Newman – Penroseův formalismus - Newman–Penrose formalism

Část série článků o
Obecná relativita
${displaystyle G_ {mu u} + Lambda g_ {mu u} = {frac {8pi G} {c ^ {4}}} T_ {mu u}}$
Úvod Dějiny Matematická formulace Testy
Základní koncepty Princip relativity Teorie relativity Referenční rámec Inerciální referenční rámec Odpočinek Rámeček středu hybnosti Světelný kužel Princip ekvivalence Ekvivalence hmoty a energie Speciální relativita Dvojnásobně speciální relativita de Sitterova invariantní speciální relativita Stupnice relativity Světová linie Správný čas Riemannova geometrie Energetický stav
Jevy Gravitoelektromagnetismus Keplerův problém Gravitace Gravitační pole Gravitace dobře Gravitační čočky Gravitační vlny Gravitační rudý posuv Rudý posuv Blueshift Dilatace času Gravitační dilatace času Shapiro časové zpoždění Gravitační potenciál Gravitační komprese Gravitační kolaps Přetažení rámu Geodetický účinek Zdánlivý horizont Horizont událostí Gravitační singularita Nahá singularita Černá díra Bílá díra Vesmírný čas Prostor Čas Časoprostorové diagramy Minkowského časoprostor Uzavřená časová křivka (CTC) Červí díra Ellis červí díra
Rovnice Formalismy Rovnice Linearizovaná gravitace Einsteinovy ​​rovnice pole Friedmann Geodetika Mathisson – Papapetrou – Dixon Hamilton – Jacobi – Einstein Zakřivení neměnné (obecná relativita) Lorentzian potrubí Formalismy ADM BSSN Newman – Penrose Post-Newtonian Pokročilá teorie Teorie Kaluza – Klein Kvantová gravitace Supergravitace
Řešení Schwarzschild (interiér ) Reissner – Nordström Gödel Kerr Kerr – Newman Kasner Lemaître – Tolman Taub-NUT Milne Robertson – Walker pp-vlna van Stockum prach Weyl – Lewis – Papapetrou Vakuové řešení
Věty Birkhoffova věta Gerochova věta o rozdělení Goldberg – Sachsova věta Lovelockova věta Věta bez vlasů Věty o singularitě Penrose – Hawking Věta o pozitivní energii
Vědci Einstein Lorentz Hilbert Poincaré Schwarzschild de Sitter Reissner Nordström Weyl Eddington Friedman Milne Zwicky Lemaître Gödel Kolář Robertson Bardeen chodec Kerr Chandrasekhar Ehlers Penrose Hawking Raychaudhuri Taylor Hulse van Stockum Taub Nový muž Yau Thorne ostatní

The Newman – Penrose (NP) formalismus^[1][2] je sada notace vyvinutá Ezra T. Newman a Roger Penrose pro obecná relativita (GR). Jejich zápis je snahou zacházet s obecnou relativitou v pojmech spinor zápis, který zavádí komplex formy obvyklých proměnných použitých v GR. Formalismus NP je sám o sobě zvláštním případem tetradský formalismus,^[3] kde se tenzory teorie promítají na úplný vektorový základ v každém bodě časoprostoru. Obvykle je tento vektorový základ vybrán tak, aby odrážel určitou symetrii časoprostoru, což vede ke zjednodušeným výrazům pro fyzické pozorovatelnosti. V případě NP formalismu je zvolen vektorový základ a nulová tetrad: sada čtyř nulových vektorů - dva reálné a komplexně sdružený pár. Dva reální členové asymptoticky směřují radiálně dovnitř a radiálně ven a formalizmus je dobře přizpůsoben léčbě šíření záření v zakřiveném časoprostoru. The Weylovy skaláry, odvozené z Weyl tenzor, se často používají. Zejména lze ukázat, že jeden z těchto skalárů—${displaystyle Psi _ {4}}$ v příslušném rámci - kóduje odchozí gravitační záření asymptoticky plochého systému.^[4]

Newman a Penrose zavedli pomocí této tetrady následující funkce jako primární veličiny:^[1][2]

• Dvanáct komplexních spinových koeficientů (ve třech skupinách), které popisují změnu tetrady z bodu na bod: ${displaystyle kappa, ho, sigma, au,; lambda, mu, u, pi,; epsilon, gama, eta, alfa.}$.
• Pět komplexních funkcí kódujících Weylův tenzor na bázi tetrad: ${displaystyle Psi _ {0}, ldots, Psi _ {4}}$.
• Deset funkcí kódování Ricciho tenzory na tetradovém základě: ${displaystyle Phi _ {00}, Phi _ {11}, Phi _ {22}, Lambda}$ (nemovitý); ${displaystyle Phi _ {01}, Phi _ {10}, Phi _ {02}, Phi _ {20}, Phi _ {12}, Phi _ {21}}$ (komplex).

V mnoha situacích - zejména algebraicky zvláštních časoprostorech nebo vakuových časoprostorech - se Newman – Penroseův formalismus dramaticky zjednodušuje, protože mnoho funkcí jde na nulu. Toto zjednodušení umožňuje snazší prokázání různých vět než použití standardní formy Einsteinových rovnic.

