Chybová funkce - Error function

Graf chybové funkce

V matematice je chybová funkce (nazývané také Gaussova chybová funkce), často označován erf, je komplexní funkce komplexní proměnné definované jako:^[1]

${ displaystyle operatorname {erf} z = { frac {2} { sqrt { pi}}} int _ {0} ^ {z} e ^ {- t ^ {2}} , dt.}$

Tento integrál je a speciální (ne-základní ) a sigmoid funkce, která se často vyskytuje v pravděpodobnost, statistika, a parciální diferenciální rovnice. V mnoha z těchto aplikací je argument funkce skutečné číslo. Pokud je argument funkce skutečný, pak je hodnota funkce také reálná.

Ve statistice pro nezáporné hodnoty X, má chybová funkce následující interpretaci: pro a náhodná proměnná Y to je normálně distribuováno s znamenat 0 a rozptyl 1/2, erf X je pravděpodobnost, že Y spadá do rozsahu [−X, X].

Dvě úzce související funkce jsou doplňková chybová funkce (erfc) definováno jako

${ displaystyle operatorname {erfc} z = 1- operatorname {erf} z,}$

a funkce imaginární chyby (erfi) definováno jako

${ displaystyle operatorname {erfi} z = -i operatorname {erf} (iz),}$

kde i je imaginární jednotka.

název

Název „chybová funkce“ a jeho zkratka erf byly navrženy J. W. L. Glaisher v roce 1871 z důvodu jeho souvislosti s "teorií pravděpodobnosti, a zejména teorií Chyby."^[2] Doplněk chybové funkce byl Glaisherem diskutován také v samostatné publikaci ve stejném roce.^[3]Pro "zákon o zařízení" chyb, jejichž hustota darováno

${ displaystyle f (x) = left ({ frac {c} { pi}} right) ^ { tfrac {1} {2}} e ^ {- cx ^ {2}}}$

(dále jen normální distribuce ), Glaisher vypočítá pravděpodobnost chyby mezi nimi ${ displaystyle p}$ a ${ displaystyle q}$ tak jako:

${ displaystyle left ({ frac {c} { pi}} right) ^ { tfrac {1} {2}} int _ {p} ^ {q} e ^ {- cx ^ {2} } dx = { tfrac {1} {2}} left ( operatorname {erf} (q { sqrt {c}}) - operatorname {erf} (p { sqrt {c}}) right) .}$

Aplikace

Když jsou výsledky řady měření popsány a normální distribuce s standardní odchylka ${ displaystyle sigma}$ a očekávaná hodnota 0, tedy ${ displaystyle textstyle operatorname {erf} vlevo ({ frac {a} { sigma { sqrt {2}}}} vpravo)}$ je pravděpodobnost, že chyba jednoho měření leží mezi -A a +A, pro pozitivní A. To je užitečné například při určování bitová chybovost digitálního komunikačního systému.

Chybové a doplňkové chybové funkce se vyskytují například v řešeních rovnice tepla když okrajové podmínky jsou dány Funkce Heaviside step.

Chybovou funkci a její aproximace lze použít k odhadu platných výsledků s vysokou pravděpodobností nebo s nízkou pravděpodobností. Daná náhodná proměnná ${ displaystyle X sim operatorname {Norm} [ mu, sigma]}$ a konstantní ${ displaystyle L < mu}$:

${ displaystyle Pr [X leq L] = { frac {1} {2}} + { frac {1} {2}} operatorname {erf} left ({ frac {L- mu} {{ sqrt {2}} sigma}} right) přibližně A exp left (-B left ({ frac {L- mu} { sigma}} right) ^ {2} že jo)}$

kde A a B jsou určité číselné konstanty. Li L je dostatečně daleko od průměru, tj. ${ displaystyle mu -L geq sigma { sqrt { ln {k}}}}$, pak:

${ displaystyle Pr [X leq L] leq A exp (-B ln {k}) = { frac {A} {k ^ {B}}}}$

takže pravděpodobnost jde na 0 jako ${ displaystyle k to infty}$.

Vlastnosti

Pozemky ve složité rovině

Integrand exp (-z²)

ERF (z)

Vlastnictví ${ displaystyle operatorname {erf} (-z) = - operatorname {erf} (z)}$ znamená, že chybová funkce je lichá funkce. To přímo vyplývá ze skutečnosti, že integrand ${ displaystyle e ^ {- t ^ {2}}}$ je sudá funkce.

Pro všechny komplexní číslo z:

${ displaystyle operatorname {erf} ({ overline {z}}) = { overline { operatorname {erf} (z)}}}$

kde ${ displaystyle { overline {z}}}$ je komplexní konjugát z z.

Integrrand F = exp (-z²) a F = erf (z) jsou zobrazeny v komplexu z-rovina na obrázcích 2 a 3. Úroveň Im (F) = 0 je zobrazeno silnou zelenou čarou. Záporné celočíselné hodnoty Im (F) jsou zobrazeny silnými červenými čarami. Kladné celočíselné hodnoty Im (F) jsou zobrazeny silnými modrými čarami. Mezilehlé úrovně Im (F) = konstanta jsou zobrazeny tenkými zelenými čarami. Střední úrovně Re (F) = konstanty jsou zobrazeny tenkými červenými čarami pro záporné hodnoty a tenkými modrými čarami pro kladné hodnoty.

