Soutoková hypergeometrická funkce - Confluent hypergeometric function

v matematika, a soutok hypergeometrická funkce je řešení a konfluentní hypergeometrická rovnice, což je degenerovaná forma a hypergeometrická diferenciální rovnice kde dva ze tří pravidelné singularity sloučit do nepravidelná singularita. Termín soutok odkazuje na slučování singulárních bodů rodin diferenciálních rovnic; soutok je latina pro „to flow together“. Existuje několik běžných standardních forem konfluentních hypergeometrických funkcí:

• Kummerova (konfluentní hypergeometrická) funkce M(A, b, z), představil Kummer  (1837 ), je řešením Kummerova diferenciální rovnice. Toto je také známé jako splývající hypergeometrická funkce prvního druhu. Existuje jiný a nesouvisející Kummerova funkce nesoucí stejný název.
• Tricomiho (konfluentní hypergeometrická) funkce U(A, b, z) představil Francesco Tricomi  (1947 ), někdy označován Ψ (A; b; z), je dalším řešením Kummerovy rovnice. Toto je také známé jako splývající hypergeometrická funkce druhého druhu.
• Whittakerovy funkce (pro Edmund Taylor Whittaker ) jsou řešení Whittakerova rovnice.
• Coulombovy vlnové funkce jsou řešení Coulombova vlnová rovnice. Kummerovy funkce, Whittakerovy funkce a Coulombovy vlnové funkce jsou v podstatě stejné a liší se od sebe pouze elementárními funkcemi a změnou proměnných.

Kummerova rovnice

Kummerovu rovnici lze psát jako:

${ displaystyle z { frac {d ^ {2} w} {dz ^ {2}}} + (b-z) { frac {dw} {dz}} - aw = 0,}$

s pravidelným singulárním bodem v z = 0 a nepravidelný singulární bod v z = ∞. Má dva (obvykle) lineárně nezávislé řešení M(A, b, z) a U(A, b, z).

Kummerova funkce prvního druhu M je zobecněná hypergeometrická řada představen v (Kummer 1837 ), dána:

${ displaystyle M (a, b, z) = součet _ {n = 0} ^ { infty} { frac {a ^ {(n)} z ^ {n}} {b ^ {(n)} n!}} = {} _ {1} F_ {1} (a; b; z),}$

kde:

${ displaystyle a ^ {(0)} = 1,}$

${ displaystyle a ^ {(n)} = a (a + 1) (a + 2) cdots (a + n-1) ,,}$

je rostoucí faktoriál. Další běžná notace pro toto řešení je Φ (A, b, z). Považováno za funkci A, bnebo z s dalšími dvěma konstantami to definuje celá funkce z A nebo z, kromě případů, kdy b = 0, −1, −2, ... Jako funkce b to je analytický s výjimkou pólů v celých číslech, která nejsou kladná.

Některé hodnoty A a b výtěžek řešení, která lze vyjádřit pomocí jiných známých funkcí. Vidět #Speciální případy. Když A je kladné celé číslo, pak je Kummerova funkce (pokud je definována) zobecněná Laguerrův polynom.

Stejně jako je splývající diferenciální rovnice limitem hypergeometrická diferenciální rovnice protože singulární bod v 1 se pohybuje směrem k singulárnímu bodu v ∞, může být konfluentní hypergeometrická funkce dána jako limit hypergeometrická funkce

${ displaystyle M (a, c, z) = lim _ {b to infty} {} _ {2} F_ {1} (a, b; c; z / b)}$

a mnoho vlastností konfluentní hypergeometrické funkce omezuje případy vlastností hypergeometrické funkce.

Protože Kummerova rovnice je druhého řádu, musí existovat další, nezávislé řešení. The indiciální rovnice metody Frobenius nám říká, že nejnižší výkon řešení výkonové řady k Kummerově rovnici je buď 0 nebo 1 − b. Pokud to necháme w(z) být

${ displaystyle w (z) = z ^ {1-b} v (z)}$

pak dává diferenciální rovnice

${ displaystyle z ^ {2-b} { frac {d ^ {2} v} {dz ^ {2}}} + 2 (1-b) z ^ {1-b} { frac {dv} { dz}} - b (1-b) z ^ {- b} v + (bz) left [z ^ {1-b} { frac {dv} {dz}} + (1-b) z ^ {- b} v vpravo] -az ^ {1-b} v = 0}$

který po rozdělení z^1−b a zjednodušení

${ displaystyle z { frac {d ^ {2} v} {dz ^ {2}}} + (2-bz) { frac {dv} {dz}} - (a + 1-b) v = 0 .}$

