v matematika , funkce beta , také nazývaný Eulerův integrál prvního druhu, je a speciální funkce který úzce souvisí s funkce gama a do binomické koeficienty . Je definován integrální
B ( X , y ) = ∫ 0 1 t X − 1 ( 1 − t ) y − 1 d t { displaystyle mathrm {B} (x, y) = int _ {0} ^ {1} t ^ {x-1} (1-t) ^ {y-1} , dt} pro komplexní číslo vstupy X , y takhle Re X > 0, Re y > 0 .
Funkce beta byla studována uživatelem Euler a Legendre a dostal své jméno od Jacques Binet ; jeho symbol Β je řecký hlavní město beta .
Vlastnosti Funkce beta je symetrický , znamenající, že
B ( X , y ) = B ( y , X ) { displaystyle mathrm {B} (x, y) = mathrm {B} (y, x)} pro všechny vstupy X a y .[1]
Klíčovou vlastností beta funkce je její blízký vztah k funkce gama : jeden to má[1]
B ( X , y ) = Γ ( X ) Γ ( y ) Γ ( X + y ) . { displaystyle mathrm {B} (x, y) = { frac { Gamma (x) , Gamma (y)} { Gamma (x + y)}}.} (Důkaz je uveden níže v § Vztah k gama funkci .)
S funkcí beta úzce souvisí také binomické koeficienty . Když X a y jsou kladná celá čísla, vyplývá to z definice funkce gama Γ že[2]
B ( X , y ) = ( X − 1 ) ! ( y − 1 ) ! ( X + y − 1 ) ! = X + y X y ⋅ 1 ( X + y X ) . { displaystyle mathrm {B} (x, y) = { dfrac {(x-1)! , (y-1)!} {(x + y-1)!}} = { frac {x + y} {xy}} cdot { frac {1} { binom {x + y} {x}}}.} Vztah k gama funkci Jednoduché odvození vztahu B ( X , y ) = Γ ( X ) Γ ( y ) Γ ( X + y ) { displaystyle mathrm {B} (x, y) = { frac { gama (x) , gama (y)} { gama (x + y)}}} najdete v knize Emila Artina Funkce gama , strana 18–19.[3] Chcete-li odvodit tento vztah, napište součin dvou faktoriálů jako
Γ ( X ) Γ ( y ) = ∫ u = 0 ∞ E − u u X − 1 d u ⋅ ∫ proti = 0 ∞ E − proti proti y − 1 d proti = ∫ proti = 0 ∞ ∫ u = 0 ∞ E − u − proti u X − 1 proti y − 1 d u d proti . { displaystyle { begin {aligned} Gamma (x) Gamma (y) & = int _ {u = 0} ^ { infty} e ^ {- u} u ^ {x-1} , du cdot int _ {v = 0} ^ { infty} e ^ {- v} v ^ {y-1} , dv [6pt] & = int _ {v = 0} ^ { infty} int _ {u = 0} ^ { infty} e ^ {- uv} u ^ {x-1} v ^ {y-1} , du , dv. end {zarovnáno}} } Změna proměnných podle u = zt a proti = z (1 − t ) vyrábí
Γ ( X ) Γ ( y ) = ∫ z = 0 ∞ ∫ t = 0 1 E − z ( z t ) X − 1 ( z ( 1 − t ) ) y − 1 z d t d z = ∫ z = 0 ∞ E − z z X + y − 1 d z ⋅ ∫ t = 0 1 t X − 1 ( 1 − t ) y − 1 d t = Γ ( X + y ) ⋅ B ( X , y ) . { displaystyle { begin {aligned} Gamma (x) Gamma (y) & = int _ {z = 0} ^ { infty} int _ {t = 0} ^ {1} e ^ {- z} (zt) ^ {x-1} (z (1-t)) ^ {y-1} z , dt , dz [6pt] & = int _ {z = 0} ^ { infty} e ^ {- z} z ^ {x + y-1} , dz cdot int _ {t = 0} ^ {1} t ^ {x-1} (1-t) ^ {y- 1} , dt & = Gamma (x + y) cdot mathrm {B} (x, y). End {zarovnáno}}} Vydělením obou stran Γ ( X + y ) { displaystyle Gamma (x + y)} dává požadovaný výsledek.
