Věta o prvočísle - Prime number theorem
v teorie čísel, věta o prvočísle (PNT) popisuje asymptotické distribuce prvočísla mezi kladnými celými čísly. Formalizuje intuitivní myšlenku, že prvočísla se stávají méně běžnými, jak se zvětšují, přesnou kvantifikací rychlosti, s jakou k tomu dochází. Věta byla nezávisle prokázána Jacques Hadamard a Charles Jean de la Vallée Poussin v roce 1896 s využitím myšlenek zavedených Bernhard Riemann (zejména Funkce Riemann zeta ).
První nalezená distribuce je π(N) ~ N/log (N), kde π(N) je funkce počítání prvočísel a log (N) je přirozený logaritmus z N. To znamená, že pro dostatečně velké N, pravděpodobnost že náhodné celé číslo není větší než N je prime je velmi blízko 1 / log (N). V důsledku toho náhodné celé číslo s maximálně 2n číslice (pro dostatečně velké n) je asi o polovinu větší pravděpodobnost, že bude prvočíslo jako náhodné celé číslo s nejvýše n číslice. Například mezi kladnými celými čísly nejvýše 1000 číslic je asi jedna z 2300 prvočíselných (protokol (101000) ≈ 2302.6), zatímco mezi kladnými celými čísly nejvýše 2 000 číslic je asi jedna z 4 600 prvočísel (protokol (102000) ≈ 4605.2). Jinými slovy, průměrná propast mezi po sobě jdoucími prvočísly mezi prvními N celá čísla je zhruba log (N).[1]
Tvrzení


Nechat π(X) být funkce počítání prvočísel který udává počet prvočísel menší nebo rovný X, pro jakékoli skutečné čísloX. Například, π(10) = 4 protože existují čtyři prvočísla (2, 3, 5 a 7) menší nebo rovna 10. Věta o prvočísle pak uvádí, že X / log X je dobrá aproximace π(X) (kde log zde znamená přirozený logaritmus) v tom smyslu, že omezit z kvocient dvou funkcí π(X) a X / log X tak jako X zvýšení bez vazby je 1:
známý jako asymptotický zákon distribuce prvočísel. Použitím asymptotická notace tento výsledek lze přepracovat jako
Tato notace (a teorém ) dělá ne řekněte cokoli o limitu rozdíl ze dvou funkcí jako X zvyšuje bez vazby. Věta místo toho říká X / log X přibližný π(X) v tom smyslu, že relativní chyba této aproximace se blíží 0 jako X zvyšuje bez vazby.
Věta o prvočísle je ekvivalentní tvrzení, že nth prvočíslo strn splňuje
asymptotická notace znamená, že relativní chyba této aproximace se blíží 0 jako n zvyšuje bez vazby. Například 2×1017th prvočíslo je 8512677386048191063,[2] a (2×1017) log (2×1017) zaokrouhluje na 7967418752291744388, relativní chyba asi 6,4%.
Jak je uvedeno níže, věta o prvočísle je také ekvivalentní
kde ϑ a ψ jsou první a druhá Čebyševova funkce resp.
Historie důkazu o asymptotickém zákonu prvočísel
Na základě tabulek od Anton Felkel a Jurij Vega, Adrien-Marie Legendre předpokládal to v roce 1797 nebo 1798 π(A) je aproximován funkcí A / (A log A + B), kde A a B jsou neurčené konstanty. Ve druhém vydání své knihy o teorii čísel (1808) poté vytvořil a přesnější domněnka, s A = 1 a B = −1.08366. Carl Friedrich Gauss považoval stejnou otázku ve věku 15 nebo 16 let „v roce 1792 nebo 1793“, podle jeho vlastní vzpomínky z roku 1849.[3] V roce 1838 Peter Gustav Lejeune Dirichlet přišel s vlastní aproximační funkcí, logaritmický integrál li (X) (pod mírně odlišnou formou série, kterou sdělil Gaussovi). Legendrovy i Dirichletovy vzorce implikují stejnou domnělou asymptotickou ekvivalenci π(X) a X / log (X) uvedeno výše, i když se ukázalo, že Dirichletova aproximace je podstatně lepší, pokud vezmeme v úvahu rozdíly místo kvocientů.