Tohle znamená tamto z^1−bM(A + 1 − b, 2 − b, z) je řešení, pokud b není celé číslo větší než 1, stejně M(A, b, z) je řešení, pokud b není celé číslo menší než 1. Můžeme také použít konfluentní hypergeometrickou funkci Tricomi U(A, b, z) představil Francesco Tricomi  (1947 ), a někdy označován Ψ (A; b; z). Jedná se o kombinaci výše uvedených dvou řešení definovaných

${ displaystyle U (a, b, z) = { frac { gama (1-b)} { gama (a + 1-b)}} M (a, b, z) + { frac { Gama (b-1)} { Gamma (a)}} z ^ {1-b} M (a + 1-b, 2-b, z).}$

Ačkoli tento výraz není definován pro celé číslo b, má tu výhodu, že jej lze rozšířit na jakékoli celé číslo b kontinuitou. Na rozdíl od Kummerovy funkce, která je celá funkce z z, U(z) obvykle má jedinečnost na nule. Například pokud b = 0 a A ≠ 0 pak Γ (A+1)U(A, b, z) − 1 je asymptotický vůči az ln z tak jako z jde na nulu. Ale podívej se #Speciální případy pro některé příklady, kdy se jedná o celou funkci (polynom).

Všimněte si, že řešení z^1−bM(A + 1 − b, 2 − b, z) Kummerova rovnice je stejná jako řešení U(A, b, z)viz # Kummerova transformace.

Pro většinu kombinací skutečných nebo složitých A a b, funkce M(A, b, z) a U(A, b, z) jsou nezávislé, a pokud b je celé kladné číslo, takže M(A, b, z) neexistuje, pak můžeme být schopni použít z^1−bM(A+1−b, 2−b, z) jako druhé řešení. Ale pokud A je kladné celé číslo a b není tedy kladné celé číslo U(z) je násobkem M(z). I v tom případě z^1−bM(A+1−b, 2−b, z) lze použít jako druhé řešení, pokud existuje a je jiné. Ale když b je celé číslo větší než 1, toto řešení neexistuje, a pokud b = 1 pak existuje, ale je násobkem U(A, b, z) a ze dne M(A, b, z) V těchto případech existuje druhé řešení následující formy a je platné pro jakýkoli skutečný nebo komplexní A a jakékoli kladné celé číslo b kromě případů, kdy A je kladné celé číslo menší než b:

${ displaystyle M (a, b, z) ln z + z ^ {1-b} součet _ {k = 0} ^ { infty} C_ {k} z ^ {k}}$

Když A = 0 můžeme alternativně použít:

${ displaystyle int _ {- infty} ^ {z} (- u) ^ {- b} e ^ {u} mathrm {d} u.}$

Když b = 1 to je exponenciální integrál E₁(−z).

Podobný problém nastane, když A−b je záporné celé číslo a b je celé číslo menší než 1. V tomto případě M(A, b, z) neexistuje a U(A, b, z) je násobkem z^1−bM(A+1−b, 2−b, z). Druhé řešení má pak tvar:

${ displaystyle z ^ {1-b} M (a + 1-b, 2-b, z) ln z + součet _ {k = 0} ^ { infty} C_ {k} z ^ {k}}$

Jiné rovnice

Konfluentní hypergeometrické funkce lze použít k řešení rozšířené konfluentní hypergeometrické rovnice, jejíž obecný tvar je uveden jako:

${ displaystyle z { frac {d ^ {2} w} {dz ^ {2}}} + (bz) { frac {dw} {dz}} - left ( sum _ {m = 0} ^ {M} a_ {m} z ^ {m} vpravo) w = 0}$ ^[1]

Všimněte si, že pro M = 0 nebo když součet zahrnuje pouze jeden člen, redukuje se na konvenční konfluentní hypergeometrickou rovnici.