Uvedenou totožnost lze považovat za konkrétní případ totožnosti pro integrál konvoluce . Brát
F ( u ) := E − u u X − 1 1 R + G ( u ) := E − u u y − 1 1 R + , { displaystyle { begin {aligned} f (u) &: = e ^ {- u} u ^ {x-1} 1 _ { mathbb {R} _ {+}} g (u) &: = e ^ {- u} u ^ {y-1} 1 _ { mathbb {R} _ {+}}, end {zarovnáno}}} jeden má:
Γ ( X ) Γ ( y ) = ∫ R F ( u ) d u ⋅ ∫ R G ( u ) d u = ∫ R ( F ∗ G ) ( u ) d u = B ( X , y ) Γ ( X + y ) . { displaystyle Gamma (x) Gamma (y) = int _ { mathbb {R}} f (u) , du cdot int _ { mathbb {R}} g (u) , du = int _ { mathbb {R}} (f * g) (u) , du = mathrm {B} (x, y) , Gamma (x + y).} Deriváty My máme
∂ ∂ X B ( X , y ) = B ( X , y ) ( Γ ′ ( X ) Γ ( X ) − Γ ′ ( X + y ) Γ ( X + y ) ) = B ( X , y ) ( ψ ( X ) − ψ ( X + y ) ) , { displaystyle { frac { částečné} { částečné x}} mathrm {B} (x, y) = mathrm {B} (x, y) vlevo ({ frac { Gamma '(x) } { Gamma (x)}} - { frac { Gamma '(x + y)} { Gamma (x + y)}} vpravo) = mathrm {B} (x, y) { big (} psi (x) - psi (x + y) { big)},} kde ψ ( X ) { displaystyle psi (x)} je funkce digamma .
Přiblížení Stirlingova aproximace dává asymptotický vzorec
B ( X , y ) ∼ 2 π X X − 1 / 2 y y − 1 / 2 ( X + y ) X + y − 1 / 2 { displaystyle mathrm {B} (x, y) sim { sqrt {2 pi}} { frac {x ^ {x-1/2} y ^ {y-1/2}} {({ x + y}) ^ {x + y-1/2}}}} pro velké X a velké y . Pokud na druhou stranu X je velký a y je tedy pevná
B ( X , y ) ∼ Γ ( y ) X − y . { displaystyle mathrm {B} (x, y) sim gama (y) , x ^ {- y}.} Další identity a vzorce Integrál definující funkci beta lze přepsat mnoha způsoby, včetně následujících:
B ( X , y ) = 2 ∫ 0 π / 2 ( hřích θ ) 2 X − 1 ( cos θ ) 2 y − 1 d θ , = ∫ 0 ∞ t X − 1 ( 1 + t ) X + y d t , = n ∫ 0 1 t n X − 1 ( 1 − t n ) y − 1 d t , { displaystyle { begin {aligned} mathrm {B} (x, y) & = 2 int _ {0} ^ { pi / 2} ( sin theta) ^ {2x-1} ( cos theta) ^ {2y-1} , d theta, [6pt] & = int _ {0} ^ { infty} { frac {t ^ {x-1}} {(1 + t ) ^ {x + y}}} , dt, [6pt] & = n int _ {0} ^ {1} t ^ {nx-1} (1-t ^ {n}) ^ {y -1} , dt, end {zarovnáno}}} kde v poslední identitě
n je jakékoli kladné reálné číslo. (Jeden se může přesunout z prvního integrálu na druhý
t = opálení 2 ( θ ) { displaystyle t = tan ^ {2} ( theta)} .)
