Prahová hodnota perkolace - Percolation threshold
The práh perkolace je matematický koncept v teorie perkolace který popisuje vznik konektivity na velké vzdálenosti v náhodný systémy. Pod prahem obr připojená součást neexistuje; zatímco nad ním existuje obrovská součást řádu velikosti systému. Ve strojírenství a káva, perkolace představuje tok tekutin skrz porézní média, ale ve světě matematiky a fyziky to obecně znamená zjednodušené příhradové modely náhodných systémů nebo sítí (grafy ) a povahu konektivity v nich. Prahová hodnota perkolace je kritická hodnota pravděpodobnosti zaměstnání str, nebo obecněji kritický povrch pro skupinu parametrů str1, str2, ..., taková nekonečná konektivita (perkolace ) poprvé.
Perkolační modely
Nejběžnějším perkolačním modelem je vzít pravidelnou mřížku, jako je čtvercová mřížka, a přeměnit ji na náhodnou síť pomocí náhodného „obsazení“ míst (vrcholy) nebo vazeb (hran) se statisticky nezávislou pravděpodobností str. Na kritické hranici strC, nejprve se objevují velké klastry a konektivita na velké vzdálenosti, a tomu se říká práh perkolace. V závislosti na způsobu získání náhodné sítě se rozlišuje mezi perkolace webu práh a perkolace vazby práh. Obecnější systémy mají několik pravděpodobností str1, str2atd. a přechod je charakterizován a kritický povrch nebo potrubí. Lze také zvážit systémy kontinua, jako jsou překrývající se disky a koule umístěné náhodně, nebo negativní prostor (Švýcarský sýr modely).
V dosud popsaných systémech se předpokládalo, že obsazení místa nebo vazby je zcela náhodné - jedná se o tzv. Bernoulli perkolace. U systému kontinua náhodné obsazení odpovídá bodům umístěným a Poissonův proces. Další variace zahrnují korelovanou perkolaci, jako jsou perkolační klastry související s Isingovými a Pottsovými modely feromagnetů, ve kterých jsou vazby kladeny Fortuin-Kasteleyn metoda.[1] v bootstrap nebo k-sat perkolace, weby a / nebo vazby jsou nejprve obsazeny a poté postupně vyřazeny ze systému, pokud web nemá alespoň k sousedé. Další důležitý model perkolace, v jiném třída univerzality celkem je řízená perkolace, kde konektivita podél vazby závisí na směru toku.
V posledních několika desetiletích bylo věnováno obrovské úsilí hledání přesných a přibližných hodnot prahů perkolace pro řadu těchto systémů. Přesné prahové hodnoty jsou známy pouze pro určité dvourozměrné mřížky, které lze rozdělit na sebe-duální pole, takže při transformaci trojúhelník-trojúhelník systém zůstává stejný. Studie využívající numerické metody vedly k četným vylepšením algoritmů a několika teoretickým objevům.
Jednoduše dualita ve dvou dimenzích znamená, že všechny plně trojúhelníkové mřížky (např. Trojúhelníková, spojovací zdířka, křížová duální, martinská duální a asanoha nebo duální 3-12 a Delaunayova triangulace) mají všechny prahové hodnoty stránky 1/2 a vlastní duální mřížky (čtvercové, martini-B) mají prahy vazby 1/2.
Zápis jako (4,82) pochází z Grünbaum a Shephard,[2] a naznačuje, že kolem daného vrcholu ve směru hodinových ručiček narazíme nejprve na čtverec a poté na dva osmiúhelníky. Kromě jedenácti Archimédovy svazy složené z pravidelných polygonů s každým ekvivalentem místa, bylo studováno mnoho dalších složitějších svazů s místy různých tříd.
Chybové pruhy na poslední číslici nebo číslicích jsou zobrazeny čísly v závorkách. 0,729724 (3) tedy znamená 0,729724 ± 0,000003 a 0,74042195 (80) znamená 0,74042195 ± 0,00000080. Chybové pruhy různě představují jednu nebo dvě standardní odchylky čisté chyby (včetně statistické a očekávané systematické chyby) nebo empirického intervalu spolehlivosti.
Perkolace na 2D mřížkách
Prahové hodnoty na archimédských mřížích

Toto je obrázek[3] z 11 archimédských mřížek nebo uniformních naklonění, ve kterých jsou všechny polygony pravidelné a každý vrchol je obklopen stejnou sekvencí polygonů. Zápis “(34„6)„ například znamená, že každý vrchol je obklopen čtyřmi trojúhelníky a jedním šestiúhelníkem. Viz také Rovnoměrné obklady.
Mříž | z | Prahová hodnota perkolace | Prahová hodnota perkolace | |
---|---|---|---|---|
3-12 nebo (3, 122 ) | 3 | 3 | 0,807900764 ... = (1 - 2 hříchy (π/18))1/2[4] | 0.74042195(80),[5] 0.74042077(2)[6] 0.740420800(2),[7] 0.7404207988509(8),[8][9] 0.740420798850811610(2),[10] |
přejít, zkrácený trihexagonal (4, 6, 12) | 3 | 3 | 0.746,[11] 0.750,[12] 0.747806(4),[4] 0.7478008(2)[8] | 0.6937314(1),[8] 0.69373383(72),[5] 0.693733124922(2)[10] |
čtvercový osmiúhelník, koupelnová dlaždice, 4-8, zkrácený čtverec (4, 82) | 3 | - | 0.729,[11] 0.729724(3),[4] 0.7297232(5)[8] | 0.6768,[13] 0.67680232(63),[5] |
plástev (63) | 3 | 3 | 0.6962(6),[14] 0.697040230(5),[8] 0.6970402(1),[15] 0.6970413(10),[16] 0.697043(3),[4] | 0,652703645 ... = 1–2 hříchy (π / 18), 1+ str3-3str2=0[17] |
kagome (3, 6, 3, 6) | 4 | 4 | 0,652703645 ... = 1 - 2 hříchy (π/18)[17] | 0.5244053(3),[18] 0.52440516(10),[16] 0.52440499(2),[15] 0.524404978(5),[6] 0.52440572...,[19] 0.52440500(1),[7] 0.524404999173(3),[8][9] 0.524404999167439(4)[20] 0.52440499916744820(1)[10] |
rubín,[21] rhombitrihexagonal (3, 4, 6, 4) | 4 | 4 | 0.620,[11] 0.621819(3),[4] 0.62181207(7)[8] | 0.52483258(53),[5] 0.5248311(1),[8] 0.524831461573(1)[10] |
čtverec (44) | 4 | 4 | 0.59274(10),[22] 0.59274605079210(2),[20] 0.59274601(2),[8] 0.59274605095(15),[23] 0.59274621(13),[24] 0.59274621(33),[25] 0.59274598(4),[26][27] 0.59274605(3),[15] 0.593(1),[28] | 1/2 |
urážka šestihranný, Javorový list[31] (34,6) | 5 | 5 | 0.579[12] 0.579498(3)[4] | 0.43430621(50),[5] 0.43432764(3),[8] 0.4343283172240(6),[10] |
urážka náměstí, skládačka (32, 4, 3, 4 ) | 5 | 5 | 0.550,[11][32] 0.550806(3)[4] | 0.41413743(46),[5] 0.4141378476(7),[8] 0.4141378565917(1),[10] |
vlys, protáhlý trojúhelníkový (33, 42) | 5 | 5 | 0.549,[11] 0.550213(3),[4] 0.5502(8)[33] | 0.4196(6)[33], 0.41964191(43),[5] 0.41964044(1),[8] 0.41964035886369(2) [10] |
trojúhelníkový (36) | 6 | 6 | 1/2 | 0,347296355 ... = 2 hříchy (π/18), 1 + str3 − 3str = 0[17] |
Poznámka: někdy se místo plástev používá „šestihranný“, ačkoli v některých polích se trojúhelníková mřížka nazývá také šestihranná mříž. z = hromadně koordinační číslo.
2D mřížky s rozšířenými a složitými sousedstvími
V této části odpovídá sq-1,2,3 čtverci (NN + 2NN + 3NN) [34]Ekvivalentní k čtverci-2N + 3N + 4N [35], čtverec (1,2,3)[36]. tri = trojúhelníkový, hc = plástev.
Mříž | z | Prahová hodnota perkolace | Prahová hodnota perkolace |
---|---|---|---|
sq-1, sq-2, sq-3, sq-5 | 4 | 0.5927...[34][35] (čtvercový web) | |
sq-1,2, sq-2,3, sq-3,5 | 8 | 0.407...[34][35][37] (porovnávání čtverců) | 0.25036834(6),[15] 0.2503685,[38] 0.2543684(4) [39] |
sq-1,3 | 8 | 0.337[34][35] | 0.2214995[38] |
sq-2,5: 2NN + 5NN | 8 | 0.337[35] | |
hc-1,2,3: plástev-NN + 2NN + 3NN | 12 | 0.300[36] | |
tri-1,2: trojúhelníkový-NN + 2NN | 12 | 0.295[36] | |
tri-2,3: trojúhelníkový-2NN + 3NN | 12 | 0.232020(36),[40] | |
sq-4: čtverec-4NN | 8 | 0.270...[35] | |
sq-1,5: čtverec-NN + 5NN | 8 (r ≤ 2) | 0.277[35] | |
sq-1,2,3: čtverec-NN + 2NN + 3NN | 12 | 0.292,[41] 0.290(5) [42] 0.289,[12]0.288,[34][35] | 0.1522203[38] |
sq-2,3,5: čtverec-2NN + 3NN + 5NN | 12 | 0.288[35] | |
sq-1,4: čtverec-NN + 4NN | 12 | 0.236[35] | |
sq-2,4: čtverec-2NN + 4NN | 12 | 0.225[35] | |
tri-4: trojúhelníkový-4NN | 12 | 0.192450(36)[40] | |
tri-1,2,3: trojúhelníkový-NN + 2NN + 3NN | 18 | 0.225,[41] 0.215,[12] 0.215459(36)[40] | |
sq-3,4: 3NN + 4NN | 12 | 0.221[35] | |
sq-1,2,5: NN + 2NN + 5NN | 12 | 0.240[35] | 0.13805374[38] |
sq-1,3,5: NN + 3NN + 5NN | 12 | 0.233[35] | |
sq-4,5: 4NN + 5NN | 12 | 0.199[35] | |
sq-1,2,4: NN + 2NN + 4NN | 16 | 0.219[35] | |
sq-1,3,4: NN + 3NN + 4NN | 16 | 0.208[35] | |
sq-2,3,4: 2NN + 3NN + 4NN | 16 | 0.202[35] | |
sq-1,4,5: NN + 4NN + 5NN | 16 | 0.187[35] | |
sq-2,4,5: 2NN + 4NN + 5NN | 16 | 0.182[35] | |
sq-3,4,5: 3NN + 4NN + 5NN | 16 | 0.179[35] | |
sq-1,2,3,5: NN + 2NN + 3NN + 5NN | 16 | 0.208[35] | 0.1032177[38] |
tri-4,5: 4NN + 5NN | 18 | 0.140250(36),[40] | |
sq-1,2,3,4: NN + 2NN + 3NN + 4NN (r≤) | 20 | 0.196[35] 0.196724(10)[43] | 0.0841509[38] |
sq-1,2,4,5: NN + 2NN + 4NN + 5NN | 20 | 0.177[35] | |
sq-1,3,4,5: NN + 3NN + 4NN + 5NN | 20 | 0.172[35] | |
sq-2,3,4,5: 2NN + 3NN + 4NN + 5NN | 20 | 0.167[35] | |
sq-1,2,3,5,6: NN + 2NN + 3NN + 5NN + 6NN | 20 | 0.0783110[38] | |
sq-1,2,3,4,5: NN + 2NN + 3NN + 4NN + 5NN (r≤) | 24 | 0.164[35] | |
tri-1,4,5: NN + 4NN + 5NN | 24 | 0.131660(36)[40] | |
sq-1, ..., 6: NN + ... + 6NN (r≤3) | 28 | 0.142[12] | 0.0558493[38] |
tri-2,3,4,5: 2NN + 3NN + 4NN + 5NN | 30 | 0.117460(36)[40] | |
tri-1,2,3,4,5: NN + 2NN + 3NN + 4NN + 5NN | 36 | 0.115,[12] 0.115740(36)[40] | |
sq-1, ..., 7: NN + ... + 7NN (r≤) | 36 | 0.113[12] | 0.04169608[38] |
čtverec: vzdálenost čtverce ≤ 4 | 40 | 0.105(5)[42] | |
sq- (1, ..., 8: NN + .. + 8NN (r≤) | 44 | 0.095765(5),[43] 0.095[32] | |
sq-1, ..., 9: NN + .. + 9NN | 48 | 0.086 [12] | 0.02974268[38] |
sq-1, ..., 11: NN + ... + 11NN | 60 | 0.02301190(3)[38] | |
sq-1, ... (r ≤ 7) | 148 | 0.008342595[39] | |
sq-1, ..., 32: NN + ... + 32NN | 224 | 0.0053050415(33)[38] | |
sq-1, ..., 86: NN + ... + 86NN (r≤15) | 708 | 0.001557644(4)[44] | |
sq-1, ..., 141: NN + ... + 141NN (r≤) | 1224 | 0.000880188(90)[38] | |
sq-1, ..., 185: NN + ... + 185NN (r≤23) | 1652 | 0.000645458(4)[44] | |
sq-1, ..., 317: NN + ... + 317NN (r≤31) | 3000 | 0.000349601(3)[44] | |
sq-1, ..., 413: NN + ... + 413NN (r≤) | 4016 | 0.0002594722(11)[38] | |
čtverec: vzdálenost čtverce ≤ 6 | 84 | 0.049(5)[42] | |
čtverec: vzdálenost čtverce ≤ 8 | 144 | 0.028(5)[42] | |
čtverec: vzdálenost čtverce ≤ 10 | 220 | 0.019(5)[42] | |
2x2 překrývající se čtverce * | 0.58365(2) [43] | ||
3x3 překrývající se čtverce * | 0.59586(2) [43] |
Zde NN = nejbližší soused, 2NN = druhý nejbližší soused (nebo další nejbližší soused), 3NN = třetí nejbližší soused (nebo další nejbližší soused) atd. V některých dokumentech se také nazývají 2N, 3N, 4N [34].
- U překrývajících se čtverců (web) zde uvedený je čistý zlomek obsazených webů podobně jako v perkolaci kontinua. Případ systému 2 × 2 odpovídá perkolaci čtvercové mřížky NN + 2NN + 3NN + 4NN nebo sq-1,2,3,4 s prahovou hodnotou s [43]. Systém 3 × 3 odpovídá sq-1,2,3,4,5,6,7,8 s z= 44 a . Pro větší překrývající se čtverce viz [43].
Přibližné vzorce pro prahové hodnoty archimédských mřížek
Mříž | z | Prahová hodnota perkolace | Prahová hodnota perkolace |
---|---|---|---|
(3, 122 ) | 3 | ||
(4, 6, 12) | 3 | ||
(4, 82) | 3 | 0.676835..., 4str3 + 3str4 − 6 str5 − 2 str6 = 1[45] | |
plástev (63) | 3 | ||
kagome (3, 6, 3, 6) | 4 | 0.524430..., 3str2 + 6str3 − 12 str4+ 6 str5 − str6 = 1[46] | |
(3, 4, 6, 4) | 4 | ||
čtverec (44) | 4 | 1/2 (přesné) | |
(34,6 ) | 5 | 0.434371..., 12str3 + 36str4 − 21str5 − 327 str6 + 69str7 + 2532str8 − 6533 str9 + 8256 str10 − 6255str11 + 2951str12 − 837 str13 + 126 str14 − 7str15 = 1[Citace je zapotřebí ] | |
čtverec, hádanka (32, 4, 3, 4 ) | 5 | ||
(33, 42) | 5 | ||
trojúhelníkový (36) | 6 | 1/2 (přesné) |
Perkolace dluhopisů ve 2D
Perkolace vazby na místě (obě prahové hodnoty platí současně pro jeden systém).
Čtvercová mřížka:
Mříž | z | Prahová hodnota perkolace | Prahová hodnota perkolace | |
---|---|---|---|---|
náměstí | 4 | 4 | 0.615185(15)[47] | 0.95 |
0.667280(15)[47] | 0.85 | |||
0.732100(15)[47] | 0.75 | |||
0.75 | 0.726195(15)[47] | |||
0.815560(15)[47] | 0.65 | |||
0.85 | 0.615810(30)[47] | |||
0.95 | 0.533620(15)[47] |
Voštinová (šestihranná) mřížka:
Mříž | z | Prahová hodnota perkolace | Prahová hodnota perkolace | |
---|---|---|---|---|
plástev | 3 | 3 | 0.7275(5)[48] | 0.95 |
0. 0.7610(5)[48] | 0.90 | |||
0.7986(5)[48] | 0.85 | |||
0.80 | 0.8481(5)[48] | |||
0.8401(5)[48] | 0.80 | |||
0.85 | 0.7890(5)[48] | |||
0.90 | 0.7377(5)[48] | |||
0.95 | 0.6926(5)[48] |
* Další hodnoty viz Vyšetřování perkolace vazby na místě[48]
Přibližný vzorec pro voštinovou mřížku
Mříž | z | Práh | Poznámky | |
---|---|---|---|---|
(63) plástev | 3 | 3 | , Když se rovná: strs = strb = 0.82199 | přibližný vzorec, strs = stránka prob., strb = bond prob., spřed naším letopočtem = 1 - 2 hříchy (π/18)[16], přesně v strs=1, strb= strpřed naším letopočtem. |
Archimédovy duální (Laves lattices)

Lávové mřížky jsou duály k archimédským mřížím. Kresby z.[3] Viz také Rovnoměrné obklady.
Mříž | z | Prahová hodnota perkolace | Prahová hodnota perkolace | |
---|---|---|---|---|
Káhira pětiúhelníková D (32,4,3,4)=(2/3)(53)+(1/3)(54) | 3,4 | 3⅓ | 0.6501834(2),[8] 0.650184(5)[3] | 0.585863... = 1 − strCpouto(32,4,3,4) |
Pentagonal D (33,42)=(1/3)(54)+(2/3)(53) | 3,4 | 3⅓ | 0.6470471(2),[8] 0.647084(5),[3] 0.6471(6)[33] | 0.580358... = 1 − strCpouto(33,42), 0.5800(6)[33] |
D (34,6)=(1/5)(46)+(4/5)(43) | 3,6 | 3 3/5 | 0.639447[3] | 0.565694... = 1 − strCpouto(34,6 ) |
kostky, obklady kosočtverec D (3,6,3,6) = (1/3) (46) + (2/3)(43) | 3,6 | 4 | 0.5851(4),[49] 0.585040(5)[3] | 0.475595... = 1 − strCpouto(3,6,3,6 ) |
rubínový dual D (3,4,6,4) = (1/6) (46) + (2/6)(43) + (3/6)(44) | 3,4,6 | 4 | 0.582410(5)[3] | 0.475167... = 1 − strCpouto(3,4,6,4 ) |
union jack, tetrakis čtvercový obklad D (4,82) = (1/2)(34) + (1/2)(38) | 4,8 | 6 | 1/2 | 0.323197... = 1 − strCpouto(4,82 ) |
půlený šestiúhelník,[50] kříž duální D (4,6,12) = (1/6) (312)+(2/6)(36)+(1/2)(34) | 4,6,12 | 6 | 1/2 | 0.306266... = 1 − strCpouto(4,6,12) |
asanoha (konopný list)[51] D (3, 122)=(2/3)(33)+(1/3)(312) | 3,12 | 6 | 1/2 | 0.259579... = 1 − strCpouto(3, 122) |
2 uniformní mřížky
Nejlepší 3 mřížky: # 13 # 12 # 36
Spodní 3 mřížky: # 34 # 37 # 11

