Kvantilní funkce - Quantile function

The probit je kvantilová funkce z normální distribuce.

v pravděpodobnost a statistika, kvantil funkce, spojené s a rozdělení pravděpodobnosti a náhodná proměnná, určuje hodnotu náhodné proměnné tak, aby se pravděpodobnost, že proměnná bude menší nebo rovna této hodnotě, rovnala dané pravděpodobnosti. Také se tomu říká funkce procentního bodu nebo inverzní kumulativní distribuční funkce.

Definice

S odkazem na spojitou a striktně monotónní distribuční funkci, například kumulativní distribuční funkce${displaystyle F_ {X} dvojtečka R o [0,1]}$ a náhodná proměnná X, kvantilová funkce Q vrací prahovou hodnotu X pod kterou by náhodné tahy z daného c.d.f klesly p procenta času.

Z hlediska distribuční funkce F, kvantilová funkce Q vrátí hodnotu X takhle

${displaystyle F_ {X} (x): = Pr (Xleq x) = str.,}$

Kumulativní distribuční funkce (zobrazeno jako F (x)) dává p hodnoty v závislosti na q hodnoty. Kvantilní funkce dělá opak: dává q hodnoty v závislosti na p hodnoty.

Dalším způsobem, jak vyjádřit kvantilovou funkci, je

${displaystyle Q (p), =, inf left {xin mathbb {R}: pleq F (x) ight}}$

pro pravděpodobnost 0 <p <1. Zde zachycujeme skutečnost, že funkce kvantilu vrací minimální hodnotu X ze všech těch hodnot, jejichž hodnota c.d.f přesahuje p, což odpovídá předchozímu prohlášení o pravděpodobnosti ve zvláštním případě, že rozdělení je spojité. Všimněte si, že infimní funkce lze nahradit minimální funkcí, protože distribuční funkce je spojitá vpravo a slabě monotónně rostoucí.

Kvantil je jedinečná funkce splňující Galoisovy nerovnosti

${displaystyle Q (p) leq x}$ kdyby a jen kdyby ${displaystyle pleq F (x)}$

Pokud je funkce F je kontinuální a přísně monotónně roste, pak lze nerovnosti nahradit rovností a máme:

${displaystyle Q = F ^ {- 1}}$

Obecně platí, že i když distribuční funkce F může selhat vlastnit a levý nebo pravý inverzní, kvantilová funkce Q chová se jako „téměř jistě inverzní vlevo“ pro distribuční funkci v tom smyslu

${displaystyle Q (F (X)) = X}$ téměř jistě.

Jednoduchý příklad

Například kumulativní distribuční funkce Exponenciální (λ) (tj. intenzita λ a očekávaná hodnota (znamenat ) 1/λ) je

${displaystyle F (x; lambda) = {egin {cases} 1-e ^ {- lambda x} & xgeq 0, 0 & x <0.end {cases}}}$

Kvantilová funkce pro exponenciální (λ) je odvozen nalezením hodnoty Q, pro kterou ${displaystyle 1-e ^ {- lambda Q} = p}$:

${displaystyle Q (p; lambda) = {frac {-ln (1-p)} {lambda}} ,!}$

pro 0 ≤p <1. The kvartily jsou tedy:

první kvartil (p = 1/4)

${displaystyle -ln (3/4) / lambda,}$

medián (p = 2/4)

${displaystyle -ln (1/2) / lambda,}$

třetí kvartil (p = 3/4)

${displaystyle -ln (1/4) / lambda.,}$

Aplikace

Kvantilové funkce se používají jak ve statistických aplikacích, tak v Metody Monte Carlo.