Funkci beta lze zapsat jako nekonečný součet
B ( X , y ) = ∑ n = 0 ∞ ( n − y n ) X + n { displaystyle mathrm {B} (x, y) = součet _ {n = 0} ^ { infty} { frac { binom {n-y} {n}} {x + n}}} [pochybný – diskutovat ] a jako nekonečný produkt
B ( X , y ) = X + y X y ∏ n = 1 ∞ ( 1 + X y n ( X + y + n ) ) − 1 . { displaystyle mathrm {B} (x, y) = { frac {x + y} {xy}} prod _ {n = 1} ^ { infty} vlevo (1 + { dfrac {xy} {n (x + y + n)}} vpravo) ^ {- 1}.} Funkce beta splňuje několik identit analogických k odpovídajícím identitám pro binomické koeficienty, včetně verze Pascalova identita
B ( X , y ) = B ( X , y + 1 ) + B ( X + 1 , y ) { displaystyle mathrm {B} (x, y) = mathrm {B} (x, y + 1) + mathrm {B} (x + 1, y)} a jednoduché opakování na jedné souřadnici:
B ( X + 1 , y ) = B ( X , y ) ⋅ X X + y , B ( X , y + 1 ) = B ( X , y ) ⋅ y X + y . { displaystyle mathrm {B} (x + 1, y) = mathrm {B} (x, y) cdot { dfrac {x} {x + y}}, quad mathrm {B} (x , y + 1) = mathrm {B} (x, y) cdot { dfrac {y} {x + y}}.} Pro X , y ≥ 1 { displaystyle x, y geq 1} , funkce beta může být napsána ve smyslu a konvoluce zahrnující funkce zkráceného napájení t ↦ t X + :
B ( X , y ) ⋅ ( t ↦ t + X + y − 1 ) = ( t ↦ t + X − 1 ) ∗ ( t ↦ t + y − 1 ) { displaystyle mathrm {B} (x, y) cdot left (t mapsto t _ {+} ^ {x + y-1} right) = { Big (} t mapsto t _ {+} ^ {x-1} { Big)} * { Big (} t mapsto t _ {+} ^ {y-1} { Big)}} Hodnocení v konkrétních bodech se může významně zjednodušit; například,
B ( 1 , X ) = 1 X { displaystyle mathrm {B} (1, x) = { dfrac {1} {x}}} a
B ( X , 1 − X ) = π hřích ( π X ) , X ∉ Z { displaystyle mathrm {B} (x, 1-x) = { dfrac { pi} { sin ( pi x)}}, qquad x ne v mathbb {Z}} [4] Tím, že X = 1 2 { displaystyle x = { frac {1} {2}}} v tomto posledním vzorci lze vyvodit zejména to Γ (1/2) = √π Jeden může také zobecnit poslední vzorec na bivariantní identitu pro produkt beta funkcí:
B ( X , y ) ⋅ B ( X + y , 1 − y ) = π X hřích ( π y ) . { displaystyle mathrm {B} (x, y) cdot mathrm {B} (x + y, 1-y) = { frac { pi} {x sin ( pi y)}}.} Eulerův integrál pro funkci beta lze převést na integrál přes Pochhammerova kontura C tak jako
( 1 − E 2 π i α ) ( 1 − E 2 π i β ) B ( α , β ) = ∫ C t α − 1 ( 1 − t ) β − 1 d t . { displaystyle left (1-e ^ {2 pi i alpha} right) left (1-e ^ {2 pi i beta} right) mathrm {B} ( alpha, beta ) = int _ {C} t ^ { alpha -1} (1-t) ^ { beta -1} , dt.} Tento Pochhammerův obrysový integrál konverguje pro všechny hodnoty α a β a tak dává analytické pokračování funkce beta.
Stejně jako popisuje gama funkce pro celá čísla faktoriály , funkce beta může definovat a binomický koeficient po úpravě indexů:
( n k ) = 1 ( n + 1 ) B ( n − k + 1 , k + 1 ) . { displaystyle { binom {n} {k}} = { frac {1} {(n + 1) mathrm {B} (n-k + 1, k + 1)}}.} Navíc pro celé číslo n , Β lze započítat tak, aby poskytoval uzavřenou formu interpolační funkce pro spojité hodnoty k :
( n k ) = ( − 1 ) n n ! ⋅ hřích ( π k ) π ∏ i = 0 n ( k − i ) . { displaystyle { binom {n} {k}} = (- 1) ^ {n} , n! cdot { frac { sin ( pi k)} { pi displaystyle prod _ {i = 0} ^ {n} (ki)}}.} Funkce beta byla první známá amplituda rozptylu v teorie strun , nejprve se domníval Gabriele Veneziano . Vyskytuje se také v teorii preferenční přílohu proces, typ stochastické urnový proces .