Nejlepší 2 svazy: # 35 # 30
Spodní 2 mřížky: # 41 # 42

Nejlepší 4 mřížky: # 22 # 23 # 21 # 20
Spodní 3 mřížky: # 16 # 17 # 15

Nejlepší 2 svazy: # 31 # 32
Spodní mříž: # 33

# | Mříž | z | Prahová hodnota perkolace | Prahová hodnota perkolace | |
---|---|---|---|---|---|
41 | (1/2)(3,4,3,12) + (1/2)(3, 122) | 4,3 | 3.5 | 0.7680(2)[52] | 0.67493252(36)[Citace je zapotřebí ] |
42 | (1/3)(3,4,6,4) + (2/3)(4,6,12) | 4,3 | 31⁄3 | 0.7157(2)[52] | 0.64536587(40)[Citace je zapotřebí ] |
36 | (1/7)(36) + (6/7)(32,4,12) | 6,4 | 4 2⁄7 | 0.6808(2)[52] | 0.55778329(40)[Citace je zapotřebí ] |
15 | (2/3)(32,62) + (1/3)(3,6,3,6) | 4,4 | 4 | 0.6499(2)[52] | 0.53632487(40)[Citace je zapotřebí ] |
34 | (1/7)(36) + (6/7)(32,62) | 6,4 | 4 2⁄7 | 0.6329(2)[52] | 0.51707873(70)[Citace je zapotřebí ] |
16 | (4/5)(3,42,6) + (1/5)(3,6,3,6) | 4,4 | 4 | 0.6286(2)[52] | 0.51891529(35)[Citace je zapotřebí ] |
17 | (4/5)(3,42,6) + (1/5)(3,6,3,6)* | 4,4 | 4 | 0.6279(2)[52] | 0.51769462(35)[Citace je zapotřebí ] |
35 | (2/3)(3,42,6) + (1/3)(3,4,6,4) | 4,4 | 4 | 0.6221(2)[52] | 0.51973831(40)[Citace je zapotřebí ] |
11 | (1/2)(34,6) + (1/2)(32,62) | 5,4 | 4.5 | 0.6171(2)[52] | 0.48921280(37)[Citace je zapotřebí ] |
37 | (1/2)(33,42) + (1/2)(3,4,6,4) | 5,4 | 4.5 | 0.5885(2)[52] | 0.47229486(38)[Citace je zapotřebí ] |
30 | (1/2)(32,4,3,4) + (1/2)(3,4,6,4) | 5,4 | 4.5 | 0.5883(2)[52] | 0.46573078(72)[Citace je zapotřebí ] |
23 | (1/2)(33,42) + (1/2)(44) | 5,4 | 4.5 | 0.5720(2)[52] | 0.45844622(40)[Citace je zapotřebí ] |
22 | (2/3)(33,42) + (1/3)(44) | 5,4 | 4 2⁄3 | 0.5648(2)[52] | 0.44528611(40)[Citace je zapotřebí ] |
12 | (1/4)(36) + (3/4)(34,6) | 6,5 | 5 1⁄4 | 0.5607(2)[52] | 0.41109890(37)[Citace je zapotřebí ] |
33 | (1/2)(33,42) + (1/2)(32,4,3,4) | 5,5 | 5 | 0.5505(2)[52] | 0.41628021(35)[Citace je zapotřebí ] |
32 | (1/3)(33,42) + (2/3)(32,4,3,4) | 5,5 | 5 | 0.5504(2)[52] | 0.41549285(36)[Citace je zapotřebí ] |
31 | (1/7)(36) + (6/7)(32,4,3,4) | 6,5 | 5 1⁄7 | 0.5440(2)[52] | 0.40379585(40)[Citace je zapotřebí ] |
13 | (1/2)(36) + (1/2)(34,6) | 6,5 | 5.5 | 0.5407(2)[52] | 0.38914898(35)[Citace je zapotřebí ] |
21 | (1/3)(36) + (2/3)(33,42) | 6,5 | 5 1⁄3 | 0.5342(2)[52] | 0.39491996(40)[Citace je zapotřebí ] |
20 | (1/2)(36) + (1/2)(33,42) | 6,5 | 5.5 | 0.5258(2)[52] | 0.38285085(38)[Citace je zapotřebí ] |
Nehomogenní 2-uniformní mříž

Tento obrázek ukazuje něco podobného 2 uniformní mřížce # 37, kromě toho, že mnohoúhelníky nejsou všechny pravidelné - na místě dvou čtverců je obdélník - a velikost polygonů je změněna. Tato mřížka je v izoradiální reprezentaci, ve které je každý polygon zapsán do kruhu o poloměru jednotky. Dva čtverce v 2-uniformní mřížce musí být nyní reprezentovány jako jeden obdélník, aby vyhovovaly izoradiální podmínce. černé okraje a dvojitá mřížka červenými přerušovanými čarami. Zelené kruhy ukazují izoradiální omezení na původní i dvojité mřížce. Žluté polygony zvýrazňují tři typy polygonů na mřížce a růžové polygony zvýrazňují dva typy polygonů na dvojité mřížce. Mřížka má typy vrcholů (1/2) (33,42) + (1/2) (3,4,6,4), zatímco duální mřížka má typy vrcholů (1/15) (46)+(6/15)(42,52)+(2/15)(53)+(6/15)(52, 4). Kritickým bodem je místo, kde delší vazby (na mřížce i duální mřížce) mají pravděpodobnost okupace p = 2 sin (π / 18) = 0,347296 ... což je práh perkolace vazby na trojúhelníkové mřížce a kratší vazby mají okupaci pravděpodobnost 1 - 2 sin (π / 18) = 0,652703 ..., což je perkolace vazby na hexagonální mřížce. Tyto výsledky vyplývají z izoradiálního stavu[53] ale také vyplývá z aplikace transformace hvězda-trojúhelník na určité hvězdy na voštinové mřížce. Nakonec to lze zobecnit na tři různé pravděpodobnosti ve třech různých směrech, str1, str2 a str3 pro dlouhé dluhopisy a 1 − str1, 1 − str2, a 1 − str3 pro krátké vazby, kde str1, str2 a str3 uspokojit kritický povrch pro nehomogenní trojúhelníkovou mříž.
Prahové hodnoty pro 2D motýlky a mřížky martini
Nalevo, uprostřed a doprava jsou: mřížka martini, mřížka martini-A, mřížka martini-B. Dole: martini krycí / střední mřížka, stejná jako podsíť 2 × 2, 1 × 1 pro mřížky typu kagome (odstraněno).

Některé další příklady zobecněných svazků motýlků (a-d) a duálních mřížek (e-h):

Mříž | z | Prahová hodnota perkolace | Prahová hodnota perkolace | |
---|---|---|---|---|
martini (3/4) (3,92)+(1/4)(93) | 3 | 3 | 0.764826..., 1 + str4 − 3str3 = 0[54] | 0.707107... = 1/√2[55] |
motýlek (c) | 3,4 | 3 1/7 | 0.672929..., 1 − 2str3 − 2str4 − 2str5 − 7str6 + 18str7 + 11str8 − 35str9 + 21str10 − 4str11 = 0[56] | |
motýlek (d) | 3,4 | 3⅓ | 0.625457..., 1 − 2str2 − 3str3 + 4str4 − str5 = 0[56] | |
martini-A (2/3) (3,72)+(1/3)(3,73) | 3,4 | 3⅓ | 1/√2[56] | 0.625457..., 1 − 2str2 − 3str3 + 4str4 − str5 = 0[56] |
motýlek dual (e) | 3,4 | 3⅔ | 0,595482 ..., 1-strCpouto (motýlek (a))[56] | |
motýlek (b) | 3,4,6 | 3⅔ | 0.533213..., 1 − str − 2str3 -4p4-4p5+156+ 13p7-36p8+ 19p9+ str10 + str11=0[56] | |
martini obal / mediální (1/2) (33,9) + (1/2)(3,9,3,9) | 4 | 4 | 0.707107... = 1/√2[55] | 0.57086651(33)[Citace je zapotřebí ] </ref> |
martini-B (1/2) (3,5,3,52) + (1/2)(3,52) | 3, 5 | 4 | 0.618034... = 2/(1 + √5), 1- str2 − str = 0[54][56] | 1/2[55][56] |
motýlek dual (f) | 3,4,8 | 4 2/5 | 0.466787..., 1 − strCpouto (motýlek (b))[56] | |
motýlek (a) (1/2) (32,4,32,4) + (1/2)(3,4,3) | 4,6 | 5 | 0.5472(2),[33] 0.5479148(7)[57] | 0.404518..., 1 − str − 6str2 + 6str3 − str5 = 0[58][56] |
motýlek dvojitý (h) | 3,6,8 | 5 | 0.374543..., 1 − strCpouto(motýlek (d))[56] | |
motýlek dvojitý (g) | 3,6,10 | 5½ | 0,547 ... = strCstránky(motýlek (a)) | 0.327071..., 1 − strCpouto(motýlek (c))[56] |
martini dual (1/2) (33) + (1/2)(39) | 3,9 | 6 | 1/2 | 0.292893... = 1 − 1/√2[55] |
Prahové hodnoty pro 2D krycí, mediální a odpovídající mřížky
Mříž | z | Prahová hodnota perkolace | Prahová hodnota perkolace | |
---|---|---|---|---|
(4, 6, 12) krycí / mediální | 4 | 4 | strCpouto(4, 6, 12) = 0.693731... | 0.5593140(2),[8] 0.559315(1)[Citace je zapotřebí ] |
(4, 82) krycí / střední, čtvercový kagome | 4 | 4 | strCpouto(4,82) = 0.676803... | 0.544798017(4),[8] 0.54479793(34)[Citace je zapotřebí ] |
(34, 6) mediální | 4 | 4 | 0.5247495(5)[8] | |
(3,4,6,4) mediální | 4 | 4 | 0.51276[8] | |
(32, 4, 3, 4) mediální | 4 | 4 | 0.512682929(8)[8] | |
(33, 42) mediální | 4 | 4 | 0.5125245984(9)[8] | |
čtvercová krytina (nerovinná) | 6 | 6 | 1/2 | 0.3371(1)[59] |
čtvercová mřížka (nerovinná) | 8 | 8 | 1 − strCstránky(čtverec) = 0,407253 ... | 0.25036834(6)[15] |

(4, 6, 12) krycí / střední mříž

(4, 82) krycí / střední mříž

(3,122) krycí / střední mřížka (ve světle šedé barvě), ekvivalent k podsíti kagome (2 × 2), a v černé barvě dvojice těchto mřížek.


(vlevo) (3,4,6,4) krycí / střední mříž, (vpravo) (3,4,6,4) střední duální, zobrazený červeně, se střední mřížkou ve světle šedé za ním. Vzor vlevo se objevuje v íránských dlaždicích [60] na Západní hrobková věž, Kharraqan.
Prahové hodnoty na 2D neplanárních mřížkách chiméry
Mříž | z | Prahová hodnota perkolace | Prahová hodnota perkolace | |
---|---|---|---|---|
K (2,2) | 4 | 4 | 0.51253(14)[61] | 0.44778(15)[61] |
K (3,3) | 6 | 6 | 0.43760(15)[61] | 0.35502(15)[61] |
K (4,4) | 8 | 8 | 0.38675(7)[61] | 0.29427(12)[61] |
K (5,5) | 10 | 10 | 0.35115(13)[61] | 0.25159(13)[61] |
K (6,6) | 12 | 12 | 0.32232(13)[61] | 0.21942(11)[61] |
K (7,7) | 14 | 14 | 0.30052(14)[61] | 0.19475(9)[61] |
K (8,8) | 16 | 16 | 0.28103(11)[61] | 0.17496(10)[61] |
Prahové hodnoty v mřížkách podsítě

Mřížky kagome 2 x 2, 3 x 3 a 4 x 4 podsítě. Podsíť 2 × 2 je také známá jako mřížka „trojúhelníkového kagomu“.[62]
Mříž | z | Prahová hodnota perkolace | Prahová hodnota perkolace | |
---|---|---|---|---|
šachovnice - 2 × 2 podsíť | 4,3 | 0.596303(1)[63] | ||
šachovnice - podsíť 4 × 4 | 4,3 | 0.633685(9)[63] | ||
šachovnice - podsíť 8 × 8 | 4,3 | 0.642318(5)[63] | ||
šachovnice - podsíť 16 × 16 | 4,3 | 0.64237(1)[63] | ||
šachovnice - podsíť 32 × 32 | 4,3 | 0.64219(2)[63] | ||
šachovnice - podsíť | 4,3 | 0.642216(10)[63] | ||
kagome - 2 × 2 podsíť = (3, 122) krycí / mediální | 4 | strCpouto (3, 122) = 0.74042077... | 0.600861966960(2),[8] 0.6008624(10),[16] 0.60086193(3)[6] | |
kagome - podsíť 3 × 3 | 4 | 0.6193296(10),[16] 0.61933176(5),[6] 0.61933044(32)[Citace je zapotřebí ] | ||
kagome - podsíť 4 × 4 | 4 | 0.625365(3),[16] 0.62536424(7)[6] | ||
kagome - podsíť | 4 | 0.628961(2)[16] | ||
kagome - (1 × 1) :( 2 × 2) podsíť = martini pokrývající / mediální | 4 | strCpouto(martini) = 1 /√2 = 0.707107... | 0.57086648(36)[Citace je zapotřebí ] | |
kagome - (1 × 1) :( 3 × 3) podsíť | 4,3 | 0.728355596425196...[6] | 0.58609776(37)[Citace je zapotřebí ] | |
kagome - (1 × 1) :( 4 × 4) podsíť | 0.738348473943256...[6] | |||
kagome - (1 × 1) :( 5 × 5) podsíť | 0.743548682503071...[6] | |||
kagome - (1 × 1) :( 6 × 6) podsíť | 0.746418147634282...[6] | |||
kagome - (2 × 2) :( 3 × 3) podsíť | 0.61091770(30)[Citace je zapotřebí ] | |||
trojúhelníkový - 2 × 2 podsíť | 6,4 | 0.471628788[63] | ||
trojúhelníková - podsíť 3 × 3 | 6,4 | 0.509077793[63] | ||
trojúhelníkový - podsíť 4 × 4 | 6,4 | 0.524364822[63] | ||
trojúhelníkový - podsíť 5 × 5 | 6,4 | 0.5315976(10)[63] | ||
trojúhelníkový - podsíť | 6,4 | 0.53993(1)[63] |
Prahové hodnoty náhodně postupně adsorbovaných objektů
(Další výsledky a srovnání hustoty rušení viz Náhodná sekvenční adsorpce )
Systém | z | Prahová hodnota webu |
---|---|---|
dimery na voštinové mřížce | 3 | 0.69,[64] 0.6653 [65] |
dimery na trojúhelníkové mřížce | 6 | 0.4872(8),[64] 0.4873,[65] 0.5157(2) [66] |
lineární 4-mery na trojúhelníkové mřížce | 6 | 0.5220(2)[66] |
lineární 8-mery na trojúhelníkové mřížce | 6 | 0.5281(5)[66] |
lineární 12-mery na trojúhelníkové mřížce | 6 | 0.5298(8)[66] |
lineární 16-mery na trojúhelníkové mřížce | 6 | 0.5328(7)[66] |
lineární 32-mery na trojúhelníkové mřížce | 6 | 0.5407(6)[66] |
lineární 64-mery na trojúhelníkové mřížce | 6 | 0.5455(4)[66] |
lineární 80-mery na trojúhelníkové mřížce | 6 | 0.5500(6)[66] |
lineární k na trojúhelníkové mřížce | 6 | 0.582(9)[66] |
dimery a 5% nečistot, trojúhelníková mřížka | 6 | 0.4832(7)[67] |
paralelní dimery na čtvercové mřížce | 4 | 0.5863[68] |
dimery na čtvercové mřížce | 4 | 0.5617,[68] 0.5618(1),[69] 0.562,[70] 0.5713[65] |
lineární 3-mery na čtvercové mřížce | 4 | 0.528[70] |
3místný úhel 120 °, 5% nečistot, trojúhelníková mřížka | 6 | 0.4574(9)[67] |
Trojmístné trojúhelníky, 5% nečistot, trojúhelníková mřížka | 6 | 0.5222(9)[67] |
lineární trimery a 5% nečistot, trojúhelníková mřížka | 6 | 0.4603(8)[67] |
lineární 4-mer na čtvercové mřížce | 4 | 0.504[70] |
lineární 5-mery na čtvercové mřížce | 4 | 0.490[70] |
lineární 6-mery na čtvercové mřížce | 4 | 0.479[70] |
lineární 8-mery na čtvercové mřížce | 4 | 0.474,[70] 0.4697(1)[69] |
lineární 10-mery na čtvercové mřížce | 4 | 0.469[70] |
lineární 16-mery na čtvercové mřížce | 4 | 0.4639(1)[69] |
lineární 32-mery na čtvercové mřížce | 4 | 0.4747(2)[69] |
Prahová hodnota udává zlomek webů obsazených objekty, když dojde k první perkolaci webů (nikoli při úplném rušení). Pro delší dimery viz Ref. [71]
Prahové hodnoty pokrytí plných dimerů dvojrozměrných mřížek
Tady máme co do činění se sítěmi, které jsou získány pokrytím mřížky dimery, a poté zvážíme perkolaci vazby na zbývajících vazbách. V diskrétní matematice je tento problém znám jako problém „dokonalého přizpůsobení“ nebo „krytí dimeru“.
Systém | z | Prahová hodnota dluhopisu |
---|---|---|
Paralelní krytina, čtvercová mříž | 6 | 0.381966...[72] |
Posunutá krytina, čtvercová mříž | 6 | 0.347296...[72] |
Stupňovitý potah, čtvercová mříž | 6 | 0.376825(2)[72] |
Náhodné zakrytí, čtvercová mříž | 6 | 0.367713(2)[72] |
Paralelní krytí, trojúhelníková mříž | 10 | 0.237418...[72] |
Stupňovitý kryt, trojúhelníková mříž | 10 | 0.237497(2)[72] |
Náhodné zakrytí, trojúhelníková mříž | 10 | 0.235340(1)[72] |
Prahové hodnoty polymerů (náhodné procházky) po čtvercové mřížce
Systém se skládá z obyčejných (nevyhýbajících se) náhodných chodů délky l po čtvercové mřížce.[73]
l (délka polymeru) | z | Perkolace dluhopisů |
---|---|---|
1 | 4 | 0,5 (přesné)[74] |
2 | 4 | 0.47697(4)[74] |
4 | 4 | 0.44892(6)[74] |
8 | 4 | 0.41880(4)[74] |
Prahové hodnoty vyhýbání se délce k přidané náhodnou sekvenční adsorpcí
k | z | Prahové hodnoty webu | Prahové hodnoty dluhopisů |
---|---|---|---|
1 | 4 | 0.593(2)[75] | 0.5009(2)[75] |
2 | 4 | 0.564(2)[75] | 0.4859(2)[75] |
3 | 4 | 0.552(2)[75] | 0.4732(2)[75] |
4 | 4 | 0.542(2)[75] | 0.4630(2)[75] |
5 | 4 | 0.531(2)[75] | 0.4565(2)[75] |
6 | 4 | 0.522(2)[75] | 0.4497(2)[75] |
7 | 4 | 0.511(2)[75] | 0.4423(2)[75] |
8 | 4 | 0.502(2)[75] | 0.4348(2)[75] |
9 | 4 | 0.493(2)[75] | 0.4291(2)[75] |
10 | 4 | 0.488(2)[75] | 0.4232(2)[75] |
11 | 4 | 0.482(2)[75] | 0.4159(2)[75] |
12 | 4 | 0.476(2)[75] | 0.4114(2)[75] |
13 | 4 | 0.471(2)[75] | 0.4061(2)[75] |
14 | 4 | 0.467(2)[75] | 0.4011(2)[75] |
15 | 4 | 0.4011(2)[75] | 0.3979(2)[75] |
Prahové hodnoty na 2D nehomogenních mřížkách
Mříž | z | Prahová hodnota perkolace | Prahová hodnota perkolace |
---|---|---|---|
motýlek s p = 1/2 na jednom ne diagonálním svazku | 3 | 0.3819654(5),[76] [45] |
Prahové hodnoty pro modely 2D kontinua


