Euler – Mascheroniho konstanta - Euler–Mascheroni constant

Oblast modré oblasti konverguje k Euler-Mascheroniho konstantě.

The Euler – Mascheroniho konstanta (také zvaný Eulerova konstanta) je matematická konstanta opakující se v analýza a teorie čísel, obvykle označený malým řeckým písmenem gama (y).

Je definován jako omezující rozdíl mezi harmonická řada a přirozený logaritmus:

${ displaystyle { begin {aligned} gamma & = lim _ {n to infty} left (- ln n + sum _ {k = 1} ^ {n} { frac {1} {k }} right) [5px] & = int _ {1} ^ { infty} left (- { frac {1} {x}} + { frac {1} { lfloor x rfloor }} vpravo) , dx. end {zarovnáno}}}$

Tady, ${ displaystyle lfloor x rfloor}$ představuje funkce podlahy.

Numerická hodnota konstanty Euler – Mascheroni na 50 desetinných míst je:

0.57721566490153286060651209008240243104215933593992... (sekvence A001620 v OEIS )

Nevyřešený problém v matematice: Je Eulerova konstanta iracionální? Pokud ano, je to transcendentální? (více nevyřešených úloh z matematiky)

Dějiny

Konstanta se poprvé objevila v článku 1734 od švýcarský matematik Leonhard Euler s názvem Pozorování De Progressionibus harmonicis (Eneströmův index 43). Euler použil notace C a Ó pro konstantu. V roce 1790 italština matematik Lorenzo Mascheroni použil notace A a A pro konstantu. Zápis y neobjevuje se nikde ve spisech Eulera ani Mascheroniho a byl vybrán později, možná kvůli spojení konstanty s funkce gama.^[1] Například Němec matematik Carl Anton Bretschneider použil notaci y v roce 1835 (Bretschneider 1837, "y = C = 0,577215 664901 532860 618112 090082 3..„zapnuto str. 260 ) a Augustus De Morgan použil ji v učebnici vydané v částech od roku 1836 do roku 1842 (De Morgan 1836–1842, "y„zapnuto str. 578 )

Vystoupení

Konstanta Euler – Mascheroni se mimo jiné objeví v následujícím textu („*“ znamená, že tato položka obsahuje explicitní rovnici):

• Výrazy zahrnující exponenciální integrál *
• The Laplaceova transformace * z přirozený logaritmus
• První funkční období Laurentova řada expanze pro Funkce Riemann zeta *, kde je první z Stieltjesovy konstanty *
• Výpočty funkce digamma
• Produktový vzorec pro funkce gama
• Asymptotická expanze funkce gama pro malé argumenty.
• Nerovnost pro Eulerova totientová funkce
• Tempo růstu funkce dělitele
• v dimenzionální regularizace z Feynmanovy diagramy v kvantová teorie pole
• Výpočet Meissel – Mertensova konstanta
• Třetí z Mertensovy věty *
• Řešení druhého druhu na Besselova rovnice
• V regularizaci /renormalizace z harmonická řada jako konečná hodnota
• The znamenat z Gumbelova distribuce
• The informační entropie z Weibulle a Lévy distribuce a implicitně distribuce chí-kvadrát pro jeden nebo dva stupně volnosti.
• Odpověď na problém sběratelů kupónů *
• V některých formulacích Zipfův zákon
• Definice kosinový integrál *
• Dolní hranice do a hlavní mezera
• Horní hranice na Shannonova entropie v teorie kvantové informace (Caves & Fuchs 1996 )

Vlastnosti

Číslo y nebylo prokázáno algebraický nebo transcendentální. Ve skutečnosti ani není známo, zda y je iracionální. Používat pokračující zlomek analýza, Papanikolaou v roce 1997 ukázal, že pokud y je Racionální, jeho jmenovatel musí být větší než 10²⁴⁴⁶⁶³.^[2][3] Všudypřítomnost y odhalený velkým počtem rovnic níže činí iracionalitu y hlavní otevřená otázka v matematice. Viz také (Sondow 2003a ).