Chybová funkce při + ∞ je přesně 1 (viz Gaussův integrál ). Na skutečné ose, erf (z) přibližuje jednotu v z → + ∞ a −1 na z → −∞. Na imaginární ose má sklon ±i∞.

Taylor série

Chybová funkce je celá funkce; nemá žádné singularity (kromě toho v nekonečnu) a jeho Taylorova expanze vždy konverguje, ale je známá jako „[...] pro svou špatnou konvergenci, pokud x> 1.“^[4]

Definující integrál nelze vyhodnotit v uzavřená forma ve smyslu základní funkce, ale rozšířením integrand E^−z2 do jeho Řada Maclaurin a integrací po termínu získáme řadu Maclaurinových funkcí chybové funkce jako:

${ displaystyle operatorname {erf} (z) = { frac {2} { sqrt { pi}}} sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ { n} z ^ {2n + 1}} {n! (2n + 1)}} = { frac {2} { sqrt { pi}}} left (z - { frac {z ^ {3} } {3}} + { frac {z ^ {5}} {10}} - { frac {z ^ {7}} {42}} + { frac {z ^ {9}} {216}} - cdots right)}$

který platí pro každého komplexní číslo  z. Pojmy jmenovatele jsou sekvence A007680 v OEIS.

Pro iterativní výpočet výše uvedené řady může být užitečná následující alternativní formulace:

${ displaystyle operatorname {erf} (z) = { frac {2} { sqrt { pi}}} sum _ {n = 0} ^ { infty} left (z prod _ {k = 1} ^ {n} { frac {- (2k-1) z ^ {2}} {k (2k + 1)}} right) = { frac {2} { sqrt { pi}}} sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {z} {2n + 1}} prod _ {k = 1} ^ {n} { frac {-z ^ {2}} {k }}}$

protože ${ displaystyle { frac {- (2k-1) z ^ {2}} {k (2k + 1)}}}$ vyjadřuje multiplikátor k otočení k^th termín do (k + 1)^Svatý termín (s ohledem na z jako první termín).

Funkce imaginární chyby má velmi podobnou řadu Maclaurinů, která je:

${ displaystyle operatorname {erfi} (z) = { frac {2} { sqrt { pi}}} sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {z ^ {2n + 1 }} {n! (2n + 1)}} = { frac {2} { sqrt { pi}}} left (z + { frac {z ^ {3}} {3}} + { frac {z ^ {5}} {10}} + { frac {z ^ {7}} {42}} + { frac {z ^ {9}} {216}} + cdots right)}$

který platí pro každého komplexní číslo  z.

Derivace a integrál

Derivace chybové funkce vyplývá okamžitě z její definice:

${ displaystyle { frac {d} {dz}} operatorname {erf} (z) = { frac {2} { sqrt { pi}}} e ^ {- z ^ {2}}.}$

Z toho je derivace funkce imaginární chyby také okamžitá:

${ displaystyle { frac {d} {dz}} operatorname {erfi} (z) = { frac {2} { sqrt { pi}}} e ^ {z ^ {2}}.}$

An primitivní chybové funkce, kterou lze získat integrace po částech, je

${ displaystyle z operatorname {erf} (z) + { frac {e ^ {- z ^ {2}}} { sqrt { pi}}}.}$

Antiderivát funkce imaginární chyby, který lze také získat integrací po částech, je

${ displaystyle z operatorname {erfi} (z) - { frac {e ^ {z ^ {2}}} { sqrt { pi}}}.}$

Deriváty vyšších řádů jsou dány vztahem

${ displaystyle operatorname {erf} ^ {(k)} (z) = { frac {2 (-1) ^ {k-1}} { sqrt { pi}}} { mathit {H}} _ {k-1} (z) e ^ {- z ^ {2}} = { frac {2} { sqrt { pi}}} { frac {d ^ {k-1}} {dz ^ {k-1}}} vlevo (e ^ {- z ^ {2}} vpravo), qquad k = 1,2, tečky}$

kde ${ displaystyle { mathit {H}}}$ jsou fyzici Hermitovy polynomy.^[5]

Řada Bürmann

Expanze,^[6] který rychleji konverguje pro všechny skutečné hodnoty ${ displaystyle x}$ než Taylorova expanze, se získá použitím Hans Heinrich Bürmann věta:^[7]