Systém | ΦC | ηC | nC |
---|---|---|---|
Disky o poloměru r | 0.67634831(2),[77] 0.6763475(6),[78] 0.676339(4),[79] 0.6764(4),[80] 0.6766(5),[81] 0.676(2),[82] 0.679,[83] 0.674[84] 0.676,[85] | 1.12808737(6),[77] 1.128085(2),[78] 1.128059(12),[79] 1.13,[86] 0.8[87] | 1.43632545(8),[77] 1.436322(2),[78] 1.436289(16),[79] 1.436320(4),[88] 1.436323(3),[89] 1.438(2),[90] 1.216 (48)[91] |
Elipsy, ε = 1,5 | 0.0043[83] | 0.00431 | 2.059081(7)[89] |
Elipsy, ε = 5/3 | 0.65[92] | 1.05[92] | 2.28[92] |
Elipsy, poměr stran ε = 2 | 0.6287945(12),[89] 0.63[92] | 0.991000(3),[89] 0.99[92] | 2.523560(8),[89] 2.5[92] |
Elipsy, ε = 3 | 0.56[92] | 0.82[92] | 3.157339(8),[89] 3.14[92] |
Elipsy, ε = 4 | 0.5[92] | 0.69[92] | 3.569706(8),[89] 3.5[92] |
Elipsy, ε = 5 | 0.455,[83] 0.455,[85] 0.46[92] | 0.607[83] | 3.861262(12),[89] 3.86[83] |
Elipsy, ε = 10 | 0.301,[83] 0.303,[85] 0.30[92] | 0.358[83] 0.36[92] | 4.590416(23)[89] 4.56,[83] 4.5[92] |
Elipsy, ε = 20 | 0.178,[83] 0.17[92] | 0.196[83] | 5.062313(39),[89] 4.99[83] |
Elipsy, ε = 50 | 0.081[83] | 0.084[83] | 5.393863(28),[89] 5.38[83] |
Elipsy, ε = 100 | 0.0417[83] | 0.0426[83] | 5.513464(40),[89] 5.42[83] |
Elipsy, ε = 200 | 0.021[92] | 0.0212[92] | 5.40[92] |
Elipsy, ε = 1000 | 0.0043[83] | 0.00431 | 5.624756(22),[89] 5.5 |
Superellipsy, ε = 1, m = 1,5 | 0.671[85] | ||
Superellipsy, ε = 2,5, m = 1,5 | 0.599[85] | ||
Superellipsy, ε = 5, m = 1,5 | 0.469[85] | ||
Superellipsy, ε = 10, m = 1,5 | 0.322[85] | ||
diskoobdélníky, ε = 1,5 | 1.894 [88] | ||
diskoobdélníky, ε = 2 | 2.245 [88] | ||
Zarovnané čtverce strany | 0.66675(2),[43] 0.66674349(3),[77] 0.66653(1),[93] 0.6666(4),[94] 0.668[84] | 1.09884280(9),[77] 1.0982(3),[93] 1.098(1)[94] | 1.09884280(9),[77] 1.0982(3),[93] 1.098(1)[94] |
Náhodně orientované čtverce | 0.62554075(4),[77] 0.6254(2)[94] 0.625,[85] | 0.9822723(1),[77] 0.9819(6)[94] 0.982278(14)[95] | 0.9822723(1),[77] 0.9819(6)[94] 0.982278(14)[95] |
Obdélníky, ε = 1,1 | 0.624870(7) | 0.980484(19) | 1.078532(21)[95] |
Obdélníky, ε = 2 | 0.590635(5) | 0.893147(13) | 1.786294(26)[95] |
Obdélníky, ε = 3 | 0.5405983(34) | 0.777830(7) | 2.333491(22)[95] |
Obdélníky, ε = 4 | 0.4948145(38) | 0.682830(8) | 2.731318(30)[95] |
Obdélníky, ε = 5 | 0.4551398(31), 0.451[85] | 0.607226(6) | 3.036130(28)[95] |
Obdélníky, ε = 10 | 0.3233507(25), 0.319[85] | 0.3906022(37) | 3.906022(37)[95] |
Obdélníky, ε = 20 | 0.2048518(22) | 0.2292268(27) | 4.584535(54)[95] |
Obdélníky, ε = 50 | 0.09785513(36) | 0.1029802(4) | 5.149008(20)[95] |
Obdélníky, ε = 100 | 0.0523676(6) | 0.0537886(6) | 5.378856(60)[95] |
Obdélníky, ε = 200 | 0.02714526(34) | 0.02752050(35) | 5.504099(69)[95] |
Obdélníky, ε = 1000 | 0.00559424(6) | 0.00560995(6) | 5.609947(60)[95] |
Tyčinky o délce | 5.6372858(6),[77] 5.63726(2),[96] 5.63724(18) [97] | ||
Power-law disky, x = 2,05 | 0.993(1)[98] | 4.90(1) | 0.0380(6) |
Power-law disky, x = 2,25 | 0.8591(5)[98] | 1.959(5) | 0.06930(12) |
Power-law disky, X = 2.5 | 0.7836(4)[98] | 1.5307(17) | 0.09745(11) |
Power-law disky, X = 4 | 0.69543(6)[98] | 1.18853(19) | 0.18916(3) |
Power-law disky, X = 5 | 0.68643(13)[98] | 1.1597(3) | 0.22149(8) |
Power-law disky, X = 6 | 0.68241(8)[98] | 1.1470(1) | 0.24340(5) |
Power-law disky, x = 7 | 0.6803(8)[98] | 1.140(6) | 0.25933(16) |
Power-law disky, x = 8 | 0.67917(9)[98] | 1.1368(5) | 0.27140(7) |
Power-law disky, X = 9 | 0.67856(12)[98] | 1.1349(4) | 0.28098(9) |
Prázdnoty kolem disků o poloměru r | 1 - ΦC(disk) = 0,32355169 (2),[77] 0.318(2),[99] 0.3261(6)[100] |
se rovná kritické celkové ploše pro disky, kde N je počet objektů a L je velikost systému.
udává počet středů disků v kruhu vlivu (poloměr 2 r).
je kritický poloměr disku.
pro elipsy semi-hlavní a semi-menší osy a a b. Poměr stran s .
pro obdélníky rozměrů a . Poměr stran s .
pro power-law distribuované disky s , .
se rovná zlomku kritické oblasti.
se rovná počtu objektů maximální délky na jednotku plochy.
Pro elipsy,
Pro prosakování prázdnoty, je kritická prázdná frakce.
Další hodnoty elipsy najdete v [92][89]
Další hodnoty obdélníku viz [95]
Elipsy i obdélníky patří k superellipsám s . Další hodnoty perkolace superellips viz [85].
U monodisperzních částicových systémů jsou prahy perkalace konkávních superdisků získány, jak je vidět na [101]
Binární disperze disků viz [102][78][103]
Prahové hodnoty pro 2D náhodné a kvazi-mřížky






Mříž | z | Prahová hodnota perkolace | Prahová hodnota perkolace | |
---|---|---|---|---|
Relativní sousední graf | 2.5576 | 0.796(2)[104] | 0.771(2)[104] | |
Voronoi mozaikování | 3 | 0.71410(2),[106] 0.7151*[52] | 0.68,[107] 0.666931(5),[106] 0.6670(1)[108] | |
Voronoi krycí / mediální | 4 | 0.666931(2)[106][108] | 0.53618(2)[106] | |
Randomizovaný kagome / čtvercový osmiúhelník, zlomek r = 1/2 | 4 | 0.6599[13] | ||
Penroseův kosočtverec dual | 4 | 0.6381(3)[49] | 0.5233(2)[49] | |
Gabriel graf | 4 | 0.6348(8),[109] 0.62[110] | 0.5167(6),[109] 0.52[110] | |
Náhodná linie mozaikování, dvojí | 4 | 0.586(2)[111] | ||
Penroseův kosočtverec | 4 | 0.5837(3),[49] 0.58391(1)[112] | 0.4770(2)[49] | |
Osmiboká mřížka, „chemické“ odkazy (Obklady Ammann – Beenker ) | 4 | 0.585[113] | 0.48[113] | |
Osmiboká mříž, „feromagnetické“ články | 5.17 | 0.543[113] | 0.40[113] | |
Dodekagonální mřížka, „chemické“ vazby | 3.63 | 0.628[113] | 0.54[113] | |
Dodekagonální mřížka, „feromagnetické“ články | 4.27 | 0.617[113] | 0.495[113] | |
Delaunayova triangulace | 6 | 1/2[114] | 0.333069(2),[106] 0.3333(1)[108] | |
Jednotná nekonečná planární triangulace[115] | 6 | 1/2 | (2√3 – 1)/11 ≈ 0.2240[105][116] |
* Teoretický odhad
Za předpokladu korelace mocniny a zákona
mříž | α | Prahová hodnota perkolace | Prahová hodnota perkolace |
---|---|---|---|
náměstí | 3 | 0.561406(4)[117] | |
náměstí | 2 | 0.550143(5)[117] | |
náměstí | 0.1 | 0.508(4)[117] |
Prahové hodnoty na deskách
h je tloušťka desky, h × ∞ × ∞. Okrajové podmínky (b.c.) se vztahují k horní a spodní rovině desky.
Mříž | h | z | Prahová hodnota perkolace | Prahová hodnota perkolace | |
---|---|---|---|---|---|
jednoduchý kubický (otevřený b.c.) | 2 | 5 | 5 | 0.47424,[118] 0.4756[119] | |
bcc (otevřený b.c.) | 2 | 0.4155[119] | |||
hcp (otevřený b.c.) | 2 | 0.2828[119] | |||
diamant (otevřený b.c.) | 2 | 0.5451[119] | |||
jednoduchý kubický (otevřený b.c.) | 3 | 0.4264[119] | |||
bcc (otevřené bc) | 3 | 0.3531[119] | |||
bcc (periodické b.c.) | 3 | 0.21113018(38)[120] | |||
hcp (open b.c.) | 3 | 0.2548[119] | |||
diamant (otevřený b.c.) | 3 | 0.5044[119] | |||
jednoduchý kubický (otevřený b.c.) | 4 | 0.3997,[118] 0.3998[119] | |||
bcc (otevřené bc) | 4 | 0.3232[119] | |||
bcc (periodické b.c.) | 4 | 0.20235168(59)[120] | |||
hcp (open b.c.) | 4 | 0.2405[119] | |||
diamant (otevřený b.c.) | 4 | 0.4842[119] | |||
jednoduchý kubický (periodický b.c.) | 5 | 6 | 6 | 0.278102(5)[120] | |
jednoduchý kubický (otevřený b.c.) | 6 | 0.3708[119] | |||
jednoduchý kubický (periodický b.c.) | 6 | 6 | 6 | 0.272380(2)[120] | |
bcc (otevřené bc) | 6 | 0.2948[119] | |||
hcp (open b.c.) | 6 | 0.2261[119] | |||
diamant (otevřený b.c.) | 6 | 0.4642[119] | |||
jednoduchý kubický (periodický b.c.) | 7 | 6 | 6 | 0.3459514(12)[120] | 0.268459(1)[120] |
jednoduchý kubický (otevřený b.c.) | 8 | 0.3557,[118] 0.3565[119] | |||
jednoduchý kubický (periodický b.c.) | 8 | 6 | 6 | 0.265615(5)[120] | |
bcc (otevřené bc) | 8 | 0.2811[119] | |||
hcp (open b.c.) | 8 | 0.2190[119] | |||
diamant (otevřený b.c.) | 8 | 0.4549[119] | |||
jednoduchý kubický (otevřený b.c.) | 12 | 0.3411[119] | |||
bcc (otevřené bc) | 12 | 0.2688[119] | |||
hcp (open b.c.) | 12 | 0.2117[119] | |||
diamant (otevřený b.c.) | 12 | 0.4456[119] | |||
jednoduchý kubický (otevřený b.c.) | 16 | 0.3219,[118] 0.3339[119] | |||
bcc (otevřené bc) | 16 | 0.2622[119] | |||
hcp (open b.c.) | 16 | 0.2086[119] | |||
diamant (otevřený b.c.) | 16 | 0.4415[119] | |||
jednoduchý kubický (otevřený b.c.) | 32 | 0.3219,[118] | |||
jednoduchý kubický (otevřený b.c.) | 64 | 0.3165,[118] | |||
jednoduchý kubický (otevřený b.c.) | 128 | 0.31398,[118] |
Prahové hodnoty u 3D mřížek
Mříž | z | faktor plnění * | plnící frakce * | Prahová hodnota perkolace | Prahová hodnota perkolace | ||
---|---|---|---|---|---|---|---|
(10,3) -oxid (nebo vazba na místě)[121] | 23 32 | 2.4 | 0.748713(22)[121] | = (strc, vazba(10,3) – A)1/2 = 0.742334(25)[122] | |||
(10,3) -b oxid (nebo vazba na místě)[121] | 23 32 | 2.4 | 0.233[123] | 0.174 | 0.745317(25)[121] | = (strc, vazba(10,3) – b)1/2 = 0.739388(22)[122] | |
oxid křemičitý (vazba diamantového místa)[121] | 4,22 | 2 ⅔ | 0.638683(35)[121] | ||||
Upravený (10,3) -b[124] | 32,2 | 2 ⅔ | 0.627[124] | ||||
(8,3) -a[122] | 3 | 3 | 0.577962(33)[122] | 0.555700(22)[122] | |||
(10,3) -a[122] gyroid[125] | 3 | 3 | 0.571404(40)[122] | 0.551060(37)[122] | |||
(10,3) -b[122] | 3 | 3 | 0.565442(40)[122] | 0.546694(33)[122] | |||
kubický oxid (kubická vazba)[121] | 6,23 | 3.5 | 0.524652(50)[121] | ||||
bcc dual | 4 | 0.4560(6)[126] | 0.4031(6)[126] | ||||
led No | 4 | 4 | π √3 / 16 = 0.340087 | 0.147 | 0.433(11)[127] | 0.388(10)[128] | |
diamant (Ice Ic) | 4 | 4 | π √3 / 16 = 0.340087 | 0.1462332 | 0.4299(8),[129] 0.4299870(4),[130] 0.426(+0.08,–0.02),[131] 0.4297(4) [132] 0.4301(4),[133]0.428(4),[134]0.425(15),[135]0.425,[36][41]0.436(12),[127] | 0.3895892(5),[130] 0.3893(2),[133] 0.3893(3),[132] | |
diamantový dual | 6 2/3 | 0.3904(5)[126] | 0.2350(5)[126] | ||||
3D kagome (krycí graf diamantové mřížky) | 6 | π √2 / 12 = 0.37024 | 0.1442 | 0.3895(2)[136] = strC(web) pro diamant dual a pC(vazba) pro diamantovou mříž[126] | 0.2709(6)[126] | ||
Stack motýlek dual | 5⅓ | 0.3480(4)[33] | 0.2853(4)[33] | ||||
voštinový zásobník | 5 | 5 | 0.3701(2)[33] | 0.3093(2)[33] | |||
osmihranný zásobník dual | 5 | 5 | 0.3840(4)[33] | 0.3168(4)[33] | |||
pětiúhelníkový zásobník | 5⅓ | 0.3394(4)[33] | 0.2793(4)[33] | ||||
zásobník kagome | 6 | 6 | 0.453450 | 0.1517 | 0.3346(4)[33] | 0.2563(2)[33] | |
FCC duální | 42,8 | 5 1/3 | 0.3341(5)[126] | 0.2703(3)[126] | |||
jednoduchý kubický | 6 | 6 | π / 6 = 0,5235988 | 0.1631574 | 0.307(10),[135] 0.307,[36] 0.3115(5),[137] 0.3116077(2),[138] 0.311604(6),[139] 0.311605(5),[140]0.311600(5),[141]0.3116077(4),[142]0.3116081(13),[143]0.3116080(4),[144] 0.3116060(48),[145] 0.3116004(35),[146]0.31160768(15)[130] | 0.247(5),[135] 0.2479(4),[129] 0.2488(2),[147] 0.24881182(10),[138] 0.2488125(25),[148] 0.2488126(5),[149] | |
hcp dual | 44,82 | 5 1/3 | 0.3101(5)[126] | 0.2573(3)[126] | |||
hromádka kostek | 5,8 | 6 | π √3 / 9 = 0.604600 | 0.1813 | 0.2998(4)[33] | 0.2378(4)[33] | |
stoh motýlků | 7 | 7 | 0.2822(6)[33] | 0.2092(4)[33] | |||
Skládaný trojúhelníkový / jednoduchý šestihranný | 8 | 8 | 0.26240(5),[150] 0.2625(2),[151] 0.2623(2)[33] | 0.18602(2),[150] 0.1859(2)[33] | |||
osmihranný (union-jack) zásobník | 6,10 | 8 | 0.2524(6)[33] | 0.1752(2)[33] | |||
bcc | 8 | 8 | 0.243(10),[135] 0.243,[36] 0.2459615(10),[144] 0.2460(3),[152] 0.2464(7),[129] 0.2458(2)[133] | 0.178(5),[135] 0.1795(3),[129] 0.18025(15),[147] 0.1802875(10),[149] | |||
jednoduchý kubický s 3NN (stejné jako bcc) | 8 | 8 | 0.2455(1)[153], 0.2457(7)[154] | ||||
fcc | 12 | 12 | π / (3 √2) = 0.740480 | 0.147530 | 0.195,[36] 0.198(3),[155] 0.1998(6),[129] 0.1992365(10),[144] 0.19923517(20),[130] 0.1994(2)[133] | 0.1198(3)[129] 0.1201635(10)[149] | |
hcp | 12 | 12 | π / (3 √2) = 0.740480 | 0.147545 | 0.195(5),[135] 0.1992555(10)[156] | 0.1201640(10)[156] 0.119(2)[135] | |
Los Angeles2 − x SrX Cu O4 | 12 | 12 | 0.19927(2)[157] | ||||
jednoduchý kubický s 2NN (stejné jako fcc) | 12 | 12 | 0.1991(1)[153] | ||||
jednoduchý kubický s NN + 4NN | 12 | 12 | 0.15040(12)[158] | 0.1068263(7)[159] | |||
jednoduchý kubický s 3NN + 4NN | 14 | 14 | 0.20490(12)[158] | 0.1012133(7)[159] | |||
bcc NN + 2NN (= sc (3,4) sc-3NN + 4NN) | 14 | 14 | 0.175,[36] 0.1686(20)[160] | 0.0991(5)[160] | |||
Nanotrubičková vlákna na FCC | 14 | 14 | 0.1533(13)[161] | ||||
jednoduchý kubický s NN + 3NN | 14 | 14 | 0.1420(1)[153] | 0.0920213(7)[159] | |||
jednoduchý kubický s 2NN + 4NN | 18 | 18 | 0.15950(12)[158] | 0.0751589(9)[159] | |||
jednoduchý kubický s NN + 2NN | 18 | 18 | 0.137,[41] 0.136[162] 0.1372(1),[153] 0.13735(5)[Citace je zapotřebí ] | 0.0752326(6) [159] | |||
fcc s NN + 2NN (= sc-2NN + 4NN) | 18 | 18 | 0.136[36] | ||||
jednoduchý kubický s korelací krátké délky | 6+ | 6+ | 0.126(1)[163] | ||||
jednoduchý kubický s NN + 3NN + 4NN | 20 | 20 | 0.11920(12)[158] | 0.0624379(9)[159] | |||
jednoduchý kubický s 2NN + 3NN | 20 | 20 | 0.1036(1)[153] | 0.0629283(7)[159] | |||
jednoduchý kubický s NN + 2NN + 4NN | 24 | 24 | 0.11440(12)[158] | 0.0533056(6)[159] | |||
jednoduchý kubický s 2NN + 3NN + 4NN | 26 | 26 | 0.11330(12)[158] | 0.0474609(9) | |||
jednoduchý kubický s NN + 2NN + 3NN | 26 | 26 | 0.097,[36] 0.0976(1),[153] 0.0976445(10)[Citace je zapotřebí ] | 0.0497080(10)[159] | |||
bcc s NN + 2NN + 3NN | 26 | 26 | 0.095[41] | ||||
jednoduchý kubický s NN + 2NN + 3NN + 4NN | 32 | 32 | 0.10000(12)[158] | 0.0392312(8)[159] | |||
fcc s NN + 2NN + 3NN | 42 | 42 | 0.061,[41] 0.0610(5)[162] | ||||
fcc s NN + 2NN + 3NN + 4NN | 54 | 54 | 0.0500(5)[162] |
Faktor plnění = zlomek prostoru vyplněného dotýkáním se koulí na každém místě mřížky (pouze pro systémy s jednotnou délkou vazby). Také zvaný Atomový faktor balení.
Fragment plnění (nebo kritická frakce plnění) = faktor plnění * strC(web).
NN = nejbližší soused, 2NN = další nejbližší soused, 3NN = další nejbližší soused atd.
Otázka: Prahové hodnoty vazby pro latentní hodnoty hcp a fcc v rámci malé statistické chyby. Jsou identické, a pokud ne, jak daleko jsou od sebe? Která prahová hodnota se očekává větší? Podobně pro mřížky ledu a diamantů. Vidět [164]
Systém | polymer ΦC |
---|---|
perkolační vyloučený objem atermální polymerní matrice (model fluktuace vazby na kubické mřížce) | 0.4304(3)[165] |
Dimer perkolace ve 3D
Systém | Prahová hodnota perkolace | Prahová hodnota perkolace |
---|---|---|
Jednoduché kubické | 0.2555(1)[166] |
Prahové hodnoty pro modely 3D kontinua
Všechna překrývající se s výjimkou zaseknutých koulí a polymerní matrice.
Systém | ΦC | ηC |
---|---|---|
Koule o poloměru r | 0.289,[167] 0.293,[168] 0.286,[169] 0.295.[84] 0.2895(5),[170] 0.28955(7),[171] 0.2896(7),[172] 0.289573(2),[173] 0.2896,[174] 0.2854[175] | 0.3418(7),[170] 0.341889(3),[173] 0.3360,[175] 0.34189(2),[93] [opraveno] |
Oblátové elipsoidy s velkým poloměrem r a poměrem stran 4/3 | 0.2831[175] | 0.3328[175] |
Přeložte elipsoidy s menším poloměrem r a poměrem stran 3/2 | 0.2757,[174] 0.2795[175] | 0.3278[175] |
Oblátové elipsoidy s velkým poloměrem r a poměrem stran 2 | 0.2537,[174] 0.2629[175] | 0.3050[175] |
Přeložte elipsoidy s menším poloměrem ra poměrem stran 2 | 0.2537,[174] 0.2618,[175] 0.25(2)[176] | 0.3035,[175] 0.29(3)[176] |
Oblátové elipsoidy s velkým poloměrem r a poměrem stran 3 | 0.2289[175] | 0.2599[175] |
Přeložte elipsoidy s menším poloměrem ra poměrem stran 3 | 0.2033,[174] 0.2244,[175] 0.20(2)[176] | 0.2541,[175] 0.22(3)[176] |
Oblátové elipsoidy s velkým poloměrem r a poměrem stran 4 | 0.2003[175] | 0.2235[175] |
Přeložte elipsoidy s menším poloměrem ra poměrem stran 4 | 0.1901,[175] 0.16(2)[176] | 0.2108,[175] 0.17(3)[176] |
Oblátové elipsoidy s velkým poloměrem r a poměrem stran 5 | 0.1757[175] | 0.1932[175] |
Přeložte elipsoidy s menším poloměrem r a poměrem stran 5 | 0.1627,[175] 0.13(2)[176] | 0.1776,[175] 0.15(2)[176] |
Oblátové elipsoidy s velkým poloměrem r a poměrem stran 10 | 0.0895,[174] 0.1058[175] | 0.1118[175] |
Přeložte elipsoidy s menším poloměrem r a poměrem stran 10 | 0.0724,[174] 0.08703,[175] 0.07(2)[176] | 0.09105,[175] 0.07(2)[176] |
Oblátové elipsoidy s velkým poloměrem r a poměrem stran 100 | 0.01248[175] | 0.01256[175] |
Přeložte elipsoidy s menším poloměrem ra poměrem stran 100 | 0.006949[175] | 0.006973[175] |
Oblátové elipsoidy s velkým poloměrem r a poměrem stran 1000 | 0.001275[175] | 0.001276[175] |
Oblátové elipsoidy s velkým poloměrem r a poměrem stran 2000 | 0.000637[175] | 0.000637[175] |
Sférické válce s H / D = 1 | 0.2439(2)[172] | |
Sférické válce s H / D = 4 | 0.1345(1)[172] | |
Sférické válce s H / D = 10 | 0.06418(20)[172] | |
Sférické válce s H / D = 50 | 0.01440(8)[172] | |
Sférické válce s H / D = 100 | 0.007156(50)[172] | |
Sférické válce s H / D = 200 | 0.003724(90)[172] | |
Zarovnané válce | 0.2819(2)[177] | 0.3312(1)[177] |
Zarovnané kostky boku | 0.2773(2)[94] 0.27727(2),[43] 0.27730261(79)[145] | 0.3247(3),[93] 0.3248(3),[94] 0.32476(4)[177] 0.324766(1)[145] |
Náhodně orientovaná icosahedra | 0.3030(5)[178] | |
Náhodně orientovaná dodekahedra | 0.2949(5)[178] | |
Náhodně orientovaný osmistěn | 0.2514(6)[178] | |
Náhodně orientované kostky strany | 0.2168(2)[94] 0.2174,[174] | 0.2444(3),[94] 0.2443(5)[178] |
Náhodně orientovaný čtyřstěn | 0.1701(7)[178] | |
Náhodně orientované disky o poloměru r (ve 3D) | 0.9614(5)[179] | |
Náhodně orientované čtvercové desky ze strany | 0.8647(6)[179] | |
Náhodně orientované trojúhelníkové desky ze strany | 0.7295(6)[179] | |
Prázdnoty kolem disků o poloměru r | 22.86(2)[180] | |
Prázdné prostory kolem zploštělých elipsoidů s velkým poloměrem r a poměrem stran 10 | 15.42(1)[180] | |
Prázdné prostory kolem zploštělých elipsoidů s velkým poloměrem r a poměrem stran 2 | 6.478(8)[180] | |
Prázdné prostory kolem hemisfér | 0.0455(6)[181] | |
Prázdnoty kolem zarovnaných čtyřstěnů | 0.0605(6)[182] | |
Prázdnoty kolem rotovaných čtyřstěnů | 0.0605(6)[182] | |
Prázdné prostory kolem zarovnaných kostek | 0.036(1),[43] 0.0381(3)[182] | |
Prázdné prostory kolem rotovaných kostek | 0.0381(3)[182] | |
Prázdnoty kolem zarovnaných osmistěn | 0.0407(3)[182] | |
Prázdnoty kolem otočeného osmistěnu | 0.0398(5)[182] | |
Prázdnoty kolem zarovnané dodekahedry | 0.0356(3)[182] | |
Prázdnoty kolem rotovaly dodekahedry | 0.0360(3)[182] | |
Prázdnoty kolem zarovnané icosahedry | 0.0346(3)[182] | |
Prázdnoty kolem otočené dvacetistěny | 0.0336(7)[182] | |
Prázdnoty kolem koulí | 0.034(7),[183] 0.032(4),[184] 0.030(2),[99] 0.0301(3),[185] 0.0294,[186] 0.0300(3),[187] 0.0317(4),[188] 0.0308(5)[181] 0.0301(1)[182] | 3.506(8),[187] 3.515(6)[180] |
Zaseknuté koule (průměr z = 6) | 0.183(3),[189] 0.1990,[190] viz také kontaktní síť zaseknutých koulí | 0.59(1)[189] |
je celkový objem (pro koule), kde N je počet objektů a L je velikost systému.
je kritický objemový zlomek.
U disků a desek se jedná o efektivní objemy a objemové zlomky.
Pro neplatnost (model „Swiss-Cheese“), je kritická prázdná frakce.
Další výsledky týkající se perkolace prázdnoty kolem elipsoidů a eliptických desek najdete v části [180].
Další hodnoty perkolace elipsoidů viz [175].
U sférických válců je H / D poměr výšky k průměru válce, který je poté uzavřen hemisférami. Další hodnoty jsou uvedeny v.[172]
U superballů je m deformační parametr, hodnoty perkolace jsou uvedeny v.,[191][192] Kromě toho jsou také stanoveny prahy konkávního tvaru superballů [101]
U částic podobných kvádru (superellipsoidy) je m deformační parametr, více hodnot perkolace je uvedeno v.[174]
Prahové hodnoty pro 3D náhodné a kvazi-mřížky
Mříž | z | Prahová hodnota perkolace | Prahová hodnota perkolace | |
---|---|---|---|---|
Kontaktujte síť zabalených koulí | 6 | 0.310(5),[189] 0.287(50),[193] 0.3116(3),[190] | ||
Náhodná rovina mozaikování, dvojí | 6 | 0.290(7)[194] | ||
Ikosahedrální Penrose | 6 | 0.285[195] | 0.225[195] | |
Penrose s 2 úhlopříčkami | 6.764 | 0.271[195] | 0.207[195] | |
Penrose s 8 úhlopříčkami | 12.764 | 0.188[195] | 0.111[195] | |
Síť Voronoi | 15.54 | 0.1453(20)[160] | 0.0822(50)[160] |
Mříž | z | Prahová hodnota perkolace | Prahová hodnota perkolace | |
---|---|---|---|---|
Vrtání perkolace, jednoduchá kubická mříž | 6 | 6 | *0.633965(15),[196] 0.6339(5) |
- Při vrtání perkolace je p zlomek sloupců, které nebyly odstraněny
Prahové hodnoty v různých dimenzionálních prostorech
Modely kontinua ve vyšších dimenzích
d | Systém | ΦC | ηC |
---|---|---|---|
4 | Překrývající se hypersféry | 0.1223(4)[93] | 0.1304(5)[93] |
4 | Zarovnané hyperkrychle | 0.1132(5),[93] 0.1132348(17) [145] | 0.1201(6)[93] |
4 | Prázdnoty kolem hypersfér | 0.00211(2)[100] | 6.161(10)[100] |
5 | Překrývající se hypersféry | 0.05443(7)[93] | |
5 | Zarovnané hyperkrychle | 0.04900(7),[93] 0.0481621(13),[145] | 0.05024(7)[93] |
5 | Prázdnoty kolem hypersfér | 1,26 (6) x10−4 [100] | 8.98(4)[100] |
6 | Překrývající se hypersféry | 0.02339(5)[93] | |
6 | Zarovnané hyperkrychle | 0.02082(8),[93] 0.0213479(10)[145] | 0.02104(8)[93] |
6 | Prázdnoty kolem hypersfér | 8,0 (6) x10−6 [100] | 11.74(8)[100] |
7 | Překrývající se hypersféry | 0.02339(5)[93] | |
7 | Zarovnané hyperkrychle | 0.00999(5),[93] 0.0097754(31)[145] | 0.01004(5)[93] |
8 | Překrývající se hypersféry | 0.004904(6)[93] | |
8 | Zarovnané hyperkrychle | 0.004498(5)[93] | |
9 | Překrývající se hypersféry | 0.002353(4)[93] | |
9 | Zarovnané hyperkrychle | 0.002166(4)[93] | |
10 | Překrývající se hypersféry | 0.001138(3)[93] | |
10 | Zarovnané hyperkrychle | 0.001058(4)[93] | |
11 | Překrývající se hypersféry | 0.0005530(3)[93] | |
11 | Zarovnané hyperkrychle | 0.0005160(3)[93] |
Za 4d, .
Za 5 d, .
Za 6d, .
je kritický objemový zlomek.
U neplatných modelů je kritická prázdná frakce a je celkový objem překrývajících se objektů
Prahové hodnoty pro hyperkubické svazy
d | z | Prahové hodnoty webu | Prahové hodnoty dluhopisů |
---|---|---|---|
4 | 8 | 0.198(1)[199] 0.197(6),[200] 0.1968861(14),[201] 0.196889(3),[202] 0.196901(5),[203] 0.19680(23),[204] 0.1968904(65),[145] 0.19688561(3)[205] | 0.16005(15),[147] 0.1601314(13),[201] 0.160130(3),[202] 0.1601310(10),[148], 0.1601312(2)[206], 0.16013122(6)[205] |
5 | 10 | 0.141(1),0.198(1)[199] 0.141(3),[200] 0.1407966(15),[201] 0.1407966(26),[145] 0.14079633(4)[205] | 0.11819(4),[147] 0.118172(1),[201] 0.1181718(3)[148] 0.11817145(3)[205] |
6 | 12 | 0.106(1),[199] 0.108(3),[200] 0.109017(2),[201] 0.1090117(30),[145] 0.109016661(8)[205] | 0.0942(1),[207] 0.0942019(6),[201] 0.09420165(2)[205] |
7 | 14 | 0.05950(5),[207] 0.088939(20),[208] 0.0889511(9),[201] 0.0889511(90),[145] 0.088951121(1),[205] | 0.078685(30),[207] 0.0786752(3),[201] 0.078675230(2)[205] |
8 | 16 | 0.0752101(5),[201] 0.075210128(1)[205] | 0.06770(5),[207] 0.06770839(7),[201] 0.0677084181(3)[205] |
9 | 18 | 0.0652095(3),[201] 0.0652095348(6)[205] | 0.05950(5),[207] 0.05949601(5),[201] 0.0594960034(1)[205] |
10 | 20 | 0.0575930(1),[201] 0.0575929488(4)[205] | 0.05309258(4),[201] 0.0530925842(2)[205] |
11 | 22 | 0.05158971(8),[201] 0.0515896843(2)[205] | 0.04794969(1),[201] 0.04794968373(8)[205] |
12 | 24 | 0.04673099(6),[201] 0.0467309755(1)[205] | 0.04372386(1),[201] 0.04372385825(10)[205] |
13 | 26 | 0.04271508(8),[201] 0.04271507960(10)[205] | 0.04018762(1),[201] 0.04018761703(6)[205] |
Pro prahové hodnoty ve vysokorozměrných hyperkubických mřížkách máme rozšíření asymptotické řady [200][209][210]
kde .
Prahové hodnoty v jiných výškových mřížích
d | mříž | z | Prahové hodnoty webu | Prahové hodnoty dluhopisů |
---|---|---|---|---|
4 | diamant | 5 | 0.2978(2)[133] | 0.2715(3)[133] |
4 | kagome | 8 | 0.2715(3)[136] | 0.177(1) [133] |
4 | bcc | 16 | 0.1037(3)[133] | 0.074(1)[133], 0.074212(1)[206] |
4 | fcc | 24 | 0.0842(3)[133], 0.08410(23)[204] | 0.049(1)[133], 0.049517(1)[206] |
4 | kubický NN + 2NN | 32 | 0.06190(23)[204] | 0.035827(1)[206] |
4 | krychlový 3NN | 32 | 0.04540(23)[204] | |
4 | kubický NN + 3NN | 40 | 0.04000(23)[204] | |
4 | kubický 2NN + 3NN | 58 | 0.03310(23)[204] | |
4 | kubický NN + 2NN + 3NN | 64 | 0.03190(23)[204] | |
5 | diamant | 6 | 0.2252(3)[133] | 0.2084(4)[136] |
5 | kagome | 10 | 0.2084(4)[136] | 0.130(2)[133] |
5 | bcc | 32 | 0.0446(4)[133] | 0.033(1)[133] |
5 | fcc | 40 | 0.0431(3)[133] | 0.026(2)[133] |
6 | diamant | 7 | 0.1799(5)[133] | 0.1677(7)[136] |
6 | kagome | 12 | 0.1677(7)[136] | |
6 | fcc | 60 | 0.0252(5)[133] | |
6 | bcc | 64 | 0.0199(5)[133] |
Prahové hodnoty v jednorozměrné perkolaci dlouhého dosahu

