Všechny jeden polynom - All one polynomial

An všechny jeden polynom (AOP) je a polynomiální ve kterém jsou všechny koeficienty jedna. Přes konečné pole řádu dva jsou známy podmínky pro neredukovatelnost AOP, které umožňují tento polynom použít k definování účinných algoritmů a obvodů pro násobení v konečná pole charakteristiky dva.^[1] AOP je 1-stejně rozmístěný polynom.^[2]

Definice

AOP stupně m má všechny termíny z X^m na X⁰ s koeficienty 1 a lze jej zapsat jako

${ displaystyle AOP_ {m} (x) = součet _ {i = 0} ^ {m} x ^ {i}}$

nebo

${ displaystyle AOP_ {m} (x) = x ^ {m} + x ^ {m-1} + cdots + x + 1}$

nebo

${ displaystyle AOP_ {m} (x) = {x ^ {m + 1} -1 nad {x-1}}.}$

Tak kořeny všechny jeden polynom stupně m všichni jsou (m+1) tis kořeny jednoty než samotná jednota.

Vlastnosti

Přes GF (2) má AOP mnoho zajímavých vlastností, včetně:

• The Hammingova hmotnost AOP je m +1, maximum možné pro jeho stupeň^[3]
• AOP je neredukovatelné kdyby a jen kdyby m + 1 je prvočíslo a 2 je a primitivní kořen modulo m + 1^[1] (přes GF (p) s prime p, je to neredukovatelné, jen když m +1 je hlavní a p je primitivní kořenový modul m + 1)
• Jediný AOP, který je primitivní polynom je X² + x + 1.

Navzdory skutečnosti, že Hammingova váha je velká, kvůli snadné reprezentaci a dalším vylepšením existují účinné implementace v oblastech, jako je teorie kódování a kryptografie.^[1]

Přes ${ displaystyle mathbb {Q}}$je AOP kdykoli neredukovatelný m + 1 je prime p, a proto v těchto případech pth cyklotomický polynom.^[4]

Reference

externí odkazy

• všechny jeden polynom na PlanetMath.