká úprava tvaru.

Typ abstraktní skupiny je dihedrální skupina Dih_n, což také označuje D_n. Existují však tři další nekonečné řady skupin symetrie s tímto typem abstraktní skupiny:

C_nv objednávky 2n, skupina symetrie regulárního n-stranný pyramida
D_nd objednávky 4n, skupina symetrie regulárního n-stranný antiprism
D_nh objednávky 4n pro liché n. Pro n = 1 dostaneme D₂, již zakryté výše, takže n ≥ 3.

Všimněte si následující vlastnosti:

Dih_{4n + 2}

{ displaystyle cong}

Dih_{2n + 1} × Z.₂

Takže máme tučně 12 krystalografických skupin bodů a psaní D_1d jako ekvivalent C_2h:

Objednat	Izometrické skupiny	Abstraktní skupina	Počet prvků objednávky 2
4	D₂, C_2v, C_2h	Dih₂ = Z₂ × Z.₂	3
6	D₃, C_3v	Dih₃	3
8	D₄, C_4v, D_2d	Dih₄	5
10	D₅, C_5proti	Dih₅	5
12	D₆, C_6v, D_3d, D_3h	Dih₆ = Dih₃ × Z.₂	7
14	D₇, C_7proti	Dih₇	7
16	D₈, C_8proti, D_4d	Dih₈	9
18	D₉, C_9proti	Dih₉	9
20	D₁₀, C_10proti, D_5h, D_5d	Dih₁₀ = D₅ × Z.₂	11

atd.

jiný

C_{2n, h} objednávky 4n je abstraktní skupina typu Z_2n × Z.₂. Pro n = 1 dostaneme Dih₂, již zakryté výše, takže n ≥ 2.

Máme tedy s tučným písmem 2 cyklické krystalografické skupiny bodů:

Objednat	Izometrická skupina	Abstraktní skupina	Počet prvků objednávky 2
8	C_4h	Z₄ × Z.₂	3
12	C_6h	Z₆ × Z.₂ = Z₃ × Z.₂² = Z₃ × Dih₂	3
16	C_8h	Z₈ × Z.₂	3
20	C_10h	Z₁₀ × Z.₂ = Z₅ × Z.₂² = Z₅ × Dih₂	3

atd.

D_nh objednávky 4n je abstraktního skupinového typu Dih_n × Z.₂. Pro zvláštní n toto je již pokryto výše, takže tu máme D_2nh objednávky 8n, což je abstraktní skupina typu Dih_2n × Z.₂ (n≥1).

Takže máme, s tučným písmem 3 skupin katedrálních krystalografických bodů:

Objednat	Izometrická skupina	Abstraktní skupina	Počet prvků objednávky 2
8	D_2h	Z₂³	7
16	D_4h	Dih₄ × Z.₂	11
24	D_6h	Dih₆ × Z.₂ = Dih₃ × Z.₂²	15
32	D_8h	Dih₈ × Z.₂	19

atd.

Zbývajících sedm je s tučným písmem 5 skupin krystalografických bodů (viz také výše):

Objednat	Izometrická skupina	Abstraktní skupina	Počet prvků objednávky 2
12	T	A₄	3
24	T_d, Ó	S₄	6
24	T_h	A₄ × Z.₂	6
48	Ó_h	S₄ × Z.₂	6
60	Já	A₅
120	Já_h	A₅ × Z.₂

Základní doména

Disdyakis triacontahedron

Roviny odrazu pro ikosahedrální symetrie protínají kouli velké kruhy, se základními doménami pravého sférického trojúhelníku

The základní doména skupiny bodů je a kuželovitá pevná látka. Objekt s danou symetrií v dané orientaci je charakterizován základní doménou. Pokud je objektem povrch, je charakterizován povrchem v základní doméně pokračujícím k jeho radiálním bordálním plochám nebo povrchu. Pokud kopie povrchu nesedí, lze přidat radiální plochy nebo povrchy. Hodí se stejně, pokud je základní doména ohraničena odrazovými rovinami.