V jednorozměrném řetězci vytváříme vazby mezi různými místy a s pravděpodobností rozpadající se jako zákon síly s exponentem . Dochází k prosakování[212][213] na kritickou hodnotu pro . Numericky stanovené prahové hodnoty perkolace jsou dány vztahem:[211]
0.1 | 0.047685(8) |
0.2 | 0.093211(16) |
0.3 | 0.140546(17) |
0.4 | 0.193471(15) |
0.5 | 0.25482(5) |
0.6 | 0.327098(6) |
0.7 | 0.413752(14) |
0.8 | 0.521001(14) |
0.9 | 0.66408(7) |
Prahové hodnoty pro hyperbolické, hierarchické a stromové mřížky
V těchto mřížkách mohou existovat dvě prahové hodnoty perkolace: dolní prahová hodnota je pravděpodobnost, nad kterou se objeví nekonečné klastry, a horní je pravděpodobnost, nad kterou existuje jedinečný nekonečný klastr.


Mříž | z | Prahová hodnota perkolace | Prahová hodnota perkolace | |||
---|---|---|---|---|---|---|
Dolní | Horní | Dolní | Horní | |||
{3,7} hyperbolický | 7 | 7 | 0.26931171(7),[216] 0.20[217] | 0.73068829(7),[216] 0.73(2)[217] | 0.20,[218] 0.1993505(5)[216] | 0.37,[218] 0.4694754(8)[216] |
{3,8} hyperbolický | 8 | 8 | 0.20878618(9)[216] | 0.79121382(9)[216] | 0.1601555(2)[216] | 0.4863559(6)[216] |
{3,9} hyperbolický | 9 | 9 | 0.1715770(1)[216] | 0.8284230(1)[216] | 0.1355661(4)[216] | 0.4932908(1)[216] |
{4,5} hyperbolický | 5 | 5 | 0.29890539(6)[216] | 0.8266384(5)[216] | 0.27,[218] 0.2689195(3)[216] | 0.52,[218] 0.6487772(3) [216] |
{4,6} hyperbolický | 6 | 6 | 0.22330172(3)[216] | 0.87290362(7)[216] | 0.20714787(9)[216] | 0.6610951(2)[216] |
{4,7} hyperbolický | 7 | 7 | 0.17979594(1)[216] | 0.89897645(3)[216] | 0.17004767(3)[216] | 0.66473420(4)[216] |
{4,8} hyperbolický | 8 | 8 | 0.151035321(9)[216] | 0.91607962(7)[216] | 0.14467876(3)[216] | 0.66597370(3)[216] |
{4,9} hyperbolický | 8 | 8 | 0.13045681(3)[216] | 0.92820305(3)[216] | 0.1260724(1)[216] | 0.66641596(2)[216] |
{5,5} hyperbolický | 5 | 5 | 0.26186660(5)[216] | 0.89883342(7)[216] | 0.263(10),[219] 0.25416087(3)[216] | 0.749(10)[219] 0.74583913(3)[216] |
{7,3} hyperbolický | 3 | 3 | 0.54710885(10)[216] | 0.8550371(5),[216] 0.86(2)[217] | 0.53,[218] 0.551(10),[219] 0.5305246(8)[216] | 0.72,[218] 0.810(10),[219] 0.8006495(5)[216] |
{∞, 3} Cayleyův strom | 3 | 3 | 1/2 | 1/2[218] | 1[218] | |
Vylepšený binární strom (EBT) | 0.304(1),[220] 0.306(10),[219] (√13 − 3)/2 = 0.302776[221] | 0.48,[218] 0.564(1),[220] 0.564(10),[219] 1/2[221] | ||||
Vylepšený duální binární strom | 0.436(1),[220] 0.452(10)[219] | 0.696(1),[220] 0.699(10)[219] | ||||
Non-Plaar Hanoi Network (HN-NP) | 0.319445[215] | 0.381996[215] | ||||
Cayley strom s prarodiči | 8 | 0.158656326[222] |
Poznámka: {m, n} je Schläfliho symbol, znamenající hyperbolickou mříž, ve které se n pravidelných m-gonů setkává na každém vrcholu
Pro perkolaci dluhopisů na {P, Q} máme dualitu . Pro perkolaci webu, kvůli vlastnímu přizpůsobení trojúhelníkových mřížek.
Cayleyův strom (Betheova mříž) s koordinačním číslem z: strC = 1 / (z − 1)
Cayleyův strom s distribucí z s průměrem , střední čtverec strC= [223](prahová hodnota stránky nebo vazby)
Prahové hodnoty pro přímou perkolaci