${ displaystyle { begin {aligned} operatorname {erf} (x) & = { frac {2} { sqrt { pi}}} operatorname {sgn} (x) { sqrt {1-e ^ {-x ^ {2}}}} left (1 - { frac {1} {12}} left (1-e ^ {- x ^ {2}} right) - { frac {7} {480}} left (1-e ^ {- x ^ {2}} right) ^ {2} - { frac {5} {896}} left (1-e ^ {- x ^ {2 }} right) ^ {3} - { frac {787} {276480}} left (1-e ^ {- x ^ {2}} right) ^ {4} - cdots right) [10pt] & = { frac {2} { sqrt { pi}}} operatorname {sgn} (x) { sqrt {1-e ^ {- x ^ {2}}}}} vlevo ({ frac { sqrt { pi}} {2}} + sum _ {k = 1} ^ { infty} c_ {k} e ^ {- kx ^ {2}} right). end {zarovnáno }}}$

Ponecháním pouze prvních dvou koeficientů a výběrem ${ displaystyle c_ {1} = { frac {31} {200}}}$ a ${ displaystyle c_ {2} = - { frac {341} {8000}},}$ výsledná aproximace ukazuje jeho největší relativní chybu v ${ displaystyle x = pm 1,3796,}$ kde je menší než ${ displaystyle 3.6127 cdot 10 ^ {- 3}}$:

${ displaystyle operatorname {erf} (x) přibližně { frac {2} { sqrt { pi}}} operatorname {sgn} (x) { sqrt {1-e ^ {- x ^ {2 }}}} left ({ frac { sqrt { pi}} {2}} + { frac {31} {200}} e ^ {- x ^ {2}} - { frac {341} {8000}} e ^ {- 2x ^ {2}} vpravo).}$

Inverzní funkce

Funkce inverzní chyby

Vzhledem ke složitému číslu z, tam není unikátní komplexní číslo w uspokojující ${ displaystyle operatorname {erf} (w) = z}$, takže skutečná inverzní funkce by měla více hodnot. Nicméně pro −1 < X < 1existuje jedinečný nemovitý označené číslo ${ displaystyle operatorname {erf} ^ {- 1} (x)}$ uspokojující

${ displaystyle operatorname {erf} left ( operatorname {erf} ^ {- 1} (x) right) = x.}$

The funkce inverzní chyby je obvykle definován s doménou (−1,1) a je omezen na tuto doménu v mnoha systémech počítačové algebry. Lze jej však rozšířit na disk |z| < 1 komplexní roviny pomocí řady Maclaurinů

${ displaystyle operatorname {erf} ^ {- 1} (z) = součet _ {k = 0} ^ { infty} { frac {c_ {k}} {2k + 1}} vlevo ({ frac { sqrt { pi}} {2}} z vpravo) ^ {2k + 1},}$

kde C₀ = 1 a

${ displaystyle c_ {k} = součet _ {m = 0} ^ {k-1} { frac {c_ {m} c_ {k-1-m}} {(m + 1) (2m + 1) }} = left {1,1, { frac {7} {6}}, { frac {127} {90}}, { frac {4369} {2520}}, { frac {34807} {16200}}, ldots right }.}$

Takže máme rozšíření řady (běžné faktory byly zrušeny od čitatelů a jmenovatelů):

${ displaystyle operatorname {erf} ^ {- 1} (z) = { tfrac {1} {2}} { sqrt { pi}} vlevo (z + { frac { pi} {12}} z ^ {3} + { frac {7 pi ^ {2}} {480}} z ^ {5} + { frac {127 pi ^ {3}} {40320}} z ^ {7} + { frac {4369 pi ^ {4}} {5806080}} z ^ {9} + { frac {34807 pi ^ {5}} {182476800}} z ^ {11} + cdots right). }$

(Po zrušení jsou čitatelem / jmenovatelem zlomky položky OEIS: A092676/OEIS: A092677 v OEIS; bez zrušení jsou čitatelské podmínky uvedeny v záznamu OEIS: A002067.) Hodnota chybové funkce při ± ∞ se rovná ± 1.

Pro |z| < 1, my máme ${ displaystyle operatorname {erf} left ( operatorname {erf} ^ {- 1} (z) right) = z}$.

The inverzní doplňková chybová funkce je definován jako

${ displaystyle operatorname {erfc} ^ {- 1} (1-z) = operatorname {erf} ^ {- 1} (z).}$

Pro nemovitý Xexistuje jedinečný nemovitý číslo ${ displaystyle operatorname {erfi} ^ {- 1} (x)}$ uspokojující ${ displaystyle operatorname {erfi} left ( operatorname {erfi} ^ {- 1} (x) right) = x}$. The inverzní imaginární chybová funkce je definován jako ${ displaystyle operatorname {erfi} ^ {- 1} (x)}$.^[8]

Pro všechny skutečné X, Newtonova metoda lze použít k výpočtu ${ displaystyle operatorname {erfi} ^ {- 1} (x)}$, a pro ${ displaystyle -1 leq x leq 1}$, konverguje následující řada Maclaurinů:

${ displaystyle operatorname {erfi} ^ {- 1} (z) = součet _ {k = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {k} c_ {k}} {2k + 1}} left ({ frac { sqrt { pi}} {2}} z right) ^ {2k + 1},}$

kde C_k je definována výše.