V tomto článku použijeme pouze tenzorový spíše než spinorial verze NP formalismu, protože ta první je srozumitelnější a populárnější v příslušných dokumentech. Lze odkázat na ref.^[5] pro jednotnou formulaci těchto dvou verzí.

Nulová tetrada a znaková konvence

Formalismus je vyvinut pro čtyřrozměrný časoprostor s metrikou Lorentzianova podpisu. V každém bodě, a tetrad (sada čtyř vektorů). První dva vektory, ${displaystyle l ^ {mu}}$ a ${displaystyle n ^ {mu}}$ jsou jen pár standardů (skutečných) nulové vektory takhle ${displaystyle l ^ {a} n_ {a} = - 1}$. Například můžeme uvažovat ve smyslu sférických souřadnic a vzít ${displaystyle l ^ {a}}$ být odchozím nulovým vektorem a ${displaystyle n ^ {a}}$ být příchozím nulovým vektorem. Složitý nulový vektor je poté konstruován kombinací dvojice reálných, ortogonálních jednotkových prostorových vektorů. V případě sférických souřadnic je standardní volbou

${displaystyle m ^ {mu} = {frac {1} {sqrt {2}}} vlevo ({hat {heta}} + i {hat {phi}} ight) ^ {mu}.}$

Komplexní konjugát tohoto vektoru pak tvoří čtvrtý prvek tetrady.

Pro formalizmus NP se používají dvě sady konvencí podpisu a normalizace: ${displaystyle {(+, -, -, -); l ^ {a} n_ {a} = 1,, m ^ {a} {ar {m}} _ {a} = - 1}}$ a ${displaystyle {(-, +, +, +); l ^ {a} n_ {a} = - 1,, m ^ {a} {ar {m}} _ {a} = 1}}$. První z nich je původní, který byl přijat, když byl vyvinut NP formalizmus^[1][2] a byl široce používán^[6][7] ve fyzice černých děr, gravitačních vlnách a různých dalších oblastech obecné teorie relativity. Je to však druhá konvence, která se obvykle používá při současném studiu černých děr z kvazikulárních perspektiv^[8] (například izolované obzory^[9] a dynamické obzory^[10][11]). V tomto článku využijeme ${displaystyle {(-, +, +, +); l ^ {a} n_ {a} = - 1,, m ^ {a} {ar {m}} _ {a} = 1}}$ pro systematické přezkoumání NP formalismu (viz také ref.^[12][13][14]).

Je důležité si uvědomit, že při přechodu z ${displaystyle {(+, -, -, -) ,, l ^ {a} n_ {a} = 1,, m ^ {a} {ar {m}} _ {a} = - 1}}$ na ${displaystyle {(-, +, +, +) ,, l ^ {a} n_ {a} = - 1,, m ^ {a} {ar {m}} _ {a} = 1}}$, definice spinových koeficientů, Weyl-NP skaláry ${displaystyle Psi _ {i}}$ a Ricci-NP skaláry ${displaystyle Phi _ {ij}}$ potřeba změnit jejich znamení; takto mohou být Einstein-Maxwellovy rovnice ponechány beze změny.

V NP formalismu obsahuje komplexní nulová tetrad dva skutečné nulové (ko) vektory ${displaystyle {ell ,, n}}$ a dva komplexní nulové (ko) vektory ${displaystyle {m ,, {ar {m}}}}$. Bytost nula (co) vektory, já-normalizace ${displaystyle {ell ,, n}}$ přirozeně mizí,

${displaystyle l_ {a} l ^ {a} = n_ {a} n ^ {a} = m_ {a} m ^ {a} = {ar {m}} _ {a} {ar {m}} ^ { a} = 0}$,

takže následující dva páry přejít- normalizace jsou přijaty

${displaystyle l_ {a} n ^ {a} = - 1 = l ^ {a} n_ {a} ,, quad m_ {a} {ar {m}} ^ {a} = 1 = m ^ {a} { ar {m}} _ {a} ,,}$

zatímco kontrakce mezi dvěma páry také mizí,

${displaystyle l_ {a} m ^ {a} = l_ {a} {ar {m}} ^ {a} = n_ {a} m ^ {a} = n_ {a} {ar {m}} ^ {a } = 0}$.

Zde mohou indexy globálně zvyšovat a snižovat metrický ${displaystyle g_ {ab}}$ které lze získat prostřednictvím

${displaystyle g_ {ab} = - l_ {a} n_ {b} -n_ {a} l_ {b} + m_ {a} {ar {m}} _ {b} + {ar {m}} _ {a } m_ {b} ,, quad g ^ {ab} = - l ^ {a} n ^ {b} -n ^ {a} l ^ {b} + m ^ {a} {ar {m}} ^ { b} + {ar {m}} ^ {a} m ^ {b} ,.}$

NP množství a tetradové rovnice

Čtyři operátory kovariančních derivací

V souladu s praxí formalismu používání odlišných neindexovaných symbolů pro každou složku objektu je kovarianční derivace operátor ${displaystyle abla _ {a}}$ je vyjádřena pomocí čtyř samostatných symbolů (${displaystyle D, Delta, delta, {ar {delta}}}$) které jméno a směrový kovarianční derivace operátor pro každý směr tetrad. Vzhledem k lineární kombinaci tetradových vektorů ${displaystyle X ^ {a} = mathrm {a} l ^ {a} + mathrm {b} n ^ {a} + mathrm {c} m ^ {a} + mathrm {d} {ar {m}} ^ { A}}$, operátor kovariantní derivace v ${displaystyle X ^ {a}}$ směr je ${displaystyle X ^ {a} abla _ {a} = (mathrm {a} D + mathrm {b} Delta + mathrm {c} delta + mathrm {d} {ar {delta}})}$.

