Penrosova transformace - Penrose transform

v teoretická fyzika, Penrosova transformace, představil Roger Penrose  (1967, 1968, 1969 ), je komplexní analog Radonová transformace to souvisí bezhmotná pole v časoprostoru do kohomologie z snopy na složitý projektivní prostor. Jedná se o projektivní prostor twistorový prostor, geometrický prostor přirozeně spojený s původním časoprostorem, a twistorová transformace je také geometricky přirozená ve smyslu integrální geometrie. Penrosova transformace je hlavní součástí klasiky teorie twistorů.

Přehled

Abstraktně, Penroseova transformace funguje na dvojnásobku fibrace prostoru Ypřes dvě mezery X a Z

${displaystyle Z {xleftarrow {eta}} Y {xrightarrow {au}} X.}$

V klasické Penrosově transformaci Y je odstřeďovací balíček, X je zhuštěná a složitá forma Minkowského prostor a Z je twistorový prostor. Obecněji příklady pocházejí z dvojitých fibrací formy

${displaystyle G / H_ {1} {xleftarrow {eta}} G / (H_ {1} cap H_ {2}) {xrightarrow {au}} G / H_ {2}}$

kde G je komplexní polojediná Lieova skupina a H₁ a H₂ jsou parabolické podskupiny.

Penroseova transformace funguje ve dvou fázích. První odtáhne svazkové kohomologické skupiny H^r(Z,F) k cohomologii svazků H^r(Y, η⁻¹F) zapnuto Y; v mnoha případech, kde je zajímavá Penroseova transformace, se ukázalo, že tento pullback je izomorfismus. Jeden pak posune výsledné třídy cohomologie dolů na X; to znamená, že jeden vyšetřuje přímý obraz třídy kohomologie pomocí Lerayova spektrální sekvence. Výsledný přímý obraz je poté interpretován pomocí diferenciálních rovnic. V případě klasické Penroseovy transformace jsou výsledné diferenciální rovnice přesně rovnicemi nehmotného pole pro daný spin.

Příklad

Klasický příklad je uveden následovně

• „Twistorový prostor“ Z je komplexní projektivní 3prostor CP³, což je také Grassmannian GR₁(C⁴) čar v 4rozměrném komplexním prostoru.
• X = Gr₂(C⁴), Grassmannian 2-letadel ve 4-dimenzionálním komplexním prostoru. Tohle je zhutnění komplexního Minkowského prostoru.
• Y je příznak potrubí jehož prvky odpovídají přímce v rovině C⁴.
• G je skupina SL₄(C) a H₁ a H₂ jsou parabolické podskupiny kterým se stanoví čára nebo rovina obsahující tuto čáru.

Mapy z Y na X a Z jsou přirozené projekce.

Penrose-Wardova transformace

The Penrose-Wardova transformace je nelineární modifikace Penrosovy transformace, kterou zavedl Ward (1977), který (mimo jiné) souvisí holomorfní vektorové svazky na trojrozměrném komplexním projektivním prostoru CP³ k řešení self-dual Yang – Millsovy rovnice na S⁴.Atiyah & Ward (1977) použil to k popisu okamžiků z hlediska algebraických vektorových svazků na komplexním projektivním 3prostoru a Atiyah (1979) vysvětlil, jak by to mohlo být použito ke klasifikaci instantonů na 4 sféře.

Reference