Ve dvou dokumentech z let 1848 a 1850 ruský matematik Pafnuty Čebyšev pokoušel se dokázat asymptotický zákon distribuce prvočísel. Jeho práce je pozoruhodná pro použití funkce zeta ζ(s), pro skutečné hodnoty argumentu "s", stejně jako v dílech Leonhard Euler, již v roce 1737. Čebyševovy práce předcházely Riemannovu slavnou monografii z roku 1859 a podařilo se mu prokázat o něco slabší formu asymptotického zákona, totiž, že pokud by limit X jde do nekonečna π(X) / (X / log (X)) vůbec existuje, pak se nutně rovná jedné.[4] Byl schopen bezpodmínečně dokázat, že tento poměr je ohraničen nahoře a dole dvěma výslovně danými konstantami blízko 1, pro všechny dostatečně velké X.[5] Ačkoli Čebyševův článek neprokázal teorém o prvočísle, jeho odhady pro π(X) byly dostatečně silné, aby dokázal Bertrandův postulát že mezi nimi existuje prvočíslo n a 2n pro jakékoli celé číslo n ≥ 2.
Důležitým dokumentem týkajícím se distribuce prvočísel byla Riemannova monografie z roku 1859 “O počtu prvočísel menších než daná velikost ", jediný dokument, který kdy na toto téma napsal. Riemann do předmětu vnesl nové myšlenky, hlavně to, že distribuce prvočísel je úzce spjata s nulami analyticky rozšířené Riemannovy zeta funkce komplexní proměnné. Zejména je to v tomto příspěvku, že myšlenka použít metody komplexní analýza ke studiu skutečné funkce π(X) pochází. Rozšířením Riemannovy myšlenky byly nezávisle nalezeny dva důkazy o asymptotickém zákonu o rozdělení prvočísel Jacques Hadamard a Charles Jean de la Vallée Poussin a objevil se ve stejném roce (1896). Oba důkazy používaly metody komplexní analýzy, které byly hlavním krokem důkazu, že Funkce Riemann zeta ζ(s) je nenulová pro všechny komplexní hodnoty proměnné s které mají podobu s = 1 + to s t > 0.[6]
Během 20. století se teorém o Hadamardovi a de la Vallée Poussinovi stal známým také jako věta o prvočísle. Bylo nalezeno několik různých důkazů, včetně „základních“ důkazů Atle Selberg a Paul Erdős (1949). Původní důkazy Hadamarda a de la Vallée Poussina jsou dlouhé a komplikované; pozdější důkazy zavedly různá zjednodušení pomocí Tauberianovy věty ale zůstal obtížně strávitelný. Krátký důkaz objevil v roce 1980 americký matematik Donald J. Newman.[7][8] Newmanův důkaz je pravděpodobně nejjednodušší známý důkaz věty, i když je neelementární v tom smyslu, že používá Cauchyho integrální věta ze složité analýzy.
Důkazní skica
Zde je náčrt dokladu uvedeného v jednom z Terence Tao přednášky.[9] Jako většina důkazů o PNT začíná přeformulováním problému, pokud jde o méně intuitivní, ale lépe chovanou funkci počítání prime. Myšlenkou je počítat prvočísla (nebo související množinu, jako je množina hlavních sil) s závaží dospět k funkci s hladším asymptotickým chováním. Nejběžnější takto zobecněnou funkcí počítání je Čebyševova funkce ψ(X), definován
Toto se někdy píše jako
kde Λ(n) je von Mangoldtova funkce, jmenovitě
Nyní je relativně snadné zkontrolovat, zda je PNT ekvivalentní tvrzení, že
Vyplývá to ze snadných odhadů
a (pomocí velký Ó notace ) pro všechny ε > 0,
Dalším krokem je nalezení užitečné reprezentace pro ψ(X). Nechat ζ(s) být funkcí Riemanna zeta. To lze ukázat ζ(s) souvisí s von Mangoldtova funkce Λ(n), a tedy ψ(X)prostřednictvím vztahu
Delikátní analýza této rovnice a souvisejících vlastností funkce zeta pomocí Mellinova transformace a Perronův vzorec, ukazuje, že pro jiné než celé číslo X rovnice
drží, kde součet přesahuje všechny nuly (triviální a netriviální) funkce zeta. Tento nápadný vzorec je jedním z tzv explicitní vzorce teorie čísel, a již naznačuje výsledek, který chceme od tohoto termínu dokázat X (tvrdil, že je správné asymptotické pořadí ψ(X)) se objeví na pravé straně, následovaný (pravděpodobně) asymptotickými výrazy nižšího řádu.
Další krok v důkazu zahrnuje studium nul funkce zeta. S triviálními nulami −2, −4, −6, −8, ... lze manipulovat samostatně:
který mizí pro velké X. Netriviální nuly, jmenovitě ty na kritickém pásu 0 ≤ Re (s) ≤ 1, může být potenciálně asymptotického řádu srovnatelného s hlavním pojmem X -li Re(ρ) = 1, takže musíme ukázat, že všechny nuly mají skutečnou část striktně menší než 1.