Operátory jsou definovány jako
${displaystyle D: = abla _ {oldsymbol {l}} = l ^ {a} abla _ {a} ,,; Delta: = abla _ {oldsymbol {n}} = n ^ {a} abla _ {a}, ,}$
${displaystyle delta: = abla _ {oldsymbol {m}} = m ^ {a} abla _ {a} ,,; {ar {delta}}: = abla _ {oldsymbol {ar {m}}} = {ar { m}} ^ {a} abla _ {a} ,,}$

které se snižují na ${displaystyle D = l ^ {a} částečný _ {a} ,, Delta = n ^ {a} částečný _ {a} ,, delta = m ^ {a} částečný _ {a} ,, {ar {delta}} = {ar {m}} ^ {a} částečné _ {a}}$ když jedná skalární funkce.

Dvanáct spinových koeficientů

V NP formalismu místo použití indexových notací jako v ortogonální tetrady, každý Koeficient rotace Ricci ${displaystyle gamma _ {ijk}}$ v nulové tetradě je přiřazeno malé řecké písmeno, které tvoří komplex 12 spinové koeficienty (ve třech skupinách),

${displaystyle kappa: = - m ^ {a} Dl_ {a} = - m ^ {a} l ^ {b} abla _ {b} l_ {a} ,, quad au: = - m ^ {a} Delta l_ {a} = - m ^ {a} n ^ {b} abla _ {b} l_ {a} ,,}$
${displaystyle sigma: = - m ^ {a} delta l_ {a} = - m ^ {a} m ^ {b} abla _ {b} l_ {a} ,, quad ho: = - m ^ {a} { ar {delta}} l_ {a} = - m ^ {a} {ar {m}} ^ {b} abla _ {b} l_ {a} ,;}$

${displaystyle pi: = {ar {m}} ^ {a} Dn_ {a} = {ar {m}} ^ {a} l ^ {b} abla _ {b} n_ {a} ,, quad u: = {ar {m}} ^ {a} Delta n_ {a} = {ar {m}} ^ {a} n ^ {b} abla _ {b} n_ {a} ,,}$
${displaystyle mu: = {ar {m}} ^ {a} delta n_ {a} = {ar {m}} ^ {a} m ^ {b} abla _ {b} n_ {a} ,, quad lambda: = {ar {m}} ^ {a} {ar {delta}} n_ {a} = {ar {m}} ^ {a} {ar {m}} ^ {b} abla _ {b} n_ {a } ;;}$

${displaystyle varepsilon: = - {frac {1} {2}} {ig (} n ^ {a} Dl_ {a} - {ar {m}} ^ {a} Dm_ {a} {ig)} = - { frac {1} {2}} {ig (} n ^ {a} l ^ {b} abla _ {b} l_ {a} - {ar {m}} ^ {a} l ^ {b} abla _ { b} m_ {a} {ig)} ,,}$
${displaystyle gamma: = - {frac {1} {2}} {ig (} n ^ {a} Delta l_ {a} - {ar {m}} ^ {a} Delta m_ {a} {ig)} = - {frac {1} {2}} {ig (} n ^ {a} n ^ {b} abla _ {b} l_ {a} - {ar {m}} ^ {a} n ^ {b} abla _ {b} m_ {a} {ig)} ,,}$
${displaystyle eta: = {frac {1} {2}} {ig (} n ^ {a} delta l_ {a} - {ar {m}} ^ {a} delta m_ {a} {ig)} = { frac {1} {2}} {ig (} n ^ {a} m ^ {b} abla _ {b} l_ {a} - {ar {m}} ^ {a} m ^ {b} abla _ { b} m_ {a} {ig)} ,,}$
${displaystyle alpha: = {frac {1} {2}} {ig (} n ^ {a} {ar {delta}} l_ {a} - {ar {m}} ^ {a} {ar {delta}} m_ {a} {ig)} = {frac {1} {2}} {ig (} n ^ {a} {ar {m}} ^ {b} abla _ {b} l_ {a} - {ar { m}} ^ {a} {ar {m}} ^ {b} abla _ {b} m_ {a} {ig)} ,.}$

Spinové koeficienty jsou primární veličiny v NP formalismu, s nimiž lze všechny ostatní NP veličiny (jak je definováno níže) vypočítat nepřímo pomocí rovnic NP pole. NP formalismus se tedy někdy označuje jako formalismus spinového koeficientu také.

Transportní rovnice: kovarianční deriváty tetradových vektorů

Šestnáct směrových kovariantních derivátů tetradových vektorů se někdy nazývá transportní / propagační rovnice,^{[Citace je zapotřebí ]} snad proto, že deriváty jsou nulové, když je tetradový vektor paralelně šířen nebo transportován ve směru derivačního operátoru.