Konfluentní hypergeometrické funkce lze tedy použít k řešení „většiny“ obyčejných diferenciálních rovnic druhého řádu, jejichž proměnné koeficienty jsou všechny lineární funkce z, protože je lze transformovat na Extended Confluent Hypergeometric Equation. Zvažte rovnici:

${ displaystyle (A + Bz) { frac {d ^ {2} w} {dz ^ {2}}} + (C + Dz) { frac {dw} {dz}} + (E + Fz) w = 0}$

Nejprve přesuneme regulární singulární bod na 0 nahrazením A + B z ↦ z, který převádí rovnici na:

${ displaystyle z { frac {d ^ {2} w} {dz ^ {2}}} + (C + Dz) { frac {dw} {dz}} + (E + Fz) w = 0}$

s novými hodnotami C, D, E, a F. Dále použijeme substituci:

${ displaystyle z mapsto { frac {1} { sqrt {D ^ {2} -4F}}} z}$

a vynásobte rovnici stejným faktorem a získáte:

${ displaystyle z { frac {d ^ {2} w} {dz ^ {2}}} + doleva (C + { frac {D} { sqrt {D ^ {2} -4F}}} z vpravo) { frac {dw} {dz}} + vlevo ({ frac {E} { sqrt {D ^ {2} -4F}}} + { frac {F} {D ^ {2} - 4F}} z vpravo) w = 0}$

jehož řešení je

${ displaystyle exp left (- left (1 + { frac {D} { sqrt {D ^ {2} -4F}}} right) { frac {z} {2}} right) w (z),}$

kde w(z) je řešení Kummerovy rovnice s

${ displaystyle a = left (1 + { frac {D} { sqrt {D ^ {2} -4F}}} right) { frac {C} {2}} - { frac {E} { sqrt {D ^ {2} -4F}}}, qquad b = C.}$

Druhá odmocnina může dát imaginární nebo komplexní číslo. Pokud je nula, musí se použít jiné řešení, a to

${ displaystyle exp left (- { tfrac {1} {2}} Dz right) w (z),}$

kde w(z) je konfluentní hypergeometrická limitní funkce uspokojující

${ displaystyle zw '' (z) + Cw '(z) + vlevo (E - { tfrac {1} {2}} CD vpravo) w (z) = 0.}$

Jak je uvedeno níže, dokonce i Besselova rovnice lze vyřešit pomocí konfluentních hypergeometrických funkcí.

Integrální reprezentace

Li Re b > Re A > 0, M(A, b, z) lze reprezentovat jako integrál

${ displaystyle M (a, b, z) = { frac { gama (b)} { gama (a) gama (ba)}} int _ {0} ^ {1} e ^ {zu} u ^ {a-1} (1-u) ^ {ba-1} , du.}$

tím pádem M(A, A+b, to) je charakteristická funkce z beta distribuce. Pro A s pozitivní skutečnou částí U lze získat prostřednictvím Laplaceův integrál

${ displaystyle U (a, b, z) = { frac {1} { Gamma (a)}} int _ {0} ^ { infty} e ^ {- zt} t ^ {a-1} (1 + t) ^ {ba-1} , dt, quad ( operatorname {Re} a> 0)}$

Integrál definuje řešení v pravé polorovině 0 z < π/2.

Mohou být také reprezentovány jako Barnesovy integrály

${ displaystyle M (a, b, z) = { frac {1} {2 pi i}} { frac { gama (b)} { gama (a)}} int _ {- i infty} ^ {i infty} { frac { Gamma (-s) Gamma (a + s)} { Gamma (b + s)}} (- z) ^ {s} ds}$

kde kontura prochází na jednu stranu pólů - (-s) a na druhou stranu pólů Γ (A + s).

Asymptotické chování

Pokud je řešení Kummerovy rovnice asymptotické k síle z tak jako z → ∞, pak musí být síla −A. To je ve skutečnosti případ řešení Tricomi U(A, b, z). Své asymptotické chování jako z → ∞ lze odvodit z integrálních reprezentací. Li z = X ∈ R, poté provedeme změnu proměnných v integrálu a poté rozbalíme binomická řada a její formální integrace po termínu vede k asymptotická série rozšíření, platné jako X → ∞:^[2]

${ displaystyle U (a, b, x) sim x ^ {- a} , _ {2} F_ {0} left (a, a-b + 1; ,; - { frac {1} {x}} vpravo),}$

kde ${ displaystyle _ {2} F_ {0} ( cdot, cdot ;; - 1 / x)}$ je zobecněná hypergeometrická řada s 1 jako vedoucím pojmem, který se obecně nikam nekonverguje, ale existuje jako formální mocenské řady v 1/X. Tento asymptotická expanze platí také pro komplex z místo skutečných X, s |arg z| < 3π/2.

