Penrosova grafická notace - Penrose graphical notation

Penrosova grafická notace (notace tenzorového diagramu) a stav maticového produktu pěti částic.

v matematika a fyzika, Penrosova grafická notace nebo notace tenzorového diagramu je (obvykle ručně psané) vizuální zobrazení multilineární funkce nebo tenzory navrhl Roger Penrose v roce 1971.^[1] Diagram v notaci se skládá z několika tvarů spojených řádky. Zápis byl značně studován autorem Predrag Cvitanović, který jej použil ke klasifikaci klasické Lieovy skupiny.^[2] Bylo také zobecněno pomocí teorie reprezentace na spinové sítě ve fyzice a za přítomnosti maticové skupiny na trasovací diagramy v lineární algebra. Zápis se široce objevuje v moderních kvantová teorie, zejména v stavy maticového produktu a kvantové obvody.

Výklady

Multilineární algebra

V jazyce multilineární algebra, každý tvar představuje a multilineární funkce. Řádky připojené k obrazcům představují vstupy nebo výstupy funkce a připojování obrazců k sobě nějakým způsobem je v podstatě složení funkcí.

Tenzory

V jazyce tenzorová algebra, konkrétní tenzor je spojen s určitým tvarem s mnoha liniemi vyčnívajícími nahoru a dolů, což odpovídá abstraktní horní a dolní indexy tenzorů. Spojovací čáry mezi dvěma tvary odpovídají kontrakce indexů. Jednou z výhod tohoto notace je, že člověk nemusí vymýšlet nová písmena pro nové indexy. Tento zápis je také výslovně základ -nezávislý.^[3]

Matice

Každý tvar představuje matici a násobení tenzoru se provádí vodorovně a násobení matic se provádí svisle.

Zastoupení speciálních tenzorů

Metrický tenzor

The metrický tenzor je reprezentován smyčkou ve tvaru U nebo smyčkou ve tvaru U, v závislosti na typu použitého tenzoru.

metrický tenzor ${ displaystyle g ^ {ab}}$

metrický tenzor ${ displaystyle g_ {ab}}$

Tenzor Levi-Civita

The Antisymetrický tenzor Levi-Civita je reprezentován silným vodorovným pruhem s tyčemi směřujícími dolů nebo nahoru, v závislosti na typu použitého tenzoru.

${ displaystyle varepsilon _ {ab ldots n}}$

${ displaystyle varepsilon ^ {ab ldots n}}$

${ displaystyle varepsilon _ {ab ldots n} , varepsilon ^ {ab ldots n}}$${ displaystyle = n!}$

Konstantní struktura

strukturní konstanta ${ displaystyle { gamma _ { alpha beta}} ^ { chi} = - { gamma _ { beta alpha}} ^ { chi}}$

Konstanty struktury (${ displaystyle { gamma _ {ab}} ^ {c}}$) a Lež algebra jsou reprezentovány malým trojúhelníkem s jednou čárou směřující nahoru a dvěma čárami směřujícími dolů.

Tenzorové operace

Kontrakce indexů

Kontrakce indexů je reprezentováno spojením indexových řádků dohromady.

Kroneckerova delta ${ displaystyle delta _ {b} ^ {a}}$

Tečkovaný produkt ${ displaystyle beta _ {a} , xi ^ {a}}$

${ displaystyle g_ {ab} , g ^ {bc} = delta _ {a} ^ {c} = g ^ {cb} , g_ {ba}}$

Symetrizace

Symetrizace indexů je reprezentován tlustým klikatým nebo zvlněným pruhem, který vodorovně prochází indexovými čarami.

Symetrizace ${ displaystyle Q ^ {(ab ldots n)}}$ (s ${ displaystyle {} _ {Q ^ {ab} = Q ^ {[ab]} + Q ^ {(ab)}}}$)

Antisymmetrizace

Antisymmetrizace indexů je představována silnou přímkou, která vodorovně protíná indexové čáry.

Antisymmetrizace ${ displaystyle E _ {[ab ldots n]}}$ (s ${ displaystyle {} _ {E_ {ab} = E _ {[ab]} + E _ {(ab)}}}$)

Rozhodující

Determinant je tvořen aplikací antisymetrizace na indexy.

Rozhodující ${ displaystyle det mathbf {T} = det vlevo (T _ { b} ^ {a} vpravo)}$

Inverzní matice ${ displaystyle mathbf {T} ^ {- 1} = vlevo (T _ { b} ^ {a} vpravo) ^ {- 1}}$

Kovariantní derivát

The kovarianční derivace (${ displaystyle nabla}$) je reprezentován kruhem kolem tenzoru, který má být diferencován, a přímkou ​​spojenou s kruhem směřujícím dolů, který představuje dolní index derivace.

kovarianční derivace ${ displaystyle 12 nabla _ {a} left ( xi ^ {f} , lambda _ {fb [c} ^ {(d} , D_ {gh]} ^ {e) b} vpravo) }$ ${ displaystyle = 12 left ( xi ^ {f} ( nabla _ {a} lambda _ {fb [c} ^ {(d}) , D_ {gh]} ^ {e) b} + ( nabla _ {a} xi ^ {f}) lambda _ {fb [c} ^ {(d} , D_ {gh]} ^ {e) b} + xi ^ {f} lambda _ { fb [c} ^ {(d} , ( nabla _ {a} D_ {gh]} ^ {e) b}) vpravo)}$

Manipulace s tenzorem

Schematická notace je užitečná při manipulaci s tenzorovou algebrou. Obvykle to zahrnuje několik jednoduchých “identity "tenzorových manipulací.

Například, ${ displaystyle varepsilon _ {a ... c} varepsilon ^ {a ... c} = n!}$, kde n je počet rozměrů, je běžná „identita“.

Riemannův tenzor zakřivení

Ricciho a Bianchiho identity uvedené v Riemannově tenzoru zakřivení ilustrují sílu notace

Zápis pro Riemannův tenzor zakřivení

Ricciho tenzor ${ displaystyle R_ {ab} = R_ {acb} ^ { c}}$

Ricciho identita ${ displaystyle ( nabla _ {a} , nabla _ {b} - nabla _ {b} , nabla _ {a}) , mathbf { xi} ^ {d}}$${ displaystyle = R_ {abc} ^ { d} , mathbf { xi} ^ {c}}$

Bianchi identita ${ displaystyle nabla _ {[a} R_ {bc] d} ^ { e} = 0}$

Rozšíření

Zápis byl rozšířen o podporu pro rotory a kroucení.^[4][5]

Viz také

• Abstraktní indexová notace
• Diagramy momentu hybnosti (kvantová mechanika)
• Pletená monoidní kategorie
• Kategorická kvantová mechanika používá notaci tenzorového diagramu
• Stav maticového produktu používá Penrosovu grafickou notaci
• Ricciho počet
• Spin sítě
• Stopový diagram

Poznámky