Tyto výsledky v tomto přesném zápisu uvádí ODonnell:^{[5]:57–58(3.220)}
${displaystyle Dl ^ {a} = (varepsilon + {ar {varepsilon}}) l ^ {a} - {ar {kappa}} m ^ {a} -kappa {ar {m}} ^ {a} ,,}$
${displaystyle Delta l ^ {a} = (gamma + {ar {gamma}}) l ^ {a} - {ar {au}} m ^ {a} - au {ar {m}} ^ {a} ,, }$
${displaystyle delta l ^ {a} = ({ar {alpha}} + eta) l ^ {a} - {ar {ho}} m ^ {a} -sigma {ar {m}} ^ {a} ,, }$
${displaystyle {ar {delta}} l ^ {a} = (alpha + {ar {eta}}) l ^ {a} - {ar {sigma}} m ^ {a} -ho {ar {m}} ^ {A},;}$

${displaystyle Dn ^ {a} = pi m ^ {a} + {ar {pi}} {ar {m}} ^ {a} - (varepsilon + {ar {varepsilon}}) n ^ {a} ,,}$
${displaystyle Delta n ^ {a} = u m ^ {a} + {ar {u}} {ar {m}} ^ {a} - (gamma + {ar {gamma}}) n ^ {a} ,,}$
${displaystyle delta n ^ {a} = mu m ^ {a} + {ar {lambda}} {ar {m}} ^ {a} - ({ar {alpha}} + eta) n ^ {a} ,, }$
${displaystyle {ar {delta}} n ^ {a} = lambda m ^ {a} + {ar {mu}} {ar {m}} ^ {a} - (alpha + {ar {eta}}) n ^ {A},;}$

${displaystyle Dm ^ {a} = (varepsilon - {ar {varepsilon}}) m ^ {a} + {ar {pi}} l ^ {a} -kappa n ^ {a} ,,}$
${displaystyle Delta m ^ {a} = (gama - {ar {gamma}}) m ^ {a} + {ar {u}} l ^ {a} - au n ^ {a} ,,}$
${displaystyle delta m ^ {a} = (eta - {ar {alpha}}) m ^ {a} + {ar {lambda}} l ^ {a} -sigma n ^ {a} ,,}$
${displaystyle {ar {delta}} m ^ {a} = (alpha - {ar {eta}}) m ^ {a} + {ar {mu}} l ^ {a} -ho n ^ {a} ,; }$

${displaystyle D {ar {m}} ^ {a} = ({ar {varepsilon}} - varepsilon) {ar ​​{m}} ^ {a} + pi l ^ {a} - {ar {kappa}} n ^ {A},,}$
${displaystyle Delta {ar {m}} ^ {a} = ({ar {gamma}} - gamma) {ar ​​{m}} ^ {a} + ul ^ {a} - {ar {au}} n ^ { A},,}$
${displaystyle delta {ar {m}} ^ {a} = (eta - {ar {alpha}}) {ar ​​{m}} ^ {a} + mu l ^ {a} - {ar {ho}} n ^ {A},,}$
${displaystyle {ar {delta}} {ar {m}} ^ {a} = (alpha - {ar {eta}}) {ar ​​{m}} ^ {a} + lambda l ^ {a} - {ar { sigma}} n ^ {a} ,.}$

Výklad ${displaystyle kappa, varepsilon, u, gamma}$ z ${displaystyle Dl ^ {a}}$ a ${displaystyle Delta n ^ {a}}$

Dvě rovnice pro kovariantní derivaci skutečného nulového tetradového vektoru ve vlastním směru naznačují, zda je vektor tečný ke geodetice, a pokud ano, zda má geodetika afinní parametr.

Nulový tangensový vektor ${displaystyle T ^ {a}}$ je tečna k afinně parametrizované nulové geodetice, pokud ${displaystyle T ^ {b} abla _ {b} T ^ {a} = 0}$, což znamená, že pokud se vektor nezmění paralelním šířením nebo transportem ve svém vlastním směru.^{[15]:41(3.3.1)}

${displaystyle Dl ^ {a} = (varepsilon + {ar {varepsilon}}) l ^ {a} - {ar {kappa}} m ^ {a} -kappa {ar {m}} ^ {a}}$ ukázat to ${displaystyle l ^ {a}}$ je tečna ke geodetice právě tehdy ${displaystyle kappa = 0}$, a je tečna k afinně parametrizované geodetice, pokud je navíc ${displaystyle (varepsilon + {ar {varepsilon}}) = 0}$. Podobně, ${displaystyle Delta n ^ {a} = u m ^ {a} + {ar {u}} {ar {m}} ^ {a} - (gamma + {ar {gamma}}) n ^ {a}}$ ukázat to ${displaystyle n ^ {a}}$ je geodetická právě tehdy ${displaystyle u = 0}$, a má afinní parametrizaci, když ${displaystyle (gamma + {ar {gamma}}) = 0}$.

(Složité nulové tetradové vektory ${displaystyle m ^ {a} = x ^ {a} + iy ^ {a}}$ a ${displaystyle {ar {m}} ^ {a} = x ^ {a} -iy ^ {a}}$ by se muselo rozdělit na vesmírné základní vektory ${displaystyle x ^ {a}}$ a ${displaystyle y ^ {a}}$ než se zeptáte, zda je jedna nebo obě tečna ke geodetice podobné vesmíru.)