Asymptotické chování Kummerova řešení pro velké |z| je:

${ displaystyle M (a, b, z) sim Gamma (b) left ({ frac {e ^ {z} z ^ {ab}} { Gamma (a)}} + { frac {( -z) ^ {- a}} { Gamma (ba)}} vpravo)}$

Pravomoci z jsou užívány pomocí −3π/ 2 z ≤ π/2.^[3] První termín není nutný, když Γ (b − A) je konečný, to je kdy b − A není kladné celé číslo a jeho skutečná část z jde do záporného nekonečna, zatímco druhý člen není nutný, když Γ (A) je konečný, tedy kdy A není kladné celé číslo a jeho skutečná část z jde do pozitivního nekonečna.

Kummerova rovnice má vždy nějaké řešení asymptotické E^zz^^A−b tak jako z → −∞. Obvykle to bude kombinace obou M(A, b, z) a U(A, b, z) ale lze také vyjádřit jako E^z (−1)^A-b U(b − A, b, −z).

Vztahy

Existuje mnoho vztahů mezi Kummerovými funkcemi pro různé argumenty a jejich deriváty. Tato část uvádí několik typických příkladů.

Souvislé vztahy

Dáno M(A, b, z), čtyři funkce M(A ± 1, b, z), M(A, b ± 1, z) se nazývají sousedící s M(A, b, z). Funkce M(A, b, z) lze psát jako lineární kombinaci jakýchkoli dvou jeho souvislých funkcí s racionálními koeficienty, pokud jde o a, b, a z. To dává (⁴
₂) = 6 vztahy, dané identifikací jakýchkoli dvou řádků na pravé straně

${ displaystyle { begin {aligned} z { frac {dM} {dz}} = z { frac {a} {b}} M (a +, b +) & = a (M (a +) - M) & = (b-1) (M (b -) - M) & = (ba) M (a -) + (a-b + z) M & = z (ab) M (b +) / b + zM end {zarovnáno}}}$

Ve výše uvedeném zápisu M = M(A, b, z), M(A+) = M(A + 1, b, z), a tak dále.

Opakované použití těchto vztahů dává lineární vztah mezi libovolnými třemi funkcemi formuláře M(A + m, b + n, z) (a jejich vyšší deriváty), kde m, n jsou celá čísla.

Existují podobné vztahy pro U.

Kummerova transformace

Kummerovy funkce souvisí také s Kummerovými transformacemi:

${ displaystyle M (a, b, z) = e ^ {z} , M (b-a, b, -z)}$

${ displaystyle U (a, b, z) = z ^ {1-b} U doleva (1 + a-b, 2-b, z doprava)}$.

Věta o násobení

Následující věty o násobení držte se:

${ displaystyle { begin {zarovnáno} U (a, b, z) & = e ^ {(1-t) z} součet _ {i = 0} { frac {(t-1) ^ {i} z ^ {i}} {i!}} U (a, b + i, zt) & = e ^ {(1-t) z} t ^ {b-1} sum _ {i = 0} { frac { left (1 - { frac {1} {t}} right) ^ {i}} {i!}} U (ai, bi, zt). end {zarovnáno}}}$

Spojení s Laguerrovými polynomy a podobnými reprezentacemi

Ve smyslu Laguerrovy polynomy, Kummerovy funkce mají například několik rozšíření

${ displaystyle M left (a, b, { frac {xy} {x-1}} right) = (1-x) ^ {a} cdot sum _ {n} { frac {a ^ {(n)}} {b ^ {(n)}}} L_ {n} ^ {(b-1)} (y) x ^ {n}}$ (Erdélyi a kol. 1953, 6.12)

Speciální případy

Mezi funkce, které lze vyjádřit jako speciální případy konfluentní hypergeometrické funkce, patří:

• Nějaký základní funkce kde levá strana není definována, když b je kladné celé číslo, ale pravá strana je stále řešením odpovídající Kummerovy rovnice:

${ displaystyle M (0, b, z) = 1}$

${ displaystyle U (0, c, z) = 1}$

${ displaystyle M (b, b, z) = e ^ {z}}$

${ displaystyle U (a, a, z) = e ^ {z} int _ {z} ^ { infty} u ^ {- a} e ^ {- u} du}$ (polynom, pokud A je kladné celé číslo)

${ displaystyle { frac {U (1, b, z)} { Gamma (b-1)}} + { frac {M (1, b, z)} { Gamma (b)}} = z ^ {1-b} e ^ {z}}$

${ displaystyle M (n, b, z)}$ pro celé kladné číslo n je zobecněný Laguerreův polynom.