Asymptotická expanze

Užitečné asymptotická expanze doplňkové chybové funkce (a tedy i chybové funkce) pro velké reálné X je

${ displaystyle operatorname {erfc} (x) = { frac {e ^ {- x ^ {2}}} {x { sqrt { pi}}}} vlevo [1+ součet _ {n = 1} ^ { infty} (- 1) ^ {n} { frac {1 cdot 3 cdot 5 cdots (2n-1)} {(2x ^ {2}) ^ {n}}} vpravo ] = { frac {e ^ {- x ^ {2}}} {x { sqrt { pi}}}} sum _ {n = 0} ^ { infty} (- 1) ^ {n} { frac {(2n-1) !!} {(2x ^ {2}) ^ {n}}},}$

kde (2n - 1) !! je dvojitý faktoriál z (2n - 1), což je součin všech lichých čísel až do (2n - 1). Tato řada se rozchází pro každou konečnou X, a jeho význam jako asymptotická expanze je, že pro všechny ${ displaystyle N in mathbb {N}}$ jeden má

${ displaystyle operatorname {erfc} (x) = { frac {e ^ {- x ^ {2}}} {x { sqrt { pi}}}} sum _ {n = 0} ^ {N -1} (- 1) ^ {n} { frac {(2n-1) !!} {(2x ^ {2}) ^ {n}}} + R_ {N} (x)}$

kde zbytek, v Landauova notace, je

${ displaystyle R_ {N} (x) = O left (x ^ {1-2N} e ^ {- x ^ {2}} right)}$

tak jako ${ displaystyle x to infty.}$

Přesná hodnota zbytku je ve skutečnosti

${ displaystyle R_ {N} (x): = { frac {(-1) ^ {N}} { sqrt { pi}}} 2 ^ {1-2N} { frac {(2N)!} {N!}} Int _ {x} ^ { infty} t ^ {- 2N} e ^ {- t ^ {2}} , dt,}$

který snadno následuje indukcí, zápisem

${ displaystyle e ^ {- t ^ {2}} = - (2t) ^ {- 1} vlevo (e ^ {- t ^ {2}} vpravo) '}$

a integraci po částech.

Pro dostatečně velké hodnoty x stačí pouze několik prvních členů této asymptotické expanze, abychom získali dobrou aproximaci erfc (X) (zatímco pro ne příliš velké hodnoty X, výše uvedená Taylorova expanze na 0 poskytuje velmi rychlou konvergenci).

Pokračující rozšiřování frakcí

A pokračující zlomek rozšíření doplňkové chybové funkce je:^[9]

${ displaystyle operatorname {erfc} (z) = { frac {z} { sqrt { pi}}} e ^ {- z ^ {2}} { cfrac {1} {z ^ {2} + { cfrac {a_ {1}} {1 + { cfrac {a_ {2}} {z ^ {2} + { cfrac {a_ {3}} {1+ dotsb}}}}}}}} qquad a_ {m} = { frac {m} {2}}.}$

Integrace chybové funkce s funkcí Gaussovské hustoty

${ displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} operatorname {erf} left (ax + b right) { frac {1} { sqrt {2 pi sigma ^ {2}} }} e ^ {- { frac {(x- mu) ^ {2}} {2 sigma ^ {2}}}} , dx = operatorname {erf} left [{ frac {a mu + b} { sqrt {1 + 2a ^ {2} sigma ^ {2}}}} right], qquad a, b, mu, sigma in mathbb {R}}$

Faktoriální řada

• Inverzní faktoriální série:

${ displaystyle { begin {aligned} operatorname {erfc} z & = { frac {e ^ {- z ^ {2}}} {{ sqrt { pi}} , z}} součet _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n} Q_ {n}} {{(z ^ {2} +1)} ^ { bar {n}}}} & = { frac {e ^ {- z ^ {2}}} {{ sqrt { pi}} , z}} left (1 - { frac {1} {2}} { frac {1 } {(z ^ {2} +1)}} + { frac {1} {4}} { frac {1} {(z ^ {2} +1) (z ^ {2} +2)} } - cdots right) end {zarovnáno}}}$

konverguje pro ${ displaystyle operatorname {Re} (z ^ {2})> 0.}$ Tady

${ displaystyle Q_ {n} { stackrel { text {def}} {=}} { frac {1} { Gamma (1/2)}} int _ {0} ^ { infty} tau ( tau -1) cdots ( tau -n + 1) tau ^ {- 1/2} e ^ {- tau} d tau = součet _ {k = 0} ^ {n} vlevo ({ frac {1} {2}} vpravo) ^ { bar {k}} s (n, k),}$   

${ displaystyle z ^ { bar {n}}}$ označuje rostoucí faktoriál, a ${ displaystyle s (n, k)}$ označuje podepsaného Stirlingovo číslo prvního druhu.^[10][11]

• Reprezentace nekonečným součtem obsahujícím dvojitý faktoriál:

${ displaystyle operatorname {erf} (z) = { frac {2} { sqrt { pi}}} sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(-2) ^ { n} (2n-1) !!} {(2n + 1)!}} z ^ {2n + 1}}$

