Akord (geometrie) - Chord (geometry)

A akord a kruh je přímkový segment jejichž koncové body leží na kruhu. The nekonečná čára prodloužení akordu je a sekanční čára, nebo prostě sekán. Obecněji řečeno, akord je úsečka spojující dva body na libovolné křivce, například an elipsa. Akord, který prochází středovým bodem kruhu, je kruh průměr. Slovo akord pochází z latiny chorda význam tětiva.

Červený segment BX je akord
(stejně jako segment průměru AB).

V kruzích

Mezi vlastnosti akordů a kruh jsou následující:

Akordy jsou ve stejné vzdálenosti od středu právě tehdy, jsou-li jejich délky stejné.
Rovné akordy jsou nahrazeny stejnými úhly od středu kruhu.
Akord, který prochází středem kruhu, se nazývá průměr a je nejdelší akord.
Pokud se v bodě P protínají prodloužení řádků (sečnované čáry) akordů AB a CD, pak jejich délky splňují AP · PB = CP · PD (síla bodové věty ).

V elipsách

Středy sady paralelních akordů an elipsa jsou kolineární.^[1]

V trigonometrii

Akordy byly používány značně v časném vývoji trigonometrie. První známá trigonometrická tabulka, sestavená uživatelem Hipparchus, tabulková hodnota funkce akordu za každých 7.5 stupňů. Ve druhém století našeho letopočtu Ptolemaios Alexandrijského shromáždil rozsáhlejší tabulku akordů jeho kniha o astronomii, udávající hodnotu akordu pro úhly v rozmezí od 1/2 stupně do 180 stupňů v krocích po půl stupni. Kruh měl průměr 120 a délky akordů jsou přesné na dvě základny - 60 číslic za celočíselnou částí.^[2]

Funkce akordů je definována geometricky, jak je znázorněno na obrázku. Akord ak úhel je délka akordu mezi dvěma body na jednotkové kružnici oddělené tímto středovým úhlem. Úhel θ je bráno v pozitivním smyslu a musí ležet v intervalu $0 < θ \leq π$ (radiánská míra). Funkce akordů může souviset s moderním sinus funkce, přičemž jeden z bodů bude (1,0) a druhý bod bude ( $cos θ, hřích θ$ ) a poté použijte Pythagorova věta pro výpočet délky akordu:^[2]

{ displaystyle operatorname {crd} theta = { sqrt {(1- cos theta) ^ {2} + sin ^ {2} theta}} = { sqrt {2-2 cos theta}} = 2 sin left ({ frac { theta} {2}} right).}

Poslední krok používá vzorec polovičního úhlu. Stejně jako moderní trigonometrie je postavena na funkci sine, stará trigonometrie byla postavena na funkci akordů. Hipparchus údajně napsal dvanáctidílné dílo o akordech, všechny nyní ztracené, takže se o nich pravděpodobně vědělo hodně. V tabulce níže (kde ${ displaystyle c}$ je délka akordu a ${ displaystyle D}$ průměr kružnice) lze ukázat, že akordová funkce uspokojuje mnoho identit analogických se známými moderními:

název	Sinusový	Akordové
Pytagorejský	${ displaystyle sin ^ {2} theta + cos ^ {2} theta = 1 ,}$	${ displaystyle operatorname {crd} ^ {2} theta + operatorname {crd} ^ {2} ( pi - theta) = 4 ,}$
Poloviční úhel	${ displaystyle sin { frac { theta} {2}} = pm { sqrt { frac {1- cos theta} {2}}} ,}$	${ displaystyle operatorname {crd} { frac { theta} {2}} = pm { sqrt {2- operatorname {crd} ( pi - theta)}} ,}$
Apothem (A)	${ displaystyle c = 2 { sqrt {r ^ {2} -a ^ {2}}}}$	${ displaystyle c = { sqrt {D ^ {2} -4a ^ {2}}}}$
Úhel (θ)	${ displaystyle c = 2r sin left ({ frac { theta} {2}} right)}$	${ displaystyle c = { frac {D} {2}} operatorname {crd} theta}$

Inverzní funkce existuje také:^[3]

{ displaystyle operatorname {acrd} (y) = 2 arcsin left ({ frac {y} {2}} right).}

Viz také

Kruhový segment - část sektoru, která zůstane po odstranění trojúhelníku tvořeného středem kruhu a dvěma koncovými body kruhového oblouku na hranici.
Stupnice akordů
Ptolemaiova tabulka akordů
Holditchova věta, pro akord rotující v konvexní uzavřené křivce
Kruhový graf
Exsecant a excosecant
Versine a haversine
Zindlerova křivka (uzavřená a jednoduchá křivka, ve které mají všechny akordy, které rozdělují délku oblouku na poloviny, stejnou délku)

Reference

^ Chakerian, G. D. (1979). „7“. V Honsberger, R. (ed.). Zkreslený pohled na geometrii. Matematické švestky. Washington, DC, USA: Mathematical Association of America. p. 147.
^ ^A ^b Maor, Eli (1998), Trigonometrické rozkoše, Princeton University Press, s. 25–27, ISBN 978-0-691-15820-4
^ Simpson, David G. (11.11.2001). „AUXTRIG“ (Zdrojový kód FORTRAN-90). Greenbelt, Maryland, USA: NASA Goddard Space Flight Center. Citováno 2015-10-26.

Další čtení

Hawking, Stephen William, vyd. (2002). Na ramenou obrů: Velká díla fyziky a astronomie. Philadelphia, USA: Běžící tisk. ISBN 0-7624-1698-X. LCCN 2002100441. Citováno 2017-07-31.
Stávek, Jiří (10. 3. 2017) [26.02.2017]. „O skryté kráse trigonometrických funkcí“. Aplikovaný fyzikální výzkum. Praha, CZ: Kanadské centrum vědy a vzdělávání. 9 (2): 57–64. doi:10.5539 / dub.v9n2p57. ISSN 1916-9639. ISSN 1916-9647. [1]

externí odkazy

Historie obrysu trigonometrie
Trigonometrické funkce, se zaměřením na historii
Akord (kruhu) S interaktivní animací

[Chakerian_1979-1] Chakerian, G. D. (1979). „7“. V Honsberger, R. (ed.). Zkreslený pohled na geometrii. Matematické švestky. Washington, DC, USA: Mathematical Association of America. p. 147.

[Maor-2] A ^b Maor, Eli (1998), Trigonometrické rozkoše, Princeton University Press, s. 25–27, ISBN 978-0-691-15820-4

[Simpson_2001-3] Simpson, David G. (11.11.2001). „AUXTRIG“ (Zdrojový kód FORTRAN-90). Greenbelt, Maryland, USA: NASA Goddard Space Flight Center. Citováno 2015-10-26.

[1]

[2]

[3]