${ displaystyle U (n, c, z)}$ pro celé kladné číslo n je násobkem zobecněného Laguerrova polynomu, který se rovná ${ displaystyle { tfrac { Gamma (1-c)} { Gamma (n + 1-c)}} M (n, c, z)}$ když druhý existuje.

${ displaystyle U (c-n, c, z)}$ když n je kladné celé číslo je uzavřený tvar s mocninami z, rovná ${ displaystyle { tfrac { Gamma (c-1)} { gama (c-n)}} z ^ {1-c} M (1-n, 2-c, z)}$ když druhý existuje.

${ displaystyle U (a, a + 1, z) = z ^ {- a}}$

${ displaystyle U (-n, -2n, z)}$ pro nezáporné celé číslo n je Besselův polynom (viz níže dolů).

${ Displaystyle M (1,2, z) = (e ^ {z} -1) / z, M (1,3, z) = 2! (e ^ {z} -1-z) / z ^ {2}}$ atd.

Použití souvislého vztahu ${ displaystyle aM (a +) = (a + z) M + z (a-b) M (b +) / b}$ dostaneme například ${ displaystyle M (2,1, z) = (1 + z) e ^ {z}.}$

• Batemanova funkce
• Besselovy funkce a mnoho souvisejících funkcí, jako je Vzdušné funkce, Kelvinovy ​​funkce, Hankel funkce. Například ve zvláštním případě b = 2A funkce se sníží na a Besselova funkce:

${ displaystyle {} _ {1} F_ {1} (a, 2a, x) = e ^ {x / 2} , {} _ {0} F_ {1} left (; a + { tfrac {1 } {2}}; { tfrac {x ^ {2}} {16}} vpravo) = e ^ {x / 2} vlevo ({ tfrac {x} {4}} vpravo) ^ {1 / 2-a} Gamma left (a + { tfrac {1} {2}} right) I_ {a-1/2} left ({ tfrac {x} {2}} right).}$

Tato identita se někdy označuje také jako Kummer druhá transformace. Podobně

${ displaystyle U (a, 2a, x) = { frac {e ^ {x / 2}} { sqrt { pi}}} x ^ {1/2-a} K_ {a-1/2} (x / 2),}$

Když A je celé kladné číslo, to se rovná 2^−Aθ_−A(X/2) kde θ je Besselův polynom.

• The chybová funkce lze vyjádřit jako

${ displaystyle mathrm {erf} (x) = { frac {2} { sqrt { pi}}} int _ {0} ^ {x} e ^ {- t ^ {2}} dt = { frac {2x} { sqrt { pi}}} {} _ {1} F_ {1} left ({ tfrac {1} {2}}, { tfrac {3} {2}}, -x ^ {2} vpravo).}$

• Coulombova vlnová funkce
• Cunninghamovy funkce
• Exponenciální integrál a související funkce, jako je sinusový integrál, logaritmický integrál
• Hermitovy polynomy
• Neúplná funkce gama
• Laguerrovy polynomy
• Funkce parabolického válce (nebo funkce Weber)
• Poisson-Charlierova funkce
• Toronto funkce
• Whittakerovy funkce M_{κ, μ}(z), Ž_{κ, μ}(z) jsou řešení Whittakerova rovnice které lze vyjádřit pomocí Kummerových funkcí M a U podle

${ displaystyle M _ { kappa, mu} (z) = e ^ {- { tfrac {z} {2}}} z ^ { mu + { tfrac {1} {2}}} M vlevo ( mu - kappa + { tfrac {1} {2}}, 1 + 2 mu; z vpravo)}$

${ displaystyle W _ { kappa, mu} (z) = e ^ {- { tfrac {z} {2}}} z ^ { mu + { tfrac {1} {2}}} U vlevo ( mu - kappa + { tfrac {1} {2}}, 1 + 2 mu; z vpravo)}$

• Generál str-th raw moment (str ne nutně celé číslo) lze vyjádřit jako^{[Citace je zapotřebí ]}

