Goormaghigh dohad - Goormaghtigh conjecture
v matematika, Goormaghigh dohad je dohad v teorie čísel pojmenovaný pro belgický matematik René Goormaghtigh. Domněnky jsou jediné netriviální celé číslo řešení exponenciální diofantická rovnice
uspokojující a jsou
a
Částečné výsledky
Davenport, Lewis & Schinzel (1961) ukázal, že pro každou dvojici pevných exponentů a , tato rovnice má jen konečně mnoho řešení. Ale tento důkaz závisí na Siegelova věta o konečnosti, což je neúčinné. Nesterenko & Shorey (1998) ukázal, že pokud a s , , a , pak je omezen účinně vypočítatelnou konstantou pouze v závislosti na a . Yuan (2005) ukázal, že pro a zvláštní , tato rovnice nemá řešení než dvě výše uvedená řešení.
Balasubramanian a Shorey v roce 1980 dokázal, že existuje jen konečně mnoho možných řešení k rovnicím s hlavními děliteli a leží v dané konečné sadě a že mohou být efektivně vypočítané.He & Togbé (2008) ukázal, že pro každý opravený a , tato rovnice má nanejvýš jedno řešení.
Aplikace na odměny
Goormaghtighova domněnka může být vyjádřena slovy, že 31 (111 v základně 5, 11111 v základně 2) a 8191 (111 v základně 90, 11111111111111 v základně 2) jsou pouze dvě čísla, která jsou odměny s nejméně 3 číslicemi ve dvou různých základny.
Viz také
Reference
- Goormaghtigh, Rene. L’Intermédiaire des Mathématiciens 24 (1917), 88
- Bugeaud, Y .; Shorey, T.N. (2002). „Na diofantickou rovnici " (PDF). Pacific Journal of Mathematics. 207 (1): 61–75.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
- Balasubramanian, R.; Shorey, T.N. (1980). „Na rovnici ". Mathematica Scandinavica. 46: 177–182. doi:10,7146 / math.scand.a-11861. PAN 0591599. Zbl 0434.10013.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
- Davenport, H .; Lewis, D. J .; Schinzel, A. (1961). "Rovnice tvaru ". Quad. J. Math. Oxford. 2: 304–312. doi:10.1093 / qmath / 12.1.304. PAN 0137703.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
- Guy, Richard K. (2004). Nevyřešené problémy v teorii čísel (3. vyd.). Springer-Verlag. p. 242. ISBN 0-387-20860-7. Zbl 1058.11001.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
- On, Bo; Togbé, Alan (2008). „O počtu řešení Goormaghighovy rovnice pro dané a ". Indag. Matematika. N. S.. 19: 65–72. doi:10.1016 / S0019-3577 (08) 80015-8. PAN 2466394.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
- Nesterenko, Yu. PROTI.; Shorey, T. N. (1998). „Na rovnici Goormaghtigh“ (PDF). Acta Arithmetica. LXXXIII (4): 381–389. doi:10,4064 / aa-83-4-381-389. PAN 1610565. Zbl 0896.11010.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
- Shorey, T.N .; Tijdeman, R. (1986). Exponenciální diofantické rovnice. Cambridge Tracts v matematice. 87. Cambridge University Press. 203–204. ISBN 0-521-26826-5. Zbl 0606.10011.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
- Yuan, Pingzhi (2005). „Na diofantickou rovnici ". J. Teorie čísel. 112: 20–25. doi:10.1016 / j.jnt.2004.12.002. PAN 2131139.CS1 maint: ref = harv (odkaz)