Mříž | z | Prahová hodnota perkolace | Prahová hodnota perkolace |
---|---|---|---|
(1 + 1) -d plástev | 1.5 | 0.8399316(2),[224] 0.839933(5),[225] z (1 + 1) -d čtverečních | 0.8228569(2),[224] 0.82285680(6)[224] |
(1 + 1) -d kagome | 2 | 0.7369317(2),[224] 0.73693182(4)[226] | 0.6589689(2),[224] 0.65896910(8)[224] |
(1 + 1) -d čtverec, úhlopříčka | 2 | 0.705489(4),[227] 0.705489(4),[228] 0.70548522(4),[229] 0.70548515(20),[226] 0.7054852(3),[224] | 0.644701(2),[230] 0.644701(1),[231] 0.644701(1),[227] 0.6447006(10),[225] 0.64470015(5),[232] 0.644700185(5),[229] 0.6447001(2),[224] 0.643(2)[233] |
(1 + 1) -d trojúhelníkový | 3 | 0.595646(3),[227] 0.5956468(5),[232] 0.5956470(3)[224] | 0.478018(2),[227] 0.478025(1),[232] 0.4780250(4)[224] 0.479(3)[233] |
(2 + 1) -d jednoduché kubické, diagonální roviny | 3 | 0.43531(1),[234] 0.43531411(10)[224] | 0.382223(7),[234] 0.38222462(6)[224] 0.383(3)[233] |
(2 + 1) -d čtverec nn (= bcc) | 4 | 0.3445736(3),[235] 0.344575(15)[236] 0.3445740(2)[224] | 0.2873383(1),[237] 0.287338(3)[234] 0.28733838(4)[224] 0.287(3)[233] |
(2 + 1) -d fcc | 0.199(2))[233] | ||
(3 + 1) -d hyperkubický, úhlopříčný | 4 | 0.3025(10),[238] 0.30339538(5) [224] | 0.26835628(5),[224] 0.2682(2)[233] |
(3 + 1) -d kubický, nn | 6 | 0.2081040(4)[235] | 0.1774970(5)[148] |
(3 + 1) -d bcc | 8 | 0.160950(30),[236] 0.16096128(3)[224] | 0.13237417(2)[224] |
(4 + 1) -d hyperkubický, úhlopříčný | 5 | 0.23104686(3)[224] | 0.20791816(2),[224] 0.2085(2)[233] |
(4 + 1) -d hyperkubický, nn | 8 | 0.1461593(2),[235] 0.1461582(3)[239] | 0.1288557(5)[148] |
(4 + 1) -d bcc | 16 | 0.075582(17)[236] | 0.063763395(5)[224] |
(5 + 1) -d hyperkubický, úhlopříčný | 6 | 0.18651358(2)[224] | 0.170615155(5),[224] 0.1714(1) [233] |
(5 + 1) -d hyperkubický, nn | 10 | 0.1123373(2)[235] | 0.1016796(5)[148] |
(5 + 1) -d hyperkubický bcc | 32 | 0.035967(23),[236] 0.035972540(3)[224] | 0.0314566318(5)[224] |
(6 + 1) -d hyperkubický, úhlopříčný | 7 | 0.15654718(1)[224] | 0.145089946(3),[224] 0.1458[233] |
(6 + 1) -d hyperkubický, nn | 12 | 0.0913087(2)[235] | 0.0841997(14)[148] |
(6 + 1) -d hyperkubický bcc | 64 | 0.017333051(2)[224] | 0.01565938296(10)[224] |
(7 + 1) -d hyperkubický, úhlopříčný | 8 | 0.135004176(10)[224] | 0.126387509(3),[224] 0.1270(1) [233] |
(7 + 1) -d hyperkubický, nn | 14 | 0.07699336(7)[235] | 0.07195(5)[148] |
(7 + 1) -d bcc | 128 | 0.008 432 989(2)[224] | 0.007 818 371 82(6)[224] |
nn = nejbližší sousedé. Pro (d + 1) -dimenzionální hyperkubický systém, hyperkrychle je v dimenzích d a časový směr ukazuje na 2D nejbližší sousedy.
Přesné kritické rozdělovače nehomogenních systémů
Nehomogenní perkolace trojúhelníkové mřížkové vazby[17]
Inhomogeneous honeycomb lattice bond percolation = kagome lattice site percolation[17]
Inhomogeneous (3,12^2) lattice, site percolation[4][240]
nebo
Inhomogeneous union-jack lattice, site percolation with probabilities [241]
Inhomogeneous martini lattice, bond percolation[56][242]
Inhomogeneous martini lattice, site percolation. r = site in the star
Inhomogeneous martini-A (3–7) lattice, bond percolation. Left side (top of "A" to bottom): . Pravá strana: . Cross bond: .
Inhomogeneous martini-B (3–5) lattice, bond percolation
Inhomogeneous martini lattice with outside enclosing triangle of bonds, probabilities from inside to outside, bond percolation[242]
Inhomogeneous checkerboard lattice, bond percolation[46][76]
Inhomogeneous bow-tie lattice, bond percolation[45][76]
kde are the four bonds around the square and is the diagonal bond connecting the vertex between bonds a .
For graphs
For random graphs not embedded in space the percolation threshold can be calculated exactly. For example, for random regular graphs where all nodes have the same degree k, pC=1/k. Pro Erdős – Rényi (ER) graphs with Poissonian degree distribution, pC=1/
Viz také
- 2D perkolační klastr
- Řízená perkolace
- Efektivní střední aproximace
- Epidemické modely v mřížích
- Teorie grafů
- Síťová věda
- Perkolace
- Perkolační kritické exponenty
- Teorie perkolace
- Perkolace bootstrapu
- Náhodná sekvenční adsorpce
- Uniform tilings
Reference
- ^ Kasteleyn, P. W.; Fortuin, C. M. (1969). "Phase transitions in lattice systems with random local properties". Journal of the Physical Society of Japan Supplement. 26: 11–14. Bibcode:1969PSJJS..26...11K.
- ^ A b C d E =Grünbaum, Branko & Shephard, G. C. (1987). Obklady a vzory. New York: W. H. Freeman. ISBN 978-0-7167-1193-3.
- ^ A b C d E F G Parviainen, Robert (2005). Connectivity Properties of Archimedean and Laves Lattices. Diva. 34. Uppsala Dissertations in Mathematics. p. 37. ISBN 978-91-506-1751-1.
- ^ A b C d E F G h i Suding, P. N.; R. M. Ziff (1999). "Site percolation thresholds for Archimedean lattices". Fyzický přehled E. 60 (1): 275–283. Bibcode:1999PhRvE..60..275S. doi:10.1103/PhysRevE.60.275. PMID 11969760.
- ^ A b C d E F G Parviainen, Robert (2007). "Estimation of bond percolation thresholds on the Archimedean lattices". Journal of Physics A. 40 (31): 9253–9258. arXiv:0704.2098. Bibcode:2007JPhA...40.9253P. doi:10.1088/1751-8113/40/31/005. S2CID 680787.
- ^ A b C d E F G h i Ding, Chengxiang; Zhe Fu. Wenan Guo; F. Y. Wu (2010). "Critical frontier for the Potts and percolation models on triangular-type and kagome-type lattices II: Numerical analysis". Fyzický přehled E. 81 (6): 061111. arXiv:1001.1488. Bibcode:2010PhRvE..81f1111D. doi:10.1103/PhysRevE.81.061111. PMID 20866382. S2CID 29625353.
- ^ A b Scullard, C. R.; J. L. Jacobsen (2012). "Transfer matrix computation of generalised critical polynomials in percolation". arXiv:1209.1451 [kond. mat. stat-mech ].
- ^ A b C d E F G h i j k l m n Ó str q r s t u proti Jacobsen, J. L. (2014). "High-precision percolation thresholds and Potts-model critical manifolds from graph polynomials". Journal of Physics A. 47 (13): 135001. arXiv:1401.7847. Bibcode:2014JPhA...47m5001G. doi:10.1088/1751-8113/47/13/135001. S2CID 119614758.
- ^ A b Jacobsen, Jesper L.; Christian R. Scullard (2013). "Critical manifolds, graph polynomials, and exact solvability" (PDF). StatPhys 25, Seoul, Korea July 21–26.
- ^ A b C d E F G h Scullard, Christian R.; Jesper Lykke Jacobsen (2020). "Bond percolation thresholds on Archimedean lattices from critical polynomial roots". Výzkum fyzické kontroly. 2: 012050. arXiv:1910.12376. doi:10.1103/PhysRevResearch.2.012050. S2CID 204904858.
- ^ A b C d E d'Iribarne, C.; G. Resigni; M. Resigni (1995). "Determination of site percolation transitions for 2D mosaics by means of the minimal spanning tree approach". Fyzikální písmena A. 209 (1–2): 95–98. doi:10.1016/0375-9601(95)00794-8.
- ^ A b C d E F G h d'Iribarne, C.; Rasigni, M.; Rasigni, G. (1999). "From lattice long-range percolation to the continuum one". Phys. Lett. A. 263 (1–2): 65–69. Bibcode:1999PhLA..263...65D. doi:10.1016/S0375-9601(99)00585-X.
- ^ A b Schliecker, G.; C. Kaiser (1999). "Percolation on disordered mosaics". Physica A. 269 (2–4): 189–200. Bibcode:1999PhyA..269..189S. doi:10.1016/S0378-4371(99)00093-X.
- ^ Djordjevic, Z. V.; H. E. Stanley; Alla Margolina (1982). "Site percolation threshold for honeycomb and square lattices". Journal of Physics A. 15 (8): L405–L412. Bibcode:1982JPhA...15L.405D. doi:10.1088/0305-4470/15/8/006.
- ^ A b C d E Feng, Xiaomei; Youjin Deng; H. W. J. Blöte (2008). "Percolation transitions in two dimensions". Fyzický přehled E. 78 (3): 031136. arXiv:0901.1370. Bibcode:2008PhRvE..78c1136F. doi:10.1103/PhysRevE.78.031136. PMID 18851022. S2CID 29282598.
- ^ A b C d E F G Ziff, R. M.; Hang Gu (2008). "Universal relation for critical percolation thresholds of kagome-class lattices". Citovat deník vyžaduje
| deník =
(Pomoc) - ^ A b C d E Sykes, M. F.; J. W. Essam (1964). "Exact critical percolation probabilities for site and bond problems in two dimensions". Journal of Mathematical Physics. 5 (8): 1117–1127. Bibcode:1964JMP.....5.1117S. doi:10.1063/1.1704215.
- ^ Ziff, R. M.; P. W. Suding (1997). "Determination of the bond percolation threshold for the kagome lattice". Journal of Physics A. 30 (15): 5351–5359. arXiv:cond-mat/9707110. Bibcode:1997JPhA...30.5351Z. doi:10.1088/0305-4470/30/15/021. S2CID 28814369.
- ^ Scullard, C. R. (2012). "Percolation critical polynomial as a graph invariant". Fyzický přehled E. 86 (4): 1131. arXiv:1111.1061. Bibcode:2012PhRvE..86d1131S. doi:10.1103/PhysRevE.86.041131. PMID 23214553. S2CID 33348328.
- ^ A b Jacobsen, J. L. (2015). "Critical points of Potts and O(N) models from eigenvalue identities in periodic Temperley-Lieb algebras". Journal of Physics A. 48 (45): 454003. arXiv:1507.03027. Bibcode:2015JPhA...48S4003L. doi:10.1088/1751-8113/48/45/454003. S2CID 119146630.
- ^ Lin, Keh Ying; Wen Jong Ma (1983). "Two-dimensional Ising model on a ruby lattice". Journal of Physics A. 16 (16): 3895–3898. Bibcode:1983JPhA...16.3895L. doi:10.1088/0305-4470/16/16/027.
- ^ Derrida, B.; D. Stauffer (1985). "Corrections to scaling and phenomenological renormalization for 2-dimensional percolation and lattice animal problems". J. Physique. 46 (45): 1623. doi:10.1051/jphys:0198500460100162300. S2CID 8289499.
- ^ Yang, Y .; S. Zhou.; Y. Li. (2013). "Square++: Making a connection game win-lose complementary and playing-fair". Zábava na počítači. 4 (2): 105–113. doi:10.1016/j.entcom.2012.10.004.
- ^ Newman, M. E. J .; R. M. Ziff (2000). "Efficient Monte-Carlo algorithm and high-precision results for percolation". Dopisy o fyzické kontrole. 85 (19): 4104–7. arXiv:cond-mat/0005264. Bibcode:2000PhRvL..85.4104N. CiteSeerX 10.1.1.310.4632. doi:10.1103/PhysRevLett.85.4104. PMID 11056635. S2CID 747665.
- ^ de Oliveira, P.M.C.; R. A. Nobrega, D. Stauffer. (2003). "Corrections to finite size scaling in percolation". Brazilian Journal of Physics. 33 (3): 616–618. arXiv:cond-mat/0308525. Bibcode:2003BrJPh..33..616O. doi:10.1590/S0103-97332003000300025. S2CID 8972025.
- ^ Lee, M. J. (2007). "Complementary algorithms for graphs and percolation". Fyzický přehled E. 76 (2): 027702. arXiv:0708.0600. Bibcode:2007PhRvE..76b7702L. doi:10.1103/PhysRevE.76.027702. PMID 17930184. S2CID 304257.
- ^ Lee, M. J. (2008). "Pseudo-random-number generators and the square site percolation threshold". Fyzický přehled E. 78 (3): 031131. arXiv:0807.1576. Bibcode:2008PhRvE..78c1131L. doi:10.1103/PhysRevE.78.031131. PMID 18851017. S2CID 7027694.
- ^ Levenshteĭn, M. E.; B. I. Shklovskiĭ; M. S. Shur; A. L. Éfros (1975). "The relation between the critical exponents of percolation theory". Zh. Eksp. Teor. Fiz. 69: 386–392. Bibcode:1976JETP...42..197L.
- ^ Dean, P.; N. F. Bird (1967). "Monte Carlo estimates of critical percolation probabilities". Proc. Camb. Phil. Soc. 63 (2): 477–479. Bibcode:1967PCPS...63..477D. doi:10.1017/s0305004100041438.
- ^ Dean, P (1963). "A new Monte Carlo method for percolation problems on a lattice". Proc. Camb. Phil. Soc. 59∂malarg (2): 397–410. Bibcode:1963PCPS...59..397D. doi:10.1017/s0305004100037026.
- ^ Betts, D. D. (1995). "A new two-dimensional lattice of coordination number five". Proc. Nova Scotian Inst. Sci. 40: 95–100. hdl:10222/35332.
- ^ A b d'Iribarne, C.; G. Resigni; M. Resigni (1999). "Minimal spanning tree and percolation on mosaics: graph theory and percolation". J. Phys. A: Math. Gen. 32 (14): 2611–2622. doi:10.1088/0305-4470/32/14/002.
- ^ A b C d E F G h i j k l m n Ó str q r s t u proti w van der Marck, S. C. (1997). "Percolation thresholds and universal formulas". Fyzický přehled E. 55 (2): 1514–1517. Bibcode:1997PhRvE..55.1514V. doi:10.1103/PhysRevE.55.1514.
- ^ A b C d E F Malarz, K.; S. Galam (2005). "Square-lattice site percolation at increasing ranges of neighbor bonds". Fyzický přehled E. 71 (1): 016125. arXiv:cond-mat/0408338. Bibcode:2005PhRvE..71a6125M. doi:10.1103/PhysRevE.71.016125. PMID 15697676.
- ^ A b C d E F G h i j k l m n Ó str q r s t u proti w X y z aa Majewski, M.; K. Malarz (2007). "Square lattice site percolation thresholds for complex neighbourhoods". Acta Phys. Pol. B. 38 (38): 2191. arXiv:cond-mat/0609635. Bibcode:2007AcPPB..38.2191M.
- ^ A b C d E F G h i j Dalton, N. W.; C. Domb; M. F. Sykes (1964). "Dependence of critical concentration of a dilute ferromagnet on the range of interaction". Proc. Phys. Soc. 83 (3): 496–498. doi:10.1088/0370-1328/83/3/118.
- ^ Collier, Andrew. "Percolation Threshold: Including Next-Nearest Neighbours".
- ^ A b C d E F G h i j k l m n Ouyang, Yunqing; Y. Deng; Henk W. J. Blöte (2018). "Equivalent-neighbor percolation models in two dimensions: Crossover between mean-field and short-range behavior". Phys. Rev.. 98 (6): 062101. arXiv:1808.05812. Bibcode:2018PhRvE..98f2101O. doi:10.1103/PhysRevE.98.062101. S2CID 119328197.
- ^ A b Xu, Wenhui; Junfeng Wang; Hao Hu; Youjin Deng (2020). "Critical polynomials in the nonplanar and continuum percolation models". preprint arXiv. 2010.02887. arXiv:2010.02887.
- ^ A b C d E F G Malarz, Krzysztof (2020). "Site percolation thresholds on triangular lattice with complex neighborhoods". arXiv:2006.15621 [kond. mat. stat-mech ].
- ^ A b C d E F Domb, C.; N. W. Dalton (1966). "Crystal statistics with long-range forces I. The equivalent neighbour model". Proc. Phys. Soc. 89 (4): 859–871. Bibcode:1966PPS....89..859D. doi:10.1088/0370-1328/89/4/311.
- ^ A b C d E Gouker, Mark; Family, Fereydoon (1983). "Evidence for classical critical behavior in long-range site percolation". Phys. Rev. B. 28 (3): 1449. Bibcode:1983PhRvB..28.1449G. doi:10.1103/PhysRevB.28.1449.
- ^ A b C d E F G h i Koza, Zbigniew; Kondrat, Grzegorz; Suszczyński, Karol (2014). "Percolation of overlapping squares or cubes on a lattice". J. Stat. Mech.: Theory Exp. 2014 (11): P11005. arXiv:1606.07969. Bibcode:2014JSMTE..11..005K. doi:10.1088/1742-5468/2014/11/P11005. S2CID 118623466.
- ^ A b C Deng, Youjin; Yunqing Ouyang; Henk W. J. Blöte (2019). "Medium-range percolation in two dimensions". J. Phys .: Konf. Ser. 1163 (1): 012001. Bibcode:2019JPhCS1163a2001D. doi:10.1088/1742-6596/1163/1/012001.
- ^ A b C Scullard, C. R.; R. M. Ziff (2010). "Critical surfaces for general inhomogeneous bond percolation problems". J. Stat. Mech.: Theory Exp. 2010 (3): P03021. arXiv:0911.2686. Bibcode:2010JSMTE..03..021S. doi:10.1088/1742-5468/2010/03/P03021. S2CID 119230786.
- ^ A b Wu, F. Y. (1979). "Critical point of planar Potts models". Journal of Physics C.. 12 (17): L645–L650. Bibcode:1979JPhC...12L.645W. doi:10.1088/0022-3719/12/17/002.
- ^ A b C d E F G Hovi, J.-P.; A. Aharony (1996). "Scaling and universality in the spanning probability for percolation". Fyzický přehled E. 53 (1): 235–253. Bibcode:1996PhRvE..53..235H. doi:10.1103/PhysRevE.53.235. PMID 9964253.
- ^ A b C d E F G h i Tarasevich, Yuriy Yu; Steven C. van der Marck (1999). "An investigation of site-bond percolation on many lattices". Int. J. Mod. Phys. C. 10 (7): 1193–1204. arXiv:cond-mat/9906078. Bibcode:1999IJMPC..10.1193T. doi:10.1142/S0129183199000978. S2CID 16917458.
- ^ A b C d E Sakamoto, S.; F. Yonezawa and M. Hori (1989). "A proposal for the estimation of percolation thresholds in two-dimensional lattices". J. Phys. A. 22 (14): L699–L704. Bibcode:1989JPhA...22L.699S. doi:10.1088/0305-4470/22/14/009.
- ^ Deng, Y .; Y. Huang, J. L. Jacobsen, J. Salas, and A. D. Sokal (2011). "Finite-temperature phase transition in a class of four-state Potts antiferromagnets". Dopisy o fyzické kontrole. 107 (15): 150601. arXiv:1108.1743. Bibcode:2011PhRvL.107o0601D. doi:10.1103/PhysRevLett.107.150601. PMID 22107278. S2CID 31777818.CS1 maint: více jmen: seznam autorů (odkaz)
- ^ Syozi, I (1972). "Transformation of Ising Models". In Domb, C.; Green, M. S. (eds.). Phase Transitions in Critical Phenomena. 1. Academic Press, London. pp. 270–329.
- ^ A b C d E F G h i j k l m n Ó str q r s t u Neher, Richard; Mecke, Klaus and Wagner, Herbert (2008). "Topological estimation of percolation thresholds". Journal of Statistical Mechanics: Theory and Experiment. 2008 (1): P01011. arXiv:0708.3250. Bibcode:2008JSMTE..01..011N. doi:10.1088/1742-5468/2008/01/P01011. S2CID 8584164.CS1 maint: více jmen: seznam autorů (odkaz)
- ^ Grimmett, G.; Manolescu, I (2012). "Bond percolation on isoradial graphs". arXiv:1204.0505 [math.PR ].