Bereme to jako samozřejmost ζ(s) je meromorfní v polorovině Re(s) > 0, a je zde analytický s výjimkou jednoduchého pólu v s = 1, a že existuje produktový vzorec
pro Re(s) > 1. Tento produktový vzorec vyplývá z existence jedinečné primární faktorizace celých čísel a ukazuje to ζ(s) není nikdy nula v této oblasti, takže její logaritmus je definován tam a
Psát si s = X + iy; pak
Nyní pozorujte identitu
aby
pro všechny X > 1. Předpokládejme, že teď ζ(1 + iy) = 0. Rozhodně y není nula, protože ζ(s) má jednoduchý pól v s = 1. Předpokládejme to X > 1 a nechte X inklinují k 1 shora. Od té doby má jednoduchý pól v s = 1 a ζ(X + 2iy) zůstává analytický, levá strana v předchozí nerovnosti má sklon k 0, což je rozpor.
Nakonec můžeme dojít k závěru, že PNT je heuristicky pravdivý. Abychom důkladně dokončili důkaz, stále je třeba překonat vážné technické aspekty, a to kvůli skutečnosti, že součet nad nulami nula v explicitním vzorci pro ψ(X) nekonverguje absolutně, ale pouze podmíněně a ve smyslu „hlavní hodnoty“. Existuje několik způsobů, jak tento problém vyřešit, ale mnoho z nich vyžaduje poměrně choulostivé komplexní analytické odhady. Edwardsova kniha[10] poskytuje podrobnosti. Další metodou je použití Ikeharova Tauberianova věta, i když je tato věta sama o sobě docela obtížná. D. J. Newman poznamenal, že plná věta Ikeharovy věty není pro teorém prvočísla nutná a lze uniknout speciálnímu případu, který je mnohem snazší dokázat.
Newmanův důkaz věty o prvočísle
D. J. Newman poskytuje rychlý důkaz věty o primárním čísle (PNT). Důkaz je „neelementární“, protože se opírá o komplexní analýzu, ale kritický odhad používá pouze elementární techniky z prvního kurzu předmětu: Cauchyho integrální vzorec, Cauchyho integrální věta a odhady komplexních integrálů. Zde je stručný nástin tohoto důkazu:
První a druhý Čebyševova funkce jsou příslušně
Druhá řada se získá upuštěním výrazů pomocí od prvního. PNT je ekvivalentní buď nebo .
Součty pro a jsou dílčí součty koeficientů Dirichletova řada
kde je Funkce Riemann zeta. Stejně jako u částečných součtů je druhá řada získána upuštěním termínů pomocí od prvního. Série Dirichlet tvořená pojmy s dominuje řada Dirichlet pro pro všechny pozitivní , takže logaritmická derivace a se liší funkcí holomorfní v , a proto mají stejné singularity na řádku .
Integrace po částech dává za ,
Všechny analytické důkazy věty o prvočísle využívají skutečnosti, že nemá na řádku žádné nuly . Jedna další informace potřebná v Newmanově důkazu je to je omezený. To lze snadno dokázat pomocí elementárních metod.
Newmanova metoda dokazuje PNT zobrazením integrálu
konverguje, a proto integrand jde na nulu jako . Obecně konvergence nesprávného integrálu neznamená, že integrand jde na nulu, protože může oscilovat, ale protože při zvyšování je v tomto případě snadné ukázat.
Pro nechat
pak
který je na trati holomorfní . Konvergence integrálu je prokázáno tím, že ukazuje, že . To zahrnuje změnu pořadí limitů, protože je možné je zapsat
a proto jsou klasifikovány jako a Tauberianova věta.
Rozdíl je vyjádřeno pomocí Cauchyova integrálního vzorce a poté jsou na integrál aplikovány odhady. Opravit a takhle je holomorfní v regionu, kde a nechte být jeho hranicí. Protože 0 je v interiéru, Cauchyho integrální vzorec dává
Chcete-li získat hrubý odhad integrandu, dovolte být horní mezí pro , pak pro
Tato vazba není dost dobrá na to, aby dokázala výsledek, ale Newman zavádí faktor
do integrantu pro . Protože Newmanův faktor je celý a , levá strana zůstane nezměněna. Nyní výše uvedený odhad pro a odhady kombinovat dát
kde je půlkruh .