Komutátoři

The metrická kompatibilita nebo torzní volnost kovariančního derivátu je přepracován do komutátory směrových derivátů,

${displaystyle Delta D-DDelta = (gamma + {ar {gamma}}) D + (varepsilon + {ar {varepsilon}}) Delta - ({ar {au}} + pi) delta - (au + {ar {pi} }) {ar ​​{delta}} ,,}$
${displaystyle delta D-Ddelta = ({ar {alpha}} + eta - {ar {pi}}) D + kappa Delta - ({ar {ho}} + varepsilon - {ar {varepsilon}}) delta -sigma { ar {delta}} ,,}$
${displaystyle delta Delta -Delta delta = - {ar {u}} D + (au - {ar {alpha}} - eta) Delta + (mu -gamma + {ar {gamma}}) delta + {ar {lambda}} {ar {delta}} ,,}$
${displaystyle {ar {delta}} delta -delta {ar {delta}} = ({ar {mu}} - mu) D + ({ar {ho}} - ho) Delta + (alpha - {ar {eta}} ) delta - ({ar {alpha}} - eta) {ar ​​{delta}} ,,}$

což z toho vyplývá

${displaystyle Delta l ^ {a} -Dn ^ {a} = (gamma + {ar {gamma}}) l ^ {a} + (varepsilon + {ar {varepsilon}}) n ^ {a} - ({ar {au}} + pi) m ^ {a} - (au + {ar {pi}}) {ar ​​{m}} ^ {a} ,,}$
${displaystyle delta l ^ {a} -Dm ^ {a} = ({ar {alpha}} + eta - {ar {pi}}) l ^ {a} + kappa n ^ {a} - ({ar {ho }} + varepsilon - {ar {varepsilon}}) m ^ {a} -sigma {ar {m}} ^ {a} ,,}$
${displaystyle delta n ^ {a} -Delta m ^ {a} = - {ar {u}} l ^ {a} + (au - {ar {alpha}} - eta) n ^ {a} + (mu - gamma + {ar {gamma}}) m ^ {a} + {ar {lambda}} {ar {m}} ^ {a} ,,}$
${displaystyle {ar {delta}} m ^ {a} -delta {ar {m}} ^ {a} = ({ar {mu}} - mu) l ^ {a} + ({ar {ho}} - ho) n ^ {a} + (alpha - {ar {eta}}) m ^ {a} - ({ar {alpha}} - eta) {ar ​​{m}} ^ {a} ,.}$

Poznámka: (i) Výše ​​uvedené rovnice lze považovat buď za důsledky komutátorů, nebo za kombinace dopravních rovnic; (ii) V těchto implikovaných rovnicích vektory ${displaystyle {l ^ {a}, n ^ {a}, m ^ {a}, {ar {m}} ^ {a}}}$ lze nahradit covektory a rovnice stále platí.

Weyl – NP a Ricci – NP skaláry

10 nezávislých složek Weyl tenzor lze kódovat do 5 komplexů Weyl-NP skaláry,

${displaystyle Psi _ {0}: = C_ {abcd} l ^ {a} m ^ {b} l ^ {c} m ^ {d} ,,}$${displaystyle Psi _ {1}: = C_ {abcd} l ^ {a} n ^ {b} l ^ {c} m ^ {d} ,,}$${displaystyle Psi _ {2}: = C_ {abcd} l ^ {a} m ^ {b} {ar {m}} ^ {c} n ^ {d} ,,}$${displaystyle Psi _ {3}: = C_ {abcd} l ^ {a} n ^ {b} {ar {m}} ^ {c} n ^ {d} ,,}$${displaystyle Psi _ {4}: = C_ {abcd} n ^ {a} {ar {m}} ^ {b} n ^ {c} {ar {m}} ^ {d} ,.}$

10 nezávislých složek Ricciho tenzor jsou kódovány do 4 nemovitý skaláry ${displaystyle {Phi _ {00}}$, ${displaystyle Phi _ {11}}$, ${displaystyle Phi _ {22}}$, ${displaystyle Lambda}}$ a 3 komplex skaláry ${displaystyle {Phi _ {10}, Phi _ {20}, Phi _ {21}}}$ (s jejich komplexními konjugáty),

${displaystyle Phi _ {00}: = {frac {1} {2}} R_ {ab} l ^ {a} l ^ {b} ,, quad Phi _ {11}: = {frac {1} {4} } R_ {ab} (, l ^ {a} n ^ {b} + m ^ {a} {ar {m}} ^ {b}) ,, quad Phi _ {22}: = {frac {1} { 2}} R_ {ab} n ^ {a} n ^ {b} ,, quad Lambda: = {frac {R} {24}} ,;}$

${displaystyle Phi _ {01}: = {frac {1} {2}} R_ {ab} l ^ {a} m ^ {b} ,, quad; Phi _ {10}: = {frac {1} {2 }} R_ {ab} l ^ {a} {ar {m}} ^ {b} = {overline {Phi _ {01}}} ,,}$
${displaystyle Phi _ {02}: = {frac {1} {2}} R_ {ab} m ^ {a} m ^ {b} ,, quad Phi _ {20}: = {frac {1} {2} } R_ {ab} {ar {m}} ^ {a} {ar {m}} ^ {b} = {overline {Phi _ {02}}} ,,}$
${displaystyle Phi _ {12}: = {frac {1} {2}} R_ {ab} m ^ {a} n ^ {b} ,, quad; Phi _ {21}: = {frac {1} {2 }} R_ {ab} {ar {m}} ^ {a} n ^ {b} = {overline {Phi _ {12}}} ,.}$