Numerické aproximace

Aproximace se základními funkcemi

• Abramowitz a Stegun dejte několik aproximací s různou přesností (rovnice 7.1.25–28). To umožňuje zvolit nejrychlejší aproximaci vhodnou pro danou aplikaci. Aby se zvýšila přesnost, jsou to:

${ displaystyle operatorname {erf} (x) přibližně 1 - { frac {1} {(1 + a_ {1} x + a_ {2} x ^ {2} + a_ {3} x ^ {3} + a_ {4} x ^ {4}) ^ {4}}}, qquad x geq 0}$

(maximální chyba: 5 × 10⁻⁴)

kde A₁ = 0.278393, A₂ = 0.230389, A₃ = 0.000972, A₄ = 0.078108

${ displaystyle operatorname {erf} (x) přibližně 1- (a_ {1} t + a_ {2} t ^ {2} + a_ {3} t ^ {3}) e ^ {- x ^ {2 }}, quad t = { frac {1} {1 + px}}, qquad x geq 0}$ (maximální chyba: 2,5 × 10⁻⁵)

kde str = 0.47047, A₁ = 0.3480242, A₂ = −0.0958798, A₃ = 0.7478556

${ displaystyle operatorname {erf} (x) přibližně 1 - { frac {1} {(1 + a_ {1} x + a_ {2} x ^ {2} + cdots + a_ {6} x ^ {6}) ^ {16}}}, qquad x geq 0}$ (maximální chyba: 3 × 10⁻⁷)

kde A₁ = 0.0705230784, A₂ = 0.0422820123, A₃ = 0.0092705272, A₄ = 0.0001520143, A₅ = 0.0002765672, A₆ = 0.0000430638

${ displaystyle operatorname {erf} (x) přibližně 1- (a_ {1} t + a_ {2} t ^ {2} + cdots + a_ {5} t ^ {5}) e ^ {- x ^ {2}}, quad t = { frac {1} {1 + px}}}$ (maximální chyba: 1,5 × 10⁻⁷)

kde str = 0.3275911, A₁ = 0.254829592, A₂ = −0.284496736, A₃ = 1.421413741, A₄ = −1.453152027, A₅ = 1.061405429

Všechny tyto přibližné hodnoty platí pro X ≥ 0. Chcete-li použít tyto aproximace pro záporné hodnoty X, použijte skutečnost, že erf (x) je zvláštní funkce, takže erf (X) = −erf (-X).

• Exponenciální hranice a čistá exponenciální aproximace pro funkci doplňkové chyby jsou dány vztahem ^[12]

${ displaystyle { begin {aligned} operatorname {erfc} (x) & leq { frac {1} {2}} e ^ {- 2x ^ {2}} + { frac {1} {2} } e ^ {- x ^ {2}} leq e ^ {- x ^ {2}}, qquad x> 0 operatorname {erfc} (x) & přibližně { frac {1} {6 }} e ^ {- x ^ {2}} + { frac {1} {2}} e ^ {- { frac {4} {3}} x ^ {2}}, qquad x> 0. end {zarovnáno}}}$

• Výše uvedené byly zobecněny na částky ${ displaystyle N}$ exponenciály^[13] s rostoucí přesností, pokud jde o ${ displaystyle N}$ aby ${ displaystyle operatorname {erfc} (x)}$ lze přesně přiblížit nebo ohraničit ${ displaystyle 2 { tilde {Q}} ({ sqrt {2}} x)}$, kde

${ displaystyle { tilde {Q}} (x) = součet _ {n = 1} ^ {N} a_ {n} e ^ {- b_ {n} x ^ {2}}.}$

Zejména existuje systematická metodika řešení numerických koeficientů ${ displaystyle {(a_ {n}, b_ {n}) } _ {n = 1} ^ {N}}$ že výnos a minimax aproximace nebo vázaná na úzce související Q-funkce: ${ displaystyle Q (x) přibližně { tilde {Q}} (x)}$, ${ displaystyle Q (x) leq { tilde {Q}} (x)}$nebo ${ displaystyle Q (x) geq { tilde {Q}} (x)}$ pro ${ displaystyle x geq 0}$. Koeficienty ${ displaystyle {(a_ {n}, b_ {n}) } _ {n = 1} ^ {N}}$ pro mnoho variací exponenciálních aproximací a hranic až ${ displaystyle N = 25}$ byly uvolněny pro otevřený přístup jako komplexní datová sada.^[14]

• Těsné přiblížení doplňkové chybové funkce pro ${ displaystyle x v [0, infty)}$ je dán Karagiannidis & Lioumpas (2007)^[15] který ukázal vhodnou volbu parametrů ${ displaystyle {A, B }}$ že

${ displaystyle operatorname {erfc} left (x right) přibližně { frac { left (1-e ^ {- Axe} right) e ^ {- x ^ {2}}} {B { sqrt { pi}} x}}.}$

Rozhodli ${ displaystyle {A, B } = {1.98,1.135 },}$ což poskytlo dobrou aproximaci pro všechny ${ displaystyle x geq 0.}$

• Jednorázová dolní mez je^[16]

${ displaystyle operatorname {erfc} (x) geq { sqrt { frac {2e} { pi}}} { frac { sqrt { beta -1}} { beta}} e ^ {- beta x ^ {2}}, qquad x geq 0, beta> 1,}$

kde parametr β lze vybrat, aby se minimalizovala chyba v požadovaném intervalu aproximace.