- ^ A b Scullard, C. R. (2006). "Exact site percolation thresholds using a site-to-bond transformation and the star-triangle transformation". Fyzický přehled E. 73 (1): 016107. arXiv:cond-mat/0507392. Bibcode:2006PhRvE..73a6107S. doi:10.1103/PhysRevE.73.016107. PMID 16486216. S2CID 17948429.
- ^ A b C d Ziff, R. M. (2006). "Generalized cell–dual-cell transformation and exact thresholds for percolation". Fyzický přehled E. 73 (1): 016134. Bibcode:2006PhRvE..73a6134Z. doi:10.1103/PhysRevE.73.016134. PMID 16486243.
- ^ A b C d E F G h i j k l m Scullard, C. R.; Robert M Ziff (2006). "Exact bond percolation thresholds in two dimensions". Journal of Physics A. 39 (49): 15083–15090. arXiv:cond-mat/0610813. Bibcode:2006JPhA...3915083Z. doi:10.1088/0305-4470/39/49/003. S2CID 14332146.
- ^ Ding, Chengxiang; Yancheng Wang; Yang Li (2012). "Potts and percolation models on bowtie lattices". Fyzický přehled E. 86 (2): 021125. arXiv:1203.2244. Bibcode:2012PhRvE..86b1125D. doi:10.1103/PhysRevE.86.021125. PMID 23005740. S2CID 27190130.
- ^ Wierman, John (1984). "A bond percolation critical probability determination based on the star-triangle transformation". J. Phys. A: Math. Gen. 17 (7): 1525–1530. Bibcode:1984JPhA...17.1525W. doi:10.1088/0305-4470/17/7/020.
- ^ Ziff, R. M.; Scullard, C. R. (2010). "Critical surfaces for general inhomogeneous bond percolation problems". J. Stat. Mech. 2010 (3): P03021. arXiv:0911.2686. Bibcode:2010JSMTE..03..021S. doi:10.1088/1742-5468/2010/03/P03021. S2CID 119230786.
- ^ [1][2]
- ^ A b C d E F G h i j k l m n Melchert, Oliver; Helmut G. Katzgraber; Mark A. Novotny (2016). "Site and bond percolation thresholds in Kn,n-based lattices: Vulnerability of quantum annealers to random qubit and coupler failures on Chimera topologies". Fyzický přehled E. 93 (4): 042128. arXiv:1511.07078. Bibcode:2016PhRvE..93d2128M. doi:10.1103/PhysRevE.93.042128. PMID 27176275. S2CID 206249608.
- ^ Okubo, S.; M. Hayashi, S. Kimura, H. Ohta, M. Motokawa, H. Kikuchi and H. Nagasawa (1998). "Submillimeter wave ESR of triangular-kagome antiferromagnet Cu9X2(cpa)6 (X=Cl, Br)". Physica B. 246--247 (2): 553–556. Bibcode:1998PhyB..246..553O. doi:10.1016/S0921-4526(97)00985-X.CS1 maint: více jmen: seznam autorů (odkaz)
- ^ A b C d E F G h i j k Haji Akbari, Amir; R. M. Ziff (2009). "Percolation in networks with voids and bottlenecks". Fyzický přehled E. 79 (2): 021118. arXiv:0811.4575. Bibcode:2009PhRvE..79b1118H. doi:10.1103/PhysRevE.79.021118. PMID 19391717. S2CID 2554311.
- ^ A b Cornette, V.; A. J. Ramirez-Pastor; F. Nieto (2003). "Dependence of the percolation threshold on the size of the percolating species". Physica A. 327 (1): 71–75. Bibcode:2003PhyA..327...71C. doi:10.1016/S0378-4371(03)00453-9.
- ^ A b C Lebrecht, W.; P. M. Centres; A. J. Ramirez-Pastor (2019). "Analytical approximation of the site percolation thresholds for monomers and dimers on two-dimensional lattices". Physica A. 516: 133–143. Bibcode:2019PhyA..516..133L. doi:10.1016/j.physa.2018.10.023.
- ^ A b C d E F G h i Longone, Pablo; ODPOLEDNE. Centres; A. J. Ramirez-Pastor (2019). "Percolation of aligned rigid rods on two-dimensional triangular lattices". Fyzický přehled E. 100 (5): 052104. arXiv:1906.03966. Bibcode:2019PhRvE.100e2104L. doi:10.1103/PhysRevE.100.052104. PMID 31870027. S2CID 182953009.
- ^ A b C d Budinski-Petkovic, Lj; I. Loncarevic; Z. M. Jacsik; and S. B. Vrhovac (2016). "Jamming and percolation in random sequential adsorption of extended objects on a triangular lattice with quenched impurities". J. Stat. Mech .: Čt. Exp. 2016 (5): 053101. Bibcode:2016JSMTE..05.3101B. doi:10.1088/1742-5468/2016/05/053101. S2CID 3913989.
- ^ A b Cherkasova, V. A.; Yu. Yu. Tarasevich; N. I. Lebovka; and N.V. Vygornitskii (2010). "Percolation of the aligned dimers on a square lattice". Eur. Phys. J. B.. 74 (2): 205–209. arXiv:0912.0778. Bibcode:2010EPJB...74..205C. doi:10.1140/epjb/e2010-00089-2. S2CID 118485353.
- ^ A b C d Leroyer, Y .; E. Pommiers (1994). "Monte Carlo analysis of percolation of line segments on a square lattice". Phys. Rev. B. 50 (5): 2795–2799. arXiv:cond-mat/9312066. Bibcode:1994PhRvB..50.2795L. doi:10.1103/PhysRevB.50.2795. PMID 9976520.
- ^ A b C d E F G Vanderwalle, N.; S. Galam; M. Kramer (2000). "Nová univerzálnost pro náhodné postupné ukládání jehel". Eur. Phys. J. B.. 14 (3): 407–410. arXiv:cond-mat / 0004271. Bibcode:2000EPJB...14..407V. doi:10,1007 / s100510051047. S2CID 11142384.
- ^ Kondrat, Grzegorz; Andrzej Pękalski (2001). "Percolation and jamming in random sequential adsorption of linear segments on a square lattice". Phys. Rev.. 63 (5): 051108. arXiv:cond-mat/0102031. Bibcode:2001PhRvE..63e1108K. doi:10.1103/PhysRevE.63.051108. PMID 11414888. S2CID 44490067.
- ^ A b C d E F G Haji-Akbari, A.; Nasim Haji-Akbari; Robert M. Ziff (2015). "Dimer Covering and Percolation Frustration". Phys. Rev.. 92 (3): 032134. arXiv:1507.04411. Bibcode:2015PhRvE..92c2134H. doi:10.1103/PhysRevE.92.032134. PMID 26465453. S2CID 34100812.
- ^ Zia, R. K. P .; W. Yong; B. Schmittmann (2009). "Percolation of a collection of finite random walks: a model for gas permeation through thin polymeric membranes". Journal of Mathematical Chemistry. 45: 58–64. doi:10.1007/s10910-008-9367-6. S2CID 94092783.
- ^ A b C d Wu, Yong; B. Schmittmann; R. K. P. Zia (2008). "Two-dimensional polymer networks near percolation". Journal of Physics A. 41 (2): 025008. Bibcode:2008JPhA...41b5004W. doi:10.1088/1751-8113/41/2/025004. S2CID 13053653.
- ^ A b C d E F G h i j k l m n Ó str q r s t u proti w X y z aa ab ac inzerát Cornette, V.; AJ. Ramirez-Pastor, F. Nieto (2003). "Two-dimensional polymer networks near percolation". Evropský fyzický deník B. 36 (3): 397. Bibcode:2003EPJB...36..391C. doi:10.1140/epjb/e2003-00358-1. S2CID 119852589.
- ^ A b C Ziff, R. M.; C. R. Scullard; J. C. Wierman; M. R. A. Sedlock (2012). "The critical manifolds of inhomogeneous bond percolation on bow-tie and checkerboard lattices". Journal of Physics A. 45 (49): 494005. arXiv:1210.6609. Bibcode:2012JPhA...45W4005Z. doi:10.1088/1751-8113/45/49/494005. S2CID 2121370.
- ^ A b C d E F G h i j k Mertens, Stephan; Cristopher Moore (2012). "Continuum percolation thresholds in two dimensions". Fyzický přehled E. 86 (6): 061109. arXiv:1209.4936. Bibcode:2012PhRvE..86f1109M. doi:10.1103/PhysRevE.86.061109. PMID 23367895. S2CID 15107275.
- ^ A b C d Quintanilla, John A.; R. M. Ziff (2007). "Asymmetry in the percolation thresholds of fully penetrable disks with two different radii". Fyzický přehled E. 76 (5): 051115 [6 pages]. Bibcode:2007PhRvE..76e1115Q. doi:10.1103/PhysRevE.76.051115. PMID 18233631.
- ^ A b C Quintanilla, J; S. Torquato; R. M. Ziff (2000). "Efficient measurement of the percolation threshold for fully penetrable discs". J. Phys. A: Math. Gen. 33 (42): L399–L407. Bibcode:2000JPhA...33L.399Q. CiteSeerX 10.1.1.6.8207. doi:10.1088/0305-4470/33/42/104.CS1 maint: více jmen: seznam autorů (odkaz)
- ^ Lorenz, B; I. Orgzall and H.-O. Heuer (1993). "Universality and cluster structures in continuum models of percolation with two different radius distributions". J. Phys. A: Math. Gen. 26 (18): 4711–4712. Bibcode:1993JPhA...26.4711L. doi:10.1088/0305-4470/26/18/032.
- ^ Rosso, M (1989). "Concentration gradient approach to continuum percolation in two dimensions". J. Phys. A: Math. Gen. 22 (4): L131–L136. Bibcode:1989JPhA...22L.131R. doi:10.1088/0305-4470/22/4/004.
- ^ Gawlinski, Edward T; H. Eugene Stanley (1981). "Continuum percolation in two dimensions: Monte Carlo tests of scaling and universality for non-interacting discs". J. Phys. A: Math. Gen. 14 (8): L291–L299. Bibcode:1981JPhA...14L.291G. doi:10.1088/0305-4470/14/8/007.
- ^ A b C d E F G h i j k l m n Ó str q r Yi, Y.-B.; A. M. Sastry (2004). "Analytical approximation of the percolation threshold for overlapping ellipsoids of revolution". Sborník královské společnosti A. 460 (5): 2353–2380. Bibcode:2004RSPSA.460.2353Y. doi:10.1098/rspa.2004.1279. S2CID 2475482.
- ^ A b C Pike, G. E.; C. H. Seager (1974). "Percolation and conductivity: A computer study I". Phys. Rev. B. 10 (4): 1421–1434. Bibcode:1974PhRvB..10.1421P. doi:10.1103/PhysRevB.10.1421.
- ^ A b C d E F G h i j k Lin, Jianjun; Chen, Huisu (2019). "Measurement of continuum percolation properties of two-dimensional particulate systems comprising congruent and binary superellipses". Powder Technology. 347: 17–26. doi:10.1016/j.powtec.2019.02.036.
- ^ Domb, E. N. (1961). "Random Plane Networks". J. Soc. Indust. Appl. Matematika. 9 (4): 533–543. doi:10.1137/0109045.
- ^ Gilbert, E. N. (1961). "Random Plane Networks". J. Soc. Indust. Appl. Matematika. 9 (4): 533–543. doi:10.1137/0109045.
- ^ A b C Tarasevich, Yuri Yu.; Andrei V. Eserkepov (2020). "Percolation thresholds for discorectangles: numerical estimation for a range of aspect ratios". Fyzický přehled E. 101 (2): 022108. arXiv:1910.05072. doi:10.1103/PhysRevE.101.022108. PMID 32168641. S2CID 204401814.
- ^ A b C d E F G h i j k l m n Li, Jiantong; Mikael Östling (2016). "Precise percolation thresholds of two-dimensional random systems comprising overlapping ellipses". Physica A. 462: 940–950. Bibcode:2016PhyA..462..940L. doi:10.1016/j.physa.2016.06.020.
- ^ Nguyen, Van Lien; Enrique Canessa (1999). "Finite-size scaling in two-dimensional continuum percolation models". Písmena moderní fyziky B. 13 (17): 577–583. arXiv:cond-mat/9909200. Bibcode:1999MPLB...13..577N. doi:10.1142/S0217984999000737. S2CID 18560722.
- ^ Roberts, F. D. K. (1967). "A Monte Carlo Solution of a Two-Dimensional Unstructured Cluster Problem". Biometrika. 54 (3/4): 625–628. doi:10.2307/2335053. JSTOR 2335053. PMID 6064024.
- ^ A b C d E F G h i j k l m n Ó str q r s t u Xia, W .; M. F. Thorpe (1988). "Percolation properties of random ellipses". Fyzický přehled A. 38 (5): 2650–2656. Bibcode:1988PhRvA..38.2650X. doi:10.1103/PhysRevA.38.2650. PMID 9900674.
- ^ A b C d E F G h i j k l m n Ó str q r s t u proti w X y z Torquato, S.; Y. Jiao (2012). "Effect of dimensionality on the continuum percolation of overlapping hyperspheres and hypercubes. II. Simulation results and analyses". J. Chem. Phys. 137 (7): 074106. arXiv:1208.3720. Bibcode:2012JChPh.137g4106T. doi:10.1063/1.4742750. PMID 22920102. S2CID 13188197.
- ^ A b C d E F G h i j Baker, Don R.; Gerald Paul; Sameet Sreenivasan; H. Eugene Stanley (2002). "Continuum percolation threshold for interpenetrating squares and cubes". Fyzický přehled E. 66 (4): 046136 [5 pages]. arXiv:cond-mat/0203235. Bibcode:2002PhRvE..66d6136B. doi:10.1103/PhysRevE.66.046136. PMID 12443288. S2CID 9561586.
- ^ A b C d E F G h i j k l m n Li, Jiantong; Mikael Östling (2013). "Percolation thresholds of two-dimensional continuum systems of rectangles". Fyzický přehled E. 88 (1): 012101. Bibcode:2013PhRvE..88a2101L. doi:10.1103/PhysRevE.88.012101. PMID 23944408. S2CID 21438506.
- ^ Li, Jiantong; Shi-Li Zhang (2009). "Finite-size scaling in stick percolation". Fyzický přehled E. 80 (4): 040104(R). Bibcode:2009PhRvE..80d0104L. doi:10.1103/PhysRevE.80.040104. PMID 19905260.
- ^ Tarasevich, Yuri Yu.; Andrei V. Eserkepov (2018). "Percolation of sticks: Effect of stick alignment and length dispersity". Fyzický přehled E. 98 (6): 062142. arXiv:1811.06681. Bibcode:2018PhRvE..98f2142T. doi:10.1103/PhysRevE.98.062142. S2CID 54187951.
- ^ A b C d E F G h i Sasidevan, V. (2013). "Continuum percolation of overlapping discs with a distribution of radii having a power-law tail". Fyzický přehled E. 88 (2): 022140. arXiv:1302.0085. Bibcode:2013PhRvE..88b2140S. doi:10.1103/PhysRevE.88.022140. PMID 24032808. S2CID 24046421.
- ^ A b van der Marck, S. C. (1996). "Network approach to void percolation in a pack of unequal spheres". Dopisy o fyzické kontrole. 77 (9): 1785–1788. Bibcode:1996PhRvL..77.1785V. doi:10.1103/PhysRevLett.77.1785. PMID 10063171.
- ^ A b C d E F G Jin, Yuliang; Patrick Charbonneau (2014). "Mapping the arrest of the random Lorentz gas onto the dynamical transition of a simple glass former". Fyzický přehled E. 91 (4): 042313. arXiv:1409.0688. Bibcode:2015PhRvE..91d2313J. doi:10.1103/PhysRevE.91.042313. PMID 25974497. S2CID 16117644.
- ^ A b Lin, Jianjun; Zhang, Wulong; Chen, Huisu; Zhang, Rongling; Liu, Lin (2019). "Effect of pore characteristic on the percolation threshold and diffusivity of porous media comprising overlapping concave-shaped pores". International Journal of Heat and Mass Transfer. 138: 1333–1345. doi:10.1016/j.ijheatmasstransfer.2019.04.110.
- ^ Meeks, Kelsey; J. Tencer; M.L. Pantoya (2017). "Percolation of binary disk systems: Modeling and theory". Phys. Rev.. 95 (1): 012118. Bibcode:2017PhRvE..95a2118M. doi:10.1103/PhysRevE.95.012118. PMID 28208494.
- ^ Quintanilla, John A. (2001). "Measurement of the percolation threshold for fully penetrable disks of different radii". Phys. Rev.. 63 (6): 061108. Bibcode:2001PhRvE..63f1108Q. doi:10.1103/PhysRevE.63.061108. PMID 11415069.
- ^ A b C Melchert, Oliver (2013). "Percolation thresholds on planar Euclidean relative-neighborhood graphs". Fyzický přehled E. 87 (4): 042106. arXiv:1301.6967. Bibcode:2013PhRvE..87d2106M. doi:10.1103/PhysRevE.87.042106. PMID 23679372. S2CID 9691279.
- ^ A b Bernardi, Olivier; Curien, Nicolas; Miermont, Grėgory (2019). "A Boltzmann approach to percolation on random triangulations". Kanadský žurnál matematiky. 71: 1–43. arXiv:1705.04064. doi:10.4153 / CJM-2018-009-x. S2CID 6817693.
- ^ A b C d E Becker, A .; R. M. Ziff (2009). „Prahové hodnoty perkolace na dvourozměrných sítích Voronoi a Delaunayovy triangulace“. Fyzický přehled E. 80 (4): 041101. arXiv:0906.4360. Bibcode:2009PhRvE..80d1101B. doi:10.1103 / PhysRevE.80.041101. PMID 19905267. S2CID 22549508.
- ^ Shante, K. S .; S. Kirkpatrick (1971). "Úvod do teorie perkolace". Pokroky ve fyzice. 20 (85): 325–357. Bibcode:1971AdPhy..20..325S. doi:10.1080/00018737100101261.
- ^ A b C Hsu, H. P .; M. C. Huang (1999). „Prahové hodnoty perkolace, kritické exponenty a funkce škálování na rovinných náhodných mřížkách a jejich duálech“. Fyzický přehled E. 60 (6): 6361–6370. Bibcode:1999PhRvE..60,6361H. doi:10.1103 / PhysRevE.60.6361. PMID 11970550. S2CID 8750738.
- ^ A b Norrenbrock, C. (2014). "Prahová hodnota perkolace na rovinných euklidovských Gabrielových grafech". Journal of Physics A. 40 (31): 9253–9258. arXiv:0704.2098. Bibcode:2007JPhA ... 40.9253P. doi:10.1088/1751-8113/40/31/005. S2CID 680787.
- ^ A b Bertin, E; J.-M. Billiot, R. Drouilhet (2002). "Perkolace kontinua v Gabrielově grafu". Adv. Appl. Probab. 34 (4): 689. doi:10,1239 / aap / 1037990948.
- ^ Lepage, Thibaut; Lucie Delaby; Fausto Malvagi; Alain Mazzolo (2011). „Monte Carlo simulace plně markovských stochastických geometrií“. Pokrok v oblasti jaderné vědy a technologie. 2: 743–748. doi:10,1569 / pnst.2.743.
- ^ Ziff, R. M .; F. Babalievski (1999). "Perkolace stránek na kosočtvercové mřížce Penrose". Physica A. 269 (2–4): 201–210. Bibcode:1999PhyA..269..201Z. doi:10.1016 / S0378-4371 (99) 00166-1.
- ^ A b C d E F G h Babalievski, F. (1995). "Perkolační prahy a perkolační vodivosti osmihranných a dodekagonálních kvazikrystalických mřížek". Physica A. 220 (1995): 245–250. Bibcode:1995PhyA..220..245B. doi:10.1016 / 0378-4371 (95) 00260-E.
- ^ Bollobás, Béla; Oliver Riordan (2006). "Kritická pravděpodobnost pro náhodnou perkolaci Voronoi v letadle je 1/2". Probab. Theory Relat. Pole. 136 (3): 417–468. arXiv:matematika / 0410336. doi:10.1007 / s00440-005-0490-z. S2CID 15985691.
- ^ Angel, Omer; Schramm, Oded (2003). "Jednotná nekonečná planární triangulace". Commun. Matematika. Phys. 241 (2–3): 191–213. arXiv:matematika / 0207153. Bibcode:2003CMaPh.241..191A. doi:10.1007 / s00220-003-0932-3. S2CID 17718301.
- ^ Angel, O .; Curien, Nicolas (2014). "Perkolace na náhodných mapách I: Polorovinné modely". Annales de l'Institut Henri Poincaré, Probabilités et Statistiques. 51 (2): 405–431. arXiv:1301.5311. Bibcode:2015AIHPB..51..405A. doi:10.1214 / 13-AIHP583. S2CID 14964345.
- ^ A b C Zierenberg, Johannes; Niklas Fricke; Martin Marenz; F. P. Spitzner; Viktoria Blavatska; Wolfhard Janke (2017). "Prahové hodnoty perkolace a fraktální rozměry pro čtvercové a kubické mřížky s defekty korelovanými na velké vzdálenosti". Phys. Rev.. 96 (6): 062125. arXiv:1708.02296. Bibcode:2017PhRvE..96f2125Z. doi:10.1103 / PhysRevE.96.062125. PMID 29347311. S2CID 22353394.