V těchto definicích ${displaystyle R_ {ab}}$ lze nahradit jeho bez stop část ${displaystyle displaystyle Q_ {ab} = R_ {ab} - {frac {1} {4}} g_ {ab} R}$^[13] nebo Einsteinův tenzor ${displaystyle displaystyle G_ {ab} = R_ {ab} - {frac {1} {2}} g_ {ab} R}$ kvůli normalizačním vztahům. Taky, ${displaystyle Phi _ {11}}$ je snížena na ${displaystyle Phi _ {11} = {frac {1} {2}} R_ {ab} l ^ {a} n ^ {b} = {frac {1} {2}} R_ {ab} m ^ {a} {ar {m}} ^ {a}}$ pro elektrovakuum (${displaystyle Lambda = 0}$).

Einstein – Maxwell – NP rovnice

Rovnice NP pole

V komplexním nulovém tetradu vedou Ricciho identity k následujícím rovnicím NP pole spojujícím spinové koeficienty, Weyl-NP a Ricci-NP skaláry (připomeňme, že v ortogonálním tetradu by Ricciho rotační koeficienty Cartanova první a druhá strukturní rovnice ),^[5][13]

Tyto rovnice v různých notacích lze nalézt v několika textech.^{[3]:46–47 (310 (a) - (r))[13]:671–672 (E.12)} Zápis ve Frolově a Novikově^[13] je identická a sazba se shoduje pixel po pixelu. (Zdá se, že Springer používá v podstatě podobný balíček LaTex).
${displaystyle Dho - {ar {delta}} kappa = (ho ^ {2} + sigma {ar {sigma}}) + (varepsilon + {ar {varepsilon}}) ho - {ar {kappa}} au -kappa ( 3alpha + {ar {eta}} - pi) + Phi _ {00} ,,}$
${displaystyle Dsigma -delta kappa = (ho + {ar {ho}}) sigma + (3varepsilon - {ar {varepsilon}}) sigma - (au - {ar {pi}} + {ar {alpha}} + 3 eta ) kappa + Psi _ {0} ,,}$
${displaystyle D au -Delta kappa = (au + {ar {pi}}) ho + ({ar {au}} + pi) sigma + (varepsilon - {ar {varepsilon}}) au - (3gamma + {ar { gamma}}) kappa + Psi _ {1} + Phi _ {01} ,,}$
${displaystyle Dalpha - {ar {delta}} varepsilon = (ho + {ar {varepsilon}} - 2varepsilon) alfa + eta {ar {sigma}} - {ar {eta}} varepsilon -kappa lambda - {ar {kappa} } gamma + (varepsilon + ho) pi + Phi _ {10} ,,}$
${displaystyle D eta -delta varepsilon = (alpha + pi) sigma + ({ar {ho}} - {ar {varepsilon}}) eta - (mu + gamma) kappa - ({ar {alpha}} - {ar { pi}}) varepsilon + Psi _ {1} ,,}$
${displaystyle Dgamma -Delta varepsilon = (au + {ar {pi}}) alpha + ({ar {au}} + pi) eta - (varepsilon + {ar {varepsilon}}) gamma - (gamma + {ar {gamma }}) varepsilon + au pi -u kappa + Psi _ {2} + Phi _ {11} -Lambda ,,}$
${displaystyle Dlambda - {ar {delta}} pi = (ho lambda + {ar {sigma}} mu) + pi ^ {2} + (alpha - {ar {eta}}) pi -u {ar {kappa}} - (3varepsilon - {ar {varepsilon}}) lambda + Phi _ {20} ,,}$
${displaystyle Dmu -delta pi = ({ar {ho}} mu + sigma lambda) + pi {ar {pi}} - (varepsilon + {ar {varepsilon}}) mu - ({ar {alpha}} - eta) pi -u kappa + Psi _ {2} + 2Lambda ,,}$
${displaystyle Du -Delta pi = (pi + {ar {au}}) mu + ({ar {pi}} + au) lambda + (gamma - {ar {gamma}}) pi - (3varepsilon + {ar {varepsilon }}) u + Psi _ {3} + Phi _ {21} ,,}$
${displaystyle Delta lambda - {ar {delta}} u = - (mu + {ar {mu}}) lambda - (3gamma - {ar {gamma}}) lambda + (3alpha + {ar {eta}} + pi - {ar {au}}) u -Psi _ {4} ,,}$
${displaystyle delta ho - {ar {delta}} sigma = ho ({ar {alpha}} + eta) -sigma (3alpha - {ar {eta}}) + (ho - {ar {ho}}) au + ( mu - {ar {mu}}) kappa -Psi _ {1} + Phi _ {01} ,,}$
${displaystyle delta alpha - {ar {delta}} eta = (mu ho -lambda sigma) + alpha {ar {alpha}} + eta {ar {eta}} - 2alpha eta + gamma (ho - {ar {ho}}) ) + varepsilon (mu - {ar {mu}}) - Psi _ {2} + Phi _ {11} + lambda ,,}$
${displaystyle delta lambda - {ar {delta}} mu = (ho - {ar {ho}}) u + (mu - {ar {mu}}) pi + (alpha + {ar {eta}}) mu + ( {ar {alpha}} - 3 eta) lambda -Psi _ {3} + Phi _ {21} ,,}$
${displaystyle delta u -Delta mu = (mu ^ {2} + lambda {ar {lambda}}) + (gamma + {ar {gamma}}) mu - {ar {u}} pi + (au -3 eta - {ar {alpha}}) u + Phi _ {22} ,,}$
${displaystyle delta gamma -Delta eta = (au - {ar {alpha}} - eta) gamma + mu au -sigma u -varepsilon {ar {u}} - (gamma - {ar {gamma}} - mu) eta + alpha {ar {lambda}} + Phi _ {12} ,,}$
${displaystyle delta au -Delta sigma = (mu sigma + {ar {lambda}} ho) + (au + eta - {ar {alpha}}) au - (3gamma - {ar {gamma}}) sigma -kappa {ar {u}} + Phi _ {02} ,,}$
${displaystyle Delta ho - {ar {delta}} au = - (ho {ar {mu}} + sigma lambda) + ({ar {eta}} - alfa - {ar {au}}) au + (gamma + { ar {gamma}}) ho + u kappa -Psi _ {2} -2Lambda ,,}$
${displaystyle Delta alpha - {ar {delta}} gamma = (ho + varepsilon) u - (au + eta) lambda + ({ar {gamma}} - {ar {mu}}) alpha + ({ar {eta} } - {ar {au}}) gamma -Psi _ {3} ,.}$

