Exponenciálně upravené Gaussovo rozdělení - Exponentially modified Gaussian distribution - Wikipedia

EMG

Funkce hustoty pravděpodobnosti
Funkce kumulativní distribuce
Parametry	μ ∈ R - průměr Gaussovy složky σ2 > 0 - rozptyl Gaussovy složky λ > 0 - rychlost exponenciální složky
Podpěra, podpora	X ∈ R
PDF	${ displaystyle { frac { lambda} {2}} e ^ {{ frac { lambda} {2}} (2 mu + lambda sigma ^ {2} -2x)} operatorname {erfc} left ({ frac { mu + lambda sigma ^ {2} -x} {{ sqrt {2}} sigma}} right)}$
CDF	${ displaystyle Phi (u, 0, v) -e ^ {- u + v ^ {2} / 2 + log ( Phi (u, v ^ {2}, v))}}$, kde ${ displaystyle Phi (x, mu, sigma)}$ je CDF Gaussovy distribuce, ${ displaystyle u = lambda (x- mu)}$, ${ displaystyle v = lambda sigma}$
Znamenat	${ displaystyle mu + 1 / lambda}$
Režim	${ displaystyle x_ {m} = mu - operatorname {sgn} left ( tau right) { sqrt {2}} sigma operatorname {erfcxinv} left ({ frac {{|} tau {|}} { sigma}} { sqrt { frac {2} { pi}}} right) + { frac { sigma ^ {2}} { tau}}}$ ${ displaystyle f (x_ {m}) = h exp left (- { frac {1} {2}} left ({ frac { mu -x_ {m}} { sigma}} right ) ^ {2} vpravo)}$
Rozptyl	${ displaystyle sigma ^ {2} + 1 / lambda ^ {2}}$
Šikmost	${ displaystyle { frac {2} { sigma ^ {3} lambda ^ {3}}} vlevo (1 + { frac {1} { sigma ^ {2} lambda ^ {2}}} right) ^ {- 3/2}}$
Př. špičatost	${ displaystyle { frac {3 (1 + { frac {2} { sigma ^ {2} lambda ^ {2}}} + { frac {3} { lambda ^ {4} sigma ^ { 4}}})}} { left (1 + { frac {1} { lambda ^ {2} sigma ^ {2}}} right) ^ {2}}} - 3}$
MGF	${ displaystyle left (1 - { frac {t} { lambda}} right) ^ {- 1} , exp left ( mu t + { frac {1} {2}} sigma ^ {2} t ^ {2} vpravo)}$
CF	${ displaystyle left (1 - { frac {it} { lambda}} right) ^ {- 1} , exp left (i mu t - { frac {1} {2}} sigma ^ {2} t ^ {2} vpravo)}$

v teorie pravděpodobnosti, an exponenciálně upravené Gaussovo rozdělení (EMG, také známý jako exGaussian distribuce) popisuje součet nezávislých normální a exponenciální náhodné proměnné. ExGaussian náhodná proměnná Z lze vyjádřit jako Z = X + Y, kde X a Y jsou nezávislí, X je Gaussian se střední hodnotou μ a rozptyl σ², a Y je exponenciální rychlosti λ. Má charakteristický pozitivní sklon od exponenciální složky.

Lze jej také považovat za váženou funkci posunutého exponenciálu, přičemž váha je funkcí normálního rozdělení.

Definice

The funkce hustoty pravděpodobnosti (pdf) exponenciálně upravených normální distribuce je^[1]

${ displaystyle f (x; mu, sigma, lambda) = { frac { lambda} {2}} e ^ {{ frac { lambda} {2}} (2 mu + lambda sigma ^ {2} -2x)} operatorname {erfc} left ({ frac { mu + lambda sigma ^ {2} -x} {{ sqrt {2}} sigma}} right) ,}$

kde erfc je doplňková chybová funkce definováno jako

${ displaystyle { begin {seřazeno} operatorname {erfc} (x) & = 1- operatorname {erf} (x) & = { frac {2} { sqrt { pi}}} int _ {x} ^ { infty} e ^ {- t ^ {2}} , dt. end {zarovnáno}}}$

Tato funkce hustoty je odvozena pomocí konvoluce normální a exponenciální funkce hustoty pravděpodobnosti.

Alternativní formy výpočtu

Alternativní, ale ekvivalentní forma distribuce EMG se používá pro popis tvaru píku v chromatografie.^[2] Toto je následující

${ displaystyle f (x; h, mu, sigma, tau) = { frac {h sigma} { tau}} { sqrt { frac { pi} {2}}} exp left ({ frac {1} {2}} left ({ frac { sigma} { tau}} right) ^ {2} - { frac {x- mu} { tau}} vpravo) operatorname {erfc} vlevo ({ frac {1} { sqrt {2}}} vlevo ({ frac { sigma} { tau}} - { frac {x- mu} { sigma}} right) right),}$ (1)

kde

${ displaystyle h}$ je amplituda Gaussian,

${ displaystyle tau = { frac {1} { lambda}}}$ je exponent relaxační čas.

Tuto funkci nelze vypočítat pro některé hodnoty parametrů (například τ = 0) kvůli aritmetickému přetečení. Alternativní, ale ekvivalentní formu psaní funkce navrhl Delley:^[3]

${ displaystyle f (x; h, mu, sigma, tau) = h exp left (- { frac {1} {2}} left ({ frac {x- mu} { sigma}} right) ^ {2} right) { frac { sigma} { tau}} { sqrt { frac { pi} {2}}} operatorname {erfcx} left ({ frac {1} { sqrt {2}}} left ({ frac { sigma} { tau}} - { frac {x- mu} { sigma}} right) right), }$ (2)

kde ${ displaystyle operatorname {erfcx} t = exp t ^ {2} cdot operatorname {erfc} t}$ je škálovaná doplňková chybová funkce

V případě tohoto vzorce je také možné aritmetické přetečení, oblast přetečení se liší od prvního vzorce, s výjimkou velmi malého τ.