Reciproční beta funkce The reciproční beta funkce je funkce o formě
F ( z ) = 1 B ( X , y ) { displaystyle f (z) = { frac {1} { mathrm {B} (x, y)}}} Je zajímavé, že jejich integrální reprezentace úzce souvisí s určitý integrál z trigonometrické funkce s produktem své síly a vícenásobný úhel :[5]
∫ 0 π hřích X − 1 θ hřích y θ d θ = π hřích y π 2 2 X − 1 X B ( X + y + 1 2 , X − y + 1 2 ) { displaystyle int _ {0} ^ { pi} sin ^ {x-1} theta sin y theta ~ d theta = { frac { pi sin { frac {y pi} {2}}} {2 ^ {x-1} x mathrm {B} vlevo ({ frac {x + y + 1} {2}}, { frac {x-y + 1} {2} }že jo)}}} ∫ 0 π hřích X − 1 θ cos y θ d θ = π cos y π 2 2 X − 1 X B ( X + y + 1 2 , X − y + 1 2 ) { displaystyle int _ {0} ^ { pi} sin ^ {x-1} theta cos y theta ~ d theta = { frac { pi cos { frac {y pi} {2}}} {2 ^ {x-1} x mathrm {B} vlevo ({ frac {x + y + 1} {2}}, { frac {x-y + 1} {2} }že jo)}}} ∫ 0 π cos X − 1 θ hřích y θ d θ = π cos y π 2 2 X − 1 X B ( X + y + 1 2 , X − y + 1 2 ) { displaystyle int _ {0} ^ { pi} cos ^ {x-1} theta sin y theta ~ d theta = { frac { pi cos { frac {y pi} {2}}} {2 ^ {x-1} x mathrm {B} vlevo ({ frac {x + y + 1} {2}}, { frac {x-y + 1} {2} }že jo)}}} ∫ 0 π 2 cos X − 1 θ cos y θ d θ = π 2 X X B ( X + y + 1 2 , X − y + 1 2 ) { displaystyle int _ {0} ^ { frac { pi} {2}} cos ^ {x-1} theta cos y theta ~ d theta = { frac { pi} {2 ^ {x} x mathrm {B} vlevo ({ frac {x + y + 1} {2}}, { frac {x-y + 1} {2}} vpravo)}}} Neúplná funkce beta The neúplná funkce beta , zobecnění funkce beta, je definováno jako
B ( X ; A , b ) = ∫ 0 X t A − 1 ( 1 − t ) b − 1 d t . { displaystyle mathrm {B} (x; , a, b) = int _ {0} ^ {x} t ^ {a-1} , (1-t) ^ {b-1} , dt.} Pro X = 1 , neúplná beta funkce se shoduje s kompletní beta funkcí. Vztah mezi těmito dvěma funkcemi je podobný vztahu mezi funkcí gama a jejím zobecněním neúplná funkce gama .
The legalizovaná neúplná beta funkce (nebo legalizovaná funkce beta zkráceně) je definována z hlediska neúplné beta funkce a úplné beta funkce:
Já X ( A , b ) = B ( X ; A , b ) B ( A , b ) . { displaystyle I_ {x} (a, b) = { frac { mathrm {B} (x; , a, b)} { mathrm {B} (a, b)}}.} Regularizovanou neúplnou beta funkcí je kumulativní distribuční funkce z beta distribuce , a souvisí s kumulativní distribuční funkce F ( k ; n , p ) { displaystyle F (k; , n, p)} a náhodná proměnná X následující a binomická distribuce s pravděpodobností jediného úspěchu p a počet Bernoulliho pokusů n :
F ( k ; n , p ) = Pr ( X ≤ k ) = Já 1 − p ( n − k , k + 1 ) = 1 − Já p ( k + 1 , n − k ) . { Displaystyle F (k; , n, p) = Pr doleva (X leq k doprava) = I_ {1-p} (nk, k + 1) = 1-I_ {p} (k + 1, nk).} Vlastnosti Já 0 ( A , b ) = 0 Já 1 ( A , b ) = 1 Já X ( A , 1 ) = X A Já X ( 1 , b ) = 1 − ( 1 − X ) b Já X ( A , b ) = 1 − Já 1 − X ( b , A ) Já X ( A + 1 , b ) = Já X ( A , b ) − X A ( 1 − X ) b A B ( A , b ) Já X ( A , b + 1 ) = Já X ( A , b ) + X A ( 1 − X ) b b B ( A , b ) B ( X ; A , b ) = ( − 1 ) A B ( X X − 1 ; A , 1 − A − b ) { displaystyle { begin {aligned} I_ {0} (a, b) & = 0 I_ {1} (a, b) & = 1 I_ {x} (a, 1) & = x ^ {a} I_ {x} (1, b) & = 1- (1-x) ^ {b} I_ {x} (a, b) & = 1-I_ {1-x} (b , a) I_ {x} (a + 1, b) & = I_ {x} (a, b) - { frac {x ^ {a} (1-x) ^ {b}} {a mathrm {B} (a, b)}} I_ {x} (a, b + 1) & = I_ {x} (a, b) + { frac {x ^ {a} (1-x) ^ {b}} {b mathrm {B} (a, b)}} mathrm {B} (x; a, b) & = (- 1) ^ {a} mathrm {B} vlevo ({ frac {x} {x-1}}; a, 1-ab right) end {zarovnáno}}} Funkce více proměnných beta Funkci beta lze rozšířit na funkci s více než dvěma argumenty:
B ( α 1 , α 2 , … α n ) = Γ ( α 1 ) Γ ( α 2 ) ⋯ Γ ( α n ) Γ ( α 1 + α 2 + ⋯ + α n ) . { displaystyle mathrm {B} ( alpha _ {1}, alpha _ {2}, ldots alpha _ {n}) = { frac { gama ( alpha _ {1}) , Gamma ( alpha _ {2}) cdots Gamma ( alpha _ {n})} { Gamma ( alpha _ {1} + alpha _ {2} + cdots + alpha _ {n}) }}.} Tato funkce s více proměnnými beta se používá při definici Dirichletova distribuce . Jeho vztah k funkci beta je analogický se vztahem mezi multinomiální koeficienty a binomické koeficienty.