Funkce kvantilu je jedním ze způsobů předepisování rozdělení pravděpodobnosti a je alternativou k funkce hustoty pravděpodobnosti (pdf) nebo funkce pravděpodobnostní hmotnosti, kumulativní distribuční funkce (cdf) a charakteristická funkce. Kvantilová funkce, Q, rozdělení pravděpodobnosti je inverzní jeho kumulativní distribuční funkce F. Derivát kvantilové funkce, konkrétně funkce kvantilové hustoty, je ještě dalším způsobem, jak předepsat rozdělení pravděpodobnosti. Jedná se o převrácený soubor PDF složený z kvantilové funkce.

U statistických aplikací potřebují uživatelé znát klíčové procentní body dané distribuce. Například vyžadují medián a 25% a 75% kvartilů jako v příkladu výše nebo 5%, 95%, 2,5%, 97,5% úrovně pro jiné aplikace, jako je hodnocení statistická významnost pozorování, jehož distribuce je známa; viz kvantil vstup. Před popularizací počítačů nebylo neobvyklé, že knihy obsahovaly přílohy se statistickými tabulkami vzorkujícími kvantilovou funkci.^[1] Statistické aplikace kvantilových funkcí jsou rozsáhle diskutovány Gilchristem.^[2]

Simulace Monte-Carlo využívají kvantilové funkce k vytváření nerovnoměrných náhodných nebo pseudonáhodná čísla pro použití v různých typech simulačních výpočtů. Vzorek z dané distribuce lze v zásadě získat uplatněním jeho kvantilové funkce na vzorek z rovnoměrné distribuce. Požadavky například na simulační metody v moderní době výpočetní finance zaměřují rostoucí pozornost na metody založené na kvantilových funkcích, s nimiž dobře spolupracují vícerozměrný techniky založené na obou spona nebo kvazi-Monte-Carlo metody^[3] a Metody Monte Carlo ve financích.

Vlastnosti

Tato sekce potřebuje expanzi. Můžete pomoci přidávat k tomu. (Březen 2020)

${displaystyle int _ {0} ^ {1} ppf (x), dx = mu}$ (Integrace inverzních funkcí, Vzorkování inverzní transformace )

Výpočet

Hodnocení kvantilových funkcí často zahrnuje numerické metody, protože výše uvedený příklad exponenciálního rozdělení je jedním z mála distribucí, kde a uzavřený výraz lze najít (mezi další patří jednotný, Weibulle, Tukey lambda (který zahrnuje logistické ) a log-logistické ). Když má samotný cdf výraz v uzavřené formě, lze vždy použít numerický algoritmus hledání kořenů tak jako metoda půlení převrátit CDF. Další algoritmy pro vyhodnocení kvantilových funkcí jsou uvedeny v Numerické recepty série knih. Algoritmy pro běžné distribuce jsou zabudovány do mnoha statistický software balíčky.

Kvantilní funkce lze také charakterizovat jako řešení nelineárních obyčejných a částečných diferenciální rovnice. The obyčejné diferenciální rovnice pro případy normální, Student, beta a gama distribuce byly dány a vyřešeny.^[4]

Normální distribuce

The normální distribuce je možná nejdůležitější případ. Protože normální rozdělení je a rodina v měřítku polohy, jeho kvantilovou funkci pro libovolné parametry lze odvodit z jednoduché transformace kvantilové funkce standardního normálního rozdělení, známé jako probit funkce. Tato funkce bohužel nemá žádnou reprezentaci uzavřeného tvaru pomocí základních algebraických funkcí; ve výsledku se obvykle používají přibližná vyjádření. Wichura podal důkladné složené racionální a polynomiální aproximace^[5] a Acklam.^[6] Nekompozitní racionální aproximace byly vyvinuty Shawem.^[7]

Obyčejná diferenciální rovnice pro normální kvantil

Nelineární obyčejná diferenciální rovnice pro normální kvantil, w(p), mohou být uvedeny. to je

${displaystyle {frac {d ^ {2} w} {dp ^ {2}}} = wleft ({frac {dw} {dp}} ight) ^ {2}}$

se středovými (počátečními) podmínkami

${displaystyle wleft (1 / 2ight) = 0 ,,}$

${displaystyle w'left (1 / 2ight) = {sqrt {2pi}}.,}$

Tuto rovnici lze vyřešit několika metodami, včetně přístupu klasické energetické řady. Z tohoto řešení lze vyvinout libovolně vysokou přesnost (viz Steinbrecher a Shaw, 2008).