${ displaystyle { begin {aligned} operatorname {E} left [ left | N left ( mu, sigma ^ {2} right) right | ^ {p} right] & = { frac { left (2 sigma ^ {2} right) ^ {p / 2} Gamma left ({ tfrac {1 + p} {2}} right)} { sqrt { pi}} } {} _ {1} F_ {1} left (- { tfrac {p} {2}}, { tfrac {1} {2}}, - { tfrac { mu ^ {2}} {2 sigma ^ {2}}} right) operatorname {E} left [N left ( mu, sigma ^ {2} right) ^ {p} right] & = left (-2 sigma ^ {2} right) ^ {p / 2} U left (- { tfrac {p} {2}}, { tfrac {1} {2}}, - { tfrac { mu ^ {2}} {2 sigma ^ {2}}} vpravo) end {zarovnáno}}}$

Ve druhém vzorci je funkce druhá větev řez lze zvolit vynásobením (−1)^str.

Aplikace na pokračující frakce

Použitím omezujícího argumentu na Gaussova pokračující část lze to ukázat

${ displaystyle { frac {M (a + 1, b + 1, z)} {M (a, b, z)}} = { cfrac {1} {1 - { cfrac { displaystyle { frac {ba} {b (b + 1)}} z} {1 + { cfrac { displaystyle { frac {a + 1} {(b + 1) (b + 2)}} z} {1- { cfrac { displaystyle { frac {b-a + 1} {(b + 2) (b + 3)}} z} {1 + { cfrac { displaystyle { frac {a + 2} {(b +3) (b + 4)}} z} {1- ddots}}}}}}}}}}}$

a že tato pokračující frakce konverguje jednotně k a meromorfní funkce z z v každé ohraničené doméně, která neobsahuje pól.

Poznámky

Reference

• Abramowitz, Milton; Stegun, Irene Ann, eds. (1983) [červen 1964]. „Kapitola 13“. Příručka matematických funkcí se vzorci, grafy a matematickými tabulkami. Řada aplikované matematiky. 55 (Devátý dotisk s dalšími opravami desátého originálu s opravami (prosinec 1972); první vydání.). Washington DC.; New York: United States Department of Commerce, National Bureau of Standards; Dover Publications. p. 504. ISBN  978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036. PAN  0167642. LCCN  65-12253.
• Chistova, E.A. (2001) [1994], "Soutěžní hypergeometrická funkce", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS
• Daalhuis, Adri B. Olde (2010), "Soutěžní hypergeometrická funkce", v Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M .; Boisvert, Ronald F .; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-19225-5, PAN  2723248
• Erdélyi, Arthur; Magnus, Wilhelm; Oberhettinger, Fritz & Tricomi, Francesco G. (1953). Vyšší transcendentální funkce. Sv. Já. New York – Toronto – Londýn: McGraw – Hill Book Company, Inc. PAN  0058756.
• Kummer, Ernst Eduard (1837). „De integratedibus quibusdam definitis et seriebus infinitis“. Journal für die reine und angewandte Mathematik (v latině). 1837 (17): 228–242. doi:10,1515 / crll.1837.17.228. ISSN  0075-4102. S2CID  121351583.
• Slater, Lucy Joan (1960). Soutokové hypergeometrické funkce. Cambridge, Velká Británie: Cambridge University Press. PAN  0107026.
• Tricomi, Francesco G. (1947). „Sulle funzioni ipergeometriche confluenti“. Annali di Matematica Pura ed Applicata. Series 4 (v italštině). 26: 141–175. doi:10.1007 / bf02415375. ISSN  0003-4622. PAN  0029451. S2CID  119860549.
• Tricomi, Francesco G. (1954). Funzioni ipergeometriche confluenti. Consiglio Nazionale Delle Ricerche Monografie Matematiche (v italštině). 1. Řím: Edizioni cremonese. ISBN  978-88-7083-449-9. PAN  0076936.
• Oldham, K.B .; Myland, J .; Spanier, J. (2010). Atlas funkcí: s Equatorem, kalkulačka funkcí Atlas. Atlas funkcí. Springer New York. ISBN  978-0-387-48807-3. Citováno 2017-08-23.

externí odkazy

• Soutokové hypergeometrické funkce v NIST Digital Library of Mathematical Functions
• Kummerova hypergeometrická funkce na webu Wolfram Functions
• Hypergeometrická funkce Tricomi na webu Wolfram Functions