- ^ A b C d E F G Sotta, P .; D. Long (2003). "Crossover z 2D na 3D perkolace: Teorie a numerické simulace". Eur. Phys. J. E.. 11 (4): 375–388. Bibcode:2003EPJE ... 11..375S. doi:10.1140 / epje / i2002-10161-6. PMID 15011039. S2CID 32831742.
- ^ A b C d E F G h i j k l m n Ó str q r s t u proti w X y z aa ab Horton, M. K .; Moram, M. A. (17. dubna 2017). "Kolísání složení slitiny a perkolace v kvantových jímkách polovodičových slitin". Aplikovaná fyzikální písmena. 110 (16): 162103. doi:10.1063/1.4980089. ISSN 0003-6951.
- ^ A b C d E F G Gliozzi, F .; S. Lottini; M. Panero; A. Rago (2005). "Náhodná perkolace jako teorie měřidla". Jaderná fyzika B. 719 (3): 255–274. arXiv:cond-mat / 0502339. Bibcode:2005NuPhB.719..255G. doi:10.1016 / j.nuclphysb.2005.04.021. hdl:2318/5995. S2CID 119360708.CS1 maint: více jmen: seznam autorů (odkaz)
- ^ A b C d E F G h Yoo, Ted Y .; Jonathan Tran; Shane P. Stahlheber; Carina E. Kaainoa; Kevin Djepang; Alexander R. Small (2014). "Perkolace stránek na svazích s nízkými průměrnými koordinačními čísly". J. Stat. Mech. Theory Exp. 2014 (6): P06014. arXiv:1403.1676. Bibcode:2014JSMTE..06..014Y. doi:10.1088 / 1742-5468 / 2014/06 / p06014. S2CID 119290405.
- ^ A b C d E F G h i j k Tran, Jonathan; Ted Yoo; Shane Stahlheber; Alex Malý (2013). "Prahové hodnoty perkolace na trojrozměrných mřížích se 3 nejbližšími sousedy". J. Stat. Mech .: Theory Exp. 2013 (5): P05014. arXiv:1211.6531. Bibcode:2013JSMTE..05..014T. doi:10.1088 / 1742-5468 / 2013/05 / P05014. S2CID 119182062.
- ^ Wells, A. F. (1984). „Struktury založené na 3-propojené síti 103 – b". Journal of Solid State Chemistry. 54 (3): 378–388. Bibcode:1984JSSCh..54..378W. doi:10.1016/0022-4596(84)90169-5.
- ^ A b Pant, Mihir; Don Towsley; Dirk Englund; Saikat Guha (2017). „Perkolační prahy pro fotonické kvantové výpočty“. Příroda komunikace. 10 (1): 1070. arXiv:1701.03775. doi:10.1038 / s41467-019-08948-x. PMC 6403388. PMID 30842425.
- ^ Hyde, Stephen T .; O'Keeffe, Michael; Proserpio, Davide M. (2008). „Krátká historie nepolapitelné, ale všudypřítomné struktury v chemii, materiálech a matematice“. Angew. Chem. Int. Vyd. 47 (42): 7996–8000. doi:10.1002 / anie.200801519. PMID 18767088.
- ^ A b C d E F G h i j van der Marck, S. C. (1997). „Perkolační prahy duálních mřížek se středem tváře, kubických, šestihranných a těsných a diamantových mřížek“. Phys. Rev.. 55 (6): 6593–6597. Bibcode:1997PhRvE..55,6593V. doi:10.1103 / PhysRevE.55.6593.
- ^ A b Frisch, H.L .; E. Sonnenblick; V. A. Vyssotsky; J. M. Hammersley (1961). Msgstr "Pravděpodobnosti kritické perkolace (problém webu)". Fyzický přehled. 124 (4): 1021–1022. Bibcode:1961PhRv..124,1021F. doi:10.1103 / PhysRev.124.1021.CS1 maint: více jmen: seznam autorů (odkaz)
- ^ A b Vyssotsky, V. A .; S. B. Gordon; H. L. Frisch; J. M. Hammersley (1961). "Pravděpodobnosti kritické perkolace (Bond Bond)". Fyzický přehled. 123 (5): 1566–1567. Bibcode:1961PhRv..123,1566V. doi:10.1103 / PhysRev.123.1566.CS1 maint: více jmen: seznam autorů (odkaz)
- ^ A b C d E F G Gaunt, D. S .; M. F. Sykes (1983). "Sériová studie náhodné perkolace ve třech rozměrech". J. Phys. A. 16 (4): 783. Bibcode:1983JPhA ... 16..783G. doi:10.1088/0305-4470/16/4/016.
- ^ A b C d Xu, Xiao; Junfeng Wang, Jian-Ping Lv, Youjin Deng (2014). "Simultánní analýza trojrozměrných modelů perkolace". Hranice fyziky. 9 (1): 113–119. arXiv:1310.5399. Bibcode:2014FrPhy ... 9..113X. doi:10.1007 / s11467-013-0403-z. S2CID 119250232.CS1 maint: více jmen: seznam autorů (odkaz)
- ^ Silverman, Amihal; J. Adler (1990). "Prahová hodnota perkolace pro diamantovou mříž s diatomickou substitucí". Fyzický přehled B. 42 (2): 1369–1373. Bibcode:1990PhRvB..42.1369S. doi:10.1103 / PhysRevB.42.1369. PMID 9995550.
- ^ A b van der Marck, Steven C. (1997). "Erratum: Perkolační prahy a univerzální vzorce". Phys. Rev.. 56 (4): 3732.
- ^ A b C d E F G h i j k l m n Ó str q r s t van der Marck, Steven C. (1998). "Výpočet prahových hodnot perkolace ve vysokých dimenzích pro FCC, BCC a Diamond Lattices". International Journal of Modern Physics C. 9 (4): 529–540. arXiv:cond-mat / 9802187. Bibcode:1998 IJMPC ... 9..529V. doi:10.1142 / S0129183198000431. S2CID 119097158.
- ^ A b Sykes, M. F .; D. S. Gaunt; M. Glen (1976). "Procesy perkolace ve třech rozměrech". J. Phys. A: Math. Gen. 9 (10): 1705–1712. Bibcode:1976JPhA .... 9.1705S. doi:10.1088/0305-4470/9/10/021.
- ^ A b C d E F G h Sykes, M. F .; J. W. Essam (1964). Msgstr "Kritické pravděpodobnosti perkolace metodou řady". Fyzický přehled. 133 (1A): A310 – A315. Bibcode:1964PhRv..133..310S. doi:10.1103 / PhysRev.133.A310.
- ^ A b C d E F van der Marck, Steven C. (1998). "Perkolace stránek a náhodné procházky po d-dimenzionálních mřížkách Kagome". Journal of Physics A. 31 (15): 3449–3460. arXiv:cond-mat / 9801112. Bibcode:1998JPhA ... 31,3449 V.. doi:10.1088/0305-4470/31/15/010. S2CID 18989583.
- ^ Sur, Amit; Joel L. Lebowitz; J. Marro; M. H. Kalos; S. Kirkpatrick (1976). "Monte Carlo studie perkolačních jevů pro jednoduchou kubickou mřížku". Žurnál statistické fyziky. 15 (5): 345–353. Bibcode:1976JSP .... 15..345S. doi:10.1007 / BF01020338. S2CID 38734613.
- ^ A b Wang, J; Z. Zhou; W. Zhang; T. Garoni; Y. Deng (2013). "Bond a site perkolace ve třech rozměrech". Fyzický přehled E. 87 (5): 052107. arXiv:1302.0421. Bibcode:2013PhRvE..87e2107W. doi:10.1103 / PhysRevE.87.052107. PMID 23767487. S2CID 14087496.
- ^ Grassberger, P. (1992). "Numerické studie kritické perkolace ve třech rozměrech". J. Phys. A. 25 (22): 5867–5888. Bibcode:1992JPhA ... 25.5867G. doi:10.1088/0305-4470/25/22/015.
- ^ Acharyya, M .; D. Stauffer (1998). "Účinky okrajových podmínek na pravděpodobnost kritického rozpětí". Int. J. Mod. Phys. C. 9 (4): 643–647. arXiv:cond-mat / 9805355. Bibcode:1998 IJMPC ... 9..643A. doi:10.1142 / S0129183198000534. S2CID 15684907.
- ^ Jan, N .; D. Stauffer (1998). "Náhodná perkolace stránek ve třech dimenzích". Int. J. Mod. Phys. C. 9 (4): 341–347. Bibcode:1998 IJMPC ... 9..341J. doi:10.1142 / S0129183198000261.
- ^ Deng, Youjin; H. W. J. Blöte (2005). „Studie modelu Monte Carlo modelu perkolace ve dvou a třech rozměrech“. Fyzický přehled E. 72 (1): 016126. Bibcode:2005PhRvE..72a6126D. doi:10.1103 / PhysRevE.72.016126. PMID 16090055.
- ^ Ballesteros, P. N .; L. A. Fernández, V. Martín-Mayor, A. Muñoz, Sudepe, G. Parisi a J. J. Ruiz-Lorenzo (1999). "Opravy měřítka: perkolace stránek a Isingův model ve třech rozměrech". Journal of Physics A. 32 (1): 1–13. arXiv:cond-mat / 9805125. Bibcode:1999JPhA ... 32 .... 1B. doi:10.1088/0305-4470/32/1/004. S2CID 2787294.CS1 maint: více jmen: seznam autorů (odkaz)
- ^ A b C Lorenz, C. D .; R. M. Ziff (1998). "Univerzálnost nadměrného počtu shluků a funkce pravděpodobnosti křížení v trojrozměrné perkolaci". Journal of Physics A. 31 (40): 8147–8157. arXiv:cond-mat / 9806224. Bibcode:1998JPhA ... 31.8147L. doi:10.1088/0305-4470/31/40/009. S2CID 12493873.
- ^ A b C d E F G h i j k Koza, Zbigniew; Jakub Poła (2016). "Od diskrétní po kontinuální perkolaci v rozměrech 3 až 7". Journal of Statistical Mechanics: Theory and Experiment. 2016 (10): 103206. arXiv:1606.08050. Bibcode:2016JSMTE..10,3206K. doi:10.1088/1742-5468/2016/10/103206. S2CID 118580056.
- ^ Škvor, Jiří; Ivo Nezbeda (2009). "Parametry prahové hodnoty perkolace tekutin". Fyzický přehled E. 79 (4): 041141. Bibcode:2009PhRvE..79d1141S. doi:10.1103 / PhysRevE.79.041141. PMID 19518207.
- ^ A b C d Adler, Joan; Yigal Meir; Amnon Aharony; A. B. Harris; Lior Klein (1990). "Série s nízkou koncentrací v obecném rozměru". Žurnál statistické fyziky. 58 (3/4): 511–538. Bibcode:1990JSP .... 58..511A. doi:10.1007 / BF01112760. S2CID 122109020.
- ^ A b C d E F G h Dammer, Stephan M; Haye Hinrichsen (2004). "Šíření s imunizací ve vysokých rozměrech". J. Stat. Mech .: Theory Exp. 2004 (7): P07011. arXiv:cond-mat / 0405577. Bibcode:2004JSMTE..07..011D. doi:10.1088 / 1742-5468 / 2004/07 / P07011. S2CID 118981083.
- ^ A b C Lorenz, C. D .; R. M. Ziff (1998). "Přesné stanovení prahových hodnot perkolace vazeb a korekce měřítka konečné velikosti pro mřížky sc, fcc a bcc". Fyzický přehled E. 57 (1): 230–236. arXiv:cond-mat / 9710044. Bibcode:1998PhRvE..57..230L. doi:10.1103 / PhysRevE.57.230. S2CID 119074750.
- ^ A b Schrenk, K. J .; N. A. M. Araújo; H. J. Herrmann (2013). "Skládaná trojúhelníková mřížka: perkolační vlastnosti". Fyzický přehled E. 87 (3): 032123. arXiv:1302.0484. Bibcode:2013PhRvE..87c2123S. doi:10.1103 / PhysRevE.87.032123. S2CID 2917074.
- ^ Martins, P .; J. Plascak (2003). „Perkolace na dvoj- a trojrozměrných mřížích“. Fyzický přehled. 67 (4): 046119. arXiv:cond-mat / 0304024. Bibcode:2003PhRvE..67d6119M. doi:10.1103 / physreve.67.046119. PMID 12786448. S2CID 31891392.
- ^ Bradley, R. M .; P. N. Strenski, J.-M. Debierre (1991). "Povrchy perkolačních klastrů ve třech rozměrech". Fyzický přehled B. 44 (1): 76–84. Bibcode:1991PhRvB..44 ... 76B. doi:10.1103 / PhysRevB.44.76. PMID 9998221.
- ^ A b C d E F Kurzawski, L .; K. Malarz (2012). "Jednoduché kubické prahové hodnoty perkolace pro složitá sousedství". Rep. Math. Phys. 70 (2): 163–169. arXiv:1111.3254. Bibcode:2012RpMP ... 70..163K. CiteSeerX 10.1.1.743.1726. doi:10.1016 / S0034-4877 (12) 60036-6. S2CID 119120046.
- ^ Gallyamov, S. R .; S.A.Melchukov (2013). „Prahová hodnota perkolace jednoduché kubické mřížky se čtvrtými sousedy: teorie a numerický výpočet s paralelizací“ (PDF). Třetí mezinárodní konference „High Performance Computing“ HPC-UA 2013 (Ukrajina, Kyjev, 7. – 11. Října 2013).
- ^ Sykes, M. F .; D. S. Gaunt; J. W. Essam (1976). "Pravděpodobnost perkolace pro problém místa na kubické mřížce se středem tváře". Journal of Physics A. 9 (5): L43 – L46. Bibcode:1976JPhA .... 9L..43S. doi:10.1088/0305-4470/9/5/002.
- ^ A b Lorenz, C. D .; R. May; R. M. Ziff (2000). „Podobnost prahových hodnot perkolace na mřížích HCP a FCC“ (PDF). Žurnál statistické fyziky. 98 (3/4): 961–970. doi:10.1023 / A: 1018648130343. hdl:2027.42/45178. S2CID 10950378.
- ^ Tahir-Kheli, Jamil; W. A. Goddard III (2007). "Chirální plaketa polaronová teorie kuprátové supravodivosti". Fyzický přehled B. 76 (1): 014514. arXiv:0707.3535. Bibcode:2007PhRvB..76a4514T. doi:10.1103 / PhysRevB.76.014514. S2CID 8882419.
- ^ A b C d E F G Malarz, Krzysztof (2015). "Jednoduché prahové hodnoty perkolace náhodného kubického místa pro sousedství obsahující čtvrté nejbližší sousedy". Phys. Rev.. 91 (4): 043301. arXiv:1501.01586. Bibcode:2015PhRvE..91d3301M. doi:10.1103 / PhysRevE.91.043301. PMID 25974606. S2CID 37943657.
- ^ A b C d E F G h i j Xun, Zhipeng; Robert M. Ziff (2020). "Bondová perkolace na jednoduchých kubických mřížích s rozšířenými sousedstvími". Phys. Rev.. 102 (4): 012102. arXiv:2001.00349. doi:10.1103 / PhysRevE.102.012102. PMID 32795057. S2CID 209531616.
- ^ A b C d Jerauld, G. R .; L. E. Scriven; H. T. Davis (1984). „Perkolace a vedení na 3D Voronoi a běžných sítích: druhá případová studie topologické poruchy“. J. Phys. C: Fyzika pevných látek. 17 (19): 3429–3439. Bibcode:1984JPhC ... 17.3429J. doi:10.1088/0022-3719/17/19/017.
- ^ Xu, Fangbo; Zhiping Xu; Boris I. Yakobson (2014). „Prahová hodnota perkolace uhlíkových nanotrubičkových vláken --- rychlá kontrola perkolace s Markovovou stochastickou teorií“. Physica A. 407: 341–349. arXiv:1401.2130. Bibcode:2014PhyA..407..341X. doi:10.1016 / j.physa.2014.04.013. S2CID 119267606.
- ^ A b C Gawron, T. R .; Marek Cieplak (1991). „Prahové hodnoty perkolace mřížky FCC“ (PDF). Acta Physica Polonica A. 80 (3): 461. doi:10.12693 / APhysPolA.80.461.
- ^ Harter, T. (2005). „Analýza měřítka konečné velikosti perkolace v trojrozměrných korelovaných binárních náhodných polích Markovova řetězce“. Fyzický přehled E. 72 (2): 026120. Bibcode:2005PhRvE..72b6120H. doi:10.1103 / PhysRevE.72.026120. PMID 16196657. S2CID 2708506.
- ^ Sykes, M. F .; J. J. Rehr; Maureen Glen (1996). "Poznámka k pravděpodobnosti perkolace párů velmi podobných svazů". Proc. Camb. Phil. Soc. 76: 389–392. doi:10.1017 / S0305004100049021.
- ^ Weber, H .; W. Paul (1996). „Penetrační difúze ve zmrazených polymerních matricích: Studie měřítka konečné velikosti perkolace volného objemu“. Fyzický přehled E. 54 (4): 3999–4007. Bibcode:1996PhRvE..54,3999W. doi:10.1103 / PhysRevE.54.3999. PMID 9965547.
- ^ Tarasevich, Yu. Yu .; V. A. Cherkasova (2007). "Dimerní perkolace a rušení na jednoduché kubické mřížce". Evropský fyzický deník B. 60 (1): 97–100. arXiv:0709.3626. Bibcode:2007EPJB ... 60 ... 97T. doi:10.1140 / epjb / e2007-00321-2. S2CID 5419806.
- ^ Holcomb, D F ..; J. J. Rehr, Jr. (1969). "Perkolace v silně dotovaných polovodičích *". Fyzický přehled. 183 (3): 773–776. doi:10.1103 / PhysRev.183.773.
- ^ Holcomb, D F .; F. Holcomb; M. Iwasawa (1972). "Shlukování náhodně umístěných koulí". Biometrika. 59: 207–209. doi:10.1093 / biomet / 59.1.207.
- ^ Shante, Vinod K. S .; Scott Kirkpatrick (1971). "Úvod do teorie perkolace". Pokroky ve fyzice. 20 (85): 325–357. doi:10.1080/00018737100101261.
- ^ A b Rintoul, M. D .; S. Torquato (1997). "Přesné stanovení kritického prahu a exponentů v trojrozměrném modelu perkolace kontinua". J. Phys. A: Math. Gen. 30 (16): L585. Bibcode:1997JPhA ... 30L.585R. CiteSeerX 10.1.1.42.4284. doi:10.1088/0305-4470/30/16/005.
- ^ Consiglio, R .; R. Baker; G. Paul; H. E. Stanley (2003). "Kontinuální perkolace shodných překrývajících se sférických válců". Physica A. 319: 49–55. doi:10.1016 / S0378-4371 (02) 01501-7.
- ^ A b C d E F G h Xu, Wenxiang; Xianglong Su; Yang Jiao (2016). "Kontinuální perkolace shodných překrývajících se sférických válců". Phys. Rev.. 93 (3): 032122. Bibcode:2016PhRvE..94c2122X. doi:10.1103 / PhysRevE.94.032122. PMID 27078307.
- ^ A b Lorenz, C. D .; R. M. Ziff (2000). "Přesné stanovení kritické prahové hodnoty perkolace pro trojrozměrný švýcarský sýr model využívající růstový algoritmus " (PDF). J. Chem. Phys. 114 (8): 3659. Bibcode:2001JChPh.114.3659L. doi:10.1063/1.1338506. hdl:2027.42/70114.
- ^ A b C d E F G h i Lin, Jianjun; Chen, Huisu; Xu, Wenxiang (2018). "Geometrický práh perkolace kongruentních částic podobných kvádru v překrývajících se systémech částic". Fyzický přehled E. 98 (1): 012134. Bibcode:2018PhRvE..98a2134L. doi:10.1103 / PhysRevE.98.012134. PMID 30110832.
- ^ A b C d E F G h i j k l m n Ó str q r s t u proti w X y z aa ab ac inzerát ae af ag ah ai Garboczi, E. J .; K. A. Snyder; J. F. Douglas (1995). „Geometrický práh perkolace překrývajících se elipsoidů“. Phys. Rev.. 52 (1): 819–827. Bibcode:1995PhRvE..52..819G. doi:10.1103 / PhysRevE.52.819. PMID 9963485.
- ^ A b C d E F G h i j Yi, Y.-B .; A. M. Sastry (2004). "Analytická aproximace prahové hodnoty perkolace pro překrývající se revoluční elipsoidy". Proc. R. Soc. Lond. A. 460 (2048): 2353–2380. Bibcode:2004RSPSA.460.2353Y. doi:10.1098 / rspa.2004.1279. S2CID 2475482.
- ^ A b C Hyytiä, E .; J. Virtamo, P. Lassila a J. Ott (2012). „Prahová hodnota perkolace kontinua pro propustné zarovnané válce a příležitostné vytváření sítí“. Komunikační dopisy IEEE. 16 (7): 1064–1067. doi:10.1109 / LCOMM.2012.051512.120497. S2CID 1056865.
- ^ A b C d E Torquato, S .; Y. Jiao (2012). "Vliv rozměrnosti na prahovou hodnotu perkolace překrývajících se nesférických hyperčástic". Fyzický přehled E. 87 (2): 022111. arXiv:1210.0134. Bibcode:2013PhRvE..87b2111T. doi:10.1103 / PhysRevE.87.022111. PMID 23496464. S2CID 11417012.
- ^ A b C Yi, Y. B .; E. Tawerghi (2009). "Geometrické prahy perkolace prostupujících desek v trojrozměrném prostoru". Fyzický přehled E. 79 (4): 041134. Bibcode:2009PhRvE..79d1134Y. doi:10.1103 / PhysRevE.79.041134. PMID 19518200.
- ^ A b C d E Yi, Y. B .; K. Esmail (2012). "Výpočtové měření prahových hodnot perolace prázdných částic a tenkovrstvých kompozitů". J. Appl. Phys. 111 (12): 124903. Bibcode:2012JAP ... 111l4903Y. doi:10.1063/1.4730333.
- ^ A b Priour, Jr., D. J .; N. J. McGuigan (2017). "Perkolace dutinami kolem náhodně orientovaných fazetovaných inkluzí". arXiv:1712.10241 [kond. mat. stat-mech ].