Nechat být obrys . Funkce je celý, takže Cauchyho integrální věta, obrys lze upravit na půlkruh o poloměru v levé polorovině beze změny integrálu , a stejný argument udává absolutní hodnotu tohoto integrálu jako . Nakonec necháme , integrál přes obrys od té doby jde na nulu jde na nulu na kontuře. Kombinací těchto tří odhadů získáte
To platí pro všechny tak a následuje PNT.
Funkce počítání prvočísel z hlediska logaritmického integrálu
V ručně psané poznámce na dotisku jeho papíru z roku 1838 “Sur l'usage des séries infinies dans la théorie des nombres“, který poslal Gaussovi Dirichletovi, se domníval (v poněkud odlišné formě, která apeluje na řadu spíše než na integrál), že ještě lepší aproximace π(X) je dán offset logaritmický integrál funkce Li (X), definován
Tento integrál skutečně silně naznačuje představu, že „hustota“ prvočísel je kolem t mělo by 1 / log t. Tato funkce souvisí s logaritmem pomocí asymptotická expanze
Věta o prvočísle tedy může být také zapsána jako π(X) ~ Li (X). Ve skutečnosti to v jiném článku z roku 1899 de la Vallée Poussin dokázal
pro nějakou pozitivní konstantu A, kde Ó(...) je velký Ó notace. Toto bylo vylepšeno na
- kde .[11]
V roce 2016 se Trudgian ukázal jako výslovná horní hranice rozdílu mezi a :
pro .[12]
Spojení mezi funkcí Riemann zeta a π(X) je jedním z důvodů Riemannova hypotéza má značný význam v teorii čísel: pokud je stanovena, přinesla by mnohem lepší odhad chyby zapojené do věty o prvočísle, než je dnes k dispozici. Konkrétněji, Helge von Koch ukázal v roce 1901[13] že pokud je Riemannova hypotéza pravdivá, lze chybový člen ve výše uvedeném vztahu vylepšit na
(tento poslední odhad je ve skutečnosti ekvivalentní Riemannově hypotéze). Konstanta ve velkém Ó notace byla odhadnuta v roce 1976 Lowell Schoenfeld:[14] za předpokladu Riemannovy hypotézy,
pro všechny X ≥ 2657. Podobnou vazbu odvodil také pro Čítačevova funkce počítání prvočísel ψ:
pro všechny X ≥ 73.2. Ukázalo se, že tato druhá vazba vyjadřuje rozptyl ve smyslu mocenský zákon (pokud je považována za náhodnou funkci přes celá čísla) a 1/F-hluk a také odpovídat Tweedie složené Poissonovo rozdělení. (Distribuce Tweedie představují rodinu měřítko neměnné distribuce, které slouží jako ohniska konvergence pro zobecnění teorém centrálního limitu.[15])
The logaritmický integrál li (X) je větší než π(X) pro "malé" hodnoty X. Je to proto, že to (v určitém smyslu) nepočítá prvočísla, ale primární moc, kde je moc strn prvočísla str se počítá jako 1/n prvočísla. To naznačuje li (X) by měla být obvykle větší než π(X) zhruba li (√X) / 2, a zejména by měla být vždy větší než π(X). V roce 1914 však J. E. Littlewood dokázal to znamení změn nekonečně často.[16] První hodnota X kde π(X) překračuje li (X) je pravděpodobně kolem X = 10316; viz článek na Šikmé číslo Více podrobností. (Na druhou stranu offset logaritmický integrál Li (X) je menší než π(X) již pro X = 2; Vskutku, Li (2) = 0, zatímco π(2) = 1.)
Základní důkazy
V první polovině dvacátého století někteří matematici (zejména G. H. Hardy ) věřil, že v matematice existuje hierarchie důkazních metod podle toho, jaký druh čísel (celá čísla, skutečné, komplex ) důkaz vyžaduje, a že věta o prvočísle (PNT) je „hluboká“ věta na základě požadavku komplexní analýza.[17] Tato víra byla trochu otřesena důkazem PNT založeným na Wienerova tauberiánská věta, ačkoli toto by mohlo být odloženo, kdyby se mělo za to, že Wienerova věta má „hloubku“ ekvivalentní hloubce komplexních proměnných metod.