• Další aproximaci uvádí Sergei Winitzki pomocí svých „globálních aproximací Padé“:^{[17][18]:2–3}

${ displaystyle operatorname {erf} (x) přibližně operatorname {sgn} (x) { sqrt {1- exp left (-x ^ {2} { frac {{ frac {4} { pi}} + sekera ^ {2}} {1 + sekera ^ {2}}} doprava)}}}$

kde

${ displaystyle a = { frac {8 ( pi -3)} {3 pi (4- pi)}} přibližně 0,14 40012.}$

Toto je navrženo tak, aby bylo velmi přesné v sousedství 0 a sousedství nekonečna a relativní chyba je menší než 0,00035 pro všechny skutečné X. Pomocí alternativní hodnoty A ≈ 0,147 snižuje maximální relativní chybu na přibližně 0,00013.^[19]

Tuto aproximaci lze převrátit, abychom získali aproximaci funkce inverzní chyby:

${ displaystyle operatorname {erf} ^ {- 1} (x) přibližně operatorname {sgn} (x) { sqrt {{ sqrt { vlevo ({ frac {2} { pi a}} + { frac { ln (1-x ^ {2})} {2}} vpravo) ^ {2} - { frac { ln (1-x ^ {2})} {a}}}} - left ({ frac {2} { pi a}} + { frac { ln (1-x ^ {2})} {2}} right)}}}$

Polynomiální

Aproximace s maximální chybou ${ displaystyle 1,2 krát 10 ^ {- 7}}$ pro jakýkoli skutečný argument je:^[20]

${ displaystyle operatorname {erf} (x) = { začátek {případů} 1- tau & x geq 0 tau -1 & x <0 end {případů}}}$

s

${ displaystyle { begin {zarovnáno} tau & = t cdot exp left (-x ^ {2} -1,2651223 + 1,00002368t + 0,37409196t ^ {2} + 0,09678418t ^ {3} -0,18628806t ^ {4} right. & left. Qquad qquad qquad + 0,27886807t ^ {5} -1,13520398t ^ {6} + 1,48851587t ^ {7} -0,82215223t ^ {8} + 0,17087277t ^ {9} right) end {aligned}}}$

a

${ displaystyle t = { frac {1} {1 + 0,5 | x |}}.}$

Tabulka hodnot

Související funkce

Funkce doplňkové chyby

The doplňková chybová funkce, označeno ${ displaystyle mathrm {erfc}}$, je definován jako

${ displaystyle { begin {aligned} operatorname {erfc} (x) & = 1- operatorname {erf} (x) [5pt] & = { frac {2} { sqrt { pi}} } int _ {x} ^ { infty} e ^ {- t ^ {2}} , dt [5pt] & = e ^ {- x ^ {2}} operatorname {erfcx} (x) , end {zarovnáno}}}$

který také definuje ${ displaystyle mathrm {erfcx}}$, škálovaná doplňková chybová funkce^[21] (které lze použít místo erfc, aby se zabránilo aritmetické podtečení^[21][22]). Další forma ${ displaystyle operatorname {erfc} (x)}$ pro nezáporné ${ displaystyle x}$ je známý jako Craigův vzorec, podle jeho objevitele:^[23]

${ displaystyle operatorname {erfc} (x mid x geq 0) = { frac {2} { pi}} int _ {0} ^ { pi / 2} exp left (- { frac {x ^ {2}} { sin ^ {2} theta}} right) , d theta.}$

Tento výraz je platný pouze pro kladné hodnoty X, ale lze jej použít ve spojení s erfc (X) = 2 - erfc (-X) získat erfc (X) pro záporné hodnoty. Tato forma je výhodná v tom, že rozsah integrace je pevný a konečný. Rozšíření tohoto výrazu pro ${ displaystyle mathrm {erfc}}$ součtu dvou nezáporných proměnných je následující:^[24]

${ displaystyle operatorname {erfc} (x + y mid x, y geq 0) = { frac {2} { pi}} int _ {0} ^ { pi / 2} exp vlevo (- { frac {x ^ {2}} { sin ^ {2} theta}} - { frac {y ^ {2}} { cos ^ {2} theta}} vpravo) , d theta.}$

Funkce imaginární chyby

The funkce imaginární chyby, označeno erfi, je definován jako

${ displaystyle { begin {aligned} operatorname {erfi} (x) & = - i operatorname {erf} (ix) [5pt] & = { frac {2} { sqrt { pi}} } int _ {0} ^ {x} e ^ {t ^ {2}} , dt [5pt] & = { frac {2} { sqrt { pi}}} e ^ {x ^ {2}} D (x), end {zarovnáno}}}$

kde D(X) je Dawsonova funkce (které lze použít místo erfi, aby se zabránilo aritmetické přetečení^[21]).