- ^ A b C d E F G h i j k Priour, Jr., D. J .; N. J. McGuigan (2018). "Pronikání dutinami kolem náhodně orientovaných mnohostěnů a osově symetrických zrn". Phys. Rev. Lett. 121 (22): 225701. arXiv:1801.09970. Bibcode:2018PhRvL.121v5701P. doi:10.1103 / PhysRevLett.121.225701. PMID 30547614. S2CID 119185480.
- ^ Kertesz, Janos (1981). „Perkolace děr mezi překrývajícími se sférami: výpočet Monte Carlo kritického objemového podílu“ (PDF). Journal de Physique Lettres. 42 (17): L393 – L395. doi:10.1051 / jphyslet: 019810042017039300.
- ^ Elam, W. T .; A. R. Kerstein; J. J. Rehr (1984). "Kritické vlastnosti problému perkolace prázdnoty pro sféry". Phys. Rev. Lett. 52 (7): 1516–1519. Bibcode:1984PhRvL..52.1516E. doi:10.1103 / PhysRevLett.52.1516.
- ^ Rintoul, M. D. (2000). „Přesné stanovení prahové hodnoty perkolace pro dvě distribuce překrývajících se koulí“. Fyzický přehled E. 62 (6): 68–72. doi:10.1103 / PhysRevE.62.68. PMID 11088435.
- ^ Yi, Y. B. (2006). "Prázdná perkolace a vedení překrývajících se elipsoidů". Fyzický přehled E. 74 (3): 031112. Bibcode:2006PhRvE..74c1112Y. doi:10.1103 / PhysRevE.74.031112. PMID 17025599.
- ^ A b Höfling, F .; T. Munk; E. Frey; T. Franosch (2008). "Kritická dynamika balistických a Brownových částic v heterogenním prostředí". J. Chem. Phys. 128 (16): 164517. arXiv:0712.2313. Bibcode:2008JChPh.128p4517H. doi:10.1063/1.2901170. PMID 18447469. S2CID 25509814.
- ^ Priour, Jr., D.J. (2014). „Perkolace prázdnotami kolem překrývajících se sfér: Dynamicky založená analýza škálování konečné velikosti“. Phys. Rev.. 89 (1): 012148. arXiv:1208.0328. Bibcode:2014PhRvE..89a2148P. doi:10.1103 / PhysRevE.89.012148. PMID 24580213. S2CID 20349307.
- ^ A b C Powell, M. J. (1979). "Perkolace stránek v náhodně zabalených sférách". Fyzický přehled B. 20 (10): 4194–4198. Bibcode:1979PhRvB..20.4194P. doi:10.1103 / PhysRevB.20.4194.
- ^ A b Ziff, R. M .; Salvatore Torquato (2016). "Perkolace neuspořádaných zaseknutých obalů koulí". Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical. 50 (8): 085001. arXiv:1611.00279. Bibcode:2017JPhA ... 50h5001Z. doi:10.1088 / 1751-8121 / aa5664. S2CID 53003822.
- ^ Lin, Jianjun; Chen, Huisu (2018). „Kontinuální perkolace porézního média náhodným zabalením překrývajících se kostek podobných částic“. Teoretická a aplikovaná mechanická písmena. 8 (5): 299–303. doi:10.1016 / j.taml.2018.05.007.
- ^ Lin, Jianjun; Chen, Huisu (2018). „Vliv morfologie částic na perkolaci částicových porézních médií: Studie superbalů“. Technologie prášku. 335: 388–400. doi:10.1016 / j.powtec.2018.05.015.
- ^ Clerc, J. P .; G. Giraud; S. Alexander; E. Guyon (1979). „Vodivost směsi vodivých a izolačních zrn: účinky rozměrů“. Fyzický přehled B. 22 (5): 2489–2494. doi:10.1103 / PhysRevB.22.2489.
- ^ C. Larmier, E. Dumonteil, F. Malvagi, A. Mazzolo a A. Zoia, C (2016). "Efekty konečné velikosti a perkolační vlastnosti Poissonových geometrií". Fyzický přehled E. 94 (1): 012130. arXiv:1605.04550. Bibcode:2016PhRvE..94a2130L. doi:10.1103 / PhysRevE.94.012130. PMID 27575099. S2CID 19361619.CS1 maint: více jmen: seznam autorů (odkaz)
- ^ A b C d E F Zakalyukin, R. M .; V. A. Chizhikov (2005). "Výpočty prahových hodnot perolace trojrozměrného (ikosahedrálního) Penrosova obkladu metodou kubické aproximace". Zprávy o krystalografii. 50 (6): 938–948. Bibcode:2005CryRp..50..938Z. doi:10.1134/1.2132400. S2CID 94290876.
- ^ Grassberger, P. (2017). „Několik poznámek k vrtání perkolace“. Phys. Rev.. 95 (1): 010103. arXiv:1611.07939. doi:10.1103 / PhysRevE.95.010103. PMID 28208497. S2CID 12476714.
- ^ Schrenk, K. J .; M. R. Hilário; V. Sidoravicius; N. A. M. Araújo; H. J. Herrmann; M. Thielmann; A. Teixeira (2016). „Kritické fragmentační vlastnosti náhodného vrtání: Kolik otvorů je třeba vyvrtat, aby se dřevěná kostka zhroutila?“. Phys. Rev. Lett. 116 (5): 055701. arXiv:1601.03534. Bibcode:2016PhRvL.116e5701S. doi:10.1103 / PhysRevLett.116.055701. PMID 26894717. S2CID 3145131.
- ^ Kantor, Yacov (1986). "Trojrozměrná perkolace s odstraněnými řádky stránek". Phys. Rev. B. 33 (5): 3522–3525. Bibcode:1986PhRvB..33,3522K. doi:10.1103 / PhysRevB.33.3522. PMID 9938740.
- ^ A b C Kirkpatrick, Scott (1976). "Perkolační jevy ve vyšších dimenzích: přístup k limitu středního pole". Dopisy o fyzické kontrole. 36 (2): 69–72. Bibcode:1976PhRvL..36 ... 69K. doi:10.1103 / PhysRevLett.36.69.
- ^ A b C d Gaunt, D. S .; Sykes, M. F .; Ruskin, Heather (1976). "Procesy perkolace v dimenzích d". J. Phys. A: Math. Gen. 9 (11): 1899–1911. Bibcode:1976JPhA .... 9.1899G. doi:10.1088/0305-4470/9/11/015.
- ^ A b C d E F G h i j k l m n Ó str q r s t Grassberger, Peter (2003). "Kritická prosakování ve vysokých rozměrech". Fyzický přehled E. 67 (3): 4. arXiv:cond-mat / 0202144. Bibcode:2003PhRvE..67c6101G. doi:10.1103 / PhysRevE.67.036101. PMID 12689126. S2CID 43707822.
- ^ A b Paul, Gerald; Robert M. Ziff; H. Eugene Stanley (2001). "Prahová hodnota perkolace, Fisherův exponent a nejkratší exponent cesty pro čtyři a pět dimenzí". Fyzický přehled E. 64 (2): 8. arXiv:cond-mat / 0101136. Bibcode:2001PhRvE..64b6115P. doi:10.1103 / PhysRevE.64.026115. PMID 11497659. S2CID 18271196.
- ^ Ballesteros, H. G .; L. A. Fernández; V. Martín-starosta; A. Muñoz Sudupe; G. Parisi; J. J. Ruiz-Lorenzo (1997). "Míry kritických exponentů ve čtyřrozměrné perkolaci místa". Phys. Lett. B. 400 (3–4): 346–351. arXiv:hep-lat / 9612024. Bibcode:1997PhLB..400..346B. doi:10.1016 / S0370-2693 (97) 00337-7. S2CID 10242417.
- ^ A b C d E F G Kotwica, M .; P. Gronek; K. Malarz (2019). "Efektivní virtualizace prostoru pro algoritmus Hoshen-Kopelman". International Journal of Modern Physics C. 30: 1950055. arXiv:1803.09504. Bibcode:2018arXiv180309504K. doi:10.1142 / S0129183119500554. S2CID 4418563.
- ^ A b C d E F G h i j k l m n Ó str q r s t Mertens, Stephan; Christopher Moore (2018). "Prahové hodnoty perkolace a Fisherovi v hyperkubických mřížkách". Phys. Rev.. 98 (2): 022120. arXiv:1806.08067. Bibcode:2018PhRvE..98b2120M. doi:10.1103 / PhysRevE.98.022120. PMID 30253462. S2CID 52821851.
- ^ A b C d Xun, Zhipeng (2020). "Přesné prahové hodnoty perkolace vazby na několika čtyřrozměrných mřížkách". Výzkum fyzické kontroly. 2 (1): 013067. arXiv:1910.11408. Bibcode:2020PhRvR ... 2a3067X. doi:10.1103 / PhysRevResearch.2.013067. S2CID 204915841.
- ^ A b C d E Adler, Joan; Yigal Meir; Amnon Aharony; A. B. Harris (1990). „Sériová studie perkolačních momentů v obecné dimenzi“. Fyzický přehled B. 41 (13): 9183–9206. Bibcode:1990PhRvB..41.9183A. doi:10.1103 / PhysRevB.41.9183. PMID 9993262.
- ^ Stauffer, Dietrich; Robert M. Ziff (1999). „Reexamination of Seven-Dimensional Site Percolation Thresholds“. International Journal of Modern Physics C. 11 (1): 205–209. arXiv:Cond-mat / 9911090. Bibcode:2000IJMPC..11..205S. doi:10.1142 / S0129183100000183. S2CID 119362011.
- ^ Gaunt, D. S .; Ruskin, Heather (1978). "Procesy perkolační vazby v dimenzích d". J. Phys. A: Math. Gen. 11 (7): 1369. Bibcode:1978JPhA ... 11.1369G. doi:10.1088/0305-4470/11/7/025.
- ^ Mertens, Stephan; Christopher Moore (2018). "Sériové rozšíření kritických hustot pro perkolaci dne ℤd". J. Phys. A: Math. Teor. 51 (47): 475001. arXiv:1805.02701. doi:10.1088 / 1751-8121 / aae65c. S2CID 119399128.
- ^ A b Gori, G .; Michelangeli, M .; Defenu, N .; Trombettoni, A. (2017). „Jednorozměrná perkolace na velké vzdálenosti: numerická studie“. Fyzický přehled E. 96 (1): 012108. arXiv:1610.00200. Bibcode:2017PhRvE..96a2108G. doi:10.1103 / physreve.96.012108. PMID 29347133. S2CID 9926800.
- ^ A b Schulman, L. S. (1983). "Perkolace s dlouhým dosahem v jedné dimenzi". Journal of Physics A: Mathematical and General. 16 (17): L639 – L641. Bibcode:1983JPhA ... 16L.639S. doi:10.1088/0305-4470/16/17/001. ISSN 0305-4470.
- ^ Aizenman, M .; Newman, C. M. (1. prosince 1986). "Diskontinuita perkolační hustoty v jednorozměrných 1 / | x-y | 2 perkolačních modelech". Komunikace v matematické fyzice. 107 (4): 611–647. Bibcode:1986CMaPh.107..611A. doi:10.1007 / BF01205489. ISSN 0010-3616. S2CID 117904292.
- ^ Baek, S.K .; Petter Minnhagen a Beom Jun Kim (2009). „Komentář k 'Simulační studii Monte Carlo dvoustupňového perkolačního přechodu v rozšířených binárních stromech'". J. Phys. A: Math. Teor. 42 (47): 478001. arXiv:0910.4340. Bibcode:2009JPhA ... 42U8001B. doi:10.1088/1751-8113/42/47/478001. S2CID 102489139.
- ^ A b C Boettcher, Stefan; Jessica L. Cook a Robert M. Ziff (2009). "Patchy perkolace na hierarchické síti s obligacemi malého světa". Phys. Rev.. 80 (4): 041115. arXiv:0907.2717. Bibcode:2009PhRvE..80d1115B. doi:10.1103 / PhysRevE.80.041115. PMID 19905281.
- ^ A b C d E F G h i j k l m n Ó str q r s t u proti w X y z aa ab ac inzerát ae af ag ah ai aj ak al dopoledne an Mertens, Stephan; Cristopher Moore (2017). "Prahové hodnoty perkolace v hyperbolických mřížkách". Phys. Rev.. 96 (4): 042116. arXiv:1708.05876. Bibcode:2017PhRvE..96d2116M. doi:10.1103 / PhysRevE.96.042116. PMID 29347529. S2CID 39025690.
- ^ A b C Lopez, Jorge H .; J. M. Schwarz (2017). "Omezení prosakování na hyperbolických mřížích". Phys. Rev.. 96 (5): 052108. arXiv:1512.05404. Bibcode:2017PhRvE..96e2108L. doi:10.1103 / PhysRevE.96.052108. PMID 29347694. S2CID 44770310.
- ^ A b C d E F G h i Baek, S.K .; Petter Minnhagen a Beom Jun Kim (2009). "Perkolace na hyperbolických mřížkách". Phys. Rev.. 79 (1): 011124. arXiv:0901.0483. Bibcode:2009PhRvE..79a1124B. doi:10.1103 / PhysRevE.79.011124. PMID 19257018. S2CID 29468086.
- ^ A b C d E F G h Gu, Hang; Robert M. Ziff (2012). "Přechod na hyperbolické mřížky". Phys. Rev.. 85 (5): 051141. arXiv:1111.5626. Bibcode:2012PhRvE..85e1141G. doi:10.1103 / PhysRevE.85.051141. PMID 23004737. S2CID 7141649.
- ^ A b C d Nogawa, Tomoaki; Takehisa Hasegawa (2009). „Monte Carlo simulační studie dvoustupňového perkolačního přechodu ve vylepšených binárních stromech“. J. Phys. A: Math. Teor. 42 (14): 145001. arXiv:0810.1602. Bibcode:2009JPhA ... 42n5001N. doi:10.1088/1751-8113/42/14/145001. S2CID 118367190.
- ^ A b Minnhagen, Petter; Seung Ki Baek (2010). Msgstr "Analytické výsledky pro perkolační přechody vylepšeného binárního stromu". Phys. Rev.. 82 (1): 011113. arXiv:1003.6012. Bibcode:2010PhRvE..82a1113M. doi:10.1103 / PhysRevE.82.011113. PMID 20866571. S2CID 21018113.
- ^ Kozáková, Iva (2009). "Kritická perkolace prakticky volných skupin a dalších stromových grafů". Annals of Probability. 37 (6): 2262–2296. arXiv:0801.4153. doi:10.1214 / 09-AOP458.
- ^ Cohen, R; K. Erez; D. Ben-Avraham; S. Havlin (2000). "Odolnost internetu proti náhodným poruchám". Phys. Rev. Lett. 85 (21): 4626–8. arXiv:cond-mat / 0007048. Bibcode:2000PhRvL..85,4626C. CiteSeerX 10.1.1.242.6797. doi:10.1103 / PhysRevLett.85.4626. PMID 11082612. S2CID 15372152.
- ^ A b C d E F G h i j k l m n Ó str q r s t u proti w X y z aa ab ac inzerát ae af ag ah Wang, Junfeng; Zongzheng Zhou; Qingquan Liu; Timothy M. Garoni; Youjin Deng (2013). "Vysoce přesná studie Monte Carlo zaměřené na perkolaci v (d + 1) rozměrech". Fyzický přehled E. 88 (4): 042102. arXiv:1201.3006. Bibcode:2013PhRvE..88d2102W. doi:10.1103 / PhysRevE.88.042102. PMID 24229111. S2CID 43011467.
- ^ A b Jensen, Iwan; Anthony J. Guttmann (1995). "Sériové rozšíření pravděpodobnosti perkolace pro směrované čtvercové a voštinové mřížky". J. Phys. A: Math. Gen. 28 (17): 4813–4833. arXiv:cond-mat / 9509121. Bibcode:1995JPhA ... 28,4813J. doi:10.1088/0305-4470/28/17/015. S2CID 118993303.
- ^ A b Jensen, Iwan (2004). „Expanze řady s nízkou hustotou pro přímou perkolaci: III. Některé dvourozměrné mřížky“. J. Phys. A: Math. Gen. 37 (4): 6899–6915. arXiv:cond-mat / 0405504. Bibcode:2004JPhA ... 37,6899J. CiteSeerX 10.1.1.700.2691. doi:10.1088/0305-4470/37/27/003. S2CID 119326380.
- ^ A b C d Essam, J. W .; A. J. Guttmann; K. De'Bell (1988). "Na dvourozměrné řízené perkolaci". J. Phys. A. 21 (19): 3815–3832. Bibcode:1988JPhA ... 21.3815E. doi:10.1088/0305-4470/21/19/018.
- ^ Lübeck, S .; R. D. Willmann (2002). "Chování univerzálního škálování směrované perkolace a procesu párového kontaktu v externím poli". J. Phys. A. 35 (48): 10205. arXiv:cond-mat / 0210403. Bibcode:2002JPhA ... 3510205L. doi:10.1088/0305-4470/35/48/301. S2CID 11831269.
- ^ A b Jensen, Iwan (1999). „Expanze řady s nízkou hustotou pro směrovanou perkolaci: I. Nový efektivní algoritmus s aplikacemi pro čtvercovou mřížku“. J. Phys. A. 32 (28): 5233–5249. arXiv:Cond-mat / 9906036. Bibcode:1999JPhA ... 32,5233J. doi:10.1088/0305-4470/32/28/304. S2CID 2681356.
- ^ Essam, John; K. De'Bell; J. Adler; F. M. Bhatti (1986). "Analýza rozšířené řady pro perkolaci vazby na směrované čtvercové mřížce". Fyzický přehled B. 33 (2): 1982–1986. Bibcode:1986PhRvB..33.1982E. doi:10.1103 / PhysRevB.33.1982. PMID 9938508.
- ^ Baxter, R. J .; A. J. Guttmann (1988). "Sériové rozšíření pravděpodobnosti perkolace pro směrovanou čtvercovou mřížku". J. Phys. A. 21 (15): 3193–3204. Bibcode:1988JPhA ... 21.3193B. doi:10.1088/0305-4470/21/15/008.
- ^ A b C Jensen, Iwan (1996). "Expanze řady s nízkou hustotou pro přímou perkolaci na čtvercových a trojúhelníkových mřížkách". J. Phys. A. 29 (22): 7013–7040. Bibcode:1996JPhA ... 29.7013J. doi:10.1088/0305-4470/29/22/007. S2CID 121332666.
- ^ A b C d E F G h i j Blease, J. (1977). "Sériové expanze pro problém perkolace řízených dluhopisů". J. Phys. C: Fyzika pevných látek. 10 (7): 917–924. Bibcode:1977JPhC ... 10..917B. doi:10.1088/0022-3719/10/7/003.
- ^ A b C Grassberger, P .; Y.-C. Zhang (1996). ""Samoorganizovaná „formulace standardních perkolačních jevů“. Physica A. 224 (1): 169–179. Bibcode:1996PhyA..224..169G. doi:10.1016/0378-4371(95)00321-5.
- ^ A b C d E F Grassberger, P. (2009). "Místní vytrvalost v přímé perkolaci". J. Stat. Mech. Čt. Exp. 2009 (8): P08021. arXiv:0907.4021. Bibcode:2009JSMTE..08..021G. doi:10.1088 / 1742-5468 / 2009/08 / P08021. S2CID 119236556.
- ^ A b C d Lübeck, S .; R. D. Willmann (2004). Msgstr "Chování univerzálního škálování směrované perkolace kolem horní kritické dimenze". J. Stat. Phys. 115 (5–6): 1231–1250. arXiv:cond-mat / 0401395. Bibcode:2004JSP ... 115.1231L. CiteSeerX 10.1.1.310.8700. doi:10.1023 / B: JOSS.0000028059.24904.3b. S2CID 16267627.
- ^ Perlsman, E .; S. Havlin (2002). „Metoda odhadu kritických exponentů pomocí numerických studií“. Europhys. Lett. 58 (2): 176–181. Bibcode:2002EL ..... 58..176P. doi:10.1209 / epl / i2002-00621-7. S2CID 67818664.
- ^ Adler, Joan; J. Berger, M. A. M. S. Duarte, Y. Meir (1988). Msgstr "Směrovaná perkolace v rozměrech 3 + 1". Fyzický přehled B. 37 (13): 7529–7533. Bibcode:1988PhRvB..37.7529A. doi:10.1103 / PhysRevB.37.7529. PMID 9944046.CS1 maint: více jmen: seznam autorů (odkaz)
- ^ A b Grassberger, Peter (2009). "Logaritmické opravy v (4 + 1) -dimenzionální řízené perkolaci". Fyzický přehled E. 79 (5): 052104. arXiv:0904.0804. Bibcode:2009PhRvE..79e2104G. doi:10.1103 / PhysRevE.79.052104. PMID 19518501. S2CID 23876626.
- ^ Wu, F. Y. (2010). „Critical Frontier of the Potts and percolation models on triangular-type and kagome-type mtices I: Closed-form expressions“. Fyzický přehled E. 81 (6): 061110. arXiv:0911.2514. Bibcode:2010PhRvE..81f1110W. doi:10.1103 / PhysRevE.81.061110. PMID 20866381. S2CID 31590247.
- ^ Damavandi, Ojan Khatib; Robert M. Ziff (2015). "Perkolace na hypergrafech se čtyřmi okraji". J. Phys. A: Math. Teor. 48 (40): 405004. arXiv:1506.06125. Bibcode:2015JPhA ... 48N5004K. doi:10.1088/1751-8113/48/40/405004. S2CID 118481075.
- ^ A b Wu, F. Y. (2006). "Nové kritické hranice pro modely Potts a Percolation". Dopisy o fyzické kontrole. 96 (9): 090602. arXiv:cond-mat / 0601150. Bibcode:2006PhRvL..96i0602W. CiteSeerX 10.1.1.241.6346. doi:10.1103 / PhysRevLett.96.090602. PMID 16606250. S2CID 15182833.
- ^ Reuven Cohen; Shlomo Havlin (2010). Komplexní sítě: struktura, robustnost a funkce. Cambridge University Press.
- ^ S. V. Buldyrev; R. Parshani; G. Paul; H. E. Stanley; Havlin (2010). „Katastrofální kaskáda selhání vzájemně závislých sítí“. Příroda. 464 (7291): 1025–28. arXiv:0907.1182. Bibcode:2010Natur.464.1025B. doi:10.1038 / nature08932. PMID 20393559. S2CID 1836955.
- ^ Gao, Jianxi; Buldyrev, Sergey V .; Stanley, H. Eugene; Havlin, Shlomo (2011). "Sítě vytvořené ze vzájemně závislých sítí". Fyzika přírody. 8 (1): 40–48. Bibcode:2012NatPh ... 8 ... 40G. CiteSeerX 10.1.1.379.8214. doi:10.1038 / nphys2180. ISSN 1745-2473.