V březnu 1948 Atle Selberg "elementární" znamená asymptotický vzorec
kde
pro prvočísla str.[18] V červenci téhož roku Selberg a Paul Erdős každý z nich získal základní důkazy PNT, přičemž jako výchozí bod použil Selbergův asymptotický vzorec.[17][19] Tyto důkazy účinně zakládaly představu, že PNT je v tomto smyslu „hluboká“, a ukázaly, že technicky „základní“ metody byly účinnější, než se předpokládalo. K historii elementárních důkazů PNT, včetně Erdős – Selberg prioritní spor, viz článek od Dorian Goldfeld.[17]
Diskutuje se o významu výsledku Erdőse a Selberga. Neexistuje žádná přísná a široce přijímaná definice pojmu základní důkaz v teorii čísel, takže není jasné, v jakém smyslu je jejich důkaz „základní“. Ačkoli nepoužívá komplexní analýzu, je ve skutečnosti mnohem techničtější než standardní důkaz PNT. Jedna možná definice „elementárního“ důkazu je „definice, kterou lze provést v prvním pořadí Peano aritmetika "Existují číslově-teoretické výroky (například Paříž – Harringtonova věta ) prokazatelné použití druhá objednávka ale ne první objednávka metody, ale takové věty jsou dosud vzácné. Erdősův a Selbergův důkaz lze jistě formalizovat aritmetikou Peano a v roce 1994 Charalambos Cornaros a Costas Dimitracopoulos dokázali, že jejich důkaz lze formalizovat ve velmi slabém fragmentu PA, konkrétně JáΔ0 + exp.[20] Tím se však neřeší otázka, zda lze standardní doklad o PNT formalizovat v PA.
Počítačová ověření
V roce 2005 Avigad et al. zaměstnal Prokazatel věty Isabelle navrhnout počítačově ověřenou variantu Erdős – Selbergova dokladu o PNT.[21] Jednalo se o první strojem ověřený důkaz PNT. Avigad se rozhodl formalizovat důkaz Erdős-Selberg spíše než analytický, protože zatímco Isabellina knihovna v té době mohla implementovat pojmy limit, derivace a transcendentální funkce, nemluvě o téměř žádné integrační teorii.[21]:19
V roce 2009, John Harrison zaměstnán HOL Light formalizovat důkaz zaměstnávat komplexní analýza.[22] Rozvojem nezbytných analytických strojů, včetně Cauchyho integrální vzorec Harrison dokázal formalizovat „přímý, moderní a elegantní důkaz namísto více zapojeného„ elementárního “Erdős – Selbergova argumentu“.
Věta prvočísla pro aritmetické posloupnosti
Nechat πn,A(X) uveďte počet prvočísel v aritmetický postup A, A + n, A + 2n, A + 3n, ... méně než X. Dirichlet a Legendre se domnívali a de la Vallée Poussin dokázal, že pokud A a n jsou coprime, pak
kde φ je Eulerova totientová funkce. Jinými slovy, prvočísla jsou rozdělena rovnoměrně mezi třídy zbytků [A] modulo n s gcd (A, n) = 1. To je silnější než Dirichletova věta o aritmetických postupech (který pouze uvádí, že v každé třídě je nekonečno prvočísel) a lze jej dokázat pomocí podobných metod používaných Newmanem pro důkaz věty o prvočísle.[23]
The Siegel – Walfiszova věta poskytuje dobrý odhad pro distribuci připraví ve třídách zbytků.
Prvotřídní závod
I když máme zejména
empiricky jsou prvočísla shodná se třemi početnější a jsou téměř vždy vpředu v tomto „závodě o prvočíslo“; první zvrat nastane v X = 26861.[24]:1–2 Littlewood se však ukázal v roce 1914[24]:2 že pro tuto funkci existuje nekonečně mnoho změn znaménka
takže náskok v závodě se nekonečně mnohokrát přepíná tam a zpět. Fenomén, který π4,3(X) je většinou dopředu Čebyševova zaujatost. Rasa prvočísel se zobecňuje na jiné moduly a je předmětem mnoha výzkumů; Pál Turán zeptal se, zda je tomu tak vždy π(X;A,C) a π(X;b,C) změnit místo, když A a b jsou coprime C.[25] Granville a Martin podají důkladnou výklad a průzkum.[24]
Neasymptotické meze funkce počítání prime
Věta o prvočísle je asymptotické výsledek. To dává neúčinné vázáno na π(X) jako přímý důsledek definice limitu: pro všechny ε > 0, tady je S takové, že pro všechny X > S,
Lepší hranice π(X) jsou například známé Pierre Dusart je
První nerovnost platí pro všechny X ≥ 599 a druhý pro X ≥ 355991.[26]
Slabší, ale někdy užitečná X ≥ 55 je[27]
V práci Pierra Dusarta existují silnější verze tohoto typu nerovnosti, které platí pro větší X. Později v roce 2010 Dusart dokázal:[28]
Důkaz de la Vallée Poussina znamená následující: pro každého ε > 0, tady je S takové, že pro všechny X > S,
Aproximace pro nth prvočíslo
V důsledku věty o prvočísle získá člověk asymptotický výraz pro nth prvočíslo, označené strn:
Lepší aproximace je[29]
Znovu s ohledem na 2×1017th prvočíslo 8512677386048191063, toto dává odhad o 8512681315554715386; prvních 5 číslic odpovídá a relativní chyba je asi 0,00005%.