Pro mnohostěn může být tento povrch v základní doméně součástí libovolné roviny. Například v disdyakis triacontahedron jedna celá tvář je základní doménou ikosahedrální symetrie. Úprava orientace roviny poskytuje různé možnosti kombinování dvou nebo více sousedních ploch k jedné a poskytuje různé další mnohostěny se stejnou symetrií. Mnohostěn je konvexní, pokud povrch zapadá do jeho kopií a radiální čára kolmá k rovině je v základní doméně.

Rovněž povrch v základní doméně může být složen z více ploch.

Binární polyedrické skupiny

Mapa Spin (3) → SO (3) je dvojitým krytem rotační skupiny spinová skupina ve 3 rozměrech. (Toto je jediný připojený kryt SO (3), protože Spin (3) je jednoduše připojen.) Tím věta o mřížce, tady je Galoisovo spojení mezi podskupinami Spin (3) a podskupinami SO (3) (skupiny rotačních bodů): obraz podskupiny Spin (3) je skupina rotačních bodů a předobraz skupiny bodů je podskupinou Spin (3) ). (Upozorňujeme, že Spin (3) má alternativní popisy jako speciální jednotnou skupinu SU (2) a jako skupina jednotkové čtveřice. Topologicky je tato Lieova skupina 3-dimenzionální koule S³.)

Preimage skupiny konečných bodů se nazývá a binární polyedrická skupina, reprezentovaný jako ⟨l, n, m⟩, a je volán stejným názvem jako jeho skupina bodů s předponou binární, s dvojnásobným pořadím souvisejících polyedrická skupina (l, m, n). Například preimage ikosahedrální skupina (2,3,5) je binární ikosaedrální skupina, ⟨2,3,5⟩.

Binární polyedrické skupiny jsou:

${ displaystyle A_ {n}}$ : binární cyklická skupina z (n + 1) -gon, objednávka 2n
${ displaystyle D_ {n}}$ : binární dihedrální skupina z n-gon, ⟨2,2,n⟩, Objednávka 4n
${ displaystyle E_ {6}}$ : binární čtyřboká skupina, ⟨2,3,3⟩, objednávka 24
${ displaystyle E_ {7}}$ : binární oktaedrická skupina, ⟨2,3,4⟩, objednávka 48
${ displaystyle E_ {8}}$ : binární ikosaedrální skupina, ⟨2,3,5⟩, objednávka 120

Ty jsou klasifikovány podle Klasifikace ADE a kvocient C² působením binární mnohostěnné skupiny je a Du Val singularita.^[6]

U skupin bodů, které mají obrácenou orientaci, je situace komplikovanější, protože existují dvě připnout skupiny, takže existují dvě možné binární skupiny odpovídající dané skupině bodů.

Všimněte si, že toto je krytí skupiny, ne krytí mezery - koule je jednoduše připojeno, a tedy nemá žádné pokrývající prostory. Neexistuje tedy pojem „binární mnohostěn“, který pokrývá trojrozměrný mnohostěn. Binární polyedrické skupiny jsou diskrétní podskupiny skupiny Spin a pod reprezentací skupiny spin působí na vektorový prostor a mohou stabilizovat mnohostěn v tomto zobrazení - pod mapou Spin (3) → SO (3) působí na stejný mnohostěn, na který působí podkladová (nebinární) skupina, zatímco pod rotační reprezentace nebo jiné reprezentace mohou stabilizovat jiné mnohostěny.

To je v rozporu s projektivní mnohostěn - koule zakrývá projektivní prostor (a také prostory pro čočky ), a tedy teselace projektivního prostoru nebo prostoru čočky poskytuje zřetelný pojem mnohostěn.