Přes název „imaginární chybová funkce“, ${ displaystyle operatorname {erfi} (x)}$ je skutečné kdy X je skutečný.

Když je chybová funkce vyhodnocena jako libovolná komplex argumenty z, výsledný funkce komplexní chyby je obvykle diskutována v zmenšené formě jako Faddeevova funkce:

${ displaystyle w (z) = e ^ {- z ^ {2}} operatorname {erfc} (-iz) = operatorname {erfcx} (-iz).}$

Funkce kumulativní distribuce

Chybová funkce je v podstatě shodná se standardem normální kumulativní distribuční funkce, označeno Φ, také pojmenovaná norma (X) některými softwarovými jazyky^{[Citace je zapotřebí ]}, protože se liší pouze měřítkem a překladem. Vskutku,

${ displaystyle Phi (x) = { frac {1} { sqrt {2 pi}}} int _ {- infty} ^ {x} e ^ { tfrac {-t ^ {2}} {2}} , dt = { frac {1} {2}} left [1+ operatorname {erf} left ({ frac {x} { sqrt {2}}} right) right ] = { frac {1} {2}} operatorname {erfc} left (- { frac {x} { sqrt {2}}} right)}$

nebo přeskupené pro erf a erfc:

${ displaystyle { begin {aligned} operatorname {erf} (x) & = 2 Phi left (x { sqrt {2}} right) -1 operatorname {erfc} (x) & = 2 Phi left (-x { sqrt {2}} right) = 2 left (1- Phi left (x { sqrt {2}} right) right). End {aligned} }}$

Chybová funkce proto úzce souvisí také s Q-funkce, což je ocasní pravděpodobnost standardního normálního rozdělení. Q-funkci lze vyjádřit z hlediska chybové funkce jako

${ displaystyle Q (x) = { frac {1} {2}} - { frac {1} {2}} operatorname {erf} left ({ frac {x} { sqrt {2}} } right) = { frac {1} {2}} operatorname {erfc} left ({ frac {x} { sqrt {2}}} right).}$

The inverzní z ${ displaystyle Phi}$ je známý jako normální kvantilová funkce nebo probit funkce a lze ji vyjádřit pomocí funkce inverzní chyby jako

${ displaystyle operatorname {probit} (p) = Phi ^ {- 1} (p) = { sqrt {2}} operatorname {erf} ^ {- 1} (2p-1) = - { sqrt {2}} operatorname {erfc} ^ {- 1} (2p).}$

Standardní normální cdf se používá častěji v pravděpodobnosti a statistice a chybová funkce se používá častěji v jiných oborech matematiky.

Chybová funkce je zvláštním případem Funkce Mittag-Leffler, a lze jej také vyjádřit jako a konfluentní hypergeometrická funkce (Kummerova funkce):

${ displaystyle operatorname {erf} (x) = { frac {2x} { sqrt { pi}}} M vlevo ({ frac {1} {2}}, { frac {3} {2 }}, - x ^ {2} vpravo).}$

Má jednoduchý výraz, pokud jde o Fresnelovy integrály.^{[je třeba další vysvětlení ]}

Z hlediska regularizovaná funkce gama P a neúplná funkce gama,

${ displaystyle operatorname {erf} (x) = operatorname {sgn} (x) P left ({ frac {1} {2}}, x ^ {2} right) = { frac { operatorname {sgn} (x)} { sqrt { pi}}} gamma left ({ frac {1} {2}}, x ^ {2} right).}$

${ displaystyle operatorname {sgn} (x)}$ je znaková funkce.

Zobecněné chybové funkce

Graf zobecněných chybových funkcí E_n(X):
šedá křivka: E₁(X) = (1 - např ^−X)/${ displaystyle scriptstyle { sqrt { pi}}}$
červená křivka: E₂(X) = erf (X)
zelená křivka: E₃(X)
modrá křivka: E₄(X)
zlatá křivka: E₅(X).

Někteří autoři diskutují o obecnějších funkcích:^{[Citace je zapotřebí ]}

${ displaystyle E_ {n} (x) = { frac {n!} { sqrt { pi}}} int _ {0} ^ {x} e ^ {- t ^ {n}} , dt = { frac {n!} { sqrt { pi}}} sum _ {p = 0} ^ { infty} (- 1) ^ {p} { frac {x ^ {np + 1}} {(np + 1) p!}}.}$

Pozoruhodné případy jsou:

• E₀(X) je přímka procházející počátkem: ${ displaystyle textstyle E_ {0} (x) = { dfrac {x} {e { sqrt { pi}}}}}$
• E₂(X) je chybová funkce, erf (X).

Po rozdělení n!, všechny E_n pro liché n vypadat navzájem podobně (ale ne identicky). Podobně E_n dokonce n vypadat podobně (ale ne identicky) navzájem po jednoduchém dělení n!. Všechny zobecněné chybové funkce pro n > 0 vypadá pozitivně podobně X straně grafu.