Rosserova věta tvrdí, že
To lze vylepšit následující dvojicí hranic:[30][31]
Tabulka π(X), X / log X, a li (X)
Tabulka porovnává přesné hodnoty π(X) na dvě aproximace X / log X a li (X). Poslední sloupec, X / π(X), je průměr hlavní mezera nížeX.
X π(X) π(X) − X/log X π(X)/X / log X li (X) − π(X) X/π(X) 10 4 −0.3 0.921 2.2 2.5 102 25 3.3 1.151 5.1 4 103 168 23 1.161 10 5.952 104 1229 143 1.132 17 8.137 105 9592 906 1.104 38 10.425 106 78498 6116 1.084 130 12.740 107 664579 44158 1.071 339 15.047 108 5761455 332774 1.061 754 17.357 109 50847534 2592592 1.054 1701 19.667 1010 455052511 20758029 1.048 3104 21.975 1011 4118054813 169923159 1.043 11588 24.283 1012 37607912018 1416705193 1.039 38263 26.590 1013 346065536839 11992858452 1.034 108971 28.896 1014 3204941750802 102838308636 1.033 314890 31.202 1015 29844570422669 891604962452 1.031 1052619 33.507 1016 279238341033925 7804289844393 1.029 3214632 35.812 1017 2623557157654233 68883734693281 1.027 7956589 38.116 1018 24739954287740860 612483070893536 1.025 21949555 40.420 1019 234057667276344607 5481624169369960 1.024 99877775 42.725 1020 2220819602560918840 49347193044659701 1.023 222744644 45.028 1021 21127269486018731928 446579871578168707 1.022 597394254 47.332 1022 201467286689315906290 4060704006019620994 1.021 1932355208 49.636 1023 1925320391606803968923 37083513766578631309 1.020 7250186216 51.939 1024 18435599767349200867866 339996354713708049069 1.019 17146907278 54.243 1025 176846309399143769411680 3128516637843038351228 1.018 55160980939 56.546 OEIS A006880 A057835 A057752
Hodnota pro π(1024) byl původně vypočítán za předpokladu Riemannova hypotéza;[32] od té doby byl bezpodmínečně ověřen.[33]
Analogový pro neredukovatelné polynomy přes konečné pole
Existuje analogie věty o prvočísle, která popisuje „rozdělení“ neredukovatelné polynomy přes konečné pole; forma, kterou má, je nápadně podobná případu klasické věty o prvočísle.
Abych to přesně uvedl, dovolte F = GF (q) být konečné pole s q prvky, pro některé pevné qa nechte Nn být počet monic neredukovatelné polynomy přes F jehož stupeň je rovný n. To znamená, že se díváme na polynomy s koeficienty vybranými z F, které nelze zapsat jako součin polynomů menšího stupně. V tomto nastavení hrají tyto polynomy roli prvočísel, protože všechny ostatní monické polynomy jsou vytvořeny z jejich produktů. To se pak dá dokázat
Pokud provedeme substituci X = qn, pak je pravá strana spravedlivá
díky čemuž je analogie jasnější. Protože tam jsou přesně qn monické polynomy stupně n (včetně redukovatelných), lze to přeformulovat takto: pokud je monický polynom stupně n je vybrán náhodně, pak je pravděpodobnost jeho neredukovatelnosti asi1/n.
Lze dokonce dokázat analogii Riemannovy hypotézy, konkrétně to
Důkazy těchto tvrzení jsou mnohem jednodušší než v klasickém případě. Zahrnuje krátkou, kombinační argument,[34] shrnuto takto: každý prvek titulu n rozšíření F je kořen nějakého neredukovatelného polynomu, jehož stupeň d rozděluje n; spočítáním těchto kořenů dvěma různými způsoby to člověk stanoví
kde je součet nade vše dělitele d z n. Möbiova inverze pak výnosy
kde μ(k) je Möbiova funkce. (Tento vzorec byl Gaussovi znám.) Hlavní termín se vyskytuje pro d = na není těžké svázat zbývající podmínky. Výrok „Riemannova hypotéza“ závisí na skutečnosti, že největší správný dělitel z n nemůže být větší než n/2.
