Teorie twistorů - Twistor theory

v teoretická fyzika, teorie twistorů byl navržen uživatelem Roger Penrose v roce 1967^[1] jako možnou cestu^[2] na kvantová gravitace a vyvinul se do odvětví teoretický a matematická fyzika. Penrose to navrhl twistorový prostor by měla být základní arénou pro fyziku, ze které by měl vycházet samotný časoprostor. Vede k silné sadě matematických nástrojů, které mají aplikace rozdíl a integrální geometrie, nelineární diferenciální rovnice a teorie reprezentace a ve fyzice obecná relativita a kvantová teorie pole, zejména na amplitudy rozptylu.

Přehled

Matematicky, projektivní twistorový prostor ${ displaystyle mathbb {PT}}$ je 3 dimenzionální komplexní potrubí, komplexní projektivní 3prostor ${ displaystyle mathbb {CP} ^ {3}}$. Má fyzickou interpretaci prostoru nehmotné částice s roztočit. To je projektivizace 4-dimenzionální složitý vektorový prostor, neprojektivní twistorový prostor ${ displaystyle mathbb {T}}$ s Poustevnická forma z podpis (2,2) a holomorfní objemová forma. To lze nejpřirozeněji chápat jako prostor chirální (Weyl ) rotory pro konformní skupina ${ displaystyle SO (4,2) / mathbb {Z} _ {2}}$ z Minkowského prostor; to je základní zastoupení z spinová skupina ${ displaystyle SU (2,2)}$ konformní skupiny. Tuto definici lze rozšířit na libovolné dimenze kromě toho, že za dimenzí čtyři definuje jeden projektivní twistorový prostor jako projektivní prostor čisté rotory pro konformní skupinu.^[3][4]

Ve své původní podobě kóduje teorie twistorů fyzikální pole na Minkowského prostoru do komplexní analytické objekty na twistorovém prostoru přes Penrosova transformace. To je zvláště přirozené pro bezhmotná pole libovolné roztočit. V první řadě jsou získány prostřednictvím konturový integrál vzorce ve smyslu volných holomorfních funkcí v oblastech v twistorovém prostoru. Holomorfní twistorové funkce, které vedou k řešení rovnic bezhmotného pole, jsou přesněji chápány jako Čech zástupci analytických kurzy kohomologie na regionech v ${ displaystyle mathbb {PT}}$. Tyto korespondence byly rozšířeny na některá nelineární pole, včetně self-dual gravitace v Penroseově nelineární graviton konstrukce^[5] a self-dual Yang – Millsova pole v Stavba oddělení;^[6] první dává vzniknout deformace základní složité struktury regionů v ${ displaystyle mathbb {PT}}$a druhé k určitým holomorfním vektorovým svazkům přes oblasti v ${ displaystyle mathbb {PT}}$. Tyto stavby měly široké uplatnění.^[7][8][9]

Podmínka self-dualita je hlavním omezením pro začlenění úplných nelinearit fyzikálních teorií, i když pro Yang – Mills – Higgs monopoly a okamžiky (vidět Konstrukce ADHM ).^[10] Prvním pokusem o překonání tohoto omezení bylo zavedení ambitwistorů ze strany Edward Witten^[11] a Isenberg, Yasskin & Green.^[12] Ambitwistorův prostor je prostor komplexních světelných paprsků nebo bezhmotných částic a lze jej považovat za komplexizovaný nebo kotangensový svazek původního popisu twistoru. To platí pro obecná pole, ale rovnice pole již nejsou tak jednoduše vyjádřeny.

Twistorial vzorce pro interakce mimo sebe-duální sektor nejprve vznikl z Wittenova teorie twistorových strun.^[13] Toto je kvantová teorie holomorfních map a Riemannův povrch do twistorového prostoru. Výsledkem byly pozoruhodně kompaktní vzorce RSV (Roiban, Spradlin a Volovich) pro úroveň stromu S-matice teorií Yang – Mills,^[14] ale jeho stupně gravitace vedly k verzi konformního supergravitace omezení jeho použitelnosti; konformní gravitace je nefyzická teorie obsahující duchové, ale jeho interakce jsou kombinovány s interakcemi Yang – Millsovy teorie ve smyčkových amplitudách vypočítaných pomocí teorie twistorových řetězců.^[15]

Přes své nedostatky vedla teorie twistorových strun k rychlému vývoji ve studiu rozptylových amplitud. Jedním z nich byl takzvaný MHV formalismus^[16] volně založený na odpojených řetězcích, ale dostal základní základ, pokud jde o akci twistoru pro plnou teorii Yang – Mills v prostoru twistorů.^[17] Dalším klíčovým vývojem bylo zavedení rekurze BCFW.^[18] To má přirozenou formulaci v twistorovém prostoru^[19][20] to zase vedlo k pozoruhodným formulacím rozptylových amplitud, pokud jde o Grassmannův integrál vzorce^[21][22] a polytopes.^[23] Tyto myšlenky se v poslední době vyvinuly v pozitivní Grassmannian^[24] a amplituedr.