Určitého pokroku však bylo dosaženo. Kurt Mahler ukázal v roce 1968 toto číslo ${ displaystyle { frac { pi} {2}} { frac {Y_ {0} (2)} {J_ {0} (2)}} - gamma}$ je transcendentální (${ displaystyle J _ { alpha} (x)}$ a ${ displaystyle Y _ { alpha} (x)}$ jsou Besselovy funkce ).^[4][1] V roce 2009 Alexander Aptekarev dokázal, že alespoň jedna z konstanty Euler – Mascheroni ${ displaystyle gamma}$ a Euler – Gompertzova konstanta ${ displaystyle delta}$ je iracionální.^[5] Tento výsledek vylepšil v roce 2012 Tanguy Rivoal, kde dokázal, že alespoň jeden z nich je transcendentální.^[6][1]

V roce 2010 M. Ram Murti a N. Saradha považovali za nekonečný seznam čísel obsahujících ${ displaystyle { frac { gamma} {4}}}$ a ukázal, že všichni, nanejvýš jeden, musí být transcendentální.^[7][8]

Vztah k gama funkci

y souvisí s funkce digamma Ψ, a tudíž derivát z funkce gama Γ, když jsou obě funkce vyhodnoceny na 1. Tedy:

${ displaystyle - gamma = Gamma '(1) = Psi (1).}$

To se rovná limitům:

${ displaystyle { begin {aligned} - gamma & = lim _ {z to 0} left ( Gamma (z) - { frac {1} {z}} right) & = lim _ {z to 0} left ( Psi (z) + { frac {1} {z}} right). end {aligned}}}$

Další výsledky limitů jsou (Krämer 2005 ):

${ displaystyle { begin {aligned} lim _ {z to 0} { frac {1} {z}} left ({ frac {1} { Gamma (1 + z)}} - { frac {1} { Gamma (1-z)}} right) & = 2 gamma lim _ {z to 0} { frac {1} {z}} left ({ frac { 1} { Psi (1-z)}} - { frac {1} { Psi (1 + z)}} vpravo) & = { frac { pi ^ {2}} {3 gamma ^ {2}}}. End {zarovnáno}}}$

Limit související s funkce beta (vyjádřeno jako gama funkce ) je

${ displaystyle { begin {aligned} gamma & = lim _ {n to infty} left ({ frac { Gamma left ({ frac {1} {n}} right) Gamma (n + 1) , n ^ {1 + { frac {1} {n}}}} { Gamma vlevo (2 + n + { frac {1} {n}} vpravo)}} - { frac {n ^ {2}} {n + 1}} right) & = lim limits _ {m to infty} sum _ {k = 1} ^ {m} {m choose k} { frac {(-1) ^ {k}} {k}} ln { big (} Gamma (k + 1) { big)}. end {zarovnáno}}}$

Vztah k funkci zeta

y lze také vyjádřit jako nekonečný součet jehož podmínky zahrnují Funkce Riemann zeta hodnoceno při kladných celých číslech:

${ displaystyle { begin {aligned} gamma & = sum _ {m = 2} ^ { infty} (- 1) ^ {m} { frac { zeta (m)} {m}} & = ln { frac {4} { pi}} + sum _ {m = 2} ^ { infty} (- 1) ^ {m} { frac { zeta (m)} {2 ^ {m-1} m}}. end {zarovnáno}}}$

Mezi další řady související s funkcí zeta patří:

${ displaystyle { begin {aligned} gamma & = { tfrac {3} {2}} - ln 2- sum _ {m = 2} ^ { infty} (- 1) ^ {m} , { frac {m-1} {m}} { big (} zeta (m) -1 { big)} & = lim _ {n to infty} left ({ frac {2n-1} {2n}} - ln n + sum _ {k = 2} ^ {n} left ({ frac {1} {k}} - { frac { zeta (1-k) } {n ^ {k}}} right) right) & = lim _ {n to infty} left ({ frac {2 ^ {n}} {e ^ {2 ^ {n }}}} sum _ {m = 0} ^ { infty} { frac {2 ^ {mn}} {(m + 1)!}} sum _ {t = 0} ^ {m} { frac {1} {t + 1}} - n ln 2 + O left ({ frac {1} {2 ^ {n} , e ^ {2 ^ {n}}}} right) right ). end {zarovnáno}}}$

Chybový člen v poslední rovnici je rychle klesající funkcí n. Výsledkem je, že vzorec je vhodný pro efektivní výpočet konstanty s vysokou přesností.

Další zajímavé limity rovné Euler-Mascheroniho konstantě jsou antisymetrický limit (Sondow 1998 ):

${ displaystyle { begin {aligned} gamma & = lim _ {s na 1 ^ {+}} sum _ {n = 1} ^ { infty} left ({ frac {1} {n ^ {s}}} - { frac {1} {s ^ {n}}} right) & = lim _ {s to 1} left ( zeta (s) - { frac { 1} {s-1}} right) & = lim _ {s to 0} { frac { zeta (1 + s) + zeta (1-s)} {2}} end {zarovnaný}}}$

a de la Vallée-Poussin's vzorec

${ displaystyle gamma = lim _ {n až infty} { frac {1} {n}} , sum _ {k = 1} ^ {n} left ( left lceil { frac {n} {k}} right rceil - { frac {n} {k}} right)}$

kde ${ displaystyle lceil , rceil}$ jsou strop závorky.