Implementace softwaru I když nejsou přímo k dispozici, lze úplné a neúplné hodnoty funkce beta vypočítat pomocí funkcí běžně obsažených v tabulkový kalkulátor nebo systémy počítačové algebry . v Vynikat například úplnou hodnotu beta lze vypočítat z GammaLn
funkce:
Hodnota = Exp (GammaLn (a) + GammaLn (b) - GammaLn (a + b))
Neúplnou hodnotu beta lze vypočítat jako:
Hodnota = BetaDist (x, a, b) * Exp (GammaLn (a) + GammaLn (b) - GammaLn (a + b))
.Tyto výsledky vyplývají z vlastností uvedené výše .
Podobně, betainc
(neúplná funkce beta) v MATLAB a GNU oktáva , pbeta
(pravděpodobnost distribuce beta) v R nebo speciální. betainc
v Pythonův SciPy balíček spočítat legalizovaná neúplná beta funkce - což je ve skutečnosti kumulativní beta distribuce - a tak, abychom získali skutečnou neúplnou beta funkci, musíme znásobit výsledek betainc
o výsledek vrácený odpovídajícím beta
funkce. v Mathematica , Beta [x, a, b]
a BetaRegularized [x, a, b]
dát B ( X ; A , b ) { displaystyle mathrm {B} (x; , a, b)} a Já X ( A , b ) { displaystyle I_ {x} (a, b)} , resp.
Viz také Reference ^ A b Davis (1972) 6.2.2 s. 258 ^ Davis (1972) 6.2.1 s. 258 ^ Artin, Emil. Funkce gama (PDF) . 18–19. Archivovány od originál (PDF) dne 12. 11. 2016. Citováno 2016-11-11 . ^ „Euler's Reflection Formula - ProofWiki“ . proofwiki.org . Citováno 2020-09-02 .^ Paris, R. B. (2010), „Funkce Beta“ , v Olver, Frank W. J. ; Lozier, Daniel M .; Boisvert, Ronald F .; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5 , PAN 2723248 Askey, R. A. ; Roy, R. (2010), „Funkce Beta“ , v Olver, Frank W. J. ; Lozier, Daniel M .; Boisvert, Ronald F .; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5 , PAN 2723248 Zelen, M .; Severo, N. C. (1972), "26. Pravděpodobnostní funkce", in Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene A. (eds.), Příručka matematických funkcí se vzorci, grafy a matematickými tabulkami , New York: Dover Publications , str.925–995 , ISBN 978-0-486-61272-0 Davis, Philip J. (1972), "6. Gama funkce a související funkce", v Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene A. (eds.), Příručka matematických funkcí se vzorci, grafy a matematickými tabulkami , New York: Dover Publications , ISBN 978-0-486-61272-0 Paris, R. B. (2010), „Neúplné funkce beta“ , v Olver, Frank W. J. ; Lozier, Daniel M .; Boisvert, Ronald F .; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5 , PAN 2723248 Press, W. H .; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007), „Sekce 6.1 Gamma funkce, beta funkce, faktoriály“ , Numerické recepty: Umění vědecké práce na počítači (3. vyd.), New York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8 externí odkazy Kontrolní úřad