Twistorova teorie strun byla rozšířena nejprve zevšeobecněním vzorce amplitudy Yang – Mills RSV a poté nalezením základního teorie strun. Rozšíření gravitace bylo dáno společnostmi Cachazo & Skinner,^[25] a formulován jako teorie twistorových strun pro maximální supergravitace David Skinner.^[26] Analogické vzorce pak našel Cachazo, He & Yuan ve všech dimenzích pro teorii a gravitaci Yang – Mills^[27] a následně pro řadu dalších teorií.^[28] Mason & Skinner jim poté porozuměli jako strunové teorie v ambitwistorovém prostoru^[29] v obecném rámci, který zahrnuje původní twistorový řetězec a rozšiřuje se o řadu nových modelů a vzorců.^[30][31][32] Jako teorie strun mají stejné kritické rozměry jako konvenční teorie strun; například typ II supersymetrické verze jsou kritické v deseti rozměrech a jsou ekvivalentní celé teorii pole supergravit typu II v deseti rozměrech (toto se liší od konvenčních teorií strun, které mají také další nekonečnou hierarchii masivních vyšších stavů rotace, ultrafialové dokončení ). Rozšiřují se a dávají vzorce pro amplitudy smyček^[33][34] a lze je definovat na zakřiveném pozadí.^[35]

Twistorová korespondence

Označit Minkowského prostor podle ${ displaystyle M}$, se souřadnicemi ${ displaystyle x ^ {a} = (t, x, y, z)}$ a Lorentzianova metrika ${ displaystyle eta _ {ab}}$ podpis ${ displaystyle (1,3)}$. Představte dvousložkové indexy spinoru ${ displaystyle A = 0,1; ; A '= 0', 1 ',}$ a nastavit

${ displaystyle x ^ {AA '} = { frac {1} { sqrt {2}}} { begin {pmatrix} t-z & x + iy x-iy & t + z end {pmatrix}}.}$

Neprojektivní twistorový prostor ${ displaystyle mathbb {T}}$ je čtyřrozměrný komplexní vektorový prostor se souřadnicemi označenými ${ displaystyle Z ^ { alpha} = left ( omega ^ {A}, , pi _ {A '} right)}$ kde ${ displaystyle omega ^ {A}}$ a ${ displaystyle pi _ {A '}}$ jsou dvě konstantní Weyl spinors. Poustevnická forma může být vyjádřena definováním komplexní konjugace z ${ displaystyle mathbb {T}}$ na jeho duální ${ displaystyle mathbb {T} ^ {*}}$ podle ${ displaystyle { bar {Z}} _ { alpha} = left ({ bar { pi}} _ {A}, , { bar { omega}} ^ {A '} right) }$ aby mohla být hermitovská forma vyjádřena jako

${ displaystyle Z ^ { alpha} { bar {Z}} _ { alpha} = omega ^ {A} { bar { pi}} _ {A} + { bar { omega}} ^ {A '} pi _ {A'}.}$

To spolu s holomorfní objemovou formou, ${ displaystyle varepsilon _ { alpha beta gamma delta} Z ^ { alpha} dZ ^ { beta} klín dZ ^ { gamma} klín dZ ^ { delta}}$ je neměnný pod skupinou SU (2,2), čtyřnásobným krytem konformní skupiny C (1,3) zhutněného Minkowského prostoročasu.