Tyto zobecněné funkce lze ekvivalentně vyjádřit pro X > 0 pomocí funkce gama a neúplná funkce gama:

${ displaystyle E_ {n} (x) = { frac {1} { sqrt { pi}}} Gamma (n) left ( Gamma left ({ frac {1} {n}} right) - Gamma left ({ frac {1} {n}}, x ^ {n} right) right), quad quad x> 0.}$

Můžeme tedy definovat chybovou funkci z hlediska neúplné funkce gama:

${ displaystyle operatorname {erf} (x) = 1 - { frac {1} { sqrt { pi}}} Gamma left ({ frac {1} {2}}, x ^ {2} že jo).}$

Iterované integrály doplňkové chybové funkce

Iterované integrály doplňkové chybové funkce jsou definovány pomocí^[25]

${ displaystyle { begin {aligned} operatorname {i ^ {n} erfc} (z) & = int _ {z} ^ { infty} operatorname {i ^ {n-1} erfc} ( zeta ) , d zeta operatorname {i ^ {0} erfc} (z) & = operatorname {erfc} (z) operatorname {i ^ {1} erfc} (z) & = operatorname {ierfc} (z) = { frac {1} { sqrt { pi}}} e ^ {- z ^ {2}} - z operatorname {erfc} (z) operatorname {i ^ { 2} erfc} (z) & = { frac {1} {4}} left [ operatorname {erfc} (z) -2z operatorname {ierfc} (z) right] end {zarovnáno} }}$

Obecný vzorec opakování je

${ displaystyle 2n operatorname {i ^ {n} erfc} (z) = operatorname {i ^ {n-2} erfc} (z) -2z operatorname {i ^ {n-1} erfc} (z) }$

Mají výkonovou řadu

${ displaystyle i ^ {n} operatorname {erfc} (z) = součet _ {j = 0} ^ { infty} { frac {(-z) ^ {j}} {2 ^ {nj} j ! Gamma left (1 + { frac {nj} {2}} right)}},}$

ze kterého následují vlastnosti symetrie

${ displaystyle i ^ {2m} operatorname {erfc} (-z) = - i ^ {2m} operatorname {erfc} (z) + sum _ {q = 0} ^ {m} { frac {z ^ {2q}} {2 ^ {2 (mq) -1} (2q)! (Mq)!}}}$

a

${ displaystyle i ^ {2m + 1} operatorname {erfc} (-z) = i ^ {2m + 1} operatorname {erfc} (z) + sum _ {q = 0} ^ {m} { frac {z ^ {2q + 1}} {2 ^ {2 (mq) -1} (2q + 1)! (mq)!}}.}$

Implementace

Jako skutečná funkce skutečného argumentu

• v Posix kompatibilní operační systémy, hlavička matematika prohlásí a matematická knihovna libm musí poskytovat funkce erf a erfc (dvojnásobná přesnost ) stejně jako jejich jediná přesnost a rozšířená přesnost protějšky erff, erfl a erfc, erfcl.^[26]
• The Vědecká knihovna GNU poskytuje erf, erfc, protokol (erf)a škálované chybové funkce.^[27]

Jako komplexní funkce komplexního argumentu

• libcerf numerická knihovna C pro komplexní chybové funkce poskytuje komplexní funkce cerf, cerfc, cerfcx a skutečné funkce erfi, erfcx s přesností přibližně 13–14 číslic, na základě Faddeevova funkce jak je implementováno v Balíček MIT Faddeeva

Viz také

Související funkce

• Gaussův integrál, přes celou skutečnou linii
• Gaussova funkce, derivát
• Dawsonova funkce, renormalizovaná imaginární chybová funkce
• Goodwin – Statonův integrál

Pravděpodobně

• Normální distribuce
• Normální kumulativní distribuční funkce, zmenšená a posunutá forma chybové funkce
• Probit, inverzní nebo kvantilová funkce normálního CDF
• Q-funkce, ocasní pravděpodobnost normálního rozdělení

Reference

Další čtení

• Abramowitz, Milton; Stegun, Irene Ann, eds. (1983) [červen 1964]. „Kapitola 7“. Příručka matematických funkcí se vzorci, grafy a matematickými tabulkami. Řada aplikované matematiky. 55 (Devátý dotisk s dalšími opravami desátého originálu s opravami (prosinec 1972); první vydání.). Washington DC.; New York: United States Department of Commerce, National Bureau of Standards; Dover Publications. str. 297. ISBN  978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036. PAN  0167642. LCCN  65-12253.
• Press, William H .; Teukolsky, Saul A .; Vetterling, William T .; Flannery, Brian P. (2007), „Část 6.2. Neúplná funkce gama a chybová funkce“, Numerické recepty: Umění vědecké práce na počítači (3. vyd.), New York: Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-88068-8
• Temme, Nico M. (2010), „Chybové funkce, Dawsonova a Fresnelova integrace“, v Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M .; Boisvert, Ronald F .; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-19225-5, PAN  2723248

externí odkazy

• MathWorld - Erf
• Tabulka integrálů chybových funkcí