Studentova t-distribuce

Toto bylo historicky jedním z nejsložitějších případů, protože přítomnost parametru ν, stupně volnosti, činí použití racionálních a jiných aproximací trapným. Jednoduché vzorce existují, když ν = 1, 2, 4 a problém lze snížit na řešení polynomu, když je ν sudé. V ostatních případech mohou být kvantilové funkce vyvinuty jako výkonové řady.^[8] Jednoduché případy jsou následující:

ν = 1 (Cauchyovo rozdělení)

${displaystyle Q (p) = an (pi (p-1/2))!}$

ν = 2

${displaystyle Q (p) = 2 (p-1/2) {sqrt {frac {2} {alpha}}}!}$

ν = 4

${displaystyle Q (p) = operatorname {sign} (p-1/2), 2, {sqrt {q-1}}!}$

kde

${displaystyle q = {frac {cos left ({frac {1} {3}} left arccos ({sqrt {alpha}}, ight) ight)} {sqrt {alpha}}}!}$

a

${displaystyle alpha = 4p (1-p).!}$

Ve výše uvedené funkci „znaménko“ je +1 pro pozitivní argumenty, -1 pro negativní argumenty a nula na nule. To by nemělo být zaměňováno s trigonometrickou sinusovou funkcí.

Kvantilové směsi

Analogicky k směsi hustot, rozdělení lze definovat jako kvantilové směsi

${displaystyle Q (p) = součet _ {i = 1} ^ {m} a_ {i} Q_ {i} (p)}$,

kde ${displaystyle Q_ {i} (p)}$, ${displaystyle i = 1, ldots, m}$ jsou kvantilové funkce a ${displaystyle a_ {i}}$, ${displaystyle i = 1, ldots, m}$ jsou parametry modelu. Parametry ${displaystyle a_ {i}}$ musí být vybrán tak, aby ${displaystyle Q (p)}$ Karvanen uvádí dvě čtyřparametrické kvantilové směsi, směs normálního polynomu a směs Caily-polynomu s kvantily.^[9]

Nelineární diferenciální rovnice pro kvantilové funkce

Nelineární obyčejná diferenciální rovnice uvedená pro normální distribuce je speciální případ k dispozici pro jakoukoli kvantilovou funkci, jejíž druhá derivace existuje. Obecně rovnice pro kvantil, Q(p), mohou být uvedeny. to je

${displaystyle {frac {d ^ {2} Q} {dp ^ {2}}} = H (Q) left ({frac {dQ} {dp}} ight) ^ {2}}$

rozšířené o vhodné okrajové podmínky, kde

${displaystyle H (x) = - {frac {f '(x)} {f (x)}}}$

a ƒ(X) je funkce hustoty pravděpodobnosti. Formy této rovnice a její klasická analýza pomocí řady a asymptotických řešení pro případy normální, Studentovy, gama a beta distribuce objasnily Steinbrecher a Shaw (2008). Taková řešení poskytují přesná měřítka a v případě Studenta vhodná řada pro živé použití v Monte Carlu.

Viz také

• Vzorkování inverzní transformace
• Procentní bod
• Kvantilní
• Distribuce podle velikosti

Reference

Další čtení

• Abernathy, Roger W. a Smith, Robert P. (1993) *„Uplatnění rozšíření série na inverzní beta distribuci k nalezení percentilů F-distribuce“, ACM Trans. Matematika. Softw., 9 (4), 478–480 doi:10.1145/168173.168387
• Upřesnění normálního kvantilu
• Nové metody pro správu „studentské“ distribuce T
• ACM Algorithm 396: Student's t-Quantiles