Viz také
- Abstraktní analytická teorie čísel pro informace o zobecnění věty.
- Landauova hlavní ideální věta pro zobecnění k naplnění ideálů v algebraických číselných polích.
- Riemannova hypotéza
Poznámky
- ^ Hoffman, Paul (1998). Muž, který miloval pouze čísla. New York: Hyperion Books. p.227. ISBN 978-0-7868-8406-3. PAN 1666054.
- ^ „Prime Curios !: 8512677386048191063“. Prime Curios!. University of Tennessee at Martin. 09.10.2011.
- ^ C. F. Gauss. Werke, Bd 2, 1. vydání, 444–447. Göttingen 1863.
- ^ Costa Pereira, N. (srpen – září 1985). „Krátký důkaz Čebyševovy věty“. Americký matematický měsíčník. 92 (7): 494–495. doi:10.2307/2322510. JSTOR 2322510.
- ^ Nair, M. (únor 1982). "O nerovnostech typu Čebyšev pro prvočísla". Americký matematický měsíčník. 89 (2): 126–129. doi:10.2307/2320934. JSTOR 2320934.
- ^ Ingham, A. E. (1990). Rozdělení prvočísel. Cambridge University Press. s. 2–5. ISBN 978-0-521-39789-6.
- ^ Newman, Donald J. (1980). "Jednoduchý analytický důkaz věty o prvočísle". Americký matematický měsíčník. 87 (9): 693–696. doi:10.2307/2321853. JSTOR 2321853. PAN 0602825.
- ^ Zagier, Don (1997). „Newmanův krátký důkaz věty o prvočísle“. Americký matematický měsíčník. 104 (8): 705–708. doi:10.2307/2975232. JSTOR 2975232. PAN 1476753.
- ^ Tao, Terence. „254A, Notes 2: Complex-analytic multiplicative theory theory“. Blog Terence Tao.
- ^ Edwards, Harold M. (2001). Riemannova funkce zeta. Publikace Courier Dover. ISBN 978-0-486-41740-0.
- ^ Kevin Ford (2002). „Vinogradovova integrace a hranice funkce Riemanna Zeta“ (PDF). Proc. London Math. Soc. 85 (3): 565–633. arXiv:1910.08209. doi:10.1112 / S0024611502013655. S2CID 121144007.
- ^ Tim Trudgian (únor 2016). Msgstr "Aktualizace chybového členu ve větě prvočísel". Ramanujan Journal. 39 (2): 225–234. arXiv:1401.2689. doi:10.1007 / s11139-014-9656-6. S2CID 11013503.
- ^ Von Koch, Helge (1901). „Sur la distribution des nombres premers“ [O rozdělení prvočísel]. Acta Mathematica (francouzsky). 24 (1): 159–182. doi:10.1007 / BF02403071. PAN 1554926. S2CID 119914826.
- ^ Schoenfeld, Lowell (1976). „Ostřejší hranice pro Čebyševovy funkce θ(X) a ψ(X). II ". Matematika výpočtu. 30 (134): 337–360. doi:10.2307/2005976. JSTOR 2005976. PAN 0457374..
- ^ Jørgensen, Bent; Martínez, José Raúl; Tsao, Min (1994). Msgstr "Asymptotické chování funkce rozptylu". Scandinavian Journal of Statistics. 21 (3): 223–243. JSTOR 4616314. PAN 1292637.
- ^ Littlewood, J. E. (1914). "Sur la distribution des nombres premiers". Comptes Rendus. 158: 1869–1872. JFM 45.0305.01.
- ^ A b C Goldfeld, Dorian (2004). „Elementární důkaz věty o prvočísle: historická perspektiva“ (PDF). In Chudnovsky, David; Chudnovský, Gregory; Nathanson, Melvyn (eds.). Teorie čísel (New York, 2003). New York: Springer-Verlag. 179–192. doi:10.1007/978-1-4419-9060-0_10. ISBN 978-0-387-40655-8. PAN 2044518.
- ^ Selberg, Atle (1949). „Elementární důkaz věty o prvočísle“. Annals of Mathematics. 50 (2): 305–313. doi:10.2307/1969455. JSTOR 1969455. PAN 0029410.
- ^ Baas, Nils A .; Skau, Christian F. (2008). „Pán čísel, Atle Selberg. O jeho životě a matematice“ (PDF). Býk. Amer. Matematika. Soc. 45 (4): 617–649. doi:10.1090 / S0273-0979-08-01223-8. PAN 2434348.