Také skaláry Weyl-NP ${displaystyle Psi _ {i}}$ a skaláry Ricci-NP ${displaystyle Phi _ {ij}}$ lze vypočítat nepřímo z výše uvedených rovnic NP pole po získání spinových koeficientů, nikoli přímo pomocí jejich definic.

Maxwell – NP skaláry, Maxwellovy rovnice v NP formalismu

Šest nezávislých komponent 2-formy Faraday-Maxwell (tj tenzor intenzity elektromagnetického pole ) ${displaystyle F_ {ab}}$ lze kódovat do tří komplexních skalárů Maxwell-NP^[12]

${displaystyle phi _ {0}: = F_ {ab} l ^ {a} m ^ {b} ,, quad phi _ {1}: = {frac {1} {2}} F_ {ab} {ig (} l ^ {a} n ^ {b} + {ar {m}} ^ {a} m ^ {b} {ig)} ,, quad phi _ {2}: = F_ {ab} {ar {m}} ^ {a} n ^ {b} ,,}$

a tedy osm skutečných Maxwellovy rovnice ${displaystyle dmathbf {F} = 0}$ a ${displaystyle d ^ {star} mathbf {F} = 0}$ (tak jako ${displaystyle mathbf {F} = dA}$) lze transformovat do čtyř komplexních rovnic,

${displaystyle Dphi _ {1} - {ar {delta}} phi _ {0} = (pi -2alpha) phi _ {0} + 2ho phi _ {1} -kappa phi _ {2} ,,}$
${displaystyle Dphi _ {2} - {ar {delta}} phi _ {1} = - lambda phi _ {0} + 2pi phi _ {1} + (ho -2varepsilon) phi _ {2} ,,}$
${displaystyle Delta phi _ {0} -delta phi _ {1} = (2gamma -mu) phi _ {0} -2 au phi _ {1} + sigma phi _ {2} ,,}$
${displaystyle Delta phi _ {1} -delta phi _ {2} = u phi _ {0} -2mu phi _ {1} + (2 eta - au) phi _ {2} ,,}$

pomocí skalárů Ricci-NP ${displaystyle Phi _ {ij}}$ související s Maxwellovými skaláry od^[12]

${displaystyle Phi _ {ij} =, 2, phi _ {i}, {overline {phi _ {j}}} ,, quad (i, jin {0,1,2}) ,.}$

Je třeba zdůraznit, že doplňková rovnice ${displaystyle Phi _ {ij} = 2, phi _ {i}, {overline {phi _ {j}}}}$ platí pouze pro elektromagnetická pole; například v případě polí Yang-Mills bude ${displaystyle Phi _ {ij} =, {ext {Tr}}, (digamma _ {i}, {ar {digamma}} _ {j})}$ kde ${displaystyle digamma _ {i} (iin {0,1,2})}$ jsou skaláři Yang-Mills-NP.^[16]

Abych to shrnul, výše uvedené dopravní rovnice, rovnice NP pole a rovnice Maxwell-NP společně tvoří Einstein-Maxwellovy rovnice v Newman-Penroseově formalizmu.