Body v Minkowského prostoru souvisejí s podprostory twistorového prostoru prostřednictvím vztahu dopadu

${ displaystyle omega ^ {A} = ix ^ {AA '} pi _ {A'}.}$

Vztah incidence je zachován při celkovém změně měřítka twistoru, takže obvykle jeden pracuje v projektivním twistorovém prostoru ${ displaystyle mathbb {PT},}$ který je izomorfní jako komplexní rozmanitost ${ displaystyle mathbb {CP} ^ {3}}$. Bod ${ displaystyle x v M}$ tím určuje čáru ${ displaystyle mathbb {CP} ^ {1}}$ v ${ displaystyle mathbb {PT}}$ parametrizováno ${ displaystyle pi _ {A '}.}$ Twistor ${ displaystyle Z ^ { alpha}}$ je nejsnadněji pochopitelné v časoprostoru pro komplexní hodnoty souřadnic, kde definuje zcela nulovou dvě roviny, která je sebe-duální. Vzít ${ displaystyle x}$ být skutečný, pak pokud ${ displaystyle Z ^ { alpha} { bar {Z}} _ { alpha}}$ zmizí ${ displaystyle x}$ leží na světelném paprsku, zatímco pokud ${ displaystyle Z ^ { alpha} { bar {Z}} _ { alpha}}$ nemizí, neexistují žádná řešení, a opravdu pak ${ displaystyle Z ^ { alpha}}$ odpovídá nehmotné částice se spinem, které nejsou lokalizovány v reálném časoprostoru.

Variace

Supertwistory

Supertwistory jsou a supersymetrický rozšíření twistorů zavedené Alan Ferber v roce 1978.^[36] Neprojektivní twistorový prostor je rozšířen o fermionický souřadnice kde ${ displaystyle { mathcal {N}}}$ je počet supersymetrií takže nyní je dán twistor ${ displaystyle left ( omega ^ {A}, , pi _ {A '}, , eta ^ {i} right), i = 1, ldots, { mathcal {N}}}$ s ${ displaystyle eta ^ {i}}$ anticommuting. Superkonformní skupina ${ displaystyle SU (2,2 | { mathcal {N}})}$ přirozeně působí na tento prostor a supersymetrická verze Penrosovy transformace bere třídy cohomologie v supertwistorovém prostoru na bezhmotné supersymetrické multiplety v superminkowského prostoru. The ${ displaystyle { mathcal {N}} = 4}$ pouzdro poskytuje cíl pro původní Penistorův twistorový řetězec a ${ displaystyle { mathcal {N}} = 8}$ to je případ Skinnerovy zobecnění supergravitace.

Hyperkähler rozdělovače

Hyperkähler rozdělovače dimenze ${ displaystyle 4k}$ také připustit twistorovou korespondenci s twistorovým prostorem komplexní dimenze ${ displaystyle 2k + 1}$.

Teorie palácových twistorů

Nelineární gravitonová konstrukce kóduje pouze anti-sebe-duální, tj. Levoruká pole.^[5] Prvním krokem k problému modifikace twistorového prostoru za účelem kódování obecného gravitačního pole je kódování pravák pole. Nekonečně jsou kódovány ve funkcích twistoru nebo kohomologie třídy stejnorodost -6. Úkol použít takovéto twistorové funkce plně nelineárně tak, aby bylo možné získat a pravák nelineární graviton byl označován jako (gravitační) googly problém (slovo "googly "je termín používaný ve hře kriket pro míč skloněný pravostrannou helicitou pomocí zjevné akce, která by normálně vedla k helicitě pro leváky).^[37] Nejnovější návrh Penrose v tomto směru z roku 2015 byl založen na nekomutativní geometrie na twistorovém prostoru a označován jako teorie palácových twistorů.^[38] Teorie je pojmenována po Buckinghamský palác, kde Michael Atiyah navrhl Penrosovi použití typu „nekomutativní algebra „, důležitá součást teorie (základní struktura twistoru v teorii palácových twistorů nebyla modelována na prostoru twistorů, ale na nekomutativním holomorfní twistor kvantová algebra ).^[39]

Viz také

• Nezávislost na pozadí
• Složitý časoprostor
• Historie smyčkové kvantové gravitace
• Robinsonovy shody
• Spin síť

Poznámky

Reference

• Roger Penrose (2004), Cesta do reality, Alfred A. Knopf, ch. 33, str. 958–1009.
• Roger Penrose a Wolfgang Rindler (1984), Spinors a časoprostor; sv. 1, Dvousporový kalkul a relativitická pole, Cambridge University Press, Cambridge.
• Roger Penrose a Wolfgang Rindler (1986), Spinors a časoprostor; sv. 2, Spinorovy a twistorové metody v časoprostorové geometrii, Cambridge University Press, Cambridge.