Pro malé τ je rozumné použít asymptotickou formu druhého vzorce:

${ displaystyle f (x; h, mu, sigma, tau) = { frac {h exp left (- { frac {1} {2}} left ({ frac {x- mu} { sigma}} right) ^ {2} right)} {1 + { frac { left (x- mu right) tau} { sigma ^ {2}}}}}, }$ (3)

O použití vzorce se rozhoduje na základě parametru ${ displaystyle z = { frac {1} { sqrt {2}}} vlevo ({ frac { sigma} { tau}} - { frac {x- mu} { sigma}} že jo)}$:

pro z Je třeba provést výpočet <0^[2] podle prvního vzorce

pro 0 ≤ z ≤ 6.71·10⁷ (v případě formát s plovoucí desetinnou čárkou s dvojitou přesností ) podle druhého vzorce,

a pro z > 6.71·10⁷ podle třetího vzorce.

Režim (poloha vrcholu, nejpravděpodobnější hodnota) se vypočítá^[2] s použitím derivátu vzorce 2; inverzní k škálovaná doplňková chybová funkce erfcxinv () se používá pro výpočet. Přibližné hodnoty navrhuje také Kalembet.^[2] Ačkoli je režim na hodnotě vyšší než u původní Gaussian, vrchol je vždy umístěn na původní (nemodifikované) Gaussian.

Odhad parametrů

Existují tři parametry: znamenat normálního rozdělení (μ), standardní odchylka normálního rozdělení (σ) a exponenciální úpadek parametr (τ = 1 / λ). Tvar K. = τ / σ se také někdy používá k charakterizaci distribuce. V závislosti na hodnotách parametrů se rozdělení může lišit ve tvaru od téměř normálního po téměř exponenciální.

Parametry distribuce lze odhadnout z ukázkových dat pomocí metoda momentů jak následuje:^[4][5]

${ displaystyle m = mu + tau,}$

${ displaystyle s ^ {2} = sigma ^ {2} + tau ^ {2},}$

${ displaystyle gamma _ {1} = { frac {2 tau ^ {3}} {( sigma ^ {2} + tau ^ {2}) ^ {3/2}}},}$

kde m je průměr vzorku, s je standardní směrodatná odchylka a y₁ je šikmost.

Jejich řešení pro parametry dává:

${ displaystyle { hat { mu}} = m-s vlevo ({ frac { gamma _ {1}} {2}} vpravo) ^ {1/3},}$

${ displaystyle { hat { sigma ^ {2}}} = s ^ {2} left [1- left ({ frac { gamma _ {1}} {2}} right) ^ {2 / 3} vpravo],}$

${ displaystyle { hat { tau}} = s left ({ frac { gamma _ {1}} {2}} right) ^ {1/3}.}$

Doporučení

Ratcliff navrhl, aby ve vzorku bylo alespoň 100 datových bodů, než by odhady parametrů měly být považovány za spolehlivé.^[6] Vincent průměrně lze použít u menších vzorků, protože tento postup pouze mírně narušuje tvar distribuce.^[7] Tyto bodové odhady lze použít jako počáteční hodnoty, které lze vylepšit výkonnějšími metodami, včetně maximální pravděpodobnost.

Intervaly spolehlivosti

V současné době nejsou k dispozici žádné publikované tabulky pro testování významnosti s touto distribucí. Distribuci lze simulovat vytvořením součtu dvou náhodných proměnných, jedné čerpané z normálního rozdělení a druhé z exponenciálu.

Překroutit

Hodnota neparametrický zkosení

${ displaystyle { frac {{ text {mean}} - { text {median}}} { text {standardní odchylka}}}}$

této distribuce leží mezi 0 a 0,31.^[8][9] Dolní mez se přiblíží, když dominuje normální složka, a horní, když dominuje exponenciální složka.

Výskyt

Distribuce se používá jako teoretický model pro tvar chromatografické vrcholy.^[1][2][10] Byl navržen jako statistický model intermitotický čas v dělících se buňkách.^[11][12] Používá se také při modelování klastrových iontových paprsků.^[13] To se běžně používá v psychologii a dalších vědách o mozku při studiu doby odezvy.^[14][15] V mírné variantě, kde je průměr normální komponenty nastaven na nulu, se také používá v Stochastická hraniční analýza, jako jedna z distribučních specifikací pro složený chybový člen, který modeluje neefektivitu. ^[16]

Související distribuce

Tato rodina distribucí je zvláštním nebo limitujícím případem normální-exponenciální-gama rozdělení. Lze to také považovat za tříparametrické zobecnění normálního rozdělení, které přidá zkosení; další taková distribuce je zkosit normální rozdělení, který má tenčí ocasy. Distribuce je a složené rozdělení pravděpodobnosti ve kterém střední hodnota a normální distribuce se mění náhodně jako posunutý exponenciální rozdělení.

A Gaussova mínus exponenciální pro modelování cen opcí byla navržena distribuce.^[17] Pokud taková náhodná proměnná Y má parametry μ, σ, λ, pak jeho negativní -Y má exponenciálně upravené Gaussovo rozdělení s parametry -μ, σ, λ, a tudíž Y má průměr ${ displaystyle mu - { tfrac {1} { lambda}}}$ a rozptyl ${ displaystyle sigma ^ {2} + { tfrac {1} { lambda ^ {2}}}}$.

Reference