Viz také

Poznámky pod čarou

^ Curie, Pierre (1894). „Sur la symétrie dans les phénomènes physiques, symétrie d'un champ électrique et d'un champ magnétique“ [O symetrii ve fyzikálních jevech, symetrii elektrického pole a magnetického pole] (PDF). Journal de Physique (francouzsky). 3 (1): 393–415. doi:10.1051 / jphystap: 018940030039300.
^ Shubnikov, A.V. (1988). „Na díle Pierra Curieho o symetrii“. Crystal Symetries: Shubnikov Centennial papers. Pergamon Press. str. 357–364. doi:10.1016 / B978-0-08-037014-9.50007-8. ISBN 0-08-037014-4.
^ Vainshtein., B. K. (1994). Moderní krystalografie, sv. 1. Základy krystalů. Symetrie a metody strukturní krystalografie (2. zvětšené vydání). Springer-Verlag Berlin. p. 93. ISBN 978-3-642-08153-8.
^ Fisher, G.L .; Mellor, B. (2007), „Trojrozměrné skupiny konečných bodů a symetrie korálkových korálků“ (PDF), Journal of Mathematics and the Arts, 1 (2): 85–96, doi:10.1080/17513470701416264, S2CID 40755219
^ Coxeter, Regular polytopes ', §12.6 Počet odrazů, rovnice 12.61
^ Du Val Singularity, Igor Burban

Reference

Coxeter, H. S. M. (1974), „7 The Binary Polyhedral Groups“, Pravidelné složité polytopy, Cambridge University Press, str.73–82.
Coxeter, H. S. M. & Moser, W. O. J. (1980). Generátoři a vztahy pro jednotlivé skupiny, 4. vydání. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-09212-9. 6.5 Binární mnohostěnné skupiny, str. 68
Conway, John Horton; Huson, Daniel H. (2002), „Orbifoldova notace pro dvourozměrné skupiny“, Strukturální chemie, Springer Nizozemsko, 13 (3): 247–257, doi:10.1023 / A: 1015851621002, S2CID 33947139

externí odkazy

Grafický přehled 32 krystalografických skupin bodů - tvoří první části (kromě přeskakování) n= 5) ze 7 nekonečných řad a 5 ze 7 samostatných skupin 3D bodů
Přehled vlastností skupin bodů
Nejjednodušší kanonické mnohostěny každého typu symetrie (používá Javu)
Skupiny bodů a krystalové systémy, Yi-Shu Wei, str. 4–6
Centrum geometrie: 10.1 Vzorce pro symetrie v kartézských souřadnicích (tři rozměry)

[1] Curie, Pierre (1894). „Sur la symétrie dans les phénomènes physiques, symétrie d'un champ électrique et d'un champ magnétique“ [O symetrii ve fyzikálních jevech, symetrii elektrického pole a magnetického pole] (PDF). Journal de Physique (francouzsky). 3 (1): 393–415. doi:10.1051 / jphystap: 018940030039300.

[2] Shubnikov, A.V. (1988). „Na díle Pierra Curieho o symetrii“. Crystal Symetries: Shubnikov Centennial papers. Pergamon Press. str. 357–364. doi:10.1016 / B978-0-08-037014-9.50007-8. ISBN 0-08-037014-4.

[3] Vainshtein., B. K. (1994). Moderní krystalografie, sv. 1. Základy krystalů. Symetrie a metody strukturní krystalografie (2. zvětšené vydání). Springer-Verlag Berlin. p. 93. ISBN 978-3-642-08153-8.

[4] Fisher, G.L .; Mellor, B. (2007), „Trojrozměrné skupiny konečných bodů a symetrie korálkových korálků“ (PDF), Journal of Mathematics and the Arts, 1 (2): 85–96, doi:10.1080/17513470701416264, S2CID 40755219

[5] Coxeter, Regular polytopes ', §12.6 Počet odrazů, rovnice 12.61

[6] Du Val Singularity, Igor Burban

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]