Další čtení

• Atiyah, M., Dunajski, M. a Mason, L. J. (2017).„Twistor theory at five: from contour integals to twistor strings“. Proc. R. Soc. A. 473 (2206): 20170530. doi:10.1098 / rspa.2017.0530. ISSN  1364-5021.
• Baird, P., "Úvod do Twistors."
• Huggett, S. a Tod, K. P. (1994).Úvod do teorie twistorů, druhé vydání. Cambridge University Press.ISBN  9780521456890. OCLC  831625586.
• Hughston, L. P. (1979) Twistory a částice. Springerova přednáška z fyziky 97, Springer-Verlag. ISBN  978-3-540-09244-5.
• Hughston, L. P. a Ward, R. S., eds (1979) Pokroky v teorii twistorů. Pitman. ISBN  0-273-08448-8.
• Mason, L. J. a Hughston, L. P., eds (1990) Další pokroky v teorii twistoru, svazek I: Penrosova transformace a její aplikace. Pitman Research Notes in Mathematics Series 231, Longman Scientific and Technical. ISBN  0-582-00466-7.
• Mason, L. J., Hughston, L. P. a Kobak, P. K., eds (1995) Další pokroky v teorii twistorů, svazek II: Integrovatelné systémy, konformní geometrie a gravitace. Pitman Research Notes in Mathematics Series 232, Longman Scientific and Technical. ISBN  0-582-00465-9.
• Mason, L. J., Hughston, L. P., Kobak, P. K. a Pulverer, K., eds (2001) Další pokroky v teorii twistorů, svazek III: Zakřivené twistorové prostory. Research Notes in Mathematics 424, Chapman and Hall / CRC. ISBN  1-58488-047-3.
• Penrose, Rogere (1967), "Twistor Algebra", Journal of Mathematical Physics, 8 (2): 345–366, Bibcode:1967JMP ..... 8..345P, doi:10.1063/1.1705200, PAN  0216828, archivovány z originál dne 12. 1. 2013
• Penrose, Roger (1968), „Twistorová kvantizace a zakřivený časoprostor“, International Journal of Theoretical Physics, 1 (1): 61–99, Bibcode:1968IJTP .... 1 ... 61P, doi:10.1007 / BF00668831
• Penrose, Roger (1969), „Řešení rovnic Zero-Rest-Mass“, Journal of Mathematical Physics, 10 (1): 38–39, Bibcode:1969JMP .... 10 ... 38P, doi:10.1063/1.1664756, archivovány z originál dne 12. 1. 2013
• Penrose, Roger (1977), „Twistorový program“, Zprávy o matematické fyzice, 12 (1): 65–76, Bibcode:1977RpMP ... 12 ... 65P, doi:10.1016/0034-4877(77)90047-7, PAN  0465032
• Penrose, Roger (1999) "Ústřední program teorie twistorů," Chaos, solitony a fraktály 10: 581–611.
• Witten, Edward (2004), „Perturbative Gauge Theory as a String Theory in Twistor Space“, Komunikace v matematické fyzice, 252 (1–3): 189–258, arXiv:hep-th / 0312171, Bibcode:2004CMaPh.252..189W, doi:10.1007 / s00220-004-1187-3

externí odkazy

• Penrose, Rogere (1999), "Einsteinova rovnice a teorie twistorů: nedávný vývoj "
• Penrose, Roger; Hadrovich, Fedja. "Teorie twistoru. "
• Hadrovich, Fedja, "Twistor Primer. "
• Penrose, Rogere. "K počátkům teorie twistoru. "
• Jozsa, Richard (1976), "Aplikace sheafovy kohomologie v teorii twistorů. "
• Dunajski, Maciej, "Twistorova teorie a diferenciální rovnice. "
• Andrew Hodges, Shrnutí posledního vývoje.
• Huggett, Stephen (2005), "Prvky teorie twistoru. "
• Mason, L. J., "Twistorový program a twistorové řetězce: Od twistorových řetězců po kvantovou gravitaci? "
• Sämann, Christian (2006), "Aspekty twistorové geometrie a supersymetrické teorie pole v teorii superstrun. "
• Sparling, George (1999), "Na asymetrii času. "
• Spradlin, Marcus (2006), "Pokrok a vyhlídky v teorii řetězců Twistor. "
• MathWorld: Twistors.
• Recenze vesmíru: „Teorie twistoru. "
• Twistor newsletter archiv.