S tím úzce souvisí racionální série zeta výraz. Když vezmeme odděleně prvních několik podmínek výše uvedené řady, získá se odhad limitu klasické řady:

${ displaystyle gamma = suma _ {k = 1} ^ {n} { frac {1} {k}} - ln n- sum _ {m = 2} ^ { infty} { frac { zeta (m, n + 1)} {m}},}$

kde ζ(s,k) je Funkce Hurwitz zeta. Součet v této rovnici zahrnuje harmonická čísla, H_n. Rozšíření některých výrazů ve funkci Hurwitz zeta dává:

${ displaystyle H_ {n} = ln (n) + gamma + { frac {1} {2n}} - { frac {1} {12n ^ {2}}} + { frac {1} { 120 n ^ {4}}} - varepsilon,}$

kde 0 < ε < 1/252n⁶.

y lze také vyjádřit takto, kde A je Konstanta Glaisher – Kinkelin:

${ displaystyle gamma = 12 , log (A) - log (2 pi) + { frac {6} { pi ^ {2}}} , zeta '(2)}$

y lze také vyjádřit následovně, což lze prokázat vyjádřením funkce zeta jako Laurentova řada:

${ displaystyle gamma = lim _ {n to infty} { biggl (} -n + zeta { Bigl (} { frac {n + 1} {n}} { Bigr)} { biggr )}}$

Integrály

y se rovná hodnotě určitého počtu integrály:

${ displaystyle { begin {aligned} gamma & = - int _ {0} ^ { infty} e ^ {- x} ln x , dx & = - int _ {0} ^ { 1} ln left ( ln { frac {1} {x}} right) dx & = int _ {0} ^ { infty} left ({ frac {1} {e ^ {x} -1}} - { frac {1} {x cdot e ^ {x}}} right) dx & = int _ {0} ^ {1} left ({ frac { 1} { ln x}} + { frac {1} {1-x}} vpravo) dx & = int _ {0} ^ { infty} vlevo ({ frac {1} { 1 + x ^ {k}}} - e ^ {- x} vpravo) { frac {dx} {x}}, quad k> 0 & = 2 int _ {0} ^ { infty } { frac {e ^ {- x ^ {2}} - e ^ {- x}} {x}} , dx, & = int _ {0} ^ {1} H_ {x} , dx, end {zarovnáno}}}$

kde H_X je zlomkové harmonické číslo.

Určité integrály, ve kterých y objeví se zahrnují:

${ displaystyle { begin {aligned} int _ {0} ^ { infty} e ^ {- x ^ {2}} ln x , dx & = - { frac {( gamma +2 ln 2 ) { sqrt { pi}}} {4}} int _ {0} ^ { infty} e ^ {- x} ln ^ {2} x , dx & = gamma ^ {2} + { frac { pi ^ {2}} {6}}. end {zarovnáno}}}$

Dá se vyjádřit y pomocí zvláštního případu Hadjicostasův vzorec jako dvojitý integrál (Sondow 2003a ) a (Sondow 2005 ) s ekvivalentní sérií:

${ displaystyle { begin {aligned} gamma & = int _ {0} ^ {1} int _ {0} ^ {1} { frac {x-1} {(1-xy) ln xy }} , dx , dy & = sum _ {n = 1} ^ { infty} left ({ frac {1} {n}} - ln { frac {n + 1} { n}} vpravo). end {zarovnáno}}}$

Zajímavé srovnání (Sondow 2005 ) je dvojitá integrální a střídavá řada

${ displaystyle { begin {aligned} ln { frac {4} { pi}} & = int _ {0} ^ {1} int _ {0} ^ {1} { frac {x- 1} {(1 + xy) ln xy}} , dx , dy & = sum _ {n = 1} ^ { infty} left ((- 1) ^ {n-1} left ({ frac {1} {n}} - ln { frac {n + 1} {n}} right) right). end {aligned}}}$

Ukazuje to ln 4/π lze považovat za „střídavou Eulerovu konstantu“.

Obě konstanty jsou také příbuzné dvojicí řad (Sondow 2005a )

${ displaystyle { begin {aligned} gamma & = sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {N_ {1} (n) + N_ {0} (n)} {2n (2n +1)}} ln { frac {4} { pi}} & = sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {N_ {1} (n) -N_ {0 } (n)} {2n (2n + 1)}}, end {zarovnáno}}}$

kde N₁(n) a N₀(n) jsou počet 1 s, respektive 0 s v základna 2 expanze n.