- ^ Cornaros, Charalambos; Dimitracopoulos, Costas (1994). „Věta o prvočísle a její fragmenty PA" (PDF). Archiv pro matematickou logiku. 33 (4): 265–281. doi:10.1007 / BF01270626. PAN 1294272. S2CID 29171246. Archivovány od originál (PDF) dne 21. 7. 2011.
- ^ A b Avigad, Jeremy; Donnelly, Kevin; Gray, David; Raff, Paul (2008). "Formálně ověřený důkaz věty o prvočísle". Transakce ACM ve výpočetní logice. 9 (1): 2. arXiv:cs / 0509025. doi:10.1145/1297658.1297660. PAN 2371488. S2CID 7720253.
- ^ Harrison, John (2009). „Formalizace analytického důkazu věty o prvočísle“. Journal of Automated Reasoning. 43 (3): 243–261. CiteSeerX 10.1.1.646.9725. doi:10.1007 / s10817-009-9145-6. PAN 2544285. S2CID 8032103.
- ^ Soprounov, Ivan (1998). „Krátký důkaz věty o prvočísle pro aritmetické postupy“ (PDF). Citovat deník vyžaduje
| deník =
(Pomoc) - ^ A b C Granville, Andrew; Martin, Greg (2006). „Prvočíslo“ (PDF). Americký matematický měsíčník. 113 (1): 1–33. doi:10.2307/27641834. JSTOR 27641834. PAN 2202918.
- ^ Guy, Richard K. (2004). Nevyřešené problémy v teorii čísel (3. vyd.). Springer-Verlag. A4. ISBN 978-0-387-20860-2. Zbl 1058.11001.
- ^ Dusart, Pierre (1998). Autour de la fonction qui compte le nombre de nombres premers (Disertační práce) (ve francouzštině).
- ^ Rosser, Barkley (1941). "Explicitní hranice pro některé funkce prvočísel". American Journal of Mathematics. 63 (1): 211–232. doi:10.2307/2371291. JSTOR 2371291. PAN 0003018.
- ^ Dusart, Pierre (2010). "Odhady některých funkcí nad prvočísly bez R.H". arXiv:1002.0442 [math.NT ].
- ^ Cesàro, Ernesto (1894). „Sur une formule empirique de M. Pervouchine“. Comptes Rendus Hebdomadaires des Séances de l'Académie des Sciences (francouzsky). 119: 848–849.
- ^ Rosser, Barkley (1941). "Explicitní hranice pro některé funkce prvočísel". American Journal of Mathematics. 63 (1): 211–232. doi:10.2307/2371291. JSTOR 2371291.
- ^ Dusart, Pierre (1999). „The kth prime je větší než k(log k + log log k−1) pro k ≥ 2". Matematika výpočtu. 68 (225): 411–415. doi:10.1090 / S0025-5718-99-01037-6. PAN 1620223.
- ^ "Podmíněný výpočet π(1024)". Chris K. Caldwell. Citováno 2010-08-03.
- ^ Platt, David (2015). "Výpočetní π(X) analyticky ". Matematika výpočtu. 84 (293): 1521–1535. arXiv:1203.5712. doi:10.1090 / S0025-5718-2014-02884-6. PAN 3315519. S2CID 119174627.
- ^ Chebolu, Sunil; Mináč, Ján (prosinec 2011). "Počítání neredukovatelných polynomů přes konečná pole pomocí inkluze." π Zásada vyloučení “. Matematický časopis. 84 (5): 369–371. arXiv:1001.0409. doi:10,4169 / math.mag.84.5.369. JSTOR 10,4169 / math.mag.84.5.369. S2CID 115181186.
Reference
- Hardy, G. H .; Littlewood, J. E. (1916). „Příspěvky k teorii Riemannovy zeta-funkce a teorii distribuce prvočísel“. Acta Mathematica. 41: 119–196. doi:10.1007 / BF02422942. S2CID 53405990.
- Granville, Andrew (1995). „Harald Cramér a rozdělení prvočísel“ (PDF). Skandinávský pojistněmatematický deník. 1: 12–28. CiteSeerX 10.1.1.129.6847. doi:10.1080/03461238.1995.10413946.
externí odkazy
- "Rozdělení prvočísel", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]
- Tabulka prvočísel Anton Felkel.
- Krátké video vizualizace věty o prvočísle.
- Prime vzorce a Věta o prvočísle na MathWorld.
- „Věta o prvočísle“. PlanetMath.
- Kolik je připraveno? a Mezery mezi prvočísly Chris Caldwell, University of Tennessee at Martin.
- Tabulky funkcí počítání prvočísel autor Tomás Oliveira e Silva