Aplikace NP formalismu na pole gravitačního záření

Weylův skalár ${displaystyle Psi _ {4}}$ byla definována společností Newman & Penrose jako

${displaystyle Psi _ {4} = - C_ {alfa eta gamma delta} n ^ {alpha} {ar {m}} ^ {eta} n ^ {gamma} {ar {m}} ^ {delta}}$

(Všimněte si však, že celkový znak je libovolný, a že Newman & Penrose pracoval s metrickým podpisem „timelike“ ${displaystyle (+, -, -, -)}$Na prázdném místě se zobrazí Einsteinovy ​​polní rovnice snížit na ${displaystyle R_ {alpha eta} = 0}$. Z definice Weylova tenzoru vidíme, že to znamená, že se rovná Riemannův tenzor, ${displaystyle C_ {alfa eta gama delta} = R_ {alfa eta gama delta}}$. Můžeme udělat standardní volbu pro tetrad v nekonečnu:

${displaystyle l ^ {mu} = {frac {1} {sqrt {2}}} vlevo ({hat {t}} + {hat {r}} ight),}$

${displaystyle n ^ {mu} = {frac {1} {sqrt {2}}} vlevo ({hat {t}} - {hat {r}} ight),}$

${displaystyle m ^ {mu} = {frac {1} {sqrt {2}}} vlevo ({hat {heta}} + i {hat {phi}} ight).}$

V příčném bezstopovém měřidle jednoduchý výpočet ukazuje, že linearizovaný gravitační vlny souvisí s komponentami Riemannova tenzoru as

${displaystyle {frac {1} {4}} vlevo ({ddot {h}} _ {{hat {heta}} {hat {heta}}} - {ddot {h}} _ {{hat {phi}} { hat {phi}}} ight) = - R _ {{hat {t}} {hat {heta}} {hat {t}} {hat {heta}}} = - R _ {{hat {t}} {hat { phi}} {hat {r}} {hat {phi}}} = - R _ {{hat {r}} {hat {heta}} {hat {r}} {hat {heta}}} = R _ {{hat {t}} {hat {phi}} {hat {t}} {hat {phi}}} = R _ {{hat {t}} {hat {heta}} {hat {r}} {hat {heta}} } = R _ {{hat {r}} {hat {phi}} {hat {r}} {hat {phi}}},}$

${displaystyle {frac {1} {2}} {ddot {h}} _ {{hat {heta}} {hat {phi}}} = - R _ {{hat {t}} {hat {heta}} {hat {t}} {hat {phi}}} = - R _ {{hat {r}} {hat {heta}} {hat {r}} {hat {phi}}} = R _ {{hat {t}} { hat {heta}} {hat {r}} {hat {phi}}} = R _ {{hat {r}} {hat {heta}} {hat {t}} {hat {phi}}},}$

za předpokladu šíření v ${displaystyle {hat {r}}}$ směr. Jejich kombinací a použitím definice ${displaystyle Psi _ {4}}$ výše, můžeme psát

${displaystyle Psi _ {4} = {frac {1} {2}} vlevo ({ddot {h}} _ {{hat {heta}} {hat {heta}}} - {ddot {h}} _ {{ hat {phi}} {hat {phi}}} ight) + i {ddot {h}} _ {{hat {heta}} {hat {phi}}} = - {ddot {h}} _ {+} + i {ddot {h}} _ {imes}.}$

Daleko od zdroje, v téměř plochém prostoru, pole ${displaystyle h _ {+}}$ a ${displaystyle h_ {imes}}$ zakódovat vše o gravitačním záření šířícím se daným směrem. To tedy vidíme ${displaystyle Psi _ {4}}$ kóduje v jednom komplexním poli vše o (odchozích) gravitačních vlnách.

Záření z konečného zdroje

Pomocí formalizace formování vln, kterou shrnul Thorne,^[17] můžeme radiační pole napsat docela kompaktně, pokud jde o hromadný multipól, aktuální multipól, a spinově vážené sférické harmonické:

${displaystyle Psi _ {4} (t, r, heta, phi) = - {frac {1} {r {sqrt {2}}}} součet _ {l = 2} ^ {infty} součet _ {m = - l} ^ {l} vlevo [{} ^ {(l + 2)} I ^ {lm} (tr) -i {} ^ {(l + 2)} S ^ {lm} (tr) ight] {} _ {- 2} Y_ {lm} (heta, phi).}$

Zde prefixované horní indexy označují časové deriváty. To znamená, že definujeme

${displaystyle {} ^ {(l)} G (t) = left ({frac {d} {dt}} ight) ^ {l} G (t).}$

Komponenty ${displaystyle I ^ {lm}}$ a ${displaystyle S ^ {lm}}$ jsou hromadné a aktuální multipóly. ${displaystyle {} _ {- 2} Y_ {lm}}$ je spinová hmotnost -2 sférická harmonická.

Viz také

• Souřadnice světelného kužele
• GHP formalismus
• Tetradský formalismus
• Goldberg – Sachsova věta

Poznámky

Reference

• Wald, Robert (1984). Obecná relativita. University of Chicago Press. ISBN  0-226-87033-2. Wald zachází s výstižnější verzí Newman-Penrosova formalizmu, pokud jde o modernější spinorovou notaci.
• S. W. Hawking a G. F. R. Ellis (1973). Rozsáhlá struktura časoprostoru. Cambridge University Press. ISBN  0-226-87033-2. Hawking a Ellis používají formalismus při diskusi o konečném stavu kolabující hvězdy.

externí odkazy

• Newman – Penroseův formalismus ve Scholarpedii