Máme také Katalánština integrál z roku 1875 (viz Sondow & Zudilin 2006 )

${ displaystyle gamma = int _ {0} ^ {1} left ({ frac {1} {1 + x}} sum _ {n = 1} ^ { infty} x ^ {2 ^ { n} -1} vpravo) , dx.}$

Rozšíření série

Obecně,

${ displaystyle gamma = lim _ {n to infty} left ({ frac {1} {1}} + { frac {1} {2}} + { frac {1} {3} } + ldots + { frac {1} {n}} - ln (n + alpha) right) equiv lim _ {n to infty} gamma _ {n} ( alpha)}$

pro všechny ${ displaystyle alpha> -n}$. Míra konvergence této expanze však významně závisí na ${ displaystyle alpha}$. Zejména, ${ displaystyle gamma _ {n} (1/2)}$ vykazuje mnohem rychlejší konvergenci než konvenční expanze ${ displaystyle gamma _ {n} (0)}$ (DeTemple 1993; Havil 2003, s. 75–78). To je proto, že

${ displaystyle { frac {1} {2 (n + 1)}} < gamma _ {n} (0) - gamma <{ frac {1} {2n}},}$

zatímco

${ displaystyle { frac {1} {24 (n + 1) ^ {2}}} < gamma _ {n} (1/2) - gamma <{ frac {1} {24n ^ {2} }}.}$

I tak existují další řady expanzí, které konvergují rychleji než toto; některé z nich jsou popsány níže.

Euler ukázal, že následující nekonečná řada přístupy y:

${ displaystyle gamma = sum _ {k = 1} ^ { infty} left ({ frac {1} {k}} - ln left (1 + { frac {1} {k}}) dobře dobře).}$

Série pro y je ekvivalentní sérii Nielsen nalezeno v roce 1897 (Krämer 2005, Blagouchine 2016 ):

${ displaystyle gamma = 1- součet _ {k = 2} ^ { infty} (- 1) ^ {k} { frac { left lfloor log _ {2} k right rfloor} { k + 1}}.}$

V roce 1910 Vacca našel úzce související sérii (Vacca 1910 chyba harvnb: žádný cíl: CITEREFVacca1910 (Pomoc),^{[citace nebyla nalezena ]} Glaisher 1910, Hardy 1912, Vacca 1925 chyba harvnb: žádný cíl: CITEREFVacca1925 (Pomoc),^{[citace nebyla nalezena ]} Kluyver 1927, Krämer 2005, Blagouchine 2016 )

${ displaystyle { begin {aligned} gamma & = sum _ {k = 2} ^ { infty} (- 1) ^ {k} { frac { left lfloor log _ {2} k right rfloor} {k}} [5pt] & = { tfrac {1} {2}} - { tfrac {1} {3}} + 2 left ({ tfrac {1} {4} } - { tfrac {1} {5}} + { tfrac {1} {6}} - { tfrac {1} {7}} vpravo) +3 vlevo ({ tfrac {1} {8 }} - { tfrac {1} {9}} + { tfrac {1} {10}} - { tfrac {1} {11}} + cdots - { tfrac {1} {15}} vpravo) + cdots, end {zarovnáno}}}$

kde log₂ je logaritmus do základny 2 a ⌊ ⌋ je funkce podlahy.

V roce 1926 našel druhou sérii:

${ displaystyle { begin {aligned} gamma + zeta (2) & = sum _ {k = 2} ^ { infty} left ({ frac {1} { left lfloor { sqrt { k}} right rfloor ^ {2}}} - { frac {1} {k}} right) [5pt] & = sum _ {k = 2} ^ { infty} { frac {k- left lfloor { sqrt {k}} right rfloor ^ {2}} {k left lfloor { sqrt {k}} right rfloor ^ {2}}} [5 bodů ] & = { frac {1} {2}} + { frac {2} {3}} + { frac {1} {2 ^ {2}}} sum _ {k = 1} ^ {2 cdot 2} { frac {k} {k + 2 ^ {2}}} + { frac {1} {3 ^ {2}}} sum _ {k = 1} ^ {3 cdot 2} { frac {k} {k + 3 ^ {2}}} + cdots end {zarovnáno}}}$

Z Malmsten –Kummer expanze logaritmu funkce gama (Blagouchine 2014 ) dostaneme:

${ displaystyle gamma = ln pi -4 ln left ( Gamma ({ tfrac {3} {4}}) right) + { frac {4} { pi}} součet _ { k = 1} ^ { infty} (- 1) ^ {k + 1} { frac { ln (2k + 1)} {2k + 1}}.}$

Důležité rozšíření Eulerovy konstanty je způsobeno Fontana a Mascheroni

${ displaystyle gamma = sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {| G_ {n} |} {n}} = { frac {1} {2}} + { frac { 1} {24}} + { frac {1} {72}} + { frac {19} {2880}} + { frac {3} {800}} + cdots,}$

kde G_n jsou Gregoryho koeficienty (Krämer 2005, Blagouchine 2016, Blagouchine 2018 ) Tato série je zvláštní případ ${ displaystyle k = 1}$ expanzí

${ displaystyle { begin {aligned} gamma & = H_ {k-1} - ln k + sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {(n-1)! | G_ {n } |} {k (k + 1) cdots (k + n-1)}} && & = H_ {k-1} - ln k + { frac {1} {2k}} + { frac {1} {12k (k + 1)}} + { frac {1} {12k (k + 1) (k + 2)}} + { frac {19} {120k (k + 1) (k + 2) (k + 3)}} + cdots && end {zarovnáno}}}$

konvergentní pro ${ displaystyle k = 1,2, ldots}$

Podobná řada s Cauchyovými čísly druhého druhu C_n je (Blagouchine 2016; Alabdulmohsin 2018, s. 147–148)

${ displaystyle gamma = 1- součet _ {n = 1} ^ { infty} { frac {C_ {n}} {n , (n + 1)!}} = 1 - { frac {1 } {4}} - { frac {5} {72}} - { frac {1} {32}} - { frac {251} {14400}} - { frac {19} {1728}} - ldots}$

Blagouchine (2018) našel zajímavé zobecnění řady Fontana-Mascheroni

${ displaystyle gamma = sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n + 1}} {2n}} { Big {} psi _ {n} (a) + psi _ {n} { Big (} - { frac {a} {1 + a}} { Big)} { Big }}, quad a> -1}$

kde ψ_n(A) jsou Bernoulliho polynomy druhého druhu, které jsou definovány generující funkcí

${ displaystyle { frac {z (1 + z) ^ {s}} { ln (1 + z)}} = součet _ {n = 0} ^ { infty} z ^ {n} psi _ {n} (s), qquad | z | <1,}$

Pro všechny racionální A tato řada obsahuje pouze racionální výrazy. Například na A = 1, stává se

${ displaystyle gamma = { frac {3} {4}} - { frac {11} {96}} - { frac {1} {72}} - { frac {311} {46080}} - { frac {5} {1152}} - { frac {7291} {2322432}} - { frac {243} {100352}} - ldots}$

vidět OEIS: A302120 a OEIS: A302121. Mezi další řady se stejnými polynomy patří tyto příklady:

${ displaystyle gamma = - ln (a + 1) - součet _ {n = 1} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n} psi _ {n} (a)} {n}}, qquad Re (a)> - 1}$

a

${ displaystyle gamma = - { frac {2} {1 + 2a}} vlevo { ln gama (a + 1) - { frac {1} {2}} ln (2 pi) + { frac {1} {2}} + sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n} psi _ {n + 1} (a)} { n}} doprava }, qquad Re (a)> - 1}$

kde Γ (A) je funkce gama (Blagouchine 2018 ).

Série související s algoritmem Akiyama-Tanigawa je

${ displaystyle gamma = ln (2 pi) -2-2 součet _ {n = 1} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n} G_ {n} (2)} {n}} = ln (2 pi) -2 + { frac {2} {3}} + { frac {1} {24}} + { frac {7} {540}} + { frac {17} {2880}} + { frac {41} {12600}} + ldots}$

kde G_n(2) jsou Gregoryho koeficienty druhého řádu (Blagouchine 2018 ).

Řada prvočísla:

${ displaystyle gamma = lim _ {n to infty} left ( ln n- sum _ {p leq n} { frac { ln p} {p-1}} right). }$

Asymptotické expanze

y se rovná následujícím asymptotickým vzorcům (kde H_n je nth harmonické číslo ):

${ displaystyle gamma sim H_ {n} - ln n - { frac {1} {2n}} + { frac {1} {12n ^ {2}}} - { frac {1} {120n ^ {4}}} + cdots}$ (Euler)

${ displaystyle gamma sim H_ {n} - ln left ({n + { frac {1} {2}} + { frac {1} {24n}} - { frac {1} {48n ^ {3}}} + cdots} vpravo)}$ (Negoi)

${ displaystyle gamma sim H_ {n} - { frac { ln n + ln (n + 1)} {2}} - { frac {1} {6n (n + 1)}} + { frac {1} {30n ^ {2} (n + 1) ^ {2}}} - cdots}$ (Cesàro )

Třetí vzorec se také nazývá Ramanujan expanze.

Alabdulmohsin 2018, str. 147–148 odvozené uzavřené výrazy pro součty chyb těchto aproximací. Ukázal, že (věta A.1):

${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} log n + gamma -H_ {n} + { frac {1} {2n}} = { frac { log (2 pi) - 1 gamma} {2}}}$

${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} log { sqrt {n (n + 1)}} + gamma -H_ {n} = { frac { log (2 pi) -1} {2}} - gamma}$

${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} (- 1) ^ {n} { Big (} log n + gamma -H_ {n} { Big)} = { frac { log pi - gamma} {2}}}$

Exponenciální

Konstanta E^y je důležité v teorii čísel. Někteří autoři označují toto množství jednoduše jako γ ′. E^y rovná se následující omezit, kde p_n je nth prvočíslo:

${ displaystyle e ^ { gamma} = lim _ {n to infty} { frac {1} { ln p_ {n}}} prod _ {i = 1} ^ {n} { frac {p_ {i}} {p_ {i} -1}}.}$

Toto přepracovává třetí z Mertensovy věty (Weisstein n.d. ). Číselná hodnota E^y je:

1.78107241799019798523650410310717954916964521430343... OEIS: A073004.

jiný nekonečné produkty vztahující se E^y zahrnout:

${ displaystyle { begin {aligned} { frac {e ^ {1 + { frac { gamma} {2}}}} { sqrt {2 pi}}} & = prod _ {n = 1 } ^ { infty} e ^ {- 1 + { frac {1} {2n}}} vlevo (1 + { frac {1} {n}} vpravo) ^ {n} { frac {e ^ {3 + 2 gamma}} {2 pi}} & = prod _ {n = 1} ^ { infty} e ^ {- 2 + { frac {2} {n}}} vlevo (1 + { frac {2} {n}} vpravo) ^ {n}. end {zarovnáno}}}$

Tyto výrobky jsou výsledkem: Barnes G-funkce.

Navíc,

${ displaystyle e ^ { gamma} = { sqrt { frac {2} {1}}} cdot { sqrt [{3}] { frac {2 ^ {2}} {1 cdot 3} }} cdot { sqrt [{4}] { frac {2 ^ {3} cdot 4} {1 cdot 3 ^ {3}}}} cdot { sqrt [{5}] { frac {2 ^ {4} cdot 4 ^ {4}} {1 cdot 3 ^ {6} cdot 5}}} cdots}$

Kde nth faktor je (n + 1)th kořen

${ displaystyle prod _ {k = 0} ^ {n} (k + 1) ^ {(- 1) ^ {k + 1} {n zvolte k}}.}$

Tento nekonečný produkt, poprvé objevený Serem v roce 1926, byl znovu objeven Sondowem (Sondow 2003 ) použitím hypergeometrické funkce.

Také to platí^[9]

${ displaystyle { frac {e ^ { frac { pi} {2}} + e ^ {- { frac { pi} {2}}}} { pi e ^ { gamma}}} = prod _ {n = 1} ^ { infty} left (e ^ {- { frac {1} {n}}} left (1 + { frac {1} {n}} + { frac {1} {2n ^ {2}}} vpravo) vpravo).}$

Pokračující zlomek

The pokračující zlomek expanze y je ve formě [0; 1, 1, 2, 1, 2, 1, 4, 3, 13, 5, 1, 1, 8, 1, 2, 4, 1, 1, 40, ...] OEIS: A002852, který nemá zdánlivý vzor. Je známo, že pokračující zlomek má alespoň 475 006 výrazů,^[2] a má nekonečně mnoho pojmů kdyby a jen kdyby y je iracionální.

Zobecnění

abm (X) = y_−X

Eulerovy zobecněné konstanty jsou dány

${ displaystyle gamma _ { alpha} = lim _ {n to infty} left ( sum _ {k = 1} ^ {n} { frac {1} {k ^ { alpha}} } - int _ {1} ^ {n} { frac {1} {x ^ { alpha}}} , dx right),}$

pro 0 < α < 1, s y jako zvláštní případ α = 1 (Havil 2003, s. 117–118). To lze dále zobecnit na

${ displaystyle c_ {f} = lim _ {n to infty} left ( sum _ {k = 1} ^ {n} f (k) - int _ {1} ^ {n} f ( x) , dx vpravo)}$

pro nějakou libovolnou klesající funkci F. Například,

${ displaystyle f_ {n} (x) = { frac {( ln x) ^ {n}} {x}}}$

dává vzniknout Stieltjesovy konstanty, a

${ displaystyle f_ {a} (x) = x ^ {- a}}$

dává

${ displaystyle gamma _ {f_ {a}} = { frac {(a-1) zeta (a) -1} {a-1}}}$

kde opět limit

${ displaystyle gamma = lim _ {a až 1} left ( zeta (a) - { frac {1} {a-1}} right)}$

objeví se.

Dvourozměrné zobecnění limitu je Masser-Gramainova konstanta.

Euler-Lehmerovy konstanty jsou dány součtem inverzí čísel v běžné třídě modulů (Ram Murty & Saradha 2010 ):

${ displaystyle gamma (a, q) = lim _ {x to infty} left ( sum _ {0$

Základní vlastnosti jsou

${ displaystyle { begin {aligned} gamma (0, q) & = { frac { gamma - ln q} {q}}, součet _ {a = 0} ^ {q-1} gamma (a, q) & = gamma, q gamma (a, q) & = gamma - sum _ {j = 1} ^ {q-1} e ^ {- { frac {2 pi aij} {q}}} ln left (1-e ^ { frac {2 pi ij} {q}} right), end {aligned}}}$

a pokud gcd (A,q) = d pak

${ displaystyle q gamma (a, q) = { frac {q} {d}} gamma doleva ({ frac {a} {d}}, { frac {q} {d}} doprava ) - ln d.}$

Publikované číslice

Euler původně vypočítal hodnotu konstanty na 6 desetinných míst. V roce 1781 to vypočítal na 16 desetinných míst. Mascheroni se pokusil vypočítat konstantu na 32 desetinných míst, ale udělal chyby na 20. – 22. A 31. – 32. Desetinných místech; počínaje 20. číslicí vypočítal ...1811209008239 když je správná hodnota ...0651209008240.

Poznámky

Reference

• Alabdulmohsin, Ibrahim M. (2018), Summability Calculus. Komplexní teorie zlomkových konečných součtů, Springer-Verlag, ISBN  9783319746487
• Blagouchine, Iaroslav V. (2014), „Znovuobjevení integrálů Malmsten, jejich vyhodnocení metodami konturové integrace a některé související výsledky“, Deník Ramanujan, 35 (1): 21–110, doi:10.1007 / s11139-013-9528-5, S2CID  120943474
• Blagouchine, Iaroslav V. (2016), „Expanze zobecněných Eulerových konstant do řady polynomů v π⁻² a do formální obálkové řady pouze s racionálními koeficienty ", J. Teorie čísel, 158: 365–396, arXiv:1501.00740, doi:10.1016 / j.jnt.2015.06.012
• Blagouchine, Iaroslav V. (2018), „Tři poznámky k reprezentacím Ser a Hasse pro funkce zeta“, INTEGERS: Elektronický deník teorie kombinatorických čísel, 18A (# A3): 1–45, arXiv:1606.02044, Bibcode:2016arXiv160602044B
• Bretschneider, Carl Anton (1837) [předloženo 1835]. „Theoriae logarithmi integratedis lineamenta nova“. Crelle's Journal (v latině). 17: 257–285.
• Jeskyně, Carlton M.; Fuchs, Christopher A. (1996). "Kvantová informace: Kolik informací ve stavovém vektoru?". Dilema Einstein, Podolsky a Rosen - 60 let později. Izraelská fyzická společnost. arXiv:quant-ph / 9601025. Bibcode:1996quant.ph..1025C. ISBN  9780750303941. OCLC  36922834.
• De Morgan, Augustus (1836–1842). Diferenciální a integrální počet. Londýn: Baldwin a Craddoc.
• DeTemple, Duane W. (květen 1993). „Rychlejší konvergence k Eulerově konstantě“. Americký matematický měsíčník. 100 (5): 468–470. doi:10.2307/2324300. ISSN  0002-9890. JSTOR  2324300.
• Glaisher, James Whitbread Lee (1910). „Na sérii Dr. Vaccy pro y". Q. J. Pure Appl. Matematika. 41: 365–368.
• Havil, Julian (2003). Gamma: Exploring Euler's Constant. Princeton University Press. ISBN  978-0-691-09983-5.
• Hardy, G. H. (1912). „Poznámka k seriálu Dr. Vacca pro y". Q. J. Pure Appl. Matematika. 43: 215–216.
• Kluyver, J.C. (1927). „Na určité sérii pana Hardyho.“ Q. J. Pure Appl. Matematika. 50: 185–192.
• Krämer, Stefan (2005), Die Eulersche Konstante y und verwandte Zahlen, Německo: University of Göttingen
• Lagarias, Jeffrey C. (říjen 2013). „Eulerova konstanta: Eulerova práce a moderní vývoj“. Bulletin of the American Mathematical Society. 50 (4): 556. arXiv:1303.1856. doi:10.1090 / s0273-0979-2013-01423-x. S2CID  119612431.
• Papanikolaou, T. (1997). Entwurf und Entwicklung einer objektorientierten Bibliothek für algorithmische Zahlentheorie (Teze). Universität des Saarlandes.
• Ram Murty, M .; Saradha, N. (2010). „Euler-Lehmerovy konstanty a domněnka o Erdosovi“. JNT. 130 (12): 2671–2681. doi:10.1016 / j.jnt.2010.07.004.
• Sloane, N. J. A. (vyd.). "Sekvence A002852 (pokračující zlomek pro Eulerovu konstantu)". The On-line encyklopedie celočíselných sekvencí. Nadace OEIS.
• Sondow, Jonathan (1998). „Antisymetrický vzorec pro Eulerovu konstantu“. Matematický časopis. 71. 219–220. Archivovány od originál dne 04.06.2011. Citováno 2006-05-29.
• Sondow, Jonathan (2002). "Hypergeometrický přístup k lineárním formám zahrnujícím logaritmy, s kritérii iracionality Eulerovy konstanty". Mathematica Slovaca. 59: 307–314. arXiv:math.NT / 0211075. Bibcode:2002math ..... 11075S. s dodatkem do Sergej Zlobin
• Sondow, Jonathan (2003). "Nekonečný produkt pro E^y pomocí hypergeometrických vzorců pro Eulerovu konstantu, y". arXiv:math.CA/0306008.
• Sondow, Jonathan (2003a), „Kritéria pro iracionalitu Eulerovy konstanty“, Proceedings of the American Mathematical Society, 131 (11): 3335–3344, arXiv:math.NT / 0209070, doi:10.1090 / S0002-9939-03-07081-3, S2CID  91176597
• Sondow, Jonathan (2005), „Dvojité integrály pro Eulerovu konstantu a ln 4/π a analog Hadjicostasova vzorce ", Americký matematický měsíčník, 112 (1): 61–65, arXiv:math.CA/0211148, doi:10.2307/30037385, JSTOR  30037385
• Sondow, Jonathan (2005a), Nová racionální řada typu Vacca pro Eulerovu konstantu a její „střídavý“ analog ln 4/π, arXiv:math.NT / 0508042
• Sondow, Jonathan; Zudilin, Wadim (2006). „Eulerova konstanta, q-logaritmy a vzorce Ramanujana a Gospera ". Deník Ramanujan. 12 (2): 225–244. arXiv:math.NT / 0304021. doi:10.1007 / s11139-006-0075-1. S2CID  1368088.
• Weisstein, Eric W. (n.d.). „Mertens Constant“. mathworld.wolfram.com.

Další čtení

• Borwein, Jonathan M .; David M. Bradley; Richard E. Crandall (2000). "Výpočetní strategie pro funkci Riemann Zeta" (PDF). Journal of Computational and Applied Mathematics. 121 (1–2): 11. Bibcode:2000JCoAM.121..247B. doi:10.1016 / s0377-0427 (00) 00336-8. Odvozuje se y jako součty nad Riemannovými funkcemi zeta.
• Gerst, I. (1969). "Některé série pro Eulerovu konstantu". Amer. Matematika. Měsíční. 76 (3): 237–275. doi:10.2307/2316370. JSTOR  2316370.
• Glaisher, James Whitbread Lee (1872). „K historii Eulerovy konstanty“. Posel matematiky. 1: 25–30. JFM  03.0130.01.
• Gourdon, Xavier; Sebah, P. (2002). "Sbírka vzorců pro Eulerovu konstantu, y".
• Gourdon, Xavier; Sebah, P. (2004). „Eulerova konstanta: y".
• Karatsuba, E. A. (1991). Msgstr "Rychlé vyhodnocení transcendentálních funkcí". Probl. Inf. Transm. 27 (44): 339–360.
• Karatsuba, E.A. (2000). „Na výpočtu Eulerovy konstanty y". Journal of Numerical Algorithms. 24 (1–2): 83–97. doi:10.1023 / A: 1019137125281. S2CID  21545868.
• Knuth, Donald (1997). The Art of Computer Programming, sv. 1 (3. vyd.). Addison-Wesley. ISBN  0-201-89683-4.
• Lerch, M. (1897). "Expressions nouvelles de la Constante d'Euler". Sitzungsberichte der Königlich Böhmischen Gesellschaft der Wissenschaften. 42: 5.
• Mascheroni, Lorenzo (1790), Další poznámky ad calculum integratedem Euleri, in quibus nonnulla problemata ab Eulero proposita resolvunturGaleati, Ticini
• Lehmer, D. H. (1975). "Eulerovy konstanty pro aritmetické průběhy" (PDF). Acta Arith. 27 (1): 125–142. doi:10,4064 / aa-27-1-125-142.
• Vacca, G. (1926). „Nuova serie per la costante di Eulero, C= 0,577 ... ". Rendiconti, Accademia Nazionale dei Lincei, Roma, Classe di Scienze Fisiche". Matematiche e Naturali. 6 (3): 19–20.

externí odkazy

• "Eulerova konstanta", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. „Euler – Mascheroniho konstanta“. MathWorld.
• Jonathan Sondow.
• Rychlé algoritmy a metoda FEE, E.A. Karatsuba (2005)
• Další vzorce využívající konstantu: